MÉTODO DE NEWTON RESUMO

MÉTODO DE NEWTON Iácio de Araujo Machado Roaldo Ribeiro Alves RESUMO Este trabalho teve por objetivo apresetar o método iterativo de Newto bastate importate por sua fácil aplicabilidade. O objetivo pricipal foi descrever o processo de dedução geométrica do mesmo e o desevolvimeto de seus algoritmos à partir de algus eemplos. É apresetado também um breve histórico de seu surgimeto e uma breve aálise das codições de covergêcia de uma fução. Palavras-chave: Raízes. Equações. Difereciação. INTRODUÇÃO Este trabalho apreseta uma breve sítese do estudo feito acerca do Método Iterativo de Newto com o ituito de istigar o leitor a querer pesquisar sobre o tema, uma vez que o mesmo é usado em quase todas as áreas da matemática aplicada a poto de ser parte obrigatória do programa da disciplia de cálculo umérico. Tal método é apreciado por cota de sua eficiêcia, simplicidade de desevolvimeto, velocidade de covergêcia e precisão a obteção de raízes aproimadas. Neste trabalho será abordado a ideia de seu surgimeto e de como veio a cosolidaro processo de apredizagem matemática ao que tage as técicas de obteção de raízes de equações ão lieares por cota de sua eficiêcia a solução de problemas cotidiaos as diversas áreas de eatas. Será apresetado, também, um breve histórico do método, sua defiição, dedução e algus problemas de aplicação do mesmo. Portato, é válido ressaltar que, o objetivo deste trabalho ão é o de aprofudar os estudos, uma vez que há hoje uma vasta bibliografia a seu respeito, mas sim dar uma visão geral acerca do mesmo. Método iterativo Um método iterativo é caracterizado pela repetição de determiado procedimeto. Assim, iiciado-se o cálculo de determiada fução a partir de um valor iicial e Docete curso de Egeharia Ambietal - Faculdade Araguaia. e-mail: Iácio.araujo@gmail.com Docete Departameto de Matemática UFSJ. e-mail: roribal@ufsj.edu.br REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 3

repetido-se o cálculo desta mesma fução, sempre, com o resultado do valor obtido ateriormete fica evideciado um caso clássico de iteração. Do Novo Dicioário Aurélio Século XXI, p.46 temos: iteração Processo de resolução (de uma equação, de um problema) mediate uma sequecia fiita de operações em que o objeto de cada uma é o resultado da que a precede. Este procedimeto eecutado de forma correta dá a cada iteração um resultado mais preciso que o aterior. É importate ressaltar que há determiados potos que devem ser observados para que se possa trabalhar com um método iterativo: estimativa iicial, covergêcia e critério de parada. O Método de Newto Muito utilizado a determiação de raízes de equações ão lieares, com grau maior que, o método de Newto possui etrema importâcia por cota de uma série de fatores dos quais dois são bastate relevates: sua aplicabilidade e a simplicidade apresetada o desevolvimeto do seu algoritmo. É válido salietar que ao trabalharmos com equações poliomiais de º e grau tal método ormalmete ão é empregado uma vez que eistem recursos mais simples como o isolameto de icógitas ao desevolvermos equações poliomiais de º grau e o método de Bháskara quado as equações evolvidas forem poliomiais de º grau, sedo elas, completas ou ão. É fudametal que se perceba que o Método de Newto ão determia a solução eata da equação trabalhada e sim sua raiz aproimada, sedo importate reportar a afirmativa de que em algus casos tal solução dá a aproimação ecessitada do valor obtido. Não se pode esquecer que para aplicar qualquer método umérico é ecessário que se teha uma ideia sobre a localização da raiz a ser determiada. Para isso, é importate ter cohecimeto acerca da costrução e aálise leitura e iterpretação de gráficos, uma vez que, tal localização pode ser obtida através dos mesmos. Um adedo a história do método de Newto O método de Newto, cujo o objetivo é estimar raízes de uma fução, foi proposto por Isaac Newto em dois mometos: em 669 em De aalysi per aequatioes úmero REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 3

termiorum ifiitas composta por ideias adquiridas em 665-666 sedo publicado apeas em 7 e em De metodis fluioum et serierum ifiitarum, escrito em 67 sedo aprimorado para qualquer tipo de fução real em 69 por Joseph Raphso. Daí sua popularidade como método de Newto-Raphso. É válido salietar que, a priori, o mesmo ão foi apresetado tal como é trabalhado hoje. A este fato foi etremamete importate a atuação de tatos outros grades matemáticos como L. A. Cauchy, J.Fourier, Katorovich, Fie e Beet, etre outros, os quais cotribuíram com o método provado que o mesmo covergia quadraticamete desde que o poto iicial fosse tomado em uma vizihaça da solução procurada (Fourier), que o mesmo se etede para fuções de várias variáveis e que pode ser utilizado para se provar a eistêcia de raízes de outras equações (Cauchy). Defiição do Método de Newto O Método Iterativo de Newto cosiste em uma sequêcia de cálculos da tagete do âgulo formado etre uma reta tagete a curva f() em um poto iicial (vizihaça da raiz) e o eio das abscissas, que por sua vez dará um ovo poto, ao qual defiirá uma ova reta tagete que por sua vez propiciará um ovo poto e assim sucessivamete. Figura : Curva f() e retas tagetes f() f() f() tg f '() f '() Portato, a ideia do Método Iterativo de Newto ada mais é que a liearização de uma fução derivável f() a qual para resolvermos a equação f() a partir de uma REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 3

aproimação iicial iremos costruir uma aproimação liear de f() em uma vizihaça. f() f() f '()() Dedução do Método de Newto O Método de Newto é utilizado a solução de problemas do tipo: Dada a fução f() substituído a fução os idique o zero desta mesma fução?, como ecotrar um valor para tal que quado esse valor for Eistem várias maeiras de deduzirmos tal método, para isso, com a iteção de chegarmos a equação de Newto-Raphso utilizaremos argumetos geométricos. Para tato, tomemos a fução f() cujo parte do seu gráfico está represetado abaio: Figura : Curva f() Figura 3: Raiz da fução f() Como pretedemos buscar uma de suas raízes, uma das maeiras para etedermos o Método de Newto-Raphso dar-se-á iicialmete com a escolha de uma estimativa chamada ídice zero ( ) para a raiz, coforme a figura abaio REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 33

Figura 4: Ídice zero O passo seguite será traçar a reta tagete à curva f() em. Figura 5: Reta tagete que corta o ídice Com isso a reta tagete cortará o eio em um ovo poto ídice ( ) ao qual aida ão cohecemos seu valor. Chegamos aí um próimo problema a ser questioado: como ecotrar a próima aproimação para partido do poto, o caso, como determiar o valor de? Para solucioarmos tal problema é ecessário observarmos o âgulo formado etre a reta tagete obtida e o eio das abscissas. Figura 6: Âgulo de icliação da reta tagete REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 34

Etão se calcularmos a tagete deste âgulo, teremos que tg f() cateto oposto ao âgulo cateto adjacete ao âgulo f(), o que os dá tg () ( I ) Do cálculo temos que a tg é a derivada da fução f(), portato podemos afirmar f() que tg f '() ode se compararmos com ( I ) obteremos f '() () f '() Com o ituito de isolarmos faremos a maipulação algébrica abaio: () f() () f() f '()()() f '()() f() f '()() f() f '() f '() f() f '() f() ( ) f '() f '() f() f() f '() f() Cocluímos, etão, que o valor de será dado pela relação f '() Surge, assim, um ovo problema: Como obter uma ova aproimação desta raiz que f() esteja o itervalo etre ela e o valor obtido? f '() Figura 7: Aproimação etre a raiz da fução e o ídice REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 35

O procedimeto para respoder a este questioameto dar-se-á de forma aáloga ao procedimeto eecutado ateriormete. Desta forma será ecessário traçarmos uma próima reta tagete à curva f() em que por sua vez cortará o eio das abscissas em um ovo poto ídice ( ). Figura 8: Reta tagete que corta o ídice Isto fará com que repitamos o procedimeto aterior só que desta vez com o objetivo de determiarmos o valor de. Assim, deveremos calcular a formado etre a reta tagete à curva f() em e o eio das abscissas. tagete do âgulo Figura 9: Âgulo de icliação da reta tagete f() Etão, tg f(), o que os dá tg () ( I ) REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 36

Do cálculo temos que a tg é a derivada da fução f(), portato podemos afirmar f() que tg f '() ode se compararmos com ( I ) obteremos f '() () f '() Com o ituito de isolarmos faremos a maipulação algébrica abaio: () f '() f() () f() f '()()() f '()() f() f '()() f() f '() f '() f() f '() f() ( ) f() f '() f() Cocluímos, etão, que o valor de será dado pela relação f '() Desta forma, repetido o procedimeto quatas vezes forem ecessárias, uma vez que trata-se de um método iterativo, chegaremos a um gráfico coforme sucessão de images que se seguem: Figura : Reta tagete que corta o ídice 3 REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 37

Figura : Ampliação da curva f (), da reta tagete que corta o ídice 3 e da raiz da fução Figura : Iteração de retas tagetes que cortam ídices Ode ao repetirmos o procedimeto uma e mais uma, e mais uma vez cocluiremos que a aproimação posterior será dada a partir da mesma relação aterior: f() f '() f() f '() REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 38

3 f '() 3 4 3 f '() 3 4 5 4 f '() 4 f() f() f() f() f '() O que os faz chegarmos a dedução do Método de Newto. É relativamete importate elucidar que devido à sua iterpretação geométrica o método de Newto é também cohecido por Método das Tagetes. Aalisado aaliticamete, da figura Figura 3: Icliação da reta r f () temos que a icliação da reta r que corta o eio em é dada por tg cocluímos: Daí, cocluímos que: ()()() tg f f '() f f f '() erro, etão é a raiz desejada; de ode Caso ão seja tal raiz é ecessário determiarmos utilizado o procedimeto f () aálogo f '(). Se erro, etão é a raiz desejada; REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 39

Caso ão seja tal raiz é ecessário determiarmos 3 utilizado o procedimeto f () aálogo 3 f '(). E assim prosseguimos, calculado,, 3,..., até determiarmos erro ao qual será a raiz aproimada de f (). Dá epressão erro afirmamos que tal procedimeto será cosiderado o f () critério de parada o algoritmo. f '() Codições de Covergêcia Para haver covergêcia o método de Newto é ecessário que o itervalo (a, b), aalisado, seja suficietemete pequeo e coteha uma raiz apeas sedo ecessário observar que: I) Se f ().() a f b for positivo - f ().() a f b ou eistirá um úmero par de raízes reais (cotado suas multiplicidades) ou ão eistirá ehuma raiz real o itervalo (a, b); II) Se f ().() a f b for egativo - (cotado suas multiplicidades) o itervalo (a, b); III) Se f '(). a f'() b for positivo - f ().() a f b eistirá um úmero ímpar de raízes reais f '(). a f'() b etão, o itervalo especificado (a, b), a fução ou será apeas crescete ou será apeas decrescete jamais se alterado; IV) Se f '(). a f'() b for egativo - (a, b), a fução se alterará etre crescete e decrescete; f a f b for positivo - ''(). ''() V) Se ''(). ''() itervalo (a, b) especificado ão se iverterá; VI) Se f '(). a f'() b etão, o itervalo especificado f a f b, etão a cocavidade da fução o f ''(). a f''() b for egativo - f ''(). a f''() b, etão a cocavidade da fução o itervalo (a, b) especificado se iverterá. Sedo assim, a partir dos aálise dos critérios acima potuados fica evidete que para haver covergêcia à uma raiz determiada o itervalo (a,b) obrigatoriamete: f ().() a f b, f '(). a f'() b e f ''(). a f''() b REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 4

Eemplos I) Determie, usado o método de Newto, a meor raiz positiva da equação cos e, com erro iferior a. O primeiro passo ecessário para resolvermos tal situação parte da obteção de um valor iicial para iserirmos o algoritmo. Para isso o método gráfico é bem prático. Assim é ecessário dividirmos a equação cos e em outras duas equações mais simples: y cos e y e. Colocado-as o mesmo gráfico obteremos: Figura 4: Curvas de y e y O que os faz cocluirmos que a itersecção (, y) é solução da fução cos e. Como está a vizihaça de, tomaremos =. f () f '() f () Método Iterativo de Newto-Raphso f '() f () f '() ERRO RELATIVO f () cos e f () se e -,78586 -,75386,6,353 > -,738999 -,944 -,9633,4434,63 > - 9,69465 -,354 -,755,55, 5 3,69395 Ou seja, a aproimação 3 =,69395 possui duas casas decimais corretas. REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 4

Logo, a meor raiz positiva da equação 4cos e =, com, é =,69395. II) Determie a meor raiz real positiva da equação 3 f () com erro iferior a 3. a) É evidete que há uma raiz o itervalo ];[ uma vez que f (), f() e () f 3. b) f '() 3 é diferete de zero aquele itervalo, já que se aula para 3 3 3 3 6 3 3 3 3. c) f ''() 6 em todo o itervalo. d) Etão, para decidirmos o a ser tomado é ecessário aplicarmos os etremos do itervalo ]; [ o produto f (). f''(). Assim, f (). f ''() e f(). f ''() portato, é o valor ideal para iiciarmos o processo iterativo já que fica verificado as codições de covergêcia da fução. e ) Podemos fazer as iterações utilizado o seguite quadro: f () f '() f () Método Iterativo de Newto-Raphso f 3 () f f () f '() f '() () 3 ERRO RELATIVO, 3,,,3,7647 > -4,7,53 6,67,769,47385> -4,6389,976 5,9353,533,3> -4 3,6856,8 5,85435,,< -4 4,6835 Ou seja, a aproimação 4 =,6835 possui quatro casas decimais corretas. Logo, a meor raiz positiva da equação 4cos e =, com, REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 4 é

=,6835. Figura 5: Gráfico da fução poliomial ^3 o itervalo ;3 Situação prática I Seja uma chapa metálica de 3cm 3 cm. Se cortarmos um quadrado de lado em cada um dos catos desta chapa e vicarmos as abas que sobraram obteremos uma caia sem a tampa coforme a figura a seguir. REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 43

obteremos: Observe que se efetuarmos o produto das três dimesões da caia 3 3 3 3 9 4 3 4 9, Sabedo que o volume dessa caia correspode a aproimadamete 57,3 cm 3 podemos utilizar o método de Newto para determiarmos o valor da altura da caia com erro iferior a 3. 3 4 9 57,3 3 4 9 57,3 a) Substituido a fução por,, 3, 4,... fica evidete que há uma raiz o itervalo ]8;9[ uma vez que f (8) 6,89 e f(9),. b) f '() 4 9 é diferete de zero aquele itervalo, já que se aula para 4 9 4 576 43 4 44 4 4 4 4 ' 5 '' 5 c) f ''() 4 4 em todo o itervalo. d) Etão, para decidirmos o a ser tomado é ecessário aplicarmos os etremos do itervalo ]8; 9[ o produto f (). f''(). Assim, f (8). f ''(8) 9,7 e f(9). f''(9) 566,4 portato, 9 valor ideal para iiciarmos o processo iterativo já que fica verificado as codições de covergêcia da fução. e ) Podemos fazer as iterações utilizado o seguite quadro: f () f '() Método Iterativo de Newto-Raphso f () f '() f () f '() REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 44 é o ERRO RELATIVO 9, -,3-88,7399363,88664 > -3

8,676837-8,63548-63,96864,347355,369< -3 8,3659948 Ou seja, a aproimação = 8,3659 possui quatro casas decimais corretas. Logo, a meor raiz positiva da equação com, é = 8,3659. f 3 () 4 9 57,3 Cosiderações fiais O Método de Newto é utilizado em problemas que buscam determiar a raiz real especificada em um itervalo (a, b) de uma equação f (),ode f obrigatoriamete deverá ser uma fução cotíua e difereciável este itervalo. Este método é etremamete prático e rápido a obteção de tal raiz sedo válido ressaltar que a mesma é uma raiz aproimada do que se pretede obter. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CARPENTIER, Michel P.J. Aálise Numérica. Departameto de Matemática, Superior Técico - U. T. L., 993. CUMINATO, José Alberto. Cálculo Numérico. ICMC/USP. GALVÃO, Lauro César. NUNES, Luiz Ferado. Tecológica Federal do Paraá, UTFPR. Material Didático. Istituto Cálculo Numérico. Uiversidade MOREIRA, Ferado Ricardo. Uma discussão sobre o método de Newto. Revista Eletrôica de Matemática REMat. ISSN 77-595. N o. SPERANDIO, Décio. MENDES, João Teieira. SILVA, Luiz Herique Moke. Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacioais dos Métodos Numéricos. Pearso Educatio. São Paulo, 3. Recebido em de março de 3. Aprovado em 6 de março de 3. REVISTA ELETRÔNICA DE EDUCAÇÃO DA FACULDADE ARAGUAIA, 4: 3-45 45