Associação d Profssors d Matmática Contactos: Rua Dr João Couto, nº 7-A 100-6 Lisboa Tl: +1 1 716 6 90 / 1 711 0 77 Fa: +1 1 716 64 4 http://wwwapmpt mail: gral@apmpt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 6) ª FASE 1 DE JULHO 014 Grupo I Qustõs 1 4 6 7 8 Vrsão 1 C B B D C A B C Vrsão B C C A B A D D 1 Grupo II 11 O complo z, na forma algébrica, é dado por : 1 z cos π isn π = i + = + = + i 6 6 o su conjugado z= i A imagm gométrica do complo z é o ponto A d coordnadas (, 1) Substituindo z na prssão d w simplificando vm: 1+ i( + i) 4 4 + i i 9 9 i 9i w= = = = = = i 1+ i 1 i i i Então, a imagm gométrica do complo w coordnadas ( 0, ) é o ponto B d Na figura, stá rprsntado o triângulo [AOB], sndo [AP] a sua altura rlativamnt à bas [OB] Assim, a ára do triângulo [AOB] é dada por: y O P A (, 1) B A [ AOB] OB AP 9 = = = Proposta da APM d rsolução da prova d Matmática A do nsino scundário, 1 d Julho d 014 Página 1 d 8
1 A quação dada é uma quação do º grau m z Aplicando a fórmula rsolvnt vm: cos cos cos cos α + 1= 0 = = α ± 4 α 4 α ± α 1 z cos z z z ( cosα ± cos α ) 1 z z cos cos 1 z cos sn = = α ± α = α ± α z cos i sn z cos isn z cos isn z cos isn = α ± α = α ± α = α + α = α α z = cisα z = cos α + isn α z = cisα z = cis α As soluçõs da quação, m função d α, são: z cisα z cis( α) = = 1 Dado o acontcimnto B :"As duas bolas azuis ficam uma ao lado da outra" dtrminmos a probabilidad d B, P(B) Atndndo a qu a tração das bolas é sucssiva sm rposição, o númro d casos possívis é dado por 6! Casos favorávis à ocorrência d B : s considrarmos qu as duas bolas azuis constitum um bloco, istm! modos difrnts d prmutar ss bloco das bolas azuis com as rstants 4 bolas prtas Para cada uma dssas maniras istm! formas difrnts das bolas azuis prmutarm ntr si Assim, istm!! casos favorávis!! 1 P B = = = 6! 6 Então, Conclui-s ntão qu a probabilidad pdida é 1 Do nunciado rtiramos qu os valors da variávl X são: 0, 1 Dtrminmos a probabilidad d cada um dos valors da variávl: P( X = 0)= C 4 C = 1 6 P( X = 1)= C 4 = 6 C P( X = )= C 4 C 1 = 1 6 C Assim, a tabla da distribuição d probabilidad da variávl X é: 0 1 i P( X = i ) 1 1 Proposta da APM d rsolução da prova d Matmática A do nsino scundário, 1 d Julho d 014 Página d 8
Dsignmos por α a amplitud do ângulo dos vtors AB Pla dfinição d produto scalar d dois vtors tm-s: AB AD AB AD cosα = = cosα (*) AD AD AD E β α D C A B Dtrminmos o valor d α : A mdida da amplitud, m radianos, d cada ângulo intrno d um polígono rgular é dada por ( n ) π n, sndo n o númro d lados do polígono Fazndo n= obtmos a mdida da amplitud d cada um dos ângulos intrnos do pntágono rgular, ou sja, π Como o triângulo [AED] é isóscls num triângulo isóscls a lados iguais opõm-s ângulos iguais, tm-s: π π = + β, sndo β = DÂE = ADE ˆ π π π Assim, π π = + β π = β β = β = π Ora, α + β = π α = π β α = π α = π Substituindo m (*) o valor d α aplicando a fórmula d duplicação do co-sno d um ângulo a fórmula fundamntal da trigonomtria, vm: π π π π π π cosα = cos π = cos = cos sn = 1 sn sn = 1 sn Conclui-s assim qu AB AD π = 1 sn AD 4 41 Assíntotas vrticais Como a função f é contínua no su domínio, apnas a rta d quação =0 podrá sr assíntota vrtical do gráfico d f Tm-s: ( ) ln 1 lim f = lim 1+ = 0 1+ ( ) = 1 + ( ) ( ) = + 0 0 0 Proposta da APM d rsolução da prova d Matmática A do nsino scundário, 1 d Julho d 014 Página d 8
Conclui-s assim qu a rta d quação =0 é a única assíntota vrtical do gráfico d f Assíntotas não vrticais ( ) ln f ( 1+ ) 1 ln ( ) 1 1 ln ( ) lim = lim = lim 1 + lim 1 = + = 1 ln ( ) 1 ln ( ) = 1 0 + lim = 1+ lim (**) Façamos a mudança d variávl: y = = y Como ntão y + assim, ln ( ) 1 1 lny (**) 1 0 + lim = 1+ lim =1+0 0=1 + y y y Então, f m = lim = 1 ( ) ln ( ) ln lim lim lim 1 lim 1 f m = f = + = + = (a) ln y = 1+ lim = 1 0 = 1 y + y ( a) Mudança d variávl: - = y Como - ntão, y + Então, b = lim = 1 f - Portanto a rta d quação y = 1 é uma assíntota não vrtical do gráfico d f quando tnd para Não pod havr outras assíntotas não vrticais porqu o domínio d f é limitado supriormnt O gráfico d f admit como assíntotas as rtas d quaçõs = 0 y = 1 Outra rsolução: Tmos qu lim f ( )= lim ln 1+ Façamos a mudança d variávl: y = = y Como ntão y + assim, ln lim = lim y + ln y y = lim y + ln y y = 0 Então, por dfinição d assíntota, a rta d quação y = 1 é uma assíntota não vrtical do gráfico d f quando tnd para Proposta da APM d rsolução da prova d Matmática A do nsino scundário, 1 d Julho d 014 Página 4 d 8
4 A função f é contínua no su domínio ],0[, por sr a soma d duas funçõs contínuas, logo f é contínua m [, 1 ] ],0[ ln 1 f ( ) = 1+ = 1 f ln1 1 = 1 1+ = 1, sndo f ( ) 4,086 Ora, f ( ) < < f ( 1) Como f é contínua m [, 1] ( ) < < ( 1) concluir qu a quação f f, o Torma d Bolzano prmit f = tm plo mnos uma solução no intrvalo], 1 [ 4 A função g tm domínio ],0[ é dfinida pla prssão analítica g ( ) ln ( ) = 1+ ln ( ) ln pois g = + f = + 1+ = 1+ Para studar a função g quanto à monotonia istência d trmos, dtrminmos a prssão analítica da primira drivada d g g' 1 ln ' ' ln ln 1 ln = 1 ' + = = ( ) ( ), D ' = ],0[ g, Zros d g : g ' ( ) 1 ln g' = 0 Dg' = 0 D g' ln( ) = 1 Dg' = D = Sinal d g : 1 ln( ) D ],0[ g' > 0 D > 0 D 1 ln > 0 D g' g' g' ln < 1 Dg' ln < ln Dg' < Dg' > Tabla g ' 0 g ' 0 + nd g g(-) nd Proposta da APM d rsolução da prova d Matmática A do nsino scundário, 1 d Julho d 014 Página d 8
Por obsrvação da tabla, conclui-s qu a função g é stritamnt crscnt m [,0[ stritamnt dcrscnt m ], ] A função g tm um mínimo rlativo para = qu é g( ) Comcmos por obsrvar qu [ PQR ] [ PSR ] são triângulos rtângulos m Q S, rsptivamnt, pois são triângulos inscritos numa smicircunfrência Como o lado [ PR ], comum a ambos, é um diâmtro PQ [ PQR ] [ PSR] são gomtricamnt iguais têm [ PR] por hipotnusa = PS os triângulos rtângulos Então, a ára do quadrilátro [ PQRS ] é dada por: PQ QR A[ ] = A[ ] = = PQ QR PQRS PQR Tm-s, assim: PQ PQ cos cos PQ cos PR 4 ( α) = ( α) = = 4 ( α) QR QR = = = PR 4 sn( α) sn( α) QR 4 sn( α) Portanto, a ára do quadrilátro [ PQRS ] é dada, m função d α, por: A( α) = 4cos( α) 4sn ( α) = 16sn( α) cos( α) Então, A( θ) = 16 sn( θ) cos( θ) Dtrminmos agora o valor ato d A( θ ) 1 Como 1+ tg θ = tgθ = tm-s: cos θ 1 1 1 1 + = 1 8 cos θ cos θ + = cos θ = 9 π Como θ 0,, cosθ > 0 consquntmnt cosθ = 1 Rcorrndo à fórmula fundamntal da trigonomtria podmos ntão scrvr: 1 1 8 sn θ + = 1 sn θ = 1 sn θ = 9 9 9 π Como θ 0,, sn θ > 0 consquntmnt 8 sn θ = = Logo o valor ato d A( θ ) é: A( θ) sn( θ) cos( θ) 1 = 16 = 16 = 9 Proposta da APM d rsolução da prova d Matmática A do nsino scundário, 1 d Julho d 014 Página 6 d 8
6 Comcmos por dtrminar as coordnadas dos pontos A B A é o ponto d intrscção do gráfico d f com o io das ordnadas, plo qu as suas coordnadas são 0, ( 0) f 0 Tm-s: f ( 0) = + 0 + 8= 1+ 8= 7 Assim, o ponto A tm coordnadas Dsignando por a abcissa do ponto B, as suas coordnadas são, 0,7 f, ou sja, o ponto B tm coordnadas, + + 8 f f 0 + + 8 7 Assim, o dcliv da rta AB é dado, m função d, por = 0 Como a rta AB tm dcliv - a abcissa do ponto B é a solução da quação 8 7 + + =, no intrvalo ] 0,10 ] Como > 0 tm-s: 8 7 = 8 7 8 7 Com o objtivo d rsolvr a quação 8 7 + + = +, com rcurso à calculadora gráfica, 8 obtv-s o gráfico da função f dfinida por y = + 7 (rta AB) f = + + a rta d quação O valor d qu vrifica a quação 8 7 + + = +, no intrvalo ] 0,10 ], é aproimadamnt 9, A abcissa do ponto B é ntão 9, 7 Afirmaçõs: I) A função h tm dois trmos rlativos Dtrminmos os zros d h, primira drivada da função h Como o domínio d h é IR tm-s: Proposta da APM d rsolução da prova d Matmática A do nsino scundário, 1 d Julho d 014 Página 7 d 8
f h = 0 = 0 f = 0 = = Estudmos o sinal d h Como > 0, IR o sinal d h só dpnd do sinal da função f + h + 0 + 0 h h( ) ( ) h Por obsrvação do quadro concluímos qu a função h é stritamnt crscnt m ],] stritamnt dcrscnt m [, + [, plo qu h ( ) é o único trmo rlativo d h Assim, a primira afirmação é falsa II) h ( ) = 0 Para calcular h ( ) dtrminmos a prssão analítica da sgunda drivada d h f f ( ) 4 ( ) ( f f ) f f f h = = = = f f f f = = = 4 4 Então, f ( ) f ( ) h = 4 Como a função f é drivávl m IR tm um trmo rlativo m Tm-s qu f ( ) = 0 pois - é um zro d f Portanto, h f f 0 0 = = = 0 4 4 Assim, a sgunda afirmação é vrdadira III) y + = 0 Dado qu h f = 0 = ntão é uma quação da assíntota do gráfico da função h quando tnd para + lim = concluímos qu y = é uma quação da assíntota do gráfico da função h + quando tnd para +, isto é, a rta d quação y = 0 é assíntota do gráfico da função h quando tnd para + Assim, a trcira afirmação é falsa FIM Proposta da APM d rsolução da prova d Matmática A do nsino scundário, 1 d Julho d 014 Página 8 d 8