Estatística 6 - Distribuiçõs d Probabilidad d Variávis Alatórias Contínuas 06 -
Distribuição Uniform Variávl alatória contínua podndo assumir qualqur valors dntro d um intrvalo [a,b] tal qu: f ( x) para a x b; f ( x) b a 0 para qualqur outro valor. Probabilidad da variávl assumir um valor num subintrvalo é a msma para qualqur outro subintrvalo d msmo comprimnto. E( X ) a b b a Var( X ) 06 -
Distribuição Exponncial Sja um fnômno d Poisson d parâmtro (númro d sucssos m um dtrminado intrvalo) Sja T o intrvalo dcorrido ntr dois sucssos conscutivos. Então T é uma variávl alatória com Distribuição Exponncial, com: f t ( t) para t 0; f ( t) 0 para t < 0. F( t) Pr( T t) t Pr( T t) t t 06-3
Distribuição Exponncial Distribuição Exponncial não tm mmória: Pr( T s t T s) Pr( T t) Por isso, é usada m modlos d duração d vida qu não dsgastam com o tmpo Mostra-s qu: E( T) tf ( t) dt 0 t t dt... Var ( T) [ t E( T)]. f ( t) dt t. t dt 06-4
Distribuição Exponncial Exmplo: Um componnt ltrônico, d marca A, tm duração d vida qu sgu uma Distribuição Exponncial com vida média d 00 horas um custo unitário d R$0,00. Qual a probabilidad d um componnt, d marca A, durar mais d 50 horas? Sja T A : duração da vida d um componnt A Prgunta : Pr( T A 50)? Sab-s qu: Pr( T A t) t Como a vida média é d 00 horas, ntão: E( T A ) 00 00 Logo: Pr( T A 50) 50 ( ) 00,5 0,3 06-5
Distribuição Exponncial Exmplo: Um componnt ltrônico, d marca A, tm duração d vida qu sgu uma Distribuição Exponncial com vida média d 00 horas um custo unitário d R$0,00. A marca B, dss componnt ltrônico, tm uma vida média d 00 horas um custo d R$5,00. Considr também a incidência d um custo adicional d R$8,00 s o componnt durar mnos d 00 horas, qualqur qu sja a marca Qual a marca mais conômica? Custo sprado da marca A: E( C A ) 0Pr( TA 00) (0 8) Pr( TA / 00). 00 0. ( 0 8).( 0. ( ( / 00). 00 8( Custo sprado da marca B: 00) ) ),3535,565 6,98. E( CB ) 5Pr( TB 00) (58) Pr( TB 5. 5. (/ 00).00 3.( 3.( (/ 00).00 ) ) 5,584,539 00) 0,057. Portanto: marca A é mais conômica! 06-6
Distribuição Normal ou d Gauss Dfinida pla sguint fdp: f ( x) / x - < x < + Importância prática: Normal é utilizada na modlagm d inúmras variávis ncontradas na ralidad Importância tórica: Torma das Combinaçõs Linars Torma do Limit Cntral 06-7
Distribuição Normal Importância Tórica Torma das Combinaçõs Linars: S X, X,..., X n são V.A. com Distr. NORMAL ntão n X ai Xi é V. A. NORMAL i ond: a i são constants Torma do Limit Cntral: S X, X,..., X n são V.A. Indpndnts, com Distribuição QUALQUER ntão n X ai Xi é V. A. NORMAL i para n suficintmnt grand 06-8
Como dtrminar a probabilidad da variávl assumir um valor m dado intrvalo [a, b]: P(a < X < b) =? - intgrar f(x) nss intrvalo (difícil! ) - utilizar tablas fazndo a sguint transformação linar: Z X E( X ) DP( X ) f(z) Distribuição Normal X X X TABELA Z: NORMAL REDUZIDA E( Z) 0 Var( Z) Pr( X X x0 ) Pr(0 Z z0 ) z Aproximação utilizando a Distr.Normal: Distr. BINOMIAL, para n suficintmnt grand: n.p 5 n.q 5 Distr. POISSON, para: ET ) t 5 Corrção d Continuidad dvido aprox. Distr. discrta pla Distr.Normal (contínua): Pr( X k) Prk X k Pr( K X k ) Prk X k 06-9
Z : Distribuição Normal Rduzida Z 0 Z Z X X X P( Z z ) P( X x ) 0 0 0 P ( K X k) Pk X k 06-0
Exmplo: Uma companhia mbala m cada caixa 5 pirs 5 xícaras. Os psos dos pirs distribum-s normalmnt com média d 90 g variância 00 g. Os psos das xícaras também são normais com média 70 g variância 50 g. O pso da mbalagm é praticamnt constant, igual a 00g. Qual a probabilidad da caixa psar mnos d 000 g? X = pso da xícaras Y = pso do pirs W = pso da mbalagm C = pso da caixa complta C W E Var P(C<000)=? 5 i i 5 X i Y 5 C E W E X E i i 5 i Y i i EW 5 EX 5 EY 00 570 590 900 E C 5 C VarE VarX VarY Var Distribuição Normal Considrando X Y variávis alatórias INDEPENDENTES, tm-s: Z Pr Pr X E( C) DP( C) i 5 i i E 5VarX 5Var( Y) 0550 500 50 z 000 i 000 900 50, 83 C 000 Pr( C 900) Pr(900 C 000) PrC 900 Pr( Z 0) 0, 5 por simtria Pr900 C 000 Pr0 Z,83 0, 4977 tabla C 000 0,5 0,4977 0, 9977 06 -
Qual a probabilidad d um pirs psar mnos qu uma xícara numa scolha ao acaso? W EY EX 90 70 g E 0 Var Distribuição Normal Exmplo: Uma companhia mbala m cada caixa 5 pirs 5 xícaras. Os psos dos pirs distribum-s normalmnt com média d 90 g variância 00 g. Os psos das xícaras também são normais com média 70 g variância 50 g. O pso da mbalagm é praticamnt constant, igual a 00g. X = pso da xícara Y = pso do pirs Sja W = Y X, logo a prgunta é: S X,Y indpndnts: Prgunta: P( Y X 0)? P( W 0) W VarY VarX 00 50 50g? z0 0 0, 65 50 0 P( W 0) P( 0 W 0) P W z 0 0 0 0 50 Pr( Z 0) P(,65 Z 0) 0, 5 P( 0 Z, 65) 0, 5 0397, 009, (por simtria) 06 -
Distribuição Gama Usada para rprsntar fnômnos limitados num xtrmo. Exmplos: - distribuição dos intrvalos d tmpos ntr rcalibraçõs d instrumntos - intrvalos d tmpos ntr compras d um itm stocado f ( x) x. x para x 0; f ( x) o para x<0. Ond: x x. dx 0 (Função Gama) s é intiro:! = = = 3 = 3 = 3 = E X Var X 06-3
Distribuição Bta Usada para rprsntar fnômnos limitados nos dois xtrmos. Exmplos: - distribuição da proporção da população ntr o mnor o maior valor da amostra - distribuição dos tmpos a srm gastos na xcução d uma tarfa f x x x para 0 x f x 0 para x < 0 x > 3,0,0 = 5 =,5 = 5 = 5 =,5 = 5 = 0,5 = 0,5,0 0,0 0,5,0 E X Var X 06-4
Distribuição Log-Normal Usada quando o logarítmo da variávl sgu uma Distribuição Normal. f / logx x x para x 0 f x 0 para x<0 = 0 = = 0,3 = = = / E X Var X 06-5
06-6 A distribuição d Wibull é muito similar à distribuição gama, tndo o msmo uso t t t f t 0 ) ( = = =3 x / / ) ( ) ( X Var X E Distribuição Wibull f(x) ond (dito taxa d falha) são constants positivas.
Exrcício 6. 06-7
Exrcício 6. Continuação 06-8