Unidade F. Limites. Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE

9 Unidade F Limites Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE

9. Noção de ites Quando queremos saber a ordenada do ponto em uma função, cuja lei é y= f(), em que = a, basta calcularmos f(a). O ponto (a,f(a)) pertencerá ao gráfico de f. Agora é muito diferente querer investigar qual a tendência das ordenadas da função quando se aproimam cada vez mais de um determinado valor a. O primeiro implica que a pertença ao domínio da função, o segundo não. Eemplo: Seja f: R R, cuja lei é f () ² 6 9,., Tem-se f() =, agora quando se aproima cada vez mais de, o que acontece com os f()? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaio.,5,9,99,999 - f() 5 4,5,,0,00 + f() Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproimamos mais do =, mais os f() se aproimam de. Notação: (f ) Observação: )Esse processo não nos dá garantias do resultado do ite, pois para ter essa certeza deveríamos testar todas as formas de nos aproimarmos de =. E quantas formas eistem de fazer isso? Infinitas. Por isso, para o cálculo dos ites vamos nos basear em teoremas que nos garantam certos resultados. )O gráfico desta função está abaio. Com o gráfico pronto conseguimos associar o comportamento do gráfico com o ite. Os f() tendem a zero quando tende a, mas f()=. ) Vemos também a noção de ites laterais. Se analisarmos a tendência dos f() quando se aproimam de a, mas por valores menores que a, definem o ite lateral a esquerda. Denotamos por f( ). a Se analisarmos a tendência dos f() quando se aproimam de a, mas por valores maiores que a, definem o ite lateral a direita. Denotamos por f( ). ², Eemplo: Seja f: R R, cuja lei é f ()., Tem-se f() =, agora quando se aproima cada vez mais de, o que acontece com os f()? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaio. a,5,9,99,999,9999 - f(),5,,0,00,000 + f() Isso tudo nos dá a ideia de que se nos aproimamos de =, não há um comportamento único dos f(), assim não há ite. Notação: f( )

9 Note como faz diferença nos aproimarmos de pela esquerda ou pela direita. Trabalharemos mais adiante com a definição de função contínua. A função do eemplo e este nos diz que a função é descontínua, pois em uma valor do seu domínio o gráfico é partido. Proposição : Se o ite de uma função eiste, então ele é único. Isso significa que, se ao nos aproimarmos de um certo valor de de maneiras diferentes e os f() se aproimarem de valores distintos o ite não eiste. Essa proposição é importante para provarmos quando um ite não eiste. Corolário : (f ) L (f ) L (f ) a a Qualquer maneira que nos aproimemos de a, ou por valores maiores que a, ou valores menores que a, se o ite eiste (e é único) o resultado deve ser o mesmo. sen, 0 Eemplo : Seja f: R R, cuja lei é f ()., 0 Tem-se f(0) =, agora quando se aproima de 0, o que acontece com os f(). Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaio. Observação, como dependemos da função seno, deve ser em radianos. a 0,5 0, 0,0 0,00 0,000 0 + f() - -0,5-0, -0,0-0,00-0,000 0 - f() Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproimamos mais do = 0, mais os f() se aproimam de. Notação: 0 f() Essa função também não seria contínua. Eemplo 4: Seja f: R R, cuja lei é f() = ². Investigaremos o ite quando -. Tem-se f(-) =, agora quando se aproima de -, o que acontece com os f()? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaio.

94 - -,5 -, -,0 -,00 -,000 - - f() 0-0,5-0,9-0,99-0,999-0,9999 - + f() Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproimamos mais do = -, mais os f() se aproimam de. f() = Podemos observar que a tendência dos f() é a mesma que f(-). Observação: A diferença do eemplo 4 para os anteriores é que esta função é continua em = -, onde o ite é investigado. Noção de função continua Todas esses gráficos são de funções de domínio real. Analisando seu domínio o gráfico das três primeiras são formadas pelo conjunto de duas ou mais linhas. Já o quarto, formado de uma linha só. Isso dá a ideia que as três primeiras são descontínuas e a quarta é contínua. Isso por si só não constitui a definição de continuidade porque pode haver caso que a função tenha alguma restrição no domínio

95 e consequentemente terá seu gráfico formado por mais de uma linha. Por eemplo, a função: f: R* R*, cuja lei é f(). Não há divisão por zero, logo = 0 não está definido para esta função. Não há gráfico em = 0 (eio oy). Assim obrigatoriamente o gráfico da função será formado por duas linhas. Uma para < 0 e outra para > 0. Em cada parte do seu domínio a função é contínua. Formada por uma linha, assim a função no seu domínio é contínua. Só há sentido em definir continuidade dentro do domínio da função. Não há sentido analisar a continuidade de = 0 na função citada acima. Já sabemos que, considerando todos os reais, ela falha porque não eiste divisão por zero. Não há dúvida sobre isso. Analisar a continuidade é verificar DENTRO DO DOMÍNIO da validade da função, se há a característica de partes desconeas do gráfico. Definição : Dizemos que uma função é contínua em = a se, e somente se: f() f(a). a Isso nos dá uma vantagem automática. Conhecendo o gráfico de uma função, se quisermos investigar o ite em um certo = a, em que a D(f), sabemos o resultado do ite, é f(a). Então no caso de funções contínuas, sabemos CALCULAR LIMITES E NÃO APENAS A NOÇÃO de que valor os f() se aproimam quando se aproima de um a. Eemplo: Calcule: a) (²) b) sen() c) 5 d) ln() 0 Noção de ite infinito e no infinito Limites no infinito são investigações sobre o comportamento dos f() quando aumenta sem itação e assim dizemos que +, ou quando diminui sem itação e assim dizemos que -. Inicialmente para termos a ideia, voltaremos às tabelas. Já podemos dizer que o resultado do ite é, se os f() aumentarem sem itação f() +, ou diminuírem sem itação f() -.

96 Eemplo : Seja a função f: R R cuja lei é f() =. Já sabemos qual é o comportamento dessa função, pois estudamos o seu gráfico. Sabemos que o gráfico é crescente (a>), cresce muito a medida que cresce. O eio o é assíntota do gráfico, pois os valores de y se aproimam de zero quanto menor o (negativos). Nessas duas características do gráfico podemos observar o que constataremos nas tabelas. 0 5 0 50 00 + f() -0-5 -0-50 -00 - f() Há a ideia que quando -, f() 0 e quando +, f() +., 0 Eemplo : Seja a função f: R R definida pela lei f() =., 0 Investigaremos o ite quando 0. Não sabemos se essa função é contínua, então não podemos calcular seu ite. 0,5 0, 0,0 0,00 0 + f() - -0,5-0, -0,0-0,00 0 - f() a) Noção de f() 0 b) Noção de f() c) f() 0 0 0 5 0 50 00 + f() -0-5 -0-50 -00 - f() d) Noção de f() e) Noção de f() f) Gráfico: Considerando que as intuições estão certas podemos ter a ideia de como é o gráfico da função e já sabemos que é descontínua no = 0.

97 Observação: Reforçando: preencher tabelas não nos garante o resultado do ite. Nos dá apenas uma ideia. A única vantagem é quando o ite não eiste, pois se temos maneiras diferentes de nos aproimarmos de um mesmo valor, tendências distintas seriam impossíveis se houvesse o ite. Eemplo : Seja a função f: R R definida pela lei f() = Investigaremos o ite quando 0 sen, 0. 0, 0 0, 0,0 0,00 0,000 0,0000 0 + f() -0, -0,0-0,00-0,000-0,0000 0 - f() Noção de 0 f() / / /0 /00 /000 0 + f() -/ -/ -/0 -/00 -/000 0 - f() Ou seja, f( ) 0. 4 Definição e cálculo de ites

98 Temos que ver resultados que nos possibilitem calcular ites. A definição demanda conhecimento básico matemático muito maior. Mostraremos em nível de curiosidade. Definição 4: a f() L Eiste tal que a < implique f() L <, para tão pequeno quanto se queira. Proposição 5: a a Demonstração: Basta tomar =, pois a = f() L. Considerando a <, temos - a = f() L < =, logo implica que f() L < e assim a a. Observação: Para resolvermos um ite por definição temos que ter um candidato a solução o que não ajuda no seu cálculo. Assim, veremos alguns resultados e toma-los como base. Proposição 6: k k A função f: R R, cuja lei é f() = k é uma função contínua, pois é uma função afim, cujo gráfico é uma reta paralela ao eio o. Assim, (f ) (f ) k. Os ites podem ser até no infinito, o resultado é o mesmo. Proposição 7: (i) (ii) Proposição 8:,f() 0 f() 0 f(),f() 0 Eemplos: Calcule os ites abaio: a) 0 b) 0 c) 0 d) e) Gráfico da função f: R* R*, cuja lei é f() = é:

99 Teorema 9: Álgebra dos ites. Se (a) (f ) g() L M a (b) (f ) g() L M (c) (d) a f() L a g() M cf() cl a Eemplo: a) 5 desde que g() e M 0 f() a L ; g() M a e c R, então: b) ² 5 sen c) Proposição 0: Se p é polinômio qualquer, para todo a R: (p ) (p a) a Eemplo: Calcule os ites abaio: 4 7² (a) (b) (c) 5² 8 0 4 9 6² 7 ² 9

00 Proposição : Teorema da raiz: Se p() é um polinômio e a é uma raiz deste polinômio, ou seja, p(a)=o, então p() é divisível por - a. Eemplo: p()= ³ - + No que isso pode ajudar a calcular ites? Ajuda nos casos de 0 indeterminação. 0 Eemplos: ³ (a) ² (b) ³ (c)

0 Proposição : Considere k um número inteiro maior que, L um número real. k k (a) Se k for ímpar e f() L, então f() L. a a k k (b) Se k for par e f() L, então f() L para L > 0. a a (c) Se k for par e f() 0, então k f() 0 para f() > 0. a a Proposição : Considere L um número real. Se a f() L, então (f ) L. a Eemplo: Calcules os ites abaio: (a) ² 4 (b) ² 4 (c) log 4 5 Limites Laterais, continuidade e mais alguns resultados de ites finitos Se no eemplo (c) anterior, o ite lateral não fosse definido, não determinaríamos o resultado do ite com tanta facilidade, ou ainda, o ite poderia não eistir se os laterais fossem diferentes. Nos casos que não é tão fácil saber o resultado de um ite lateral podemos usar o velho recurso de troca de variável. Considere h 0, sempre com h > 0. Limite lateral à esquerda: Trocar por a h, então: (f ) (f a h) a h 0 Observação: Se h 0 + e = a h, então a - Limite lateral à direita: Trocar por a + h, então: (f ) (f a h) a h 0 Observação: Se h 0 + e = a + h, então a + Eemplo : Calcule os ites indicados fazendo a troca de variáveis correspondente. (a.) (a.)

0 (a.) (b.) 9 ² (b.) 9 ² (b.) 9 ² (c) ² 8 6 4 Eemplo : Calcule os ites laterais indicados e conclua se a função é contínua. 0, 0 (a) Em relação a f: R R, cuja lei é f() =, 0 (a.) 0 (a.) 0 (a.) É contínua em = 0? (a.4) Esboce seu gráfico:

0, (b) Considere f()=, calcule os ites laterais: ², (b.) f( ) (b.) f( ) (b.) A função é contínua em =? Atenção: Funções definidas apenas por uma sentença são sempre contínuas no seu domínio. Há perigo de uma função ser descontínua se for definida por mais de uma sentença. Nesse caso os pontos suspeitos são os pontos em que há a mudança na lei de formação. Eemplos: Verifique a continuidade das funções abaio em seu domínio., (a) f () ²,

04 (b) f (), ², Proposição 4: Se f() L n n e n uma constante natural, então f() L Eemplos: a) 5 b) sen Proposição 5: Se f() L e g() M g() M, então f() L, desde que L e M não sejam nulos ao mesmo tempo (indeterminação 0 0 ) ou L = 0 e M < 0 (proposição 8). Eemplos: a) cos b) sen log c) Observação: O ite lateral a direita do eemplo c não eiste, pois o domínio da função é D=],[],[. 6 Limites infinitos e no infinito Já trabalhamos com a noção de ites infinitos e no infinito e alguns resultados. Agora trabalharemos algumas proposições em decorrência do que estudamos e sabemos de funções e a importante álgebra dos ites infinitos. Proposição 6: São verdadeiras, em decorrência das funções eponencial e logarítmicas estudadas: (a) a 0 e log se a > (b) (c) (d) 0 a e log a e log a 0 e 0 a log a a a se a > se 0 < a < se 0 < a <

05 Proposição 7: Álgebra dos ites infinitos: Se d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então: (a) (f ) (b) (c) (d) (f ) g() cf() df() (e) (f ) g() (f) f c () (f ) ; g() ; c e Proposição 8: Álgebra dos ites infinitos: Se d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então: (a) f() (b) (c) (d) (f ) g() cf() df() (e) (f ) g() (f ) ; g() ; c e Observação: Descrever todas as combinações possíveis de ites infinitos com constantes e ites finitos geraria uma lista muito longa. Podemos deduzir o resultado desde que não caíamos numa indeterminação:, -, 0, 0,, 0. ou 0 0. Aqui, quando se fala em 0 ou em está subentendido que são funções que possuem este ite, não o próprio número 0 ou o próprio número, neste caso não há indeterminação. Eemplos: a) 4 b) log log ² 0 c) (² ) d) (² ) e) (³ ² 8 )

06 f) 7 9 4 4 4 g) 0 70 6 5 4² h) 6 4 5 6 6 7 4 4 i) 4 4 6 4 5 6 4

07 j) ² 6 k) log 6 5 l) Observação: Os infinitos são infinitos de formas diferentes. Eistem infinitos que diante de outros infinitos se comportam como se fossem constantes. Para ter ideia do tamanho dos infinitos preencheremos a tabela abaio: log! 0 00 000 0000 Colocando em ordem crescente: Eemplos: Calcule os seguinte ites: (a) (b)!

08 7. Limites Fundamentais Os ites fundamentais resolvem algumas indeterminações importantes, que não teríamos artifícios para chegar nos mesmos resultados, então tomamos como verdades. Aproveitamos para trabalhar outras indeterminações: 0,,, 0, 0, 0 Antes de passar ao estudo dos ites fundamentais, veremos mais dois resultados de ites que nos ajudarão a compreender mais os ites assim como os fundamentais. Teorema 9: Teorema do Confronto: Se f(), g() e h() são funções tais que f() < g() < h() para todo e (f ) h() L, então g() L. sen Eemplo: 0 Usaremos o teorema do confronto, ou seja, encontraremos funções f, g, h que satisfaçam o teorema e ao mesmo tempo que sen g(). Relacionaremos o triângulo OAP, o setor circular OAP e o triângulo OAT. Observe na figura que: Área(OCP) < Àrea(S(OAP)) < Área(OAT) Assim, considerando em radianos: OA PC OA OA TA < < sen < < tan sen Multiplicando tudo por e substituindo tan: sen < < cos Dividindo tudo por sen, considerando sen>0, IQ: < sen < cos sen Invertendo os membros da desigualdade: cos < < sen Tudo isso para definirmos f() = cos, g() = e h() =. Pelo teorema do confronto com a condição: f() h() 0 o, tem-se g(). cqd Para chegarmos ao resultado do primeiro ite fundamental, precisaríamos fazer esse ite pela esquerda. Todo o procedimento é semelhante e chegaríamos ao mesmo resultado. Proposição 0: Se f() é uma função itada, ou seja, para todo D(f), temse f() < k, sendo k uma constante positiva, e: (a) g() 0, então (f ) g() 0. (b) g() Eemplos: sen a), então f() g(). o

09 b) cos sen Proposição : 0 Indeterminação 0 0. Eemplos: sen a) 0 sen b) 0 sen5 cos c) 0 sen sen( ) d) Proposição : k e k Indeterminação. Eemplos: a) b) c) ln( ) ln

0 d) Proposição : k 0 k e Indeterminação. Eemplos: a) 0 b) 4sen 0 sen c) ln 0 Proposição 4: 0 k a k ln a Indeterminação 0 0. Eemplos:. Calcule os ites abaio: a a) 0 a b b) 0

a e c) a a. Verifique a continuidade da função:, sen( ) f() e, 8. Eercícios. Calcule os ites abaio: 5 4 7 9 - - 0 0 4-4- 4 ² 0² 7 4 5-4 6-6 ² 6 5 7- ² 8-4 4 ² 6 9-9 9 0-6 5 8 4² ³ 5 - - 9² 5 - tan sec 4- ² 0

5-0 ² 6-0 4 tan 7-8- (sen cotan) 0 9-0 cos 0-5 4-5 7 0 - - 8 4-0 a e sena b e senb Calcule os ites laterais das funções abaio; nos valores indicados. Determine se o ite para a tendência indicada eiste., 0 5- f (),para 0 6- g(), para, 0 7- h(), para 0 ² 8- f(), para ² 9- g(), para ( )² Eamine a continuidade das funções com domínio R, nos pontos indicados:,, 0 0- f() ( )² - g(), 0, 0 - h(),, - f(),, sen, 0 4- g(), 0 5- e, 0 h() sen, sen,