CPÍULO nálise de Pós-opimização e de Sensibilidade. Inrodução Uma das arefas mais delicadas no desenvolvimeno práico dos modelos de PL, relaciona-se com a obenção de esimaivas credíveis para os parâmeros envolvidos : elemenos da mariz (a i ), ermos independenes das resrições (b i ) e os coeficienes da função obecivo (c ). Iso porque raramene eses parâmeros são conhecidos com exacidão, uma vez que se rabalha com esimaivas ou previsões, cuos valores são suposos consanes ao longo do período em análise. Como muio raramene esa siuação se verifica, é imporane conhecer o comporameno da solução ópima do problema face à variação nalgum ou nalguns dos seus parâmeros. Exisem muias siuações reais, como por exemplo : mesmo modelo aplicado periodicamene na deerminação da solução ópima, cua formalização se maném no essencial, apenas havendo de ausar alguns dos seus parâmeros, siuação que, convenienemene explorada, evia a resolução a parir do início, erro de formalização ou ocorrência de novas siuações, ornando-se necessário inroduzir novas resrições ou novas acividades (variáveis), a solução do problema não permie deecar a exisência de esrangulamenos nos recursos, revelando-se de ineresse um ipo de análise que evidencie possíveis soluções endenes ao desbloqueameno desas siuações : novos invesimenos, políicas de markeing, ec., decisor er conhecimeno de soluções que não sendo o ópimo, represenam possíveis soluções para o problema real, permiindo, além disso, uma visão mais ampla das consequências da decisão,
6 nálise de pós-opimização faco de muios parâmeros poderem ser alerados, que usificam o ineresse e a imporância dum ipo de análise que incorpore no modelo a incereza com que a realidade se manifesa, permiindo ao mesmo empo uma visão mais alargada do conuno de soluções quando ocorrem alerações do ipo indicado. Para al, exisem dois ipos de análise : de pós-opimização e de sensibilidade. Nos casos que se irão esudar, considera-se que o problema de PL a er em cona é do ipo de maximização, para o qual o quadro Simplex ópimo, apresena a seguine esruura : x x N 2º m. I m N b b z c 0 C C Z C b Por ouro lado, os exemplos a apresenar esão odos relacionados com o problema da empresa de mobiliário de escriório, resolvido no capíulo dedicado ao méodo Simplex. Para eses exemplos, apenas ineressa o quadro correspondene à solução ópima (úlimo quadro Simplex), que é o seguine : 2. nálise de pós-opimização x x 2 x x x 2º m. x 0 0 2 60 x 2 0 0 / 60 x 0 0 0 60 z c 0 0 0 / 0 Na análise de pós-opimização é abordado o impaco na solução ópima de alerações discreas nos parâmeros do modelo : alerações dos coeficienes da FO, dos ermos independenes e dos coeficienes da mariz, inrodução de novas variáveis e de novas resrições. N 2.. leração dos coeficienes da função obecivo c Uma aleração dos coeficienes da FO pode alerar a solução ópima á obida, sem conudo pôr em causa a sua admissibilidade. S ópima do problema é dada por, b o que permie concluir que uma aleração dos coeficienes da FO nunca afecará a admissibilidade (primal) da solução ópima á obida.
nálise de pós-opimização 7 Por ouro lado, o criério da opimalidade coninua a ser saisfeio para z c 0, (, 2, L, n), se podendo haver violação daquele criério, e consequenemene, da nova solução ópima. Porano, apenas há aleração nalguns, ou em odos, os elemenos da linha (z c ), conforme a aleração se verifica num coeficiene duma VN ou V, respecivamene. ssim, sea δ a aleração no coeficiene c k, manendo-se os resanes parâmeros do modelo inalerados : C [ 0... 0 δ 0... 0 ]. 2... x k não perence à base (é VN) Nese caso, apenas o elemeno k da linha (z c ) virá alerado : z k ( c + δ) (z c δ c k zk k k k ) Se ( zk ck ) δ 0 (ou δ zk ck ) enão a solução maném-se ópima; caso conrário, aplica-se o algorimo Simplex, porque a solução á obida deixou de ser ópima. 2..2. x k perence à base (é V) Nese caso, como C C + C com C [0... 0 δ 0... 0] (c k é o r-ésimo elemeno de C ), odos os elemenos da linha (z c ) virão alerados, com excepção para os elemenos associados às variáveis básicas, que permanecem nulos. Porano, para índice de VN em-se : ( C c ) + C (z c ) + C ( z c ) C c C + C c Z C C + C Z * + C Z * + C b ou enão, uma vez que C apenas em um elemeno não nulo na posição r ( z c ) (z c ) + δ. a e r Z Z * + δ.xr δ. br, pois C δ.xr δ. br Se o criério do ópimo ainda se verificar (z c 0,,..., n), enão a solução ópima maném-se, havendo apenas aleração no valor da FO; caso conrário, aplica-se o algorimo Simplex. 2... Exemplo Suponha-se que as margens bruas uniárias das secreárias decresceu para u.m. e as das esanes subiu para u.m. Ou sea, a FO foi alerada de Z 6 x + x 2 para Z x + x 2 Desa forma, como as variáveis x e x 2 perencem à base ópima, C C + C com C [c c 2 c ] [0 6] e C [0 2 2]
8 nálise de pós-opimização há que recalcular a linha z c para índice de VN : 2 ( z c ) (z c ) + C + [ 0 2 2]. 0 + 0 + + 0 [ 0 2 2]. [ 2 ] + (0 2 2) ( z c ) (z c ) + C + [ 0 2 2]. [ 60 60 60] 0 + (0 + 20 20) 90 Z Z * + C 0 + ( ou Z Z * + δ2 x2 + δ x 0 + 2 60 + ( 2) 60 0 + 20 20 90 ) Desa forma, o novo quadro é o seguine : x x 2 x x x 2º m. x 0 0 2 60 x 2 0 0 / 60 x 0 0 0 60 z c 0 0 0 / 90 Como z c 0, a solução deixou de ser ópima, pois á não verifica o criério de opimalidade. plicando o algorimo (primal) Simplex, obém-se um novo quadro : x x 2 x x x 2º m. x 0 0 /2 /2 80 x 2 0 /2 / 0 0 x 0 /2 /2 0 80 z c 0 0 /2 / 0 020 que corresponde a uma solução ópima (nova solução ópima para o problema). 2.2. leração dos ermos independenes das resrições b i Nese caso, não será afecada linha (z c ), pelo que a solução maném-se admissível para o problema dual. No enano, ao alerar-se os ermos independenes (b) ambém serão alerados os elemenos do vecor dos segundos membros ( ), assim como o valor da solução (Z ). Desa forma, conclui-se que se a nova solução,, permanecer admissível ( 0), enão esa solução ambém ópima; se for violada a admissibilidade enão em-se que aplicar o méodo dual Simplex, uma vez que esa solução é não admissível para o primal e admissível para o dual. Sea b k o ermo independene a sofrer uma aleração de δ, manendo-se os resanes parâmeros inalerados : b b + b, com b [0... 0 δ 0... 0] (δ ocupa a posição k). em-se enão a nova solução associada à mesma base : b ( b + b) b + b + b,
nálise de pós-opimização 9 Z C C + C b Z * + C b. ssim, se + b 0 (a nova solução permanece admissível), enão é ambém ópima, havendo apenas aleração no valor da FO para, Z C Z * + C b caso conrário, aplica-se o algorimo Dual Simplex, á que o criério do ópimo não é violado. Exemplo : Suponha-se que o ermo independene da resrição 2 (UM) foi alerado de 880 para 280 ( b 2 280 (00 + 880) δ 00 ), iso é, o número de HH disponíveis nesa Unidade sofreu um acréscimo de 00. nova solução associada à mesma base é : + 60 b 60 + 0 60 0 / 0 2 0 60 00 20 00 60 + 00 60 0 60 0 60 [ 0 6]. [ 00 00 0] 0 + (0 + 00 + 0) 0 Z Z * + C b 0 + (ou C [ 0 6]. [ 20 60 60] 0 + 80 + 960 0 Z ) Como a nova solução deixou de ser admissível (x 20), é necessário aplicar o algorimo Dual Simplex, ao quadro ópimo, que é o seguine : x x 2 x x x 2º m. x 0 0 2 20 x 2 0 0 / 60 x 0 0 0 60 z c 0 0 0 / 0 plicando aquele algorimo ao quadro de anerior, obém-se o seguine quadro : x x 2 x x x 2º m. x 0 0 2 20 x 2 0 / 0 /2 00 x 0 0 0 60 z c 0 0 / 0 9/2 260 Como os ermos independenes são odos não negaivos, a solução obida é admissível, logo é ópima do problema primal. Porano, a solução ópima é a seguine :
60 nálise de pós-opimização * (60, 00, 0, 20, 0) Z max 260. 2.. lerações dos coeficienes da mariz das resrições [a i ] Sea δ a variação sofrida pelo coeficiene a k, manendo-se odos os resanes parâmeros do modelo inalerados. Porano, a coluna, passará a er os seguines valores : [ a... a ] + [ 0... 0 δ 0... ] + m 0. aleração dese parâmero provoca aleração na represenação do mesmo vecor em ermos da base ópima,, logo, ambém em z c. acualização do quadro ópima é feia da seguine forma: ( + ) + + ( z c ) + C ( z c ) C c C + C c. 2... a k perence à mariz associada às variáveis não básicas Uma vez que a k é coeficiene dum vecor que não perence à base, enão se ( z c ) 0, a solução permanece ópima; caso conrário, aplica-se o algorimo (primal) Simplex, uma vez que a solução deixou de ser ópima. 2..2. a k perence à mariz associada às variáveis básicas aleração numa coluna da mariz, que ambém perence à mariz da base ópima,, conduz a uma nova -, logo, a um novo quadro Simplex. Porano, após a inrodução do novo vecor de ese ser ransformado numa coluna de I m, pois qualquer uma das seguines siuações : é S do primal ( b i 0 ) e do dual (z c 0), logo é ópima,, e perence a, o novo quadro pode verificar é S do primal, mas não admissível para o dual aplicar o algorimo primal Simplex para a obenção da nova solução ópima, é SN do primal, mas admissível para o dual recorrer ao algorimo dual Simplex, é SN para o primal e para o dual resolver de inicio o novo problema. 2... Exemplo Suponha-se que o vecor associado à produção de esanes foi alerado de 2 [ 0] para 2 [8 0], iso é, aumenou em a quanidade de HM das UE, necessárias à produção de uma esane. em-se enão :
nálise de pós-opimização 6 2 2 + 2 0 + 0 0 0 0 2 0. 0 + 0 0 0 0 0 2 2 z 2 c 2 c [ 0 6]. [ 0] (0 + + 0) 0 C. Porano, o quadro Simplex ópimo será acualizado para o seguine : x x 2 x x x 2º m. x 0 2 60 x 2 0 0 / 60 x 0 0 0 60 z c 0 0 0 / 0 Mas como a nova coluna 2 não é uma das da mariz idenidade, o que em que aconecer, erá que se recorrer às operações de condensação para que [ 0 ] : L L L. Como 2 0 2, para al que x é VN, sofreu aleração, enão ambém z c foi alerado, uma vez que z c C c (para al que x é V, z c 0 ), assim como Z C b, pois b sofreu aleração. Porano, em-se : [ 0 6] [ 2 / 0] 0 / z c C c [ 0 6] [ 6 ] 0 + 6 z c C c [ 0 6] [ 80 60 60] 0 + 80 + 960 0 Z C b Desa forma, o quadro anerior passará a ser o seguine : x x 2 x x x 2º m. x 0 0 2 6 80 x 2 0 0 / 60 x 0 0 0 60 z c 0 0 0 / 0 Ese quadro corresponde a uma SN do primal, mas admissível para o dual, logo é necessário aplicar o algorimo Dual Simplex para a obenção da nova solução. O novo quadro é o seguine : x x 2 x x x 2º m. x 0 0 /2 0 x 2 0 /8 0 / 0 x 0 0 0 60 z c 0 0 /8 0 2/ 0 Ese quadro corresponde a uma S para o primal e para o dual; logo é ópima.
62 nálise de pós-opimização Porano, a solução ópima do problema alerado é : * (60, 0, 0, 0, 0) Z* 0. 2.. Inrodução de uma variável inrodução de uma nova variável, x n+, no problema, significa a passagem ao novo problema, que é o seguine : Maximizar Sueio a n Z c x + cn+ xn+ n ai x + ai n+ xn+ bi ( i, 2, L, m) x 0 (, 2, L, n) xn+ 0 de que a solução ópima do problema consiui uma S com x n+ como VN, logo nula (x n+ 0). em-se enão, n+ n+. Por ouro lado, em-se z n+ c n+ C n+ cn+ e, aendendo a que os resanes elemenos da linha (z c ) permanecem não negaivos com a inrodução de uma nova VN, enão a solução á obida permanece ópima se zn+ cn+ 0; caso conrário, aplica-se o algorimo primal Simplex inroduzindo o vecor n+ na base. Exemplo : Em resposa à soliciação de alguns clienes, a empresa decidiu analisar a implicação da produção de um novo produo mesas de rabalho. produção uniária dese novo produo requer HM da UE e 2 HH na UM, não esando previsa qualquer limiação de mercado. margem brua uniária esimada é de 000$00.
nálise de pós-opimização 6 formalização do problema com a inclusão dese novo produo, na forma padrão vem : Maximizar Z 6 x + x 2 + x 6 Sueio a 2 x + x 2 + x + x 6 720 x + x 2 + x + 2 x 6 880 x + x 60 x, x 2, x, x, x, x 6 0 possibilidade de produzir mesas de rabalho raduz-se na inrodução, no modelo inicial, da coluna 6 [ 2 0] e da margem brua na FO, c 6. ssim, deermina-se 6 z 2 6 0 2 2 0 0 0 0 [ 0 6] [ 0] 2 2 6 c6 C 6 c6 Como z 0 a solução deixa de ser ópima. Desa forma, o quadro Simplex ópimo 6 c 6 < 7 2 acualizado (inrodução de e z ) é o seguine : 6 6 c 6 x x 2 x x x x 6 2º m. x 0 0 2 60 x 2 0 0 / /2 60 x 0 0 0 0 60 z c 0 0 0 / 7/2 0 plicando o algorimo primal Simplex, em-se : x x 2 x x x x 6 2º m. x 0 2 {2 0 0 x 6 0 2 0 /2 2 20 x 0 0 0 0 60 z c 0 7 0 /2 0 60 Como esa solução não é ópima, em-se que aplicar mais uma vez o mesmo algorimo : x x 2 x x x x 6 2º m. x 0 /2 / /8 0 0 x 6 0 /2 / 0 0 x /2 / /8 0 0 0 z c 0 0 0 600 Como ese quadro corresponde à solução ópima, o processo ermina. solução ópima é :
6 nálise de pós-opimização * (0, 0, 0, 0, 0, 20) Z* 600 o que significa que se deve anular a produção de esanes ( x 2 0 ) e produzir apenas secreárias ( x 0 ) e mesas de rabalho ( x 6 0 ), obendo-se uma margem brua mensal de 600 conos. 2.. Inrodução de uma resrição inrodução de uma nova resrição não alera o gradiene da FO, mas pode resringir o conuno das soluções admissíveis do problema original. Porano, pode-se concluir que o valor da FO, na solução ópima do novo problema, nunca será melhor que o correspondene do problema original. Desa forma, o º passo consise em verificar se a solução ópima á obida saisfaz a nova resrição. Em caso afirmaivo, aquela solução permanece ópima para o novo problema e o processo ermina; caso conrário, há que deerminar a nova solução ópima. endendo a que (represenação na base ópima do vecor ) e b, o passo a ser efecuado quando a solução ópima á obida não saisfaz a nova resrição, consise em: inroduzir no quadro ópimo do problema original uma linha com os coeficienes das variáveis x (, 2,..., n) da nova resrição, inroduzir uma coluna correspondene à variável slack ou arificial associada à nova resrição, inroduzir o vecor correspondene à variável acrescenada na base, proceder às operações de condensação necessárias para que consiua efecivamene uma base, iso é, inscrever uma mariz idenidade associada aos vecores da base. Desa forma obém-se a solução básica associada à base, e que será sempre não admissível. O passo seguine depende do ipo de resrição e do valor assumido pela nova V : aplicar-se o algorimo Primal Simplex, Dual Simplex, do MGrande ou das DuasFase, conforme as necessidades. No enano, se forem inroduzidas mais do que uma resrição, o melhor será aplicar direcamene o méodo Simplex ao novo problema. Exemplo : dmia-se que a Direcção de Markeing da empresa, após um esudo de mercado, concluiu que serão vendidas, por mês, pelo menos 00. solução ópima á obida, x 2 60, não saisfaz a nova resrição, x 2 00, havendo que deerminar a nova solução ópima do problema. Inroduzindo no quadro ópimo uma linha correspondene à nova resrição á na forma padrão e com uma coluna 6 correspondene ao novo vecor resulane daquela esandardização: nova resrição : x 2 x 6 00 x 2 + x 6 00
nálise de sensibilidade 6 [ 0], pois [ 0] 6 6 6 O quadro acualizado é o seguine : x x 2 x x x x 6 2º m. x 0 0 2 0 60 x 2 0 0 / 0 60 x 0 0 0 0 60 x 6 0 0 0 0 00 z c 0 0 0 / 0 0 Como se verifica, é necessário recuperar a base, iso é, ransformar 2 num vecor uniário; para al, ome-se x 22 como pivo e aplique-se o méodo de GaussJordan : L + L 2. x x 2 x x x x 6 2º m. x 0 0 2 0 60 x 2 0 0 / 0 60 x 0 0 0 0 60 x 6 0 0 0 / 0 z c 0 0 0 / 0 0 plicando o algorimo Dual Simplex, em-se : x x 2 x x x x 6 2º m. x 0 0 /2 0 2 80 x 2 0 0 0 0 00 x 0 0 / 0 20 x 0 0 0 / 0 z c 0 0 0 /2 0 020 Como ese quadro corresponde à solução ópima, o processo ermina. solução ópima é : * (20, 00, 80, 0, 0, 0) Z* 020 correspondendo à produção de esanes ao menor nível possível, x 2 00 e, como consequência, reduz-se a produção de secreárias, x 20. margem brua oal é de 020 conos mensais.. nálise de sensibilidade O obecivo dese ipo de análise é deerminar os inervalos de variação para os parâmeros que não envolvam aleração de esruura da solução ópima á enconrada, omados isoladamene.
66 nálise de sensibilidade.. Em relação aos coeficienes da função obecivo c Nesa secção serão analisados os coeficienes da função obecivo, deerminando qual a variação, nos dois senidos, que podem sofrer eses coeficienes sem que isso implique mudança de base. Esa análise será efecuada, considerando, separadamene, os coeficienes das variáveis básicas e não básicas na solução ópima.... O coeficiene é duma variável não básica c k Como a solução é ópima, verifica-se o seguine : z c 0, I (I conuno das índices das V). Sea δ a variação que se preende deerminar de c k. Como x k é VN (na solução ópima), qualquer variação em c k em implicações apenas em ( z é necessário que k c k ). Para que a base se manenha ópima, z k c k z k (c k + δ) 0 z k c k δ 0 (ou δ z k c k ) Logo, a variação para o coeficiene c k é dada por < δ z k c k ou < c k z k significando que, se o novo valor de c k não for superior a z k, a base ópima maném-se...2. O coeficiene é duma variável básica c k Por x k ser V, a variação δ no coeficiene c k, geralmene raduz-se em alerações em odos o z, logo, em odos os elemenos ( z ). No enano, como z 0, para I, resa apenas analisar c c os elemenos ( z c ) para I (correspondenes às VN). Sea C [ 0... 0 δ 0... 0 ] (c k é o r-ésimo elemeno de C ) ( z c ) C c ( C + C ) c C c + C (z c ) + C em que C δ. a r, I endendo ao criério de ópimo, em-se ( z c ) (z c ) + C 0 C ( z c ) Porano, a base (e ambém a solução primal) permanece ópima, para qualquer valor perencene a c k, os quais êm que verificar o seguine sisema : r ( z c ), I δ. a
nálise de sensibilidade 67 Quano à função obecivo, o novo valor deermina-se mediane a seguine expressão : Z C C + C Z * + C Logo, o valor do ópimo esará compreendido enre Z * + δ.x * r Z * + δ. b r * Z Z * + min ( δ). xr e Z * + max ( δ). xr em que é o valor da FO na solução ópima * e é r-ésimo elemeno de *. Exemplo : Efecuar a análise de sensibilidade à margem brua uniária das secreárias, c. x x 2 x x x 2º m. x 0 0 2 60 x 2 0 0 / 60 x 0 0 0 60 z c 0 0 0 / 0 Como x é V na solução ópima, os elemenos que sofrem aleração são x e x, porque são VN : ( z ( z c ) (z c ) + C [ 0 0 δ ] + x r. 0 + 0 [ 0 0 δ].[ 2 ] + δ c ) (z c ) + C + Logo, para que a solução coninue a ser ópima, é necessário que δ. 0 δ. Dese modo, δ R δ δ < + 6 + () c < + ou c < +. Oura forma de calcular é a uilizar apenas os elemenos assinalados no quadro : δ. a δ. a ( z c ) ( z c ) Por ouro lado, o valor ópimo da função obecivo esá compreendido enre : 0 + () 60 660 e + (z* 0, x 60 )..2. Em relação aos ermos independenes b i Nese caso, preende-se ober o inervalo de variação para o ermo independene de uma resrição, preservando a base ópima (maner a admissibilidade da solução primal). Sendo a base ópima, sabe-se que b 0.
68 nálise de sensibilidade Sea δ a variação de b k e b a correspondene variação do vecor b, iso é, b [0... 0 δ 0... 0] (δ é o i-ésimo elemeno). nova solução associada à mesma base será é dada por : ( b + b) b + b + b. Para garanir a permanência da base ópima,, e porano da respeciva solução ópima, é necessário garanir a admissibilidade desa nova solução, iso é, + b 0. Designando por p i o elemeno (i, ) da mariz - e por x * i o valor assumido na solução ópima pela i-ésima variável básica (segundo a ordem na base), enão em-se : x + p k. δ 0, I (p k é a k-ésima coluna da mariz - ) Face à aleração de δ, o novo valor da função obecivo ( ) δ C b + b C b + C b z * + p.. Logo, o valor ópimo da FO varia enre k z + ( δ) e z + (z c ). max ( δ) ( zr cr ). min r r em que r é o índice da variável que esá associada à coluna k de. Exemplo : Efecuar a análise de sensibilidade à disponibilidade mensal da UM, b 2 (δ) x x 2 x x x 2º m. x 0 0 2 60 x 2 0 0 / 60 x 0 0 0 60 z c 0 0 0 / 0 Os elemenos assinalados (2ª coluna de -, solução ópima e z c /) permiem calcular os valores para b 2. ssim : 60 + ( ) δ 0 δ 60 60 + / δ 0 δ 20 60 + 0 δ 0 Dese modo, 880 + (20) b 2 880 + 60 ou 20 δ 60 60 b 2 00 e o valor ópimo da função obecivo esá enre 0 + ( 20) 960 e 0 + 60 260 (z* 0, c ) z