VLU GTI esoluções de tividdes Sumáio pítulo Geometi de posição... pítulo Tiângulo etângulo... 4. pítulo ojeções, ângulos e distâncis... 7 pítulo oliedos... 9 pítulo Uniddes de áes e uniddes de volume... pítulo 7 isms.... pítulo 4 olígonos... 4. 0 ) ostuldo, pois os postuldos são consttções que não necessitm se compovds p que sejm consideds veddeis. ) onto, et e plno. c) Teoems. 0 pítulo omo o polongmento é infinito nos dois sentidos e em dus dimensões (compimento e lgu), temos idei de plno, elemento geomético infinito com dus dimensões. 0 ) Infinits. c) Infinitos. ) Tês ets. d) L (V), L (V) e L (V). 04 ) L () e L (G) (dois plnos). Note que L () = L () e L (G) = L (GH). ) São 8 vétices ("cntos") e cd vétice pode se ligdo os outos 7 vétices, deteminndo 7 ets. Logo, o totl de ets sei 8 7 =.. oém, cd et está sendo contd dus vezes. o eemplo, é igul. Logo, teemos. : = 8 ets. 0 eteminm sete plnos. lém dos plnos ds fces, temos os plnos que contém s digonis e d se, juntmente com o vétice V. Geometi de posição tividdes p Sl pág. 4 tividdes oposts ág. 4 s sete plnos detemindos são: L(), L(V), L(V), L(V), L(V), L(V) e L(V). V (F) ois pontos distintos deteminm um únic et que pss po eles. (V) (V) 0 inteseção de um plno com um fce (quddo) do cuo é um segmento. ssim, o polígono tem seis ldos, é um heágono. Vej: Sendo cm medid do ldo do heágono, temos: I) N fce (quddo) do cuo: =cm = + =8 = 8 = cm cm cm II) eímeto do heágono egul = = 8 cm 0 ess com tês pens não lnçm poque tês pontos não colinees deteminm um único plno (ostuldo d eteminção de lno). 04 odemos imgin um piâmide n qul se é um pentágono egul, cujos vétices são os pontos,,, e. ponto V é o vétice d piâmide (ponto fo do plno d se). V 0 F, V, V, F, V, F, V, V (F) ponto, et e o plno são eemplos de conceitos pimitivos. (V) (V) (F) o dois pontos distintos, pss um únic et. (V) ssim, dente esses seis pontos, não eistem tês linhdos; s ets deteminds po dois quisque desses pontos são distints. São els: Séie nsino édio
VLU GTI s cinco ets que contêm s cinco quins inclinds (ests lteis): V,V, V,V e V s cinco ets que contêm os cinco ldos do pentágono (ests d se):,,, e. s cinco ets que contêm s cinco digonis do pentágono (digonis d se):,,, e. plno que contém o pentágono destcdo (polígono de ldos) divide piâmide em dus ptes. onsidendo um desss ptes, o pentágono destcdo seá um de sus fces. o todo, são + + = ets. odemos, tmém, cont esss ets de out mnei. d um dos seis pontos pode se ligdo cinco pontos (cd um dos seis pontos detemin cinco ets). í, teímos. = 0 ets. esse modo, poém, cd et foi contd dus vezes ( et V, po eemplo, foi contd no ponto e, novmente, no ponto V). ssim, o númeo coeto de ets deteminds é =. 0 odemos imgin um piâmide n qul se é um pentágono egul, cujos vétices são os pontos,,,,. ponto V é o vétice d piâmide (ponto fo do plno d se). V 09 d um dos 8 vétices pode se ligdo os 7 outos, deteminndo 7 ets. Seim, potnto, 8 7 =. ets. No entnto, dess mnei, cd et foi contd dus vezes. í, temos: númeo de ets = 8 7 = 8. 0 Temos o plno d se, os seis plnos ds fces lteis e mis os plnos detemindos po cd um ds ( ) = 9 digonis do heágono e o vétice V d piâmide. Totl = +. + 9 =. plnos. tividdes p Sl pág. 7 F V ssim, os cinco pontos coplnes,,,, deteminm um mesmo plno (o plno d se d piâmide). Qulque outo plno detemindo deve conte o ponto V e dois pontos d se, são eles: L (V), L (V), L (V), L (V), L (V), L (V),L (V), L (V), L (V) e L (V). o todo, temos + 0 = plnos detemindos. 0 F, V, F, F, V, V 07 08 (F) plelogmo é um egião limitd pelos ldos. plno é ilimitdo. (V) (F) Tês pontos deteminm um et, se os mesmos estiveem linhdos. (F) Tês pontos não linhdos deteminm um plno. (V) (V) s pontos d digonl petencem o quddo, ms et que contém digonl tem pontos fo do quddo. s fces d piâmide são 4. tiângulos e um quddo (se). inteseção de um plno com cd um ds fces é um segmento de et. omo o plno inteceptá s cinco fces, o cote povocdo pelo plno seá um polígono de cinco ldos ( segmentos de et). 0 F, V, V, F, F (F) s pontos podem se linhdos. (V) Tês pontos coincidentes estão em um plno; tês pontos linhdos estão em um et e ess et está contid em um plno; tês pontos não linhdos deteminm um plno. (V) et só pode se secnte o plno, contid no plno ou plelo ele. et secnte o plno tem pens um ponto em comum com o plno, e plel não contid no plno não tem nenhum ponto em comum soou pens et contid no plno. (F) ense em um piâmide de se tingul, eistem quto fces (quto plnos). (F) s ets, e F do enuncido d questão seguinte, po eemplo, são plels ente si; no entnto, não estão contids tods em um mesmo plno. 0 ) ets H e GF. 0 ) ets F e HG. c) lno (G). sevção: podem se escolhids tês quisque ds quto lets,, G, H, em qulque odem, p identific o plno. Sendo n o númeo máimo de ftis otids com n cotes, note que: Séie nsino édio
VLU GTI Um cote (et ) dividiá o olo em dus ftis (egiões e ); 0 Há eclipse com o linhmento do Sol, d Te e d Lu. Logo, s ets SL etl são plels coincidentes. ou sej: = egiões. ois cotes (ets e ) dividião o olo em quto ftis (egiões,, e 4. ); ou sej: = + = + = 4. egiões. 4. Tês cotes (ets,, ) dividião o plno em sete egiões (,,..., 7 ); 4.. 7 ou sej: = + = + + = 7 egiões. Seguindo o pdão sugeido, temos que: 4. = + 4. 4. = + + + 4. = egiões. esse modo, cinco cotes deteminão, no máimo: = 4. + = + + + 4. + =. egiões (ftis). 04 pdão d questão nteio sugee que o númeo de ftis otids ( n ) com n cotes pode se ddo po: n = + ( + + 4. +... + n) í, podemos dize que: n = + ( + + + 4. +... + n) n = + ( + n) n 0 0 Logo, 0 = + ( + ) =. 0 I. Fundmentlmente, o pedeio utilizou um dos postuldos d deteminção de um plno: "tês pontos não colinees (s tliscs) deteminm um plno". II. us ets concoentes deteminm um plno. pedeio pssou égu po dus tliscs hoizontis de cd vez. Se s ets deteminds pels tliscs são hoizontis e concoentes, o plno detemindo po els (o contpiso) tmém seá hoizontl. tividdes oposts pág. 8 0 Note o pdão seguinte, em que n indic o númeo máimo de egiões p n ets: 04 = = 4. = + = 7 = 4. + = + + 4. = = 7 + 4. = + + + 4. Seguindo o pdão temos: n = + ( + + 4. +... + n) n = + ( + + +... + n) ( + nn ) n = + í, = + n+ n n + n 4.0 = 0 = +.80 =.8 n = ± 4 n = 0 n = (não convém) Logo, estão sendo consideds 0 ets. tlh com plnos pependicules, nd melho que o plelepípedo etângulo ("um ci de sptos"). onsidee, então, figu seguinte eltiv o enuncido, onde u é um et contid em pependicul à et s, pssndo em. u' nlisndo s fimtivs, temos: p ' I) Veddei. et s é pependicul dus ets concoentes ( e u) do plno, então s é pependicul o plno. II) Veddei. et s é pependicul o plno, então qulque et de fom 90º com et s (qulque et de é pependicul ou otogonl à et s). omo et t, contid em, é coente à et s, t e s são ets pependicules. III) Veddei. et s é, pependicul o plno, então qulque plno que contenh s é pependicul. s u t s 0 4. ests (,, e H). Note que est não é eves à et, pois eiste o plno (FG) contendo e ( // ). q t considee e t. Séie nsino édio
VLU GTI Note que medid do ângulo ente os plnos e q é medid do ângulo ente s ets e s, isto é, t q = Âs = 90º. IV) Veddei. Vej, n figu, o plno p plelo o plno. 0 ) Se s ets e s são plels distints, eiste um único plno pssndo po e s. ntão, é um conjunto unitáio. Se s ets são plels coincidentes, então = = ) Se e s são ets evess, não eiste um plno po els. Logo, = φ. 0 onsidee o plelepípedo etângulo seguinte. I) Veddei. seve os plnos plelos () e (FGH) inteceptdos pelo plno (H), s inteseções são s ets e s. Note que e s contids no mesmo plno (H) e s = ø; e s são plels. II) Fls. seve os plnos plelos () e (FGH). et F está contid no plno (FGH), et = está contid no plno () e, no entnto, e F são evess. III) Fls. seve et GH plel os plnos () e (F); esses plnos são secntes e não plelos. IV) Veddei. Vej justifictiv d fimtiv II. 07 tetedo (piâmide de se tingul) tem. ests. onsidendo est, tods s outs ests são concoentes (têm um plno em comum), eceto est que é eves. Temos, então, pes de ests evess: o p : e o p : e o p : e ut solução: o p e é o mesmo p e ; cd est pesent pens um est eves e são. ests. São. =. pes, ms cd p foi contdo dus vezes. í: N o de pes = = 08 G H ) Fls. Se os pontos foem linhdos, os plnos que os contêm podem se secntes. ) Fls. Vej figu do plelepípedo seguinte. s ets e s são pependicules t e não são plels, ms concoentes. F s 0 c) Veddei. É um dos csos de deteminção do plno. d) Flso. Vej os plnos, e no plelepípedo seguinte. pes de eles stisfzeem condição, os plnos e não são plelos. seve n figu que d é pependicul o plno (X), si detemindo pels ets coentes e c. ssim, d fom 90º com qulque et do plno (X), ou sej, d é pependicul à et s. pítulo c s u : plno d fce fontl : plno d fce supeio : plno d fce à dieit tividdes p Sl v Tiângulo etângulo tiângulo T é etngul em T. í, temos: h θ e) Fls. Vej s ets u e v plels o plno, n justifictiv do item nteio. 09 F, F, F, F, V 0 (F) e s não têm ponto comum; então e s podem se evess. (F) us ets plels distints sempe deteminm um plno. (F) Um et está contid em infinitos plnos distintos. (F) Tês pontos não colinees deteminm um plno. (V) d s (linh do hoizonte) t senθ = Te = senθ + h senθ + h 4 Séie nsino édio
VLU GTI ( senθ) = h senθ hsen θ í, = senθ 0 Qundo o diâmeto do cículo é ldo do tiângulo inscito, o tiângulo é etângulo e o diâmeto é hipotenus. ompletndo, então, os tiângulos etângulos, temos: ). = 4 + ( ) ( ) ( ) = + = ( + ) = 4 ( ) ( ) = ( ) = 4 í, = ( + ) ( ) = ( ) = metos 04 onsidendo os ddos d figu seguinte, temos: lculndo o cosseno de nos tiângulos e : cos α= = 4. =. = 9 ) 4 4.00m lculndo o seno de nos tiângulos e : sen = 4 =. = 4. 4. 0 = 0 4 í, = ou = 4. (não convém). Logo, =. I) tgβ = = = k e= k II) k tgα = = = 400 + 400 + k 0k = 400 + k k =00 í, =00 e =.00. 0 onsidendo os ddos d figu seguinte, temos: 0 Sendo medid do ldo do quddo e medid do io, temos: 4. 0º 4.º,70 I) = ( + )m II) igonis dos quddos (mio e meno): ed = = III) igonl do quddo mio = (4. ios) + (digonl do quddo meno) I) tg4.º = = = 7, II) tg0º = = = + 4 + 4 8 = 7, +, 8, =, 8 =, í, ltu d toe é +,70 =.,9m. Séie nsino édio
VLU GTI tividdes oposts 04 ompletndo o tiângulo etângulo, temos: 0 ompletndo o tiângulo etângulo, temos: 7km º 0cm d km km senº = 0 = 0,0 0,0 = 0 =.00cm =.m 0 onsidee figu segui, em que, e c são os ldos pocudos. km km m h n c d = + d = + 4.4. d = I) Fom ddos: m n = 7, isto é, m = n + 7 e h =. h n II) tgα= = h = m n m h ( n+ 7) n= 44 n + 7n 44 = 0 í, n = 9 ou n =. (não convém). III) m = n + 7 m = 9 + 7 =. IV) h =. 9 h = V) = m + n =. + 9 = VI) cos = m = =. = 0 VIII) sen = c n = c = 9 c = c 0 onsidee figu seguinte eltiv o polem. S 4. d d 4. 0 80º t z Temos: d = + d = (4. ) + 4. + = 8 +. +. 8 = =,87km = 87m I) ^ = 80 º = 90º (ângulo inscito) II) = +.9 4.4. = = III) cos = z = z = 44 IV) sen = = = V) tg = t 44 0 = t = t = = z t esposts: =, = 44 0, z = e t =. 0 onsidee o seguinte modelo mtemático, eltivo à situção polem. 7 Usndo o Teoem de itágos, temos: = (7 ) + Q Séie nsino édio
VLU GTI.9 = + = 4.4. = 07 estquemos os tiângulos etângulos fomdos ns situções inicil e finl. L =,9m I) () = + = 4. = II) Ldo do quddo mio : + 4. = + = = 7 = 7 ( ) + = 7 ( ) = 7 = 7 + h =,m 09 h =,m d = (,9,4.)m plicndo itágos no pimeio tiângulo: h 0º 80m.0º 0º 80m,80m + h = L +, =, =, 9 =,. m sen.0º = = 80 = 40 7, = 9, m 80 h =.9, +,8 = 7m plicndo itágos no segundo tiângulo: d = h + d +, =, d =.,, = 4. d = m 0 m 4.º L ompndo os dois tiângulos: = d =,. =,.m 08 onsidendo s ets que pssm nos centos dos cículos e sendo = 7 medid do ldo do quddo fonecido, otemos outo quddo de ldo +. Vej: 4.º + = = pítulo 0º sen0º = L = L ojeções, ângulos e distâncis 4. tividdes p Sl pág. 0 0 Fonte luminos 7cm 4. 8cm 4. cm d + (do: = 7) I) = 7 +. 4.9 = = 7. = 4. Séie nsino édio 7
VLU GTI II) tg = 7 4 4 = + d 7 ( + d) = 4. 4. 4 + d = 4. d = 4.8 d = cm 0 Sendo = medid d pojeção otogonl d escd (segmento ) soe o piso infeio (plno ), temos: ( 4 ) = + = = = 4cm X 4. 0 onsidendo o plno plelo o solo, pssndo pelos pontos e, temos que pojeção otogonl d c, soe esse plno F, é um losngo cujos ldos são = = F = F = ; e o ponto de enconto ds digonis desse losngo () é pojeção otogonl do ponto médio do segmento. í, temos: = 4. + = X F X 0 Sendo pojeção otogonl do ponto soe o plno, temos o tiângulo, etângulo em, confome figu. t I) = 4 (ltu do equiláteo) = m II) = = m 0 estcndo o tiângulo, temos: III) No tiângulo : ( ) = ( ) = ( ) + = m 0 8 IV) F = = 4.m (F é um etângulo, os ldos opostos são plelos e iguis). V) s digonis de um losngo cotm-se mutumente o meio e são pependicules. í: F sen = 0 8 = 0 = 90 = 9cm 04 distânci ente dus ets evess e s é distânci ente um ponto qulque d et e o plno plelo que contém s. No cso, pode se distânci de o plno, ou sej, pode se medid = =. Áe F = 4 4 = m omo o plno F é plelo o solo, pojeção soe o solo é igul à pojeção soe o plno F. 8 Séie nsino édio
VLU GTI tividdes oposts pág. 0 onsidendo os ddos d figu seguinte, temos:.cm. m ' 4.cm m q 8m distânci do ponto o plno é =. í, temos: I) + + = 8 = m II) tgq = = tgθ m m. = 4. + =. 4. =(. + 4.) (. 4.) = 0 =0cm 0 Sendo metos ltu do poste, temos:, m 8º 0 distânci ente dus ets evess e é distânci ente um ponto qulque d et e o plno plelo que contém. No cso, pode se distânci de o plno, ou sej, medid = = F. onsidendo o tiângulo F, etângulo em, temos: 0cm F 0 I) + + 90º = + 8º + 90º = 8º II) sen =, sen8 =, o =0,4 0,4 =,0 = 0 4 = m evido à gnde distânci do Sol à Te, os ios soles são considedos plelos, fomndo um mesmo ângulo com um plno hoizontl (o solo). í, temos: ( ) = + 0 900 = = = cm cm,.0 m (Som),4.m 0 onsidendo o segmento N, pependicul o segmento, temos: I) N figu II: F.m N F (Som) 4.m tg α = 4m =,m,4m = 4 4m m 4.m.m m,4.m = 4m=0m 04 Sendo pojeção otogonl do ponto soe o plno, temos: N =,4.m e = 4, m = 7, m II) N figu I: Séie nsino édio 9
VLU GTI 09 ' 0º.0º = = m =,me =h III) Teoem de itágos: () = (') + (') (,7) = (,) + h,89 =, + h h = 0,.4. h = 0,8m Tg0º = = 4 = 4 + =, logo, áe d tmp seá: = π ( ) = 08πm 0 d fomig, em dus hos, pecoeá.km (ve figu): ' 07. S.km.km km ' Logo, =. + 9 = 7 km 08 I) = +. =. II) = + ( ) =. + 0 = 9 Sendo um ponto do qudo e N = S = = (io d Te, io do qudo), temos no tiângulo NS : 0 tividdes p Sl pág. 0cm.cm io ligndo o olo Note (N) o olo Sul (S) N ' θ Q 0 S Q' ' ' I) 0 =. + = 4.00. = cm N II) cosθ = 0 = 0 = 0 onsidendo um plno pependicul os pisos pssndo pel mp, temos seguinte secção et: mp iso supeio S S S tgβ= = = S = NS N ' iso infeio.m m Logo, o io d pojeção esteeogáfic é um cicunfeênci de cento S e de io igul S =. í, temos: 0 Séie nsino édio
VLU GTI 0 sen = m m = ssim, = 0º (gudo) e = 80º 0º = 0º (otuso) Sendo pojeção otogonl de soe o plno, secção et do diedo, pssndo em, ge o tiângulo, etângulo em, confome figu seguinte: í, temos: I) tgθ = (' = ) = = = θ II) Teoem de itágos no tiângulo : = ( ) + = Logo, = = ' 04 olongndo coente e ligndo os pontos de tngênci o cento, temos: I) =.0º 0 = 0º q ' í, = = m II) ltu V é pependicul o plno d se, então V fom 90º com qulque et desse plno. ssim, é pojeção otogonl de V soe o piso e o ângulo de medid que V fom com é o ângulo que vet V fom com o piso. m V m m m í, cos = 0 0m = α = º 0m ) Sendo o ponto médio do ldo, s ltus dos tiângulos e V seão, espectivmente, e V. ssim, o ângulo de medid que e V fomm ente si é o ângulo fomdo pelos plnos d fce ltel (V) e do piso (plno ). Note que et é inteseção desses plnos. m V 0 m 0m Temos: I) = (ltu do tiângulo equiláteo de ldo m) II) Teoem de itágos no V: (V) = () + (V) 0 = + (V) V = 7 = (ltu d c) III) tg = V = = 0º + 0 II) sen0 = + 0 = + 0 + 0 = = 0cm 0 ) Temos: I) N se, o tiângulo é equiláteo. tividdes oposts pág. 7 0 Sendo medid d est do cuo, temos: F H G I) segmento G é pojeção otogonl de G, então = G é o ângulo que G fom com o plno FGH. Séie nsino édio
VLU GTI 0 0 II) = III) tg = (digonl do quddo) 4, = tgα = 070, e codo com tel, = Ligndo os pontos de tngênci o cento d esfe e sendo distânci ente o cento d esfe e est do diedo, temos: I) α = 4. α = II) senº = 4 4 = 0, 0, = 4 = 0 9 cm, onsidendo secção et do diedo que pss em,,, temos: 4º 4. 4. 0 0 ) Flso, pois pojetndo otogonlmente os etemos do segmento, otemos um figu limitd (começo e fim); semiet é ilimitd em um ds dieções. ) Flso, pois se et é pependicul o plno, pojeção otogonl é um ponto. c) Flso, pois, ptindo do vétice, páol é infinit nos dois sentidos; dependendo d posição d páol, pojeção otogonl podeá se um semiet, n qul oigem é pojeção do vétice, ms um segmento de et (com começo e fim) pojeção otogonl não pode se. d) Flso, pois pojeção otogonl de cd ldo (segmento) é um segmento de et ou um ponto; no máimo, pojeção otogonl do tiângulo teá tês ldos. e) Veddeio, pois se o plno que contém cicunfeênci fo pependicul o plno, pojeção d cicunfeênci coincidiá com pojeção do diâmeto plelo. s tês plnos, pependicules ente si dois dois, deteminm 8 egiões ( ense em um cnto de pede e polongue s dus pedes e o piso ;peceão oito sls, sendo quto no piso supeio e quto no piso infeio). p + 90º + 90º + 4.º =.0º = º m cd egião, é possível coloc pens um esfe tngencindo os tês plnos. 04 onsidendo digonl do cuo concoente com est G, clculemos o seno de = G ^, n figu seguinte. p São, potnto, 8 esfes. F 07 ) sevndo s figus, temos: V H G I) = (digonl do quddo) II) () = + () = ( ) + () = = senα= = = = Séie nsino édio
VLU GTI se:.0º I) = (digonl do quddo de ldo ) = m II) V = = m (o tiângulo V é equiláteo) III) V (ltu) é pependicul o plno do piso, então V é pependicul qulque et do piso. ssim, o tiângulo V é etângulo em. í: (V) = () + (V) = ( ) + (V) 4. = (V) V = ) ângulo fomdo pel vet e o plno do piso é o ângulo que fom com su pojeção otogonl soe o piso. í, temos: senα = α = 4º c) et é pependicul o plno V, então et é pependicul tod et do plno V, et é pependicul à et V. ssim, o ângulo ente e V é o ângulo diedo fomdo pelos plnos d fce ltel V e do piso, confome most figu: tgβ = = cosβ = = 08 onsidendo o tpézio contido no plno, confome s figus seguintes, temos:.0º V V V 09 I) No tiângulo : tg.0º = = = II) Teoem de itágos: = ( ) + ( ) = 4. + ( ) = + = = III) segmento é pependicul o plno, então fom 90º com tod et de. ssim, é pependicul o segmento, o tiângulo é etângulo em. í: k = ( ) + k = = 4 heágono egul é composto de seis tiângulos equiláteos conguentes. í, temos: V (lno hoizontl) I) = = (o tiângulo é equiláteo de ldo = ) II) Teoem de itágos no tiângulo V: (V) = () + (V).9 = 4.4. + (V) V = m III) = ssim, otemos: = m (ltu do tiângulo equiláteo) Inclinção do telhdo = tg = V = Inclinção do telhdo = tg = = = 049, ( 7, ) 0, 49 Inclinção do telhdo = tg = 049, = = 49% 00 (mio que 4.%) e codo com tel, inclinção deve se, no mínimo, 0% e, no máimo, 4.%. io de 0% ocoe etono de águ (pouco inclindo) e cim de 4.% ocoe escoegmento de telh (muito inclindo). Logo, o telhdo pode pesent escoegmento de telhs. k (io) Séie nsino édio
VLU GTI 0 onsidendo um diâmeto, temos:.0º.0º 0 olongndo o io sol que pss no cento d Te, temos: ios de Sol plelos 7.º Q.0º.0º ' º ' I) Sendo o disco plelo o piso, um mesmo io sol fom ângulos iguis com o disco e com o piso. ssim, o diâmeto do disco é plelo o diâmeto d som. II) evido à enome distânci do Sol à Te, os ios soles podem se considedos plelos. ssim, é um plelogmo e, potnto, = = 4.cm (ldos opostos iguis). Logo, áe d som é mesm do disco, ou sej: Áe = p = 4.pcm I) = e = 7. (coespondentes de ets plels) II) Q = + = 99 III) eg de tês: edid do co ompimento do (em gus) co (km).0... 4.0 000 (qudo) 99... o 40 000 0 40 000 40 40 000 = = = = 000 99º 40 0 s digonis de um etângulo são iguis e cotm-se o meio. Tçndo digonl, temos: pítulo 4 olígonos tividdes p Sl pág. 7 0 onsidee s ets //s////, temos os ângulos ltenos intenos iguis. Note que p cd ângulo dento ds ets plels e, eiste outo lteno inteno igul, olhndo p o ldo contáio. í, p os ângulos dento ds plels e, temos: I) Som dos ângulos que olhm p dieit = som dos ângulos que olhm p esqued. 90º + ( + ) = (90º + ) + 90º + 70º = 0º + = 0º II) + = 80º = 0º s I) = = ( é equiláteo) II) e são medins do ; ssim, é icento. Logo, = e =. III) + = + = = otnto, = = 0 04 I) s ses médis de um tiângulo o dividem em quto tiângulos conguentes. Logo, esses tiângulos têm mesm áe. onsidendo os pontos médios ds digonis do qudiláteo inicil, temos: S X X 4.X + 4.Y = 0 000 X + Y = 7 00 Y X X Y Y Y Q 4 Séie nsino édio
VLU GTI II) S K K K W W K W Q W 0 onsidendo os ângulo dento ds plels e F, temos: // // s // F 4.K + 4.W = 0 000 K + Y = 7 00 III) Sendo T áe pocud: X W S T Q 0 Som dos ângulos que olhm p cim = som dos ângulos que olhm p io. + ( + ) = ( + ) + 4.0º + = 9.º + º = 08º ompletndo o tiângulo, temos: F K Y c^ ^ 4.0º â 0 T + (X + Y) + (K + W) = 0 000 T + 7 00 + 7 00 = 0 000 T = 7 000 ponto do plno do tiângulo que fic igul distânci dos vétices (ds css) é o cicuncento (cento d cicunfeênci cicunscit) e distânci igul é o io. Vej: 04 I) = c + 4.0 (ângulo eteno do tiângulo) II) + + = 80 (som dos ângulos intenos do ) + + c + 4.0 = 80 S + 4.0 = 80 S = 4.0 m um etângulo, s digonis são iguis e cotm-se o meio. í, temos tiângulos isósceles cujos ângulos d se são iguis. tividdes oposts pág. 7 0 onsidendo figu seguinte, temos: s 7º I) = 7 (coespondentes) II) = (opostos pelo vétice) III) + + 90 = 80 7 + + 90 = 80 = 8 ' = + (ângulo eteno do tiângulo) = (0 ) = 4.0 0 s ângulos e são iguis, pois =, enqunto os ângulos e são iguis, pois =. 0º I) ângulo é eteno o tiângulo : = +. II) ângulo é eteno o tiângulo : + = + 0º ( + α)+ = α + 0º = 0º =0º Séie nsino édio
VLU GTI 0 Temos o seguinte modelo mtemático, onde o tiângulo é isósceles de se : 7 7 q q N q q Q z 07 I) + ( + 0 ) + ( + 0 ) =.0 (um volt) = 00 = 00 II) + + = 80 08 00 + = 80 = 4.0 0º Temos: 0 0.0ºº h 7º 7º 7º I) ^ = ^ = 7º (coespondentes de ets plels) e ^ = = 7º ( é isósceles de se ). II) No tiângulo :  + 7 + 7 = 80  = 0 III)Tçndo ltu (h) eltiv o ldo : sen0 = h = h = 0 0 í, ltu d pip seá 0 + = m Sendo G o icento, teemos: 09 G Semos que =, então: + = = 4. í, G = = 8 + 0º + 0º s issetizes dividem os espectivos ângulos o meio. í, temos: 9 I) = Q = α en = = θ ( e são issetizes) II) Q = = α; = Q = α e = N = θ; N = = θ (ltenos intenos de ets plels) III)s tiângulos e Q são isósceles de se e os tiângulos N e são isósceles de se. í: = = = e N = N = N = 7 Logo, o peímeto N = + N + N = ( ) + ( + ) + (7 )= cm IV)Q e N são plelogmos (pesentm os ldos opostos plelos), e os plelogmos têm os ldos opostos, lém de plelos, iguis. í, Q = = e = N =. Logo, o peímeto N = + z + = = 9cm otnto, zão pocud é = cm 4 9cm = 0 s ses médis do tiângulo o dividem em quto tiângulos conguentes. Logo, eles têm mesm áe. í, temos: I) Áe = 4. II) III) 4. 4. 4. 4..... Áe = 4. (4.) =. Áe = 4. (.) =.4. IV) Áe somed = + 4. +. = V) zão = 4 = 4 tividdes p Sl pág. 8 0 Tçndo s digonis de mesmo vétice do heágono, otemos 4. tiângulos. Séie nsino édio
VLU GTI 0 0 som dos. ângulos intenos do heágono coesponde à som dos ângulos intenos dos 4. tiângulos. ssim, som dos ângulos intenos do heágono seá: S i = 4. (80 ) = 70 e modo gel, p um polígono de n ldos, som dos ângulos intenos é S i = (n ) 80. No cso, S i =(. ) 80 = 70 Tçndo um pependicul às ets e s, temos um heágono. g d s Som dos ângulos intenos = + + l + d + 90 + 90 = (. ) 80 + + l + d = 70 80 = 4.0 Sendo n o númeo de ldos do polígono..., o seu númeo de digonis seá d = nn ( ). evemos te: ( ) = nn I) d = n n omo n o, fzendo os devidos cncelmentos, otemos: n = n = 8 ( n ) 80º ( 8 ) 80º II) i = i = i = º n 8 III) Som dos ângulos intenos do pentágono = 90º + i + i + 90º + ( ) 80º = 80º + i + () 80º = 80º + 70º + 40º 40º = = 90º editiz 04 o heágono egul: i i editiz de 0 II) pótem = = ldo = = cm) = o quddo: = cm (ltu do tiângulo equiláteo de I) = (digonl do quddo de ldo ) () = 4 = = II) = = = cm (ldo do quddo) o tiângulo equiláteo: c c c cm (pótem do quddo) I) = (popiedde do icento; no tiângulo equiláteo, cicuncento = icento). = =.cm (pótem do tiângulo equiláteo) II) + = c (ltu do tiângulo equiláteo de ldo ) +.= c c = = cm (ldo do tiângulo equiláteo) m um tiângulo equiláteo, o cicuncento () coincide com o icento. í, temos: v 4.0cm h 0.0cm I) Ldo = = = cm (ddo) Séie nsino édio 7
VLU GTI I) + = 0 ( é ltu e medin do equiláteo). = 0 = 0 e = 0 II) Teoem de itágos no V: (V) = () + h 4.0 = (0 ) + h.00 = 00 + h h = 0cm Logo, ltu totl é,0m + 0cm = 0cm + 0cm = 70cm 04 Ângulos de T tiângulos = n (.0 ) + (som dos ângulos intenos do pentágono) T (80 ) =.0 n + ( ) 80 ividindo-se po 80, otemos: T = n + i i i q 0 tividdes oposts pág. 8 d N I) Ângulos intenos do tiângulo: + + = 80 + = 80 II) Ângulos intenos do qudiláteo: + d + + =.0 + d + ( + ) =.0 + d + (80 ) =.0 + d +.0 =.0 + d = 0 ( I) i = n ) 80º ( ) 80º = = 08º n II) i + i + i + θ =.0 4. + θ =.0 θ =. som dos ângulos intenos o edo de um ponto deve se igul.0. ângulo inteno de um octógono é. I) Usndo um octógono em tono de um ponto, ficm fltndo.0 = (não é divisível po nenhum dos ângulos ddos, não convém). II) Usndo dois octógonos em tono de um ponto, ficm fltndo.0 ( ) = 90 (pode se peenchido com um quddo) Logo, p peenche todos os espços em tono de um ponto, sem soeposição, podemos utiliz dois octógonos e um quddo. Vej: 0 Sendo medid do ângulo inteno emnescente (não somdo), devemos te: Som dos n ângulos = 900 + = (n ) 80 nde devemos te: n inteio mio ou igul. = 80 n.0 900 80 n =.0 + 0 < < 80 ( é ângulo inteno do polígono) Isso most que.0 + é múltiplo de 80 e mio que.0 (é igul 80 vezes o inteio n). ividmos, então,.0 po 80.0º 80 ssim, o múltiplo de 80, póimo e mio que.0 é (80) = 4.0. í, temos: 80 n = 40 n = 0 + = 40 = 80 0 seve, no eemplo ddo, que o edo de cd olh temos.0 e que som dos ângulos intenos dos tiângulos otidos equivle à som dos ângulos o edo ds olhs, mis som dos ângulos intenos do pentágono. í, devemos te: d ângulo inteno do octógono egul mede e cd ângulo inteno do quddo mede 90. Somndo + + 90 =.0. otnto, o polígono pedido é o quddo. 0 m um tiângulo equiláteo, o incento, o cicuncento e o icento coincidem. í, temos: I) = (popiedde do icento). 8 = = 4.cm II) + = 8 + 4. = = 4 = 8 cm = 8 (,7) =,. cm (ltu do tiângulo equiláteo) 8 Séie nsino édio
VLU GTI 07 d ângulo inteno do heágono equiângulo mede ( n ) 80º ( ) 80º i = = = 0º. n olongndo os ldos, otemos o tiângulo equiláteo Q. e modo nálogo, os tiângulos F e tmém são equiláteos. omo o tiângulo mio Q tmém é equiláteo, temos: I) Q = Q + + = + + 0 = F = 0 II) = Q + + 0 = 4.8 0 + = 8 = 8 í, o peímeto do heágono = + + +0 + + = 99 08 ) sevndo que se opõe o mio cteto, é o ângulo eteno do heágono meno, ou sej: 0º = = 0º 09 í, o ângulo inteno do heágono meno mede 80º = 0º ) omo o tiângulo é etângulo, temos: + + 90 = 80.0 + + 90 = 80 = 0 c) N figu : cos0 o = = sevndo figu, peceemos que o ldo do heágono meno é hipotenus, menos o cteto meno. í: ldo do heágono meno = =. = Logo, o peímeto do heágono meno é. = 8cm i α 0.0º omo = é isósceles de se. Logo os ângulos d se são iguis. Temos que: ( ) 80º I) i = i = 08º 0 0 F 0º.0º 0º.0º.0º Q.0º 0 0 0 0 II) i + + = 80º 80º + = 80º =.º III) + + = i.º + +.º = 08º =.º Sendo n o númeo de ldos, devemos te: (n ) 80º = 0º + 8 (n ) 80n.0º =.0 + 8n. 80n 8n =.0 +.0. n =.4. n = 7 pítulo tividdes p Sl pág. 0 dos: F. = 8 =. F8 F 4. = evemos te: I) F = + 8 +. F =. II) = 4. + 8. +. 8 = 4.4. = 7 III)V + F = + V +. = 7 + V = 4.8 dos: F = 8 e F 4. = 8. evemos te: I) F = 8 + 8 F =. II) = 8 + 8 4. = 4. + 7 = 4.8 III)V + F = + V +. = 4.8 + V = 4. IV) s vétices são idênticos, então, de cd vétice, pte um mesmo númeo m de ests. í: o doo do númeo de ests = V m = 4. m = 9. m = 4. Logo, o omicuoctedo pesent 4. vétices dos quis ptem, de cd um, 4. ests. Sendo F = e F. = os númeos de fces pentgonis e hegonis, espectivmente, devemos te: I) V =.0 e F = + II) d vétice tem ests (tiedos ou ângulos tiédicos). ssim, otemos: í: oliedos doo do númeo de ests = = V = F + F.. =.0 = +. = 0 = 90 Séie nsino édio 9
VLU GTI + = 0 +. = 80 III)elção de ule: V + F = +.0 + F = 90 + F = + = +. = 80 IV)esolvendo o sistem, otemos: + = = (fces pentgonis) e = 0 (fces hegonis). 04 s ângulos poliédicos estão ssocidos os vétices do poliedo, de modo que, se o ângulo é constituído de n semiets, é poque do espectivo vétice do poliedo ptem n ests. dos: V =, V = 8 e V. =. í, devemos te: I) V = + 8 +. V =. II) = + 8 +.. =. + 4.0 +. = 4. III)elção de ule: V + F = +. + F = 4. + F = 7 0 figu pesent vinte fces tingules (F = 0) e doze fces pentgonis (F = ). í, devemos te: I) F = 0 + F = II) = 0 + = 0 =.0 III)elção de ule: V + F = + V + =.0 + V = 0 Logo, o poliedo pesent 0 vétices e.0 ests. tividdes oposts pág. 0 0 cuo tem. fces e 8 vétices. d vétice do cuo coesponde um fce tingul do poliedo; e cd fce do cuo coesponde um fce qudd. Logo, o poliedo tem 8 fces tingules e. fces qudds. 0 e codo com plnificção, o poliedo tem 8 fces tingules (F = 8) e. fces qudngules (F 4. =.). í, temos: I) F = F + F 4. F = 8 +. = 4. II) = 8 +. 4. 4 + 4 = = 4. III) elção de ule: V + F = + V + 4. = 4. + V = 0 ontndo s fces, temos: N o de fces tingules = F = N o de fces qudngules = F 4. = 0 + = (s 0 djcentes à se, mis s supeioes; se é um decágono) N o de fces pentgonis = F = N o de fces de 0 ldos = F 0 = ( se) 04 í, otemos: I) F = F + F 4. + F + F 0 = + + + F = II) = + 4. + + 0 + 0 + + 0 = = 4. III) elção de ule: V + F = + V + = 4. + V = dos F = (pentdecedo) V = (vétices) F = 4. (4. fces tingules) F = ( fces pentgonis) F. = ( fces hegonis) I) V + F = + + = + = II) F + F + F. = F 4. + + = + =. III) = F + F +.F. 70 = + +. +. = 8 esolvendo +. = 8, encontm-se = 8 e =. + = Logo, eistem 8 fces pentgonis. 0 I) F = F 4. = 0 II) = 0 4. =.0 III)V + F = + V + 0 =.0 + V = 0 = 4.0 e sendo V e F os espectivos númeos de vétices e fces, devemos te: V F I) = = k V = k e F = 4k, onde k é constnte de 4 popocionlidde. II) elção de ule: V + F = + k + 4.k = 4.0 + k =. V =. = 8 e F = 4.. = 4. 07 icosedo tem 0 fces e cd fce tnsfomou-se em 4.. ssim, o geodésic tem 0 4. = 80 fces, tods tingules. í, o númeo de ests () é tl que: = 80 = 0 0 Séie nsino édio
VLU GTI 08 s ângulos poliédicos estão ssocidos os vétices do poliedo, de modo que, se o ângulo é constituído de n semiets, é poque, do espectivo vétice do poliedo, ptem n ests. dos: V 4. =, V =. e V 8 = 4.. í, devemos te: I) V = +. + 4. V = II) = 4. +. + 4. 8 = + 0 + 4.8 = 4. III)elção de ule: V + F = + + F = 4. + F = 4. 0 09 I) = V+ V = V + V = 00 0 II) V + + F = 4. V + F = 4. III)elção de ule: V + F = + 4. = + =. IV) = V = V V = V = 4 V) V + + F = 4. 4. +. + F = 4. F = 4. Logo, o poliedo tem 4. fces e. ests. s ilhntes ocupão posição dos vétices e s hstes são s ests do poliedo, temos = 0 = 0 e V + F = + V =. elos peços epostos, o custo d joi (mtéi-pim) seá de: = 00 0 + 0 = $ 9000,00. tividdes p Sl pág. 0 0 Tetedo, heedo (cuo), octedo, dodecedo e icosedo egules. 0 ) I) dodecedo egul tem V = 0 vétices. Ligndo ( ) = os vétices, otemos V V 0 9 = 90 seg- mentos ente ests, digonl de fce e digonl do poliedo. II) igonis de fce (s fces são pentágonos): d = F ( ) = () =.0 Logo, o númeo () de digonis do dodecedo seá: ( ) = V V d = 90 0.0 = 00 do: = 8 cm el simeti d figu, é um quddo de ldo cujs digonis são iguis, onde é medid d est do cuo e, medid d est do octedo egul. í, temos: = (digonl do quddo) 8 = 8 8 = = = 4 cm 04 S = (V ) 0º 70º = (V ).0º V = V = 4. + = V + F + = 4. + F = + F. 0 ) sevndo nomencltu, o dodecedo tem fces e o icosedo, 0. omo são conjugdos, o dodecedo tem 0 vétices e o icosedo,. í, p o dodecedo, temos: I) V + F = + = + = 0 (os poliedos conjugdos têm o mesmo númeo de ests). II) Sendo n o númeo de ests de um fce do dodecedo (F = ): = F m.0 = n n = (fces pentgonis) Logo, o dodecedo pesent fces pentgonis. í, som (S) dos ângulos seá: S = (n ) 80 S = ( ) 80 S =.4.80 ut solução: S = (V ).0º S = (0 ).0º S =.4.80º 0 omo F =, otemos: = + =. + =. í, F = = 4. dos F = F 4. = F = F. = ) = F + 4.F 4. + F +.F. = 9 + 4. + + = 0 = F = F + F 4. + F + F. F = + + + Séie nsino édio
VLU GTI 0 F = 7 + = V + F + = V + 7 V = 0 poliedo tem 0 vétices, 7 fces e ests. ) = V( V ) N, onde: N = F d + F 4. d 4. + F d + F. d. N = 4 4 N = 0 + + + 8 N = tividdes oposts pág. poliedo egul, de fces tingules, e que não possui digonis é o tetedo, cujo númeo de vétices é igul 4.. í, S = (V ).0º S = (4. ).0º S = 70º 0 e codo com o enuncido, V =.0 e = 90. Sendo F = e F. =, temos: I) F = F + F. F = + II) V + F = +.0 + F = 90 + F = í, + = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) í, 0( 0 ) = = 9 4.0 = 4. 4.0 = poliedo possui digonis. III) = F +.F. 80 = +.. + = o sistem, encontm-se = e = 0. +. = 80 Logo, F. = 0. otnto, seão 0 os homengedos. 0 Fom ddos F = 0 e F = 0. í, temos: I) F = F + F F = 0 II) = F + F = 0 + 0 = 4.0 III) V + F = + V + 0 = 4.0 + V = IV) n o de digonis do poliedo () seá: V ( V ) = N, onde : N = F d + F d (N é o númeo de digonis de tods s fces) N = 0 ( ) 0 + ( ) N = 0 + 0 = 0 í, = ( ) 40 0 = 90 = 4. 04 F = F = F F = + F F = +. omo = F =. = F + F. =. + =. F =. Si = (n ) 80º, onde Si é som dos ângulos intenos de um polígono de n ldos n = Si = ( ) π Si = π (note que πd = 80º) Sendo S som pedid, temos que S = Si S =. π S = 08π. 0 Foi ddo S =, onde é o ângulo eto e semos que S = (V ).0º. í, temos: 90º I) (V ).0º = V = V = 8 V = 0 0º II) V + F = + 0 + F = 0 + F = III) F = F = + + = F = IV) = F + F 4.0 = + + = esolvendo o sistem + = 4.0, encontmos = 0 e =. Logo, F = 0 e F =. poliedo pesent 0 fces tingules e fces pentgonis. 0 I) F 4. = e F = 4. F = 4. + II) S = (onde é um ângulo eto). 90 Logo, (V ).0º = V = v= 0 III) = F + 4.F 4. = + 4. =. + IV) V + F = + + (4. + ) = (. + ) + = Logo, =. + = 8. 07 F I) = F 4. = F = + II) S = 880º e S = (V ).0º. í: 880º = (V ).0º V = 8 V = 0 III) V + F = + 0 + F = 0 + F =. í, + = IV) = F + 4.F 4. 4.0 = + 4. esolvendo o sistem + =, otemos = 8 e = 4.. + 4. = 4.0 poliedo possui 8 fces tingules e 4. fces qudngules. Séie nsino édio
VLU GTI 08 onsidee o tetedo epesentdo n figu e α o ângulo diedo fomdo pels fces e. omo tods s fces são tiângulos equiláteos e sendo medid ds ests 09 do tetedo, = =. cento do tiângulo é icento. Sendo ssim, = e =. í: + = = No tiângulo etângulo, cos = cos = cos α =. l l 0 e e d d z c 00cm = m c w w z 0,004.km = 4.m p = ( + + c + d + e) + ( + + z + w + ) p = ( + + c + d + e) + ( + + z + w + ) p = + 4. p = 0 + 8 p = 8m 0 0,09km = 9m 9, 8,.0,.0 m.d.c = = 4. 0,8dm = 8m 4.., 4., 0, 0.00dm =.0m,,, 0,.hm =.0m,,,,,,,,,,,, 0 N figu, é o cento de ( é icento) e é o cento de ( é icento). onsidee est = est do poliedo inteno e = do poliedo eteno. Usndo semelhnç dos tiângulos e, otemos: + = =. cuo é um heedo egul que possui V = 8 (oito vétices) e F =. (seis fces). dul do cuo, o contáio, possui V =. (seis vétices) e F = 8 (oito fces, octedo egul). Note que p os dois, temos: V + F = + 4. = + = (doze ests) Logo, o octedo egul é dul o cuo. pítulo tividdes p Sl pág. 4 0 Sej h ltu d pot. ntão, h =,c. omo c =.cm, h =,. h = 00cm h = m (dois metos). Uniddes de áe e uniddes de volume 9 : 4. = 8 : 4. =.0 : 4. =.0 : 4. = + + + = estcs. 04 Áe do ldilho = 4.cm.cm = 84.cm Áe d sl = 700cm 9.0cm =.7 000cm N o de ldilhos = 0 Tmnho el 7 000 84 Áe = = 70. Foto Áe = = 0cm I) scl = compimento nfoto =. í : compimento el 0 = = = 0 0 = 0 II) Áe el = Áe el = (0) (0) Áe el = (0) () Áe el =. 00) (.0cm ) Áe el = 70 000cm Áe el = 70 000 m 00 Áe el = 70 000 m 0 000 Áe el = 7m Séie nsino édio
VLU GTI III) N o de glões = 7 m m, Logo, seão compdos, no mínimo, glões o custo totl de ( eis) = 4.. eis. 0 Q,, tividdes oposts pág.,, 0 Sendo m medid el d ten, temos: I) m = m + mm m = m + 0,00m m =,00m II) Fente = 9.m = 9. (,00m) = 97,89m 0 plicndo o Teoem de itágos no tiângulo Q, temos que: Q Q 400 Q 0 m., ( ) = + ( ) = = 0 080, 84.0,.00 4.0, 4.0, 00 70, 0, 0, 0, 7 4.,,,,,,, 7,, 7, 7,, m.d.c = = 0 m 000mm São otidos = = 00 quddinhos no mm mm compimento e m =00 quddinhos n lgu, mm num totl de (00) (00) = 4.0 000 quddinhos. í: compimento totl = 4.0 000 (mm) = 00 000mm = 00m 07 0dm = 0dm (ç de espote). 0 0 = 0dm = 000m (estnte). ) 0cm ) 080 0 = 9 84.0 0 = 7 9 + 7 + = pedços..00 0 = c) cm =.cm = 0,.m 0 Sej o númeo de táus de cm e o de cm. ntão, + = 0 e + = 4.cm. esolvendo o sistem + = 0, otemos: + = 4. = e = 8. Logo, = 8 = 4. 000 0 =.0m (Áe de cd sl de ul). 08 c =,m = 7,m = 4.,m áe se colocd zulejo = + c + c = (7, 4.,) + (7,,) + (4.,,) =,7 +, +, =.9,7m =.97 00cm. Áe de um zulejo = = cm Númeo de zulejos = 97 00 =.00 04 Temos que: 4.h = 4..0.0s = 8. 4.00s. São, potnto, 8. 4.00 oscilções e ele desce: 8. 4.00 (0,0m) = 78mm =,78m 09 00dm = 0m Áe do pátio = 0m 4.0m = 0,4.hm = 4.0m = 000m = 000 centies N o de cinçs = 000 = 4..000 4 Séie nsino édio
VLU GTI 0 tividdes oposts pág. Tmnho el lnt 4cm cm 0 compimento nplnt I) scl = =.: í compimento el 0 4cm cm cm cm m = = = 0 4 = 700 = 7 0 = 0 cm= 00cm= m II) Áe el = = (7m) (.m) = 4.m m 0m 0cm = 0,m 0 0 0 tividdes p Sl pág. V = 4. =.0 I) ecipitção: cm = 0mm (choveu 0L de águ po m ) II) Áe = 0km = 0 (0 m) = 0.0. m = 0 7 m Logo, houve um pecipitção de 0 7 (0L) = 0 0 7 L = 0 8 L volume do sólido é igul o volume de águ deslocdo, ou sej: V = m m 0cm sevndo que 0cm = 0,m, temos: V = 0, = 0,m = 0,0m. 0 V necessáio = m 0m 0,m = m =.000 litos.,cm = 0,dm 4.0cm = 4.dm m = 0dm V peç = 0 4. 0, = 0dm cm = 0,dm 0cm = dm m = 0dm V peç = 0 0, = 0dm eg de tês: 04 I) Volume = (m) (cm) (0cm) Volume = (0dm) (,dm) (,0dm) Volume = 0dm II) kg =,7dm dm = kg 7, Logo, el compá 0 kg 7, = 00 7 kg 9,4.kg 0dm 7kg 0dm í: 0 = 70kg. = kg. 0 0 0,cm 0cm I) Volume de sngue =,L =,dm =, (0 mm) = =,.0. mm. II) N o de glóulos vemelhos = (, 0. ) ( milhões) = = 7, 0. milhões =(,7 0) 0. 0. =,7 0 ed 80cm V ped = 80.0 0, = 4.00cm.0cm Séie nsino édio
VLU GTI 04 stelo 0,.m,m cm 0,.m S: cm = 0,m V cstelo = 0,., 0, = 0,08m = 08dm 0 4., + 4., = 79 4..0 + 4., = 7.900 00 4., =.80 = 0, = % 09 0 Sendo medid d est do cuo, o volume d pte vzi deve coesponde 9L = 9dm. Logo, volume vzio = (0cm) = 9dm (,0dm) = 9dm =.4.dm = 8dm Logo, o volume do cuo seá = (8dm) = dm = L Sej h ltu que o nível d águ lcnçi. ntão, 0 000 000km h = 000km 000km h = 0 000 000km h= 0, 00004km h= 4, cm Sendo o volume do cuo, temos: I) V = c = 0 i (V ) 0 07 I) Áe d egião = 0m m = 0m II) quntidde máim de águ ocoeá p um chuv de.0mm =.0L em m, po ho. í, quntidde de águ eceid n egião, em ho, seá: 0 (.0L) = 9 000L ) Númeo máimo de nots: cm 0mm I) No compimento: = = 4 40mm 40mm II) N lgu: 9 cm 90mm = = mm mm III) N ltu: 0 cm 00mm 000 00 0, mm = 0, mm = = í, o númeo máimo de nots seá 4.. 00 = 000 nots, no vlo de 000 (0 eis) =.00 000 eis. ) I) Volume ds nots = (.cm) (9cm) (0cm) = 84.0cm³. II) d cm³ de nots tem o peso de 0,7g. í: eso ds nots: 84.0 (0,7g) =. 80g =.,8kg eso d ml chei = (.,8 +,.)kg = 8,98kg. c II) V = c V = 8c V = 8 0 V = 4.00 V = 4.00 V U i (V ) c Logo, podem se colocdos 4.00 cuos n ci mio. pítulo 7 isms tividdes p Sl ág. 08 0 se 0cm.. Séie nsino édio
VLU GTI 0 0 I) heágono egul é composto de seis tiângulos equiláteos, o ldo do heágono egul é igul o io d cicunfeênci cicunscit. í, =. = cm. II) 0º e = = 80º = = 90º(ângulo inscito). III)No tiângulo etângulo : () = () + () = () +. 4.4.. = () () = 08 IV)No tiângulo etângulo : () = () + () () =. + 08 () =.4. = 9cm V) No tiângulo etângulo : () = () + () () =. + 4.4. () = 4.00 = 0cm s possíveis medids são 9cm e0cm. No plelepípedo, temos: I) Áe totl: S = + c + c II) igonl: d = + + c d = + + c III) m = + + c 04 I. IV) oduto notável: ( + + c) = + + c + + c + c m = d + S S = m d I) Volume do esevtóio: V = c V = 8m m 0cm V = 80dm 0dm dm V = 4.8 000dm V = 4.8 000L II) eg de tês: litos segundo 4.8 000 litos í, = 4.8 000 = 4. 000s 4 000 = = 400min 0 Sendo medid d est de, medid d est de seá +. í, devemos te: Áe de = Áe de +.. ( + ) =. +.. ( + 4. + 4.) =. +. 4. =. 4. = 8 II. I) Volume de = 8 = cm 0 0 II) Volume de = (8 + ) = 0 = 000cm III)eg de tês: Volume (cm ) tividdes oposts pág. I) S = (V ).0 = 7 (ângulo eto) ( ) 7 90º V = 0º V = 8 V = 0 usto ($), 000 í,, = = 0 eis. 000 0 supefície d águ sempe fic n hoizontl, plel o solo. omo os ângulos ltenos intenos de ets plels são iguis, devemos te: 0 II) Sendo n o númeo de ldos d se, o pism teá n vétices (n em um ds ses e n n out se). í: n = 0 n = 0 ( se é um decágono). III) pism teá 0 ests (0 em um se, 0 n out se e 0 lteis). espost: ism decgonl; 0 ests. Áe de um ci, em cm : = (4. 0 + 4. 4.0 + 0 4.0) = 80cm = 0,8m Áe totl de 0 000 cis: 0 000 = 80m 0º 4 4 I) Tg0º = = = = 4. 4..0º 4 II) Volume de águ = [(4.cm) (4.cm) ( 0 cm)] = 4..0º (4.cm) (4.cm) + (4.cm) (4.cm) ividindo po (4.cm) (4.cm), otemos: 40 = + 40 4 = + = III) + = 4 IV) sen.0º = = 4 8 h h = = h= cm + 4 h Séie nsino édio 7
VLU GTI 0 04 0 No cminhão, no máimo, ceão: I) No compimento: cis. II) N lgu: cis. III)N ltu: cis. Logo, em um vigem, o cminhão podeá lev, no máimo, = 0 cis. ssim, ele teá de fze, no mínimo, 40 0 = vigens. Sendo, e c s dimensões do plelepípedos, devemos te: medid em = medid em scl = medid 0em 0. í : = 8cm 8, cm, cm 4cm = = = = cm c 0 c = 40cm Logo, o volume de seá: c = 8.000cm Sendo,, c s dimensões do plelepípedo, temos: I) igonl: = + + c = + + c = 0 II) totl = + c + c = 94. III) oduto notável: ( + + c) = + + c + + c + c ( + + c) = 0 + 94. + + c = 44 = IV).. de zão : (,, c) = c = + V) + + c = ( ) + + ( + ) = = 4. = 4. c = 4. + VI) + + c = 0 (4. ) + 4. + (4. + ) = 0. 8 + +. +. + 8 + = 0 =..: (, 4., ) = ou =..: (, 4., ) Logo, V = c = 4. =.0m 0 S() = ( + 80) ( + 70 + ) S() = 4. + 4.0 +.0 + 4.8.00 S() = 4. + 900 + 4.8.00 07 s dimensões d ci são (.0 0), (.0 ) e, onde 0 < < 0, e ltu d ol é cm = cm. odemos te: I) cmd ( =.cm): 0 0 N o de ols = 8 8 4 = = II) cmds ( =.cm = cm): 08 09 0 0 0 N o de ols = 7 = = III) cmds ( =. cm = 8 cm): 0 0 N o de ols = 4 4 48 = = IV) 4. cmds ( = 4..cm = 4. cm): 0 0 N o de ols = 4 = = Logo, o máimo seá 7 ols. tividdes p Sl pág. I) S =. cm 4 se = II) ltel =. [ ] = 8 III) ltel = S 8 = 8 = = cm = 4. Temos: c = 0 c = c ultiplicndo memo memo, otemos: c = 4. 0 c = ( 7) ( ) = 0 7 I) Áe =. = 8 = = cm (est do cuo). II) mio distânci ente dois pontos de um cuo é digonl d =. Logo, d = = cm. 0 Volume de águ = 4.0cm 0cm (0.)cm = 0cm 0cm (4.0 )cm. í: 4.0 0 4. = 0 0 (4.0 ) 4. = 4.0 = cm 8 Séie nsino édio
VLU GTI IV) Volume = V = S (ltu) 04 V = V = 4 V = 4 cm.cm.0º H 0 m Temos: 0m,7m F 0,.m 8m 8m m Águ 8m 0,9m I) = = cm 4 II) sen.0º = H = H H= cm III) V = H V = V = 4.cm 0,9,8 F 0,.,7 0,9 =,8 0,9 0 No tiângulo somedo, = 4. + h. = h h = 9 h =. I) Semelhnç de tiângulo: 0 m =, 8, = II) águ fom um pism de se tingul e ltu 8m. í, o volume d águ é: 0 Temos: V águ = S ltu V águ = 0, 8= 0, 8=m S = SÇÃ = S + S, onde: 7m 4. h 8 4. Logo, áe d se do pism seá: = + + 8 8 p = = = m 9 ou = 94 4 = m ssim, o volume seá: V = H V = V =.m tividdes oposts pág. S m 0 elo pincípio de vliei, s pilhs têm o mesmo volume. m m m S 4.m 0 I) V colun = H= 0 = m 4 4 m ( 7+ ) I) S = = m II) S = =.m í: S = S + S = +. = 8m V piscin = 8 = 4.m 0 II) 0 V colun = 0 = m ( ) = Logo, custo = 00 eis 000 eis. Utilizndo 7,, otemos custo 000 (,7) = 8.0 eis. = = 4 V = H V = V = Séie nsino édio 9
VLU GTI 04 Sendo medid d est d se, temos: N figu, temos: (Figu ) I). = = z II) Semelhnç de tiângulos: = = = Q Q (Figu ) z 0 m J m L ou ( ) cm V pism = 7 + 0 7+ 8 = + 9 I 0 7 F 0m H 4.m G 7m z 4 8 = = = 4 I) (JI) = + JI = + 9 II) FIJ + FGHI = 77 0 N figu (pism), temos: Q III) d = () + (z ) h H (se invetid do pim) No tiângulo H: = + h 4. = 9 4 + h h = 7 4 7 = h = = = =. 7 7 4 d S = 7 + 4 cm V ism = S ltu d 4 = + d = + d= = Logo, Q = d= z z 07 4 V iscin = (0 7 4.) 7 V iscin = 80 4. V iscin = 8m V iscin = 8 000 litos IV) m hos, devemos te: (8000 L) = 8 000L = 9,7h sevndo que 0,7h = 0,7 (.0min) = 4.min, otemos = 9h e 4.min. V = H V = 4 4 V = ( ) = 7 + 9 + 7 0 77 7( + 9 + 0 ) = 77 + 9 + 0 = + 9 = + + 9 = + + = 8 = 4 III) V iscin = V lel. V ism tin. V = 7 uniddes de volume. 4 V pism = 7 4 7 + 0 0 = + cm 0 Séie nsino édio
VLU GTI 08 h (S) I) N se: = 9 4 + h = + h h = II) S = + S = ( ) + h S =. + 9 4 III) V = S (ltu do pism) V = H V = + 9 4 V ( 4 ) = 0 + 4 09 (S) 8 I) = + = 4. 8+ II) S = ( ) ( 8+ ) 4 S = = 0 III) V = S (ltu do pism) V = 0 V = 00m 0 (S) 0º I) S = 0 sen º = cm II) V = S ltu = = 8cm Séie nsino édio