CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206

Universidade Federal do Rio Grande - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal sites.google.com/site/calculofurg 2 Notas de aula de Cálculo - FURG

Sumário Continuidade de funções reais de uma variável 4. Definição de continuidade........................ 4.2 Propriedades das funções contínuas................... 9.3 Continuidade unilateral.......................... 0.4 Continuidade em um intervalo fechado..................5 Tipos de descontinuidade......................... 3.5. Descontinuidade evitável ou removível ( a espécie)....... 3.5.2 Descontinuidade essencial (2 a espécie).............. 3.6 Lista de eercícios............................. 6.7 Teoremas relativos às funções contínuas................. 2.7. Teorema do Valor Intermediário................. 2.7.2 Teorema de Weierstrass..................... 22 3

Capítulo Continuidade de funções reais de uma variável Neste capítulo estudam-se os conceitos de continuidade e descontinuidade de funções. Através do estudo dos limites, é definida a continuidade de uma função real em um ponto, que é a base das propriedades e definições envolvendo continuidade. Na modelagem de diversos fenômenos é importante investigar a eistência de pontos de descontinuidade de uma função e também classificá-los.. Definição de continuidade Definição.. (Definição Usual). Uma função f() é contínua em = a (ponto de acumulação do domínio de f) se: a) lim f() eiste, ou seja, lim f() = lim f(); a a a + b) lim a f() = f(a). de f(). Caso contrário, f() é descontínua no ponto a pertencente ao domínio Observação... Não se discute continuidade de funções em pontos que não pertencem ao domínio da função. 4

.. DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Definição..2 (Definição Formal). Diz-se que uma função f() é contínua em um ponto a se, dado um ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que se 0 < a < δ, então f() f(a) < ɛ. Logo, para a função ser contínua em = a, lim a f() = f(a). Eemplo... Prove formalmente que a função f() = 5 + 3 é contínua em =. Primeiramente, tem-se que f() = 8. Logo, deve-se mostrar que lim (5 + 3) = 8. Pela definição formal de continuidade, tome δ = ε 5 pois: f() f() = 5 + 3 8 = 5 5 = 5 < ε < ε 5. Portanto, dado um ε > 0, eiste δ = ε 5 então f() f() < ε. > 0 tal que se 0 < < δ, Eemplo..2. Verifique se f() = 9 2 é contínua em = 4. Não se discute a continuidade de f() em = 4, pois este ponto não pertence ao domínio da função. Eemplo..3. Observe os gráficos das funções na Figura.. a) Determine em quais delas é possível discutir a continuidade em = 4. b) Nas funções em que é possível discutir a continuidade em = 4, determine quais são contínuas em = 4. a) Discute-se a continuidade em = 4 das funções f() e g(), pois = 4 pertence ao domínio dessas duas funções. b) As funções f() e g() não são contínuas em = 4, pois lim f() 4 f(4) e lim g() não eiste. Não se discute a continuidade das funções h() e i() 4 em = 4, pois este ponto não pertence ao domínio das mesmas. 2 + 2, se > Eemplo..4. Verifique se a função f() = é contínua 2, se em =. 5 Notas de aula de Cálculo - FURG

.. DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Figura.: Gráficos de f(), g(), h() e i(). 6 Notas de aula de Cálculo - FURG

.. DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Primeiramente, tem-se que f() = 2 =. Para concluir se f() é contínua, devem-se calcular os limites laterais. Se o limite eistir e for igual a f() =, então f() será contínua em =. Como trata-se de uma função definida por partes, para calcular o limite é necessário calcular os limites laterais: 2 + 2 lim f() = lim + + lim = lim + ( + 2)( ) f() = lim (2 ) =. = lim +( + 2) = 3, Portanto, como os limites laterais são distintos, tem-se que lim f() e consequentemente f() não é contínua em =. 2 + 2, se > Eemplo..5. Verifique se a função f() = é contínua + 2, se em =. Primeiramente, tem-se que f() = 3. Para concluir se f() é contínua em =, devem-se calcular os limites laterais. Se o limite eistir e for igual a f() = 3, então f() será contínua em =. Como trata-se de uma função definida por partes, para calcular o limite é necessário calcular os limites laterais. O limite lateral à direita de = já foi calculado no eemplo..4 onde obteve-se 2 + 2 lim f() = lim + + Para o limite lateral à esquerda, tem-se: lim f() = lim + 2 = 3. Portanto, como os limites laterais são iguais, tem-se que lim f() = 3. Além disso, f() = 3 e isto implica que a função é contínua em =. sen(2)tg(3), se > 0 2 Eercício Resolvido... Verifique se a função f() = 2, se = 0 é contínua em = 0. = 3. ln( + ), se < 0 7 Notas de aula de Cálculo - FURG

.. DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Note que f(0) = 2. Para saber se f() é contínua em = 0, deve-se primeiramente calcular os limites laterais: sen(2)tg(3) lim f() = lim 0 + 0 + 2 lim [ln( ) ln( + )] 0 = lim 0 2sen(2) = lim 3sen(3) 0 + 2 3 [ ] ln( ) ln( + ) = lim 0 ln( )/ ln( + ) / = ln(e ) ln(e) = cos(3) = 6, = 2. Portanto, como os limites laterais são distintos, tem-se que lim 0 f() e como consequência f() não é contínua em = 0. Eercício... Para cada afirmação, assinale V, se ela for verdadeira, ou F, se ela for falsa. continuidade. Em ambos casos, justifique sua resposta utilizando a definição de a) ( ) f() = 2 3 é contínua em = 0; b) ( ) g() = é contínua em = 0; + 2, se 3 c) ( ) h() = é contínua em = 3;, se < 3, se 2 d) ( ) i() =, se < 2 é contínua em = 2. Eercício..2. Determine se as seguintes funções são contínuas em seu domínio. a) f() = 2 4 2 2 4 b) g() = 2, se 2 3, se = 2 2 4 c) h() = 2, se 2 4, se = 2. 8 Notas de aula de Cálculo - FURG

.2. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS 2 2, se < Eercício..3. Seja f() = A + B, se [, ]. 5 + 7, se > a) Determine os valores de A e B tais que f() seja uma função contínua em R. b) Uma vez calculados A e B, esboce o gráfico da função f().... a) V b) F c) F d) F. Respostas dos eercícios..2. a) Sim. b) Não é contínua em = 2. c) Sim...3. a) A = 8, B = 4..2 Propriedades das funções contínuas As funções contínuas satisfazem as propriedades:. Se k é uma constante e f e g são funções contínuas em = a, então f + g, f g, k f e f g são funções contínuas em = a. Se g(a) 0, então f g também é contínua em = a. 2. Os polinômios são contínuos em R. 3. Toda função racional é contínua em seu domínio. Nos pontos onde o denominador for igual a zero, não se discute a continuidade. 4. Uma função é contínua em um intervalo aberto se ela for contínua em todos os pontos do intervalo. Eemplo.2.. Mostre que se f e g são funções contínuas em = a, então f + g também é contínua em = a. Deseja-se mostrar que lim a [f() + g()] = f(a) + g(a). 9 Notas de aula de Cálculo - FURG

.3. CONTINUIDADE UNILATERAL Como f e g são contínuas em = a, então pela definição de continuidade tem-se que lim f() = f(a) e lim g() = g(a). Utilizando a propriedade do limite a a da soma: lim [f() + g()] = lim f() + lim g() = f(a) + g(a). a a a Assim, lim a [f() + g()] = f(a) + g(a), por isso pode-se afirmar que f() + g() é contínua em = a..3 Continuidade unilateral Definição.3. (Continuidade Unilateral). Uma função f() tem continuidade unilateral à direita de um ponto a se lim f() = f(a). Da mesma forma, uma a + função f() tem continuidade unilateral à esquerda de um ponto a se lim f() = a f(a). Eemplo.3.. Sendo f() = 9 2, verifique se f() tem continuidade unilateral: a) à direita de = 3; b) à esquerda de = 3; c) à direita de = 3; d) à esquerda de = 3. Primeiramente, tem-se que o domínio da função f() é o intervalo [ 3, 3]. Além disso, tem-se que f( 3) = 0 e f(3) = 0. a) À direita de = 3, tem-se lim 9 2 = 0. Portanto, como f( 3) = 3 + lim f() conclui-se que f() tem continuidade unilateral à direita de = 3. 3 + b) À esquerda de = 3, tem-se lim 9 2 = 0. Portanto, como f(3) = lim f() 3 3 conclui-se que f() tem continuidade unilateral à esquerda de = 3. c) O limite à direita de = 3 da função f() não eiste. Portanto, a função não tem continuidade unilateral à direita de = 3. 0 Notas de aula de Cálculo - FURG

.4. CONTINUIDADE EM UM INTERVALO FECHADO d) O limite à esquerda de = 3 da função f() não eiste. Portanto, a função não tem continuidade unilateral à esquerda de = 3. sen(2)tg(3), se > 0 2 Eemplo.3.2. Verifique se a função f() = 2, se = 0 continuidade unilateral em = 0. ln( + ), se < 0 tem Note que f(0) = 2. Para saber se f() tem continuidade unilateral em = 0, deve-se primeiramente calcular os limites laterais: sen(2)tg(3) lim 0 + 2 lim [ln( ) ln( + )] 0 = 2sen(2) = lim 3sen(3) 0 + 2 3 cos(3) = 6 f(0), [ ] ln( ) lim ln( + ) 0 = lim 0 ln( )/ ln( + ) / = ln(e ) ln(e) = = 2 = f(0). Portanto, como o limite lateral à esquerda de = 0 é igual a f(0) tem-se que lim f() = f(0), isto é, f() tem continuidade unilateral à esquerda de = 0. 0.4 Continuidade em um intervalo fechado Definição.4. (Continuidade em um intervalo fechado). Uma função é dita contínua em um intervalo fechado [a, b] se as seguintes condições são satisfeitas: a) f() é contínua em (a, b); b) f() é contínua à direita em a, isto é, f(a) = lim a + f(); c) f() é contínua à esquerda em b, isto é, f(b) = lim f(). b 2 se 0 < Eemplo.4.. Considere a função f() =, se < 2. Determine 2, se = 2 o domínio da função f() e o intervalo onde ela é contínua. Notas de aula de Cálculo - FURG

.4. CONTINUIDADE EM UM INTERVALO FECHADO O domínio da função f() é o intervalo [0, 2]. Decorre das propriedades de limites e do fato de que a função polinomial 2 é contínua em seu domínio que f() é contínua em ]0, [ ], 2[. Deve-se verificar a continuidade de f() em cada um dos intervalos, isto é, com relação ao intervalo ]0, [: i) se f() tem continuidade unilateral à direita de = 0; ii) se f() tem continuidade unilateral à esquerda de =. De fato, com relação ao intervalo ]0, [, note que f(0) = e lim f() = 0 + lim 2 =. Portanto, f() tem continuidade unilateral à direita de = 0. 0 + Este fato inclui = 0 no intervalo de pontos em que f() é contínua, isto é, f() é contínua em [0, [. Além disso, tem-se que f() = e lim f() = lim 2 = 0. Portanto, f() não tem continuidade unilateral à esquerda de =. Com relação ao intervalo ], 2[, deve-se verificar: ii) se f() tem continuidade unilateral à direita de = ; iii) se f() tem continuidade unilateral à esquerda de = 2. Como f() = e lim f() = lim =, f() tem continuidade unilateral à direita de =. Além disso, f(2) = 2 e lim f() = lim =. Portanto, + + 2 2 f() não tem continuidade unilateral à esquerda em = 2. Portanto, a função f() é contínua nos intervalos [0, [ e [, 2[. Observe que não é correto escrever que f() é contínua em [0, 2[ pois f() não possui continuidade unilateral à esquerda de = e portanto não é contínua em =. Eercício.4.. Verifique se a função f() = 2 2 é contínua no intervalo [ 2, 2]. Eercício.4.2. Verifique se f() é contínua em [0, ], onde f() = 2, se 0 <. 2, se = Eercício.4.3. Mostre que a função f() = 2 é contínua no intervalo [, ]. 2 Notas de aula de Cálculo - FURG

.5. TIPOS DE DESCONTINUIDADE.4.. Sim..4.2. Não, f() é contínua em [0, [. Respostas dos eercícios.5 Tipos de descontinuidade.5. Descontinuidade evitável ou removível ( a espécie) Definição.5. (Descontinuidade Evitável). Uma função apresenta descontinuidade evitável no ponto = a, se eiste o limite finito de f() quando tende a a e este é diferente de f(a), ou seja, lim a a f() = lim f() f(a). + Tal descontinuidade é dita evitável ou removível, uma vez que redefinindo o valor da função no ponto = a, de tal forma que lim f() = f(a), pode-se evitar a ou remover a descontinuidade nesse ponto. 2 5 + 4, se 4 Eemplo.5.. Seja f() = 4. Verifique que = 4 é 5, se = 4 uma descontinuidade evitável de f(). Primeiramente, tem-se que = 4 D(f) e f(4) = 5. Além disso, 2 5 + 4 lim f() = lim 4 4 4 = lim 4 ( 4)( ) 4 = lim 4 ( ) = 3. Portanto, f() tem uma descontinuidade evitável em = 4..5.2 Descontinuidade essencial (2 a espécie) Definição.5.2 (Descontinuidade Essencial). Uma função apresenta descontinuidade essencial no ponto = a se não eiste o limite (finito) de f() quando tende a a, ou seja, lim f() lim f(). a + a 3 Notas de aula de Cálculo - FURG

.5. TIPOS DE DESCONTINUIDADE Eemplo.5.2. Considere a função f() =, se > 0 e 2, se < 0 2, se = 0. Determine se f() é contínua em = 0. Caso contrário, classifique a descontinuidade e verifique a eistência de continuidade unilateral. A função f() é definida por partes, por isso para calcular lim 0 f() é necessário calcular os limites laterais. lim 0 + e lim 0 2 O limite lateral à direita de = 0 é = lim 0 + = lim 0 + ( ) ( + ) =. O limite lateral à esquerda é = lim e 0 2 = 2 ln(e) = 2. ( + ) ( + ) Como f(0) =, f() não é contínua em = 0. A descontinuidade é 2 do tipo essencial, pois lim f() não eiste. A função não apresenta continuidade 0 unilateral. 2, se < 0 2, se 0 < Eercício Resolvido.5.. Considere a função f() =, se = a) Determine o domínio de f(). b) Encontre e classifique os pontos de descontinuidade de f(). 2 + 4, se < 2 0, se > 2. 4 Notas de aula de Cálculo - FURG

.5. TIPOS DE DESCONTINUIDADE c) Determine os intervalos em que a função é contínua. a) O domínio da função f() é o intervalo [, + [. Note que os candidatos a pontos de descontinuidade são =, 0, e 2. b) Primeiramente, deve-se verificar se f() é contínua em = 0. Note que f(0) = 0 e lim 0 0 f() = lim 2 = 0, + + lim f() = lim ) =. 0 0 (2 Como lim f() não eite, tem-se que f() não é contínua em = 0 0 e a descontinuidade é essencial. No entanto, como f(0) = lim f(), f() 0 + apresenta continuidade unilateral à direita de = 0. f() = e ainda Para concluir sobre a continuidade de f() em =, note que lim f() = lim + +( 2 + 4) = 2, lim f() = lim 2 = 2. Como lim f() = 2 f(), tem-se que f() é descontínua em = e a descontinuidade é evitável. No ponto = 2, tem-se que f(2) = 0 e ainda lim 2 lim f() = lim 0 = 0, 2 + 2 + 2 f() = lim 2 + 4 = 0. Como lim 2 f() = 0 = f(2), tem-se que f() é contínua em = 2. Note que lim ) = 0 = f( ). Logo f() apresenta continuidade unilateral à direita de = +(2. c) De acordo com os limites calculados no item b), tem-se que f() é contínua nos intervalos [, 0[, [0, [ e ], + [. Eercício.5.. Para cada uma das seguintes funções, analise-as quanto à continuidade e classifique os pontos de descontinuidade, caso eistam: 5 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. LISTA DE EXERCÍCIOS a) f() = e e b) g() = c) h() = 5 2 log( + 3) tg(), se 0 +, se = 0 d) i() = 3 sen(), se 0 e) j() =, se = 0 3 27 f) l() = 3, se 3 3, se = 3.5.. a) Contínua em seu domínio.. Respostas do eercício b) Não é contínua em = 0; descontinuidade removível. c) Contínua em seu domínio. d) Contínua em seu domínio. e) Contínua em seu domínio. f) Não é contínua em = 3; descontinuidade removível..6 Lista de eercícios. Para cada afirmação, assinale V, se ela for verdadeira, ou F, se ela for falsa. a) ( ) Toda função polinomial é contínua em R. b) ( ) Se f() for contínua em a, então lim a f() = f(a). c) ( ) Para uma função f, se D(f) = R, então f é contínua em toda parte. d) ( ) Toda função racional possui descontinuidade onde o denominador é zero. 6 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. LISTA DE EXERCÍCIOS 2. Determine se as seguintes funções são contínuas em D(f): a) f() = 2 9 3 b) g() = c) h() = 2 9 3, se 3 3, se = 3 2 9 3, se 3 6, se = 3. 3. Observando o gráfico de f() na Figura.2, determine se a função é contínua ou descontínua para cada um dos seguintes valores de : a) = d) = 3 b) = 4 e) = 4. c) = 3-5 -4-3 -2-2 3 4 5 Figura.2: Gráfico de f(). y 2, se < 0 2, se 0 < < 4. Considere a função f() =, se = 2 + 4, se < < 2 0, se 2 < < 3 a) Eiste f( )? e) Eiste f()?, responda: b) Eiste lim f()? f) Eiste lim f()? + c) lim f() = f( )? g) lim f() = f()? + d) f() é contínua em =? h) f() é contínua em =? 7 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. LISTA DE EXERCÍCIOS 5. Para cada gráfico na Figura.3, determine se a função traçada é contínua no intervalo [, 3]. Se não for contínua, aponte onde ela deia de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão.. 3. - - 2 y y = f ( ) 0 2 3-0 2 y y = h ( ) 0 2 3-0 2. 4. 2 y 2 y y = g ( ) y = k ( ) 2 3 2 3 Figura.3: Gráficos de f(), g(), h() e k(), eercício 5. 6. Determine um valor para a constante k, se possível, que torna a função k 2, se 2 f() = contínua. 2 + k, se > 2 7. Determine, se eistirem, os valores de para os quais cada uma das seguintes funções são descontínuas: 3, se < a) f() = 4, se = 2 +, se > +, se > b) g() =, se = +, se < 3, se 3 c) h() = 2, se = 3 d) i() = 5, se 5. 0, se = 5 8 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. LISTA DE EXERCÍCIOS 8. Considere a função f() = a) Calcule lim f() e lim f(). 0 + 0 3 5 2, se > 0 ln ( ) + 3 25, se < 0 3 25, se = 0 b) Analise a continuidade de f() em = 0. Justifique sua resposta. 9. Analise a continuidade da função: cos(2) (e + e), se > 0 2 g() = e, se = 0. + 2 ( ), se < 0 e 3 0. A aceleração devido a gravidade G varia com a altitude em relação à superfície terrestre. G é uma função de r, a distância ao centro da Terra, e pode ser escrita como: G(r) = gmr R, 3 se r < R gm R, 2, se r R onde R é o raio da Terra, M a massa da Terra e g a aceleração da gravidade. Verifique se G é contínua.. Considere a função f() = +, se 0 c, se > 0. a) Eiste uma constante c para a qual a função é contínua em = 0? Justifique sua resposta. b) Se eistir uma constante c tal que f() seja contínua em = 0, esboce o gráfico de f().. 9 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. LISTA DE EXERCÍCIOS 2. Considere a função f() = +, se < c, se. a) Eiste uma constante c para a qual a função é contínua em =? Justifique sua resposta. b) Se eistir uma constante c tal que f() seja contínua em =, esboce o gráfico de f().. a) V b) V c) F d) F 2. a) Não. b) Não. c) Sim. Respostas dos eercícios 3. a) Sim. b) Sim. c) Não. d)não. e) Sim. 4. a) Sim. b) Sim. c) Sim. d) Sim (só eiste limite à direita). e) Sim. f) Sim. g) Não. h)não. 5. ) É contínua no seu domínio. 2) Não é contínua; descontinuidade evitável em = 2. 3) É contínua. 4) Não é contínua; descontinuidade essencial em = 2. 6. k = 4 3. 7. a) Descontínua em =. b) Descontínua em =. c) Descontínua em = 3. d) Descontínua em = 5. ( ) 3 8. a) ln, 3 25 25. b) A função é descontínua em = 0 e apresenta continuidade unilateral à esquerda. 20 Notas de aula de Cálculo - FURG

.7. TEOREMAS RELATIVOS ÀS FUNÇÕES CONTÍNUAS 9. Não é contínua em = 0. 0. É contínua em = R.. Não eiste uma constante c. 2. Basta escolher c = 2..7 Teoremas relativos às funções contínuas Funções contínuas em intervalos apresentam propriedades que as tornam particularmente úteis em Matemática e suas aplicações. Nesta seção serão enunciados dois importantes resultados: o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema de Weierstrass. Cabe salientar que as suas demonstrações estão fora do escopo deste teto..7. Teorema do Valor Intermediário Teorema.7.. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b]. Então dado qualquer número d, entre f(a) e f(b), eiste pelo menos um número c entre a e b, tal que d = f(c). Geometricamente, este teorema afirma que qualquer reta horizontal y = d cruzando o eio y entre f(a) e f(b) cruza a curva y = f() pelo menos uma vez no intervalo [a, b]. Eemplo.7.. Mostre que eiste um número c que satisfaz 0 < c < tal que c 3 + c =. A função f() = 3 + é contínua em [0, 2], pois é uma função polinomial. Pelo Teorema do Valor Intermediário, tem-se que para d =, eiste c tal que f(c) =, isto é, c 3 + c =. Eemplo.7.2. Justifique por que o Teorema do Valor Intermediário não pode ser aplicado para a função 2 2, se < 2 f() = 3, se 2 4. 2 Notas de aula de Cálculo - FURG

.7. TEOREMAS RELATIVOS ÀS FUNÇÕES CONTÍNUAS Figura.4: Teorema do Valor Intermediário. A função f() está definida no intervalo [, 4], mas não é contínua em = 2. De fato, f(2) = 3, lim 3 = 3 e lim 2 + 2 (2 2) = 2. Como f() não é contínua em = 2, certamente não é contínua em [, 4]. Precisamente, como f() tem continuidade unilateral a direita de = 2, tem-se que f() é contínua nos intervalos [, 2[ e [2, 4]. Portanto, somente restringindo a função ao intervalo [2, 4] é possível aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Observação.7.. O Teorema do Valor Intermediário é útil para determinar as raízes de funções contínuas. Se f é uma função contínua em [a, b] e se f(a) e f(b) possuem sinais opostos então eiste uma raiz de f no intervalo (a, b)..7.2 Teorema de Weierstrass Teorema.7.2. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], então eistem e 2 pertencentes ao intervalo [a, b] tais que f( ) f() f( 2 ) para todo [a, b]. 22 Notas de aula de Cálculo - FURG

.7. TEOREMAS RELATIVOS ÀS FUNÇÕES CONTÍNUAS Geometricamente este teorema afirma que toda função contínua definida em um intervalo fechado assume pelo menos um valor mínimo e um valor máimo. Eemplo.7.3. Mostre que a função f() = ln() + sen() + e +2 possui um máimo e um mínimo no intervalo [2, 0]. A função f() é uma soma de funções contínuas no intervalo [2, 0], e portanto, é contínua no intervalo [2, 0]. Pelo Teorema de Weierstrass, f() possui um máimo e um mínimo neste intervalo. Eemplo.7.4. Considere a função f() = 2. Mostre que a função f possui máimo e mínimo nos intervalos: a) [, ]; b) [0, ]; c) Determine esses pontos. a) A função f() é contínua em [, ], pois está definida em todos os pontos do intervalo e f( ) = = lim 2 e f() = = lim 2. Pelo Teorema de + Weierstrass, f() possui um máimo e um mínimo neste intervalo. b) A função f() é contínua em [0, ], pois está definida em todos os pontos do intervalo, f(0) = 0 = lim 2 e f() = = lim 2. Pelo Teorema de Weierstrass, 0 + f() possui um máimo e um mínimo neste intervalo. c) Analisando o gráfico de f(), tem-se que o valor mínimo é assumido em f(0) e os valores máimos em f( ) e f(). Veja a Figura.5. 23 Notas de aula de Cálculo - FURG

.7. TEOREMAS RELATIVOS ÀS FUNÇÕES CONTÍNUAS Figura.5: Gráfico de f() = 2 24 Notas de aula de Cálculo - FURG