Eercícios de Cálculo III - CM43 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Dispoível o sítio people.ufpr.br/ eidam/ide.htm o. semestre de 22
Lista Sequêcias e séries de úmeros reais. Decida se cada uma das sequêcias abaio é covergete ou divergete, calculado o limite o caso covergete. (, 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7,... (2, 2,, 4,, 8,, 6,... (3 2, 2, 4, 3 4, 8, 7 8,... (4 a = ( 4 + 2 (5 a = +, 2 (6 a = 3 +3+ 4 3 +2 (7 a = + (8 a = +( ( (9 a = 2 + + 2 ( a = ( 2 + ( a = se (3 a = 2+se 5+ (4 a = (+3!! (+4! (2 a = se (5 a = 2 + (6 a = se(! 2 + (7 a = 3 2 + (8 a = ( +2 + (9 a = (+ + (2 a = a, a R (2 a =! (22 a = 2 se (23 a = a + b, < a < b (24 a = ( + ( (25 a = ( 2 ( ( 3... (26 a = +se(2! 7 +3 (27 a =.3.5...(2 2.4.6...(2 (28 a = (29 a = α e, α R (3 a = l α, α > (3 a =! (32 a = a, a > (33 a = ( (34 a = ( + 2 (35 a = ( + (36 a = ( 3+5 5+ (37 a = ( 3+5 ( ( 5 5+ 3 (38 a = + (39 a 2 = se( π 2 (4 a =! (4 a = ( + ( + 2... (2 (42 a = (2!! 2 (43 a = 2 (44 a 5 +( 2 = 4 + 22 3 5 (45 a = ( + / (46 a =!2 5 (47 a 2 = 2 +3 +4 (48 a = + 2+3 4 7 + 7 8 (49 a = 33 2 + (5 a 4 2 3 = ( 5+7 2 4 3+8 (5 a = (2! (! 2 2. Cosidere a sequêcia a = 2, a 2 = 2 2, a 3 = 2 2 2,... 2
(a Verifique que a sequêcia é crescete e limitada superiormete por 2. (b Calcule lim a. 3. Mostre que a sequêcia 2, 2 + 2, 2 + 2 + 2,... coverge para 2. 4. Calcule 2 2 2.... 5. Neste eercício, estudaremos o crescimeto das somas parciais da série harmôica. (a Sabemos que l = do gráfico, mostre que para todo 2. (b Mostre que l < 2 5 dt t, para qualquer >. Iterpretado a itegral como área abaio + 2 +... + + l, e coclua que para qualquer m N, + 2 +... + m + 2m 5. Isso mostra que, embora a série harmôica seja divergete, suas somas parciais crescem muito letamete. (Por eemplo, + 2 +... + 24. (c Cosidere a sequêcia = + 2 +... + l,. Mostre que { } é uma sequêcia decrescete limitada iferiormete. O úmero γ. = lim + 2 +... + l é chamado de costate de Euler-Mascheroi e vale aproimadamete.5772. 6. Decida se cada uma das séries abaio é covergete e calcule sua soma quado possível: ( ( + 2 (2 k= ( k t k 2, < t < (3 u ( + u, u < (4 cos ( π 2, < (5 se 2, < π (6 2 e /2 (7 cos ( π 2 ( +2 +22 (8 ++ (9 se ( 2+cos (2 tg ( 7. Verifique se cada uma das séries abaio é covergete ou divergete, justificado sua resposta: ( =3 2 4 (2 =2 arcta 2 (3 e 2 (4 2 (! λ, λ > (5 (2!! 2 (6 =2 l (7 3 +2 4 3 +3 5 3 +5 (9 ( cos ( =2 (l (3 =2 l ( +, p > (4 =2 ( l + p ( =2 l 2 (5!3 (8 =2 l (2 =2 l p, p > (6!e 3
(7 e (8 3 ( 2 + (2 +2 (+ 3 (22 ( 2 (25 (+ 2 p, p > (26 + 7 (9 3 (l2 (2 (arcta (23 se ( (24 +2 +3 (27 ( 2+ (28 se4 3+4 4 (29 =2 (l p, p > (3 l(cos(/ (3 ( 2 + (32! 2 2 + (33 ( l p, p > (34 ( + 2 (35 l p e, p > (36 e! (37 =2 (l p, p > (38 ( se 4 3 +6 (39 8 7 +3 3 2 6 9 +7 2 (4 2 2! (4 p e a, a, p > (42 a p, a, p > (43 (2 2 (44 =2 (l l (45 (46 ( +/ + 22 e /3 (47 ++ 2 (48 + 2 + 6 (+ + 8. Classifique as séries abaio absolutamete covergetes, codicioalmete covergetes ou divergetes: ( ( (2 ( + 3 2 (3 ( 22 + 3 +3 (4 =2 ( l (5 =2 ( l (6 =2 ( (l 2 (7 =2 ( l (8 ( 2+ (9 ( se p, p > ( =2 ( l 2 ( ( l (2 ( (+ + (3 ( (+ 2 p, p > (7 ( l p, p > (4 ( (l p, p > (8 ( 2 4...(2 3 5 (2+ (9 ( + 3 2 +3 (5 ( + (6 (!e (2 ( se ( (2 (! (22 ( +7 +2 (25 ( tg(/ (26 ( 2! e 2 (23 cos(π 3/4 (24 (! 2 5... (3+2 (27 ( se(7 9+5 (28 5 3 +4 (29 3 4 +5 (3 (! 4 (3 ( +4 (32 ( cos(! 3 4 +se Séries de potêcias 9. Determie o itervalo máimo de covergêcia de cada uma das séries de potêcias abaio: 4
( 4 (2! (3 3 + (4 (3! (2! (5 ( 5 ( 3 (6 (+ (+l 2 (+ (7 (2!( 7 (8 l e ( e (9! ( + 3 ( ( ( 3 (2+ + ( 2 4 ( 4 2 (2 =2 ( (l 2 (3 2 2 (4 3 4 (5 (2! (! 2 (6 (2! (! 2 2 (7 (2! (! 2 2 (8! (9! 3 (2!! (2 (2+( (22 (+ a +b, b > a > (23 ( 2 +3 3 (24 ( 3+2 +2 5+7 (25 (se (26 (3+( (27! 3... (2 (28 2 2 4... (2. Supoha que a coverge quado = 4 e diverge quado = 6. O que pode ser dito sobre a covergêcia ou divergêcia das séries a seguir? (a a (b a 8 (c a ( 3 (d ( a 9. Usado derivação e itegração termo a termo, calcular as somas das séries de potêcias: ( (2 ( (3 2 2 (4 2 ( 2 (5 ( + (6 (7 2 (8 =2 ( (9 2 ( 3 ( ( + 4 (2 4 2. Use as séries do eercício aterior para calcular: (a 2 (b 3 2 (c ( 5 ( 3. Determie as epasões em séries de potêcias em toro de = das seguites fuções e os valores de para os quais essas epasões são válidas: ( 2 (a (b (c (d l( + (e l (+ 2 (+ 3 + 4 +3 2 4. Verifique que (a e =!, R (b se = ( 2+ (2+!, R (c cos = ( 2 (2!, R (d l( + = 2 2+ 2+, < (e arcta = ( 2+ 2+, (f (+(+2(+3 6 = ( 4, 5. Utilizado as séries do eercício aterior, obteha um valor aproimado de: (a e, com erro iferior a 5. (b se, com erro iferior a 5 e a 7. (c l2 e l3, com erro iferior a 5. 4 5
(d arcta(/2 e arcta(/3, com erro iferior a 5. (e π/4, com erro iferior a 5, usado que π/4 = arcta(/2 + arcta(/3, (esta igualdade segue da idetidade tg( + y = tg(+tg(y tg(tg(y 6. Calcule d 32 arcta ( e d 32 arcta ( d 32 d 32 7. Desevolva em série de potêcias de as seguites fuções, idicado os itervalos de covergêcia: (a f ( = 2 e (b f ( = cos (c f ( = se( 2 (d f ( = cos 2 (e f ( = se t t dt (f f ( = e t 2 dt (g f ( = l(+t t dt (h f ( = se(t 2 dt (i f ( = e2 8. Utilizado a epasão em série de potêcias das fuções evolvidas, calcule os seguites limites: (a lim se (b lim cos 2 (c lim se 3 (d lim l(+ (e lim arcta (f lim e (g lim e 3 2 (h lim l(+ l( Respostas ( (2, (3, (2, (24, (39 são divergetes; (5, (7, (, (4, (6, (7, (9, (2, (22, (25, (26, (27, (29, (3, (36, (43, (46, (49 covergem para zero; (, (8, (5, (28, (32, (35, (38, (44, (45 covergem para ; (3, (34, (47, (48, (5, (5 divergem para + ; (4 coverge para 2; (6 coverge para /4; (9 coverge para 3/2; ( coverge para /2; (3 coverge para 2/5; (8 coverge para e; (2 diverge se a <, diverge para + se a e coverge para zero se a < ; (23 coverge para b; (33 coverge para /e; (37 coverge para e 22/5 ; (4 coverge para e; (4 coverge para 4/e; (42 coverge para 4. (2 lim a = 2; (4 A sequêcia coverge para 2; (6 ( diverge; (2 coverge para + ; (3 coverge para t u + ; (4 coverge para ; (5 u 2 + 2 coverge para sec 2 ; (6 coverge para e ; as demais são todas divergetes. (7 (, (5, (6, (4, (5, (6, (8, (9, (22, (23, (26, (34, (36,(39, (45, (47 são divergetes; (2, (3, (25, (29, (33 covergem se e somete se p > ; (35 coverge para qualquer valor de p > ; (42 coverge se e só se a < ; (37 diverge para qualquer p > ; as demais são todas covergetes. (8 (2, (6, (, (2, (8, (2, (23, (24, (26, (27, (29, (32 são absolutamete covergetes; (, (3, (4, (5, (8, (, (5, (9, (2, (3 são codicioalmete covergetes; (5, (9, (7 são absolutamete covergetes para p > e codicioalmete covergetes se < p ; (4 é codicioalmete covergete para qualquer valor de p > ; as demais são divergetes. 6
(9 ( ( 4,4; (2 {}; (3 [,]; (4 {}; (5 (2,8]; (6 [ 2,; (7 (,+ ; (8 (,2e; (9 ( 3 e, 3 + e; ( [2,4]; ( [3,5]; (2 (,]; (3 (,; (4 [ 4/3,4/3; (5 ( /4,/4; (6 ( /2,/2; (7 (,; (8 ( e,e; (9 ( 3 e, 3 e; (2 [,]; (2 (,; (22 ( b, + b; (23 ( 3/2,3/2; (24 ( 5/3,5/3; (25 (,; (26 ( 2,2; (27 {}; (28 (,+. ( (a, (c covergem e (b, (d divergem. ( ( ( l( ; (2 l( + ; (3 l + + (8 ( + l( + ; (9 ; ( +42 + 3 ( 3 ( 4 (2 (a l2; (b 3 28 ; (c 6 5 l 6 5 5. ; (4 arcta ; (5 ( 2 ; (6 ; ( 4 3 ( 2 ; (2 4 l( 4. ( 2 ; (7 ( 2 2 ; (3 (a ( + (+, < ; (b + (+(+2 (, < ; (c 2( 4+, < ; (d ( +, < ; (e ( 3 2, <. (7 (a +2, R; (b (! R; (e ( (2+ 2 (2! 2+, R; (f, R; (c ( 4+2 (2! (2+! ( (2+!(4+3 4+3, R; (i 2!, R., R; (d + ( 2 2 (2! 2, ( (2+! 2+, R; (g ( + 2, < ; (h 7
Parte 2 Série de Taylor. Usado derivação e itegração termo a termo, calcular as somas das séries de potêcias: ( (2 ( (3 2 2 (4 2 ( 2 (5 ( + (6 (7 2 (8 =2 ( (9 2 ( 3 ( ( + 4 (2 4 2. Use as séries do eercício aterior para calcular: (a 2 (b 3 2 (c ( 5 ( 3. Determie as epasões em séries de potêcias em toro de = das seguites fuções e os valores de para os quais essas epasões são válidas: ( 2 (a (b (c (d l( + (e l (+ 2 (+ 3 + 4 +3 2 4. Verifique que (a e =!, R (b se = ( 2+ (2+!, R (c cos = ( 2 (2!, R (d l( + = 2 2+ 2+, < (e arcta = ( 2+ 2+, (f (+(+2(+3 6 = ( 4, < 5. Utilizado as séries do eercício aterior, obteha um valor aproimado de: (a e, com erro iferior a 5. (b se, com erro iferior a 5 e a 7. (c l2 e l3, com erro iferior a 5. (d arcta(/2 e arcta(/3, com erro iferior a 5. (e π/4, com erro iferior a 5, usado que π/4 = arcta(/2 + arcta(/3, (esta igualdade segue da idetidade tg( + y = tg(+tg(y tg(tg(y 6. Calcule d 32 arcta ( e d 32 arcta ( d 32 d 32 7. Desevolva em série de potêcias de as seguites fuções, idicado os itervalos de covergêcia: (a f ( = 2 e (b f ( = cos (c f ( = se( 2 4 (d f ( = cos 2 (e f ( = se t t dt (f f ( = e t 2 dt (g f ( = l(+t t dt (h f ( = se(t 2 dt (i f ( = e2 8
8. Utilizado a epasão em série de potêcias das fuções evolvidas, calcule os seguites limites: (a lim se (b lim cos 2 (c lim se 3 (d lim l(+ (e lim arcta (f lim e (g lim e 3 2 (h lim l(+ l( Equações difereciais de primeira ordem 9. Determie as soluções das equações difereciais de a. ordem abaio: (a y = y 2 (b y = y (c y y = (d y = ( y(2 y (e ( + 3y d y d = (f y = 2y + e. Determie as soluções das equações abaio com codições iiciais dadas: (a y = + y, y( = (c y = ( + y, y( = (b (cos t (se t =, (2π = π. Determie duas soluções distitas para cada uma das equações com a codição iicial dada: (a y = 5y 4/5, y( = (b y = 3 3 y 2 (3 2 +, y( = 2. Resolva as equações: (a y = e 2y (b 2 y 2 d y d = + 2 (c y se + y cos = (d y = 3 2 y (e (3 2 tg y 2y3 + ( 3 sec 2 y + 4y 3 + 3y2 y = (f ( y + ( y 2 d y 3 2 d = (g y = y + 2 + y 2 (h ( + t 2 y + t y + ( + t 2 5/2 = (i dr dθ = sec2 θ sec 3 r (j 3t 2 = 2( 3 (k d y d = y + ( cos2 y (l ( yy = y 2 (m y = 2 + y 2, > ( y = +2y (o y = y2 2 y (p y = y2 2 y+y 2 (q y = y l (r y = y 3. Resolva as seguites equações de Beroulli: (a y(6 2 y 2 + + 2 y = (b y = y + e 3 y 4 (c 2 3 y = y(y 2 + 3 2 (d 3 y = 2y( 3 y + 3 2 (e y = 5y 4 y (f y = y y 3 (g 2 y + 2 y y 3 = (h y = y y 2 4. Resolva as equações: (a ( + yd + d y = (b (e y + y 2 d y = (2 y e y d (c cos d y = ( y se d (d y( 2 + y 2 d + (3 2 5y 2 d y = (e ( 2 + y 2 d + ( 3 + 3 y 2 + 2 yd y = (f d + cos yd y = (g (y 3 d + (y 3 + d y = (h (3 2 + yd + ( + 4d y = (i ( + 2yd + (2 + d y = (j y = 32 y 3y 2 (k (2 + se yd + cos yd y = (l (3y 2 2 + d + 2 y = (m ( y 2 + 2d + 3 2 y = ( (2 + 3yd + 3 d y = (o e +y2 d + 2ye +y2 d y = 9
5. Fatores itegrates: (a Determie todas as fuções f que toram eata a equação diferecial (y 2 se d + y f (d y =. (b A equação g (d y +(y + d = tem h( = como fator itegrate. Determie todas as possíveis fuções g. (c A equação e sec y tg y + y = tem um fator itegrate da forma f (, y = e a cos y. Determiea e resolva a equação. (d Determie um fator itegrate da forma h(, y = y m para a equação e resolva-a. y(y 2 + d + (y 2 l d y = (e Determie um fator itegrate da forma µ = µ( + y 2 para a equação (3 + 2y + y 2 d + ( + 4 y + 5y 2 d y =. (f Determie um fator itegrate da forma µ = µ( 2 + y 2 para a equação d + yd y + (d y yd =. 6. Determie uma fução y = f ( defiida em um itervalo I, cujo gráfico passe pelo poto (,5/4 e tal que para todo t >, t I, o comprimeto do gráfico de y = f (, t, seja igual à área do cojuto y f (, t. Equações difereciais lieares de seguda ordem com coeficietes costates 7. Resolva as equações difereciais abaio: (a y + 2y + y = (b y 4y + 4y = (c y y + y y = (d 2y 4y 8y = (e y 9y + 2y = (f 2y + 2y + 3y = (g y 3y + 3y y = (h y (i v + y = (i y (v + 2y + y = (j y 2y + 2y = (k y + 4y = (l y + 4y + 5y =
Respostas (C deota qualquer costate real ( ( ( l( ; (2 l( + ; (3 l + + (8 ( + l( + ; (9 ; ( +42 + 3 ( 3 ( 4 (2 (a l2; (b 3 28 ; (c 6 5 l 6 5 5. ; (4 arcta ; (5 ( 2 ; (6 ( 2 ; (7 ; ( 4 3 ( 2 ; (2 4 l( 4. ( 2 2 ; (3 (a ( + ( +, < ; (b + (+(+2 (, < ; (c 2( 4+, < ; (d ( +, < ; (e ( 3 2, <. (7 (a +2!, R; (b ( R; (e ( (2+ 2 (2! 2+, R; (f (2!, R; (c ( 4+2 (2+! ( (2+!(4+3 4+3, R; (i 2!, R., R; (d + ( 2 2 (2! 2, ( (2+! 2+, R; (g ( + 2, < ; (h (9 (a y e y = C ; (b y = C ; (c y = ± 2 +C; (d y, y 2, y = Ce 2 Ce ; (e y = C 3 2 ; (f y = Ce 2 e ( (a y = 2e ; (b = t π cos t ; (c y ; ( (a y e y = 5 ; (b y e y = ( 3 + 3 (2 (a y = 2 l(2e +C; (b y = 3 3 2 3 C ; (c y = +C se ; (d y = 2 (2 +Ce 2 ; (e 3 t g y + y 4 + y3 = C; (f y 2 2 y + l( 2 = C; (g y ± 2 + y 2 = ± 2 ; (h y = C 5t t 3 3t 5 2 (i 3ser se 3 r = 3tgθ +C; (j, 3 e = (m y2 +y 2 +y 2 + l 2 y+ 2 +y 2 = C; ( y = C 2 ; (o y = 3 ; (p y + l y = C ; 3 C 3 (q y = C(/e (r y = ( +Ce ; 5 +t 2 ; 3 ; (k tg ( y Ce 2/t = l +C; (l y l y = C; (3 (a y, y 2 = 6+C e ; (b y, y = 3 e ; (c y, y 2 = 3 C 3 C ; (d y, y = 27 6 ; (C l( 2 3 (e y = Ce + 2+2 ; (f y = ±(Ce 2 + /2 ; (g y = (2/5 +C 4 /2 ; (h y = ( +Ce 25 (4 (a 2 + 2 y = C; (b 2 + y 2 + 2e y 2 2 y = C; (c y = +C sec +tg ; (d y3 ( 2 y 2 = C ; (e 3 + 3 y 2 = Ce 3y ; (f y = arcsi(c ; (g 4 y 4 y 4 = ; (h y = C 3 +4 ; (i y = 2 +C ( 2( 2 ; (j y 3 y 3 = C; (k y = arcsi C 2 ; (l 5 3 y 2 3 5 + 5 3 = C; (m 2/3 y 2 + 2 2/3 = C; ( y = C 4 2 3 ; (o y = ± C ; (5 (a f ( = C 2cos ; (b g ( = 2 + C ; (c a =, + e se y = C; (d =, m = 2, (y 2 + l = C y e y ; (e µ( + y 2 = + y 2 ; (f µ = ( 2 + y 2 3/2 (6 y = e +4e 4 (7 (a y = C e +C 2 e ; (b y = C e 2 +C 2 e 2 ; (c y = C e +C 2 se +C 3 cos ; (d y = e (C se( 3 +C 2 cos( 3; (e y = C e 5 +C 2 e 4 ; 3 3 2 ; (g y = C e +C 2 e +C 3 2 e ; (f y = e /2 (C se( 2 +C 2 cos( (h y = C cos( 2 2 +C 3 2se( 2 ; (i y = C + (C 2 +C 3 cos + (C 4 +C 5 se ; (j y = C e cos +C 2 e se ; (k y = C se(2 +C 2 cos(2; (l y = C e 2 cos +C 2 e 2 se.
Parte 3 Equações difereciais lieares de seguda ordem. Resolva as equações difereciais abaio: (a y + 2y + y = (b y 4y + 4y = (c y y + y y = (d 2y 4y 8y = (e y 9y + 2y = (f 2y + 2y + 3y = (g y 3y + 3y y = (h y (i v + y = (i y (v + 2y + y = (j y 2y + 2y = (k y + 4y = (l y + 4y + 5y = 2. Verifique que y é solução da equação dada e determie, a partir de y, outra solução y 2 da equação, de forma que o cojuto {y (, y 2 (} seja liearmete idepedete. (a 2 y + y 4y =, y = 2 (c y y + y =, y = (e y + 3y =, y = (f 2 y + y + (b ( 2 y + 2 y 2y =, y = (d 2 y + 2 y 2y =, y = ( 2 y =, y = /2 4 (h y 4y + 2y =, y = e 6 (j 2 y + 3 y + y =, y = (g y (2 + y + ( + y =, y = e (i 2 y + 2 y =, y = (k 2 y ( + 2y + ( + 2y = ; y = (l ( 2 y 2 y + 6y = ; y = 3 2 3. Cosidere a equação diferecial ode é um iteiro ão-egativo. (a Mostre que y = e é solução da equação. y ( + y + y =, (b Mostre que y 2 = Ce e d, C R, é uma solução da equação dada e {y, y 2 } é liearmete idepedete. (c Estude os casos = e = 2. 4. Resolva as seguites equações de Euler em (, + : (a 2 y + y + y = (b 2 y 3 y + 4y = (c 2 y + 3 y + y = (d 2 2 y + y + 3y = (e 2 y + 2 y 2y = (f 2 2 y + 3 y y = (g 2 y + 5 y + 4y = (h 2 y + y + y = (i 2 y + 4 y + 2y = (j 2 y y + y = (k 2 y + 3 y + 5y = (l 2 2 y 4 y + 6y = (m 2 y 5 y + 9y = ( 2 y + 2 y + 4y = (o 2 y 2y = 5. Determie a solução geral das seguites equações lieares de seguda ordem ão-homogêeas: (a y + 2y + y = e l (b y 2y 3y = 64e (c y + 2y + 5y = e sec2 (d y 2y = 2 (e y + y = 2cos (f y + 2y + y = 3e (g y + 2y + 2y = e se (h y + 4y = 3se (i y + y + 25y = 4e 5 (j y 4y = 2 e 2 (k y + y 2y = 8se (l y 3y = + cos (m y 2y + y = 3 ( y y = 3 (o y 2y = 2e (cos se (p y 3y 4y = 2se (q y 3y 4y = 4 2 (r y 5y + 6y = 2e (s y + 9y = 9sec 2 (3 (t y + y = tg (u y 4y + 4y = e 2 2 (v y + 4y = cossec2 (w y + y = sec ( y 3y + 2y = e se (y y y = 3 2 (z 2 y + y y = 2 2
6. Determie a solução geral das seguites equações lieares de seguda ordem ão-homogêeas (com coeficietes variáveis: (a ( 2 y 2 y + 2y = ( 2 2 (b 2 y 2 y + 2y = 4 2 (c 2 y + 7 y + 5y = (d 2 y ( + 2y + ( + 2y = (e y ( + y + y = 2 e 2 (f 2 y + y + ( 2 4 y = 33/2 se (Use o eercício (f 7. (Pricípio de superposição Se y e y 2 são soluções de y + f (y + g (y = h e y + f (y + g (y = h 2, respectivamete, mostre que y = y + y 2 é solução de y + f (y + g (y = h + h 2. Use este fato para resolver: (a y + 3y + 2y = e + e 2 (b y + y = cos + 8 2 8. Ache a solução geral da equação diferecial dada em série de potêcias cetradas em = : (a y y y = (b y 2 y = (c y + 2 y + 4y = (d y y = (Equação de Airy (e y y y = (f y y = (g y 2 y + λy = (Equação de Hermite (h ( y + y = (i y + α 2 2 y =, α (j y + 2 y + y = (k y = 2 y (l y = 3 y 9. Dado α R, a equação diferecial é chamada Equação de Bessel de ordem α. 2 y + y + ( 2 α 2 y =, (a Se α =, mostre que y = ( 2 e y 2 2 (! 2 2 = y l + ( + ( 2 2 (! + 2 2 +... + 2 são soluções liearmete idepedetes da equação de Bessel. ( (b Se α = mostre que y = 2 2 2 2! + 4 2 4 2!3! 6 2 6 2!3!4! +... é solução.. Dado α R, a equação diferecial ( 2 y 2 y + α(α + y =, é chamada Equação de Legedre de ordem α. Mostre que as fuções m α(α 2(α 4...(α 2m + 2(α + (α + 3...(α + 2m y = + ( 2m, m= (2m! m (α (α 3...(α 2m + (α + 2(α + 4...(α + 2m y 2 = + ( 2m+ (2m +! m= são soluções liearmete idepedetes da equação de Legedre o itervalo (,.. (Série biomial Seja α um úmero real ão-iteiro. Neste eercício, vamos ecotrar uma epasão em série de potêcias para ( + α em toro de =. (a Mostre que y = (+ α é a úica solução da equação (+y = αy em (, satisfazedo y( =. (b Mostre que a série de potêcias tem raio de covergêcia. α(α...(α + 3!
(c Mostre que + g ( satisfaz a mesma equação diferecial do ítem (a e vale em =. Coclua que para todo α ão-iteiro vale se <. ( + α = + α(α...(α + A série acima é chamada de série biomial e foi estudada primeiramete por Newto. A igualdade acima geeraliza a fórmula usual do biômio de Newto e os iduz a defiir para α ão-iteiro e N o coeficiete biomial ( α. = α(α...(α +. Dessa forma, temos! para cada (, que ( ( + α α = +.! Roteiro para resolver uma equação diferecial liear de seguda ordem y + py + q y = f (via método de variação dos parâmetros: (a Ecotre soluções liearmete idepedetes y, y 2 da equação homogêea associada y + py + q y = ; ( y y 2 (b Calcule o Wroskiao W (y, y 2 = det ; y y 2 (c A solução geral da equação é soma de uma solução particular com uma solução geral da equação homogêea associada: ( y = ( y 2 f W (y, y 2 d y + y f W (y, y 2 d y 2 +C y +C 2 y 2 4
Respostas ( (a y = C e +C 2 e ; (b y = C e 2 +C 2 e 2 ; (c y = C e +C 2 se +C 3 cos ; (d y = e (C se( 3 +C 2 cos( 3; (e y = C e 5 +C 2 e 4 ; (f y = e /2 (C se( 3 2 +C 2 cos( 3 2 ; (g y = C e +C 2 e +C 3 2 e ; (h y = C cos( 2 2 +C 3 2se( 2 ; (i y = C + (C 2 +C 3 cos + (C 4 +C 5 se ; (j y = C e cos +C 2 e se ; (k y = C se(2 +C 2 cos(2; (l y = C e 2 cos +C 2 e 2 se. (2 (a y 2 = 2 ; (b y 2 = 2 l( + ; (c y2 = e ; (d y 2 = 2 ; (e y 2 = 2 ; (f y 2 = /2 cos ; (g y 2 = e 2 ; (h y 2 = e 2 ; (i y 2 = ; (j y 2 = l ; (k y 2 = e ; (l y 2 = 3 4 + 32 l ( 8 + (Dica: Escreva ( ( (3 2 2 ( 2 = A ( 3 + 2 ( + B 3 + 2 +. + (4 (a y = C cos(l +C 2 se(l +; (b y = C 2 +C 2 2 l ; (c y = {C cos(l 3 +C 2 se(l 3 }; (d y = C 2+ 2 +C 2 2+ 2 ; (e y = C 3 +C 2 4 ; (f y = C /2 +C 2 ; (g y = 2 (C +C 2 l ; (h y = C cos(l +C 2 se(l ; (i y = C +C 2 2 ; (j y = C +C 2 l ( ; (k y = C cos(2l +C 2 se(2l ; (l y = C 3/2 ( cos 3 2 l +C 3/2 se 3 ; 2 l (m y = C 3 +C 2 3 l ; ( y = C /2 cos (5 ( 5 2 l +C 2 /2 se ( 5 2 l ; (o y = C +C 2 2 (a y = 2 2 e l 3 4 2 e +C e +C 2 e ; (b y = e (8 2 + 4 + +C e +C 2 e 3 ; (c y = 2 e se2 + 4 e cos2 +C e cos2 +C 2 e se2; (d y = 3 2 + 2 + +C +C 2 e 2 ; (e y = se +C se +C 2 cos ; (f y = (3/2 2 e +C e +C 2 e ; (g y = (/2e {cos ( (/2se2 + se 3 } +C e se +C 2 e cos ; (h y = C cos2 +C 2 se2 + se ; (i y = e 5 (7 2 +C +C 2 ; (j y = e 2 ( 3 /2 2 /6 + /32 /28 +C +C 2 e 2 ; (k y = C e +C 2 e 2 (2/5(3se2 +cos2; (l y = C +C 2 e 3 (cos +3se / 2 /6 /9; (m y = C +C 2 + 2 ( 2 + 3 3 + 4 /2 + 5 /2 + (C 3 +C 4 e ; ( y = C e + e /2 C 2 cos 3 2 +C 3 3se 2 3 5; (o y = C e 2 +C 2 e 2 + e se ; (p y = (/7(3cos 5se +C e 4 +C 2 e ; (q y = 2 + (3/2 3/8 +C e 4 +C 2 e ; (r y = e +C e 3 +C 2 e 2 ; (s y = C cos3 +C 2 se3 + {(se3(l(sec(3 + tg(3 }; (t y = l(tg + sec cos +C se +C 2 se ; (u y = e 2 l +C e 2 +C 2 e 2 ; (v y = (3/4se2 l(se2 (3/2 cos2 +C se2 +C 2 cos2; (w y = se + cos l(cos +C cos +C 2 se ; ( y = (e /2(cos se +C e +C 2 e 2 (y y = +C 2 +C 2 ; (z y = 2 /3 +C +C 2 / (6 (a y = C +C 2 ( 2 + + 4 /6 2 /2; (b y = C +C 2 2 + 4 2 l ; (c y = C +C 2 5 + /2; (d y = C +C 2 e 2 2 ; (e y = C ( + +C 2 e + (/2e 2 ( ; (f y = C /2 cos +C 2 /2 se (3/2 /2 cos ; 5
(7 (a y = e /6 + e 2 /2 +C e +C 2 e 2 ; (b y = ((/2 +C se +C 2 cos + 8 2 6 (8 2.! (2+! 2+ ; 4( (4 4(4 5...4.3 +C 4+ (4+(4...5.4 ; ( 2+ (a y = C 2 2! +C (b y = C 4 ( 2 (c y = C 2 (2 (2 3...5.3 +C ( (d y = C + 3 (e y = C 2 2! +C (f y = C 2 (2! +C (3(3 (3 3(3 4...3 2 2! 2+ (2+! ; 2+ (2+! = C cosh +C sih ;! +C ( + 3+ (3+(3(3 2(3 3...4 3 ; 6
Parte 4 Trasformada de Laplace. Calcule a trasformada de Laplace de cada uma das fuções abaio: ( f (t = e 5t 2e t (2 f (t = cos(2t t (3 f (t = 2t 6 t + cos(7t (4 f (t = e 2t 3 (5 f (t = sih(3t + 5t 2 + 3 (6 f (t = 2t 2 t + 4 (7 f (t = cos 2 t (8 f (t = e 2 (cosh(3 + 2sih(3 (9 f (t = (se t cos t 2 { { 5, se < t < 3, se < t < ( f (t = ( f (t =, se t 3 t 2 2t + 2, se t { { se t, se < t < 2π 2t, se < t < 5 (2 f (t = (3 f (t = se t + cos t, se t 2π, se t 5 2. (Fução Gamma A fução Gamma é defiida por para >. Γ( = e t t dt, (a Mostre que Γ é bem-defiida, i.e., que a itegral acima é covergete para todo >. (b Use itegração por partes para mostrar que Γ( + = Γ(, para todo >. (c Use idução em para mostrar que Γ( = (! para todo iteiro >. Isso mostra que a fução Γ é uma etesão da fução fatorial para todos os reais positivos. (d Mostre que L (t α Γ(α + (s = s α+, para todos s > e α >. 3. Vamos estudar a trasformada de Laplace da fução f (t = t α para algus valores fracioários de α. (a Mostre que e 2 d = π/2. (b Mostre que L (t /2 = π/s, para s >. (c Mostre que L (t /2 = π/2s 3/2, para s >. 4. Mostre que (L f ( (s = L (( t f (t se f : (, R for de crescimeto epoecial. Use este fato para calcular L f (s se: ( f (t = t 3 se t (2 f (t = t 2 cos t (3 f (t = t 2 sih t (4 f (t = t cosh t 5. Resolva os seguites problemas de valor iicial: ( y y 6y =, y( =, y ( = (2 y + 3y + 2y =, y( =, y ( = (3 y 2y + 2y =, y( =, y ( = (4 y (i v y =, y( = y ( =, y ( = y ( = (5 y + y = cos(2t, y( =, y ( = (6 y 2y + 2y = e t, y( =, y ( = (7 y + y =, y( =, y ( = 2 (8 y 6y + 9y = e t, y( = y ( = 7
6. Verifique as seguites igualdades para a trasformada de Laplace e a trasformada de Laplace iversa: (a L (f (ct = ( s c L f ; c (b L {Y (ks} = ( t k L Y ; (c L {Y (as + b} = e bt/a L Y a k ( t a, se a >. 7. Calcule a trasformada iversa de Laplace L Y : ( Y (s = s 2 + 2s (s 2 (2 Y (s = 3s + s 2 4s + 8 2s + (4 Y (s = 4s 2 (5 Y (s = + 4s + 5 9s 2 2s + 3 (7 Y (s = 2e 2s s 2 (8 Y (s = e s (s 2 4 s 2 4s + 3 (3 Y (s = s 2 + 4s + 3 (s e 2s (6 Y (s = s 2 2s + 2 (9 Y (s = e 4s 2s 8. Esboce o gráfico de cada uma das fuções abaio e calcule sua trasformada de Laplace: { ( f (t = u (t (2 f (t = +, em (, (2,3 ( u (t (3 f (t =, fora de (, (2,3 {, em (, (4 f (t = se t (5 f (t = t, t <, f (t + = f (t (6 f (t =, f (t + 2 = f (t -, em (,2 9. Resolva os seguites problemas de valor iicial: ( y + y = u π/2 (t, y( =, y ( = (2 y + 4y = se t u 2π (tse(t 2π, y( = y ( = (3 y + 4y = se t + u π (tse(t π, y( = y ( = (4 y + 2y + y = u (t, y( =, y ( = (5 y + 3y + 2y = u 2 (t, y( =, y ( = (6 y + y = u π (t, y( =, y ( = {, em [,π (7 y + y = f (t, y( =, y ( =, ode f (t =, f (t + 2π = f (t, em [π,2π { t, em [, (8 y + y = f (t, y( =, y ( =, ode f (t =, em [, (9 y + 2y + 2y = δ(t π, y( = y ( = ( y + 2y + 2y = δ(t π, y( =, y ( = ( y + 4y = δ(t π δ(t 2π, y( = y ( = (2 y + 2y + y = δ(t + u 2π (t, y( =, y ( = (3 y y = 2δ(t, y( =, y ( = (4 y + y = δ(t πcos t, y( =, y ( =. Use a trasformada de Laplace para calcular as itegrais abaio: ( (4 te 2t cos tdt (2 e t se t dt (5 t e t e 3t dt t (3 e t se 2 t dt t (6 8 t 3 e t se tdt te 3t se tdt
Respostas ( ( Y = (s 5 + 2(s ; (2 Y = s(s 2 + 4 s ; (3 Y = 4s 7 s + s(s 2 + 49; (4 Y = e 3 (s 2 ; (5 Y = 3(s 2 9 + s 3 + 3s ; (6 Y = 4s 3 s 2 + 4s ; (7 Y = (/2(s + s(s 2 + 4 ; (8 Y = s((s 2 2 9 ; (9 Y = s (s 2 + 4 ; ( Y = 5( e 3s s ; ( Y = e s (s 2 + 2s 3 ; (2 Y = ( + se 2πs (s 2 + ; (3 Y = 2s 2 ( e 5s 9s e 5s. (5 ( y = (/5(e 3t + 4e 2t ; (2 y = 2e t e 2t ; (3 y = e t se t; (4 y = cosh t; (5 y = ( /3(cos(2t 4cos t; (6 y = (/5(e t e t cos t + 7e t se t; (7 y = + cos + se ; (8 y = (/4(e t + 3e 3t 8te 3t ; (7 ( y = se t 2e t + 2te t ; (2 y = e 2 (3cos2t + (7/2se2t; (3 y = (/3e 2t se3t; (4 y = (/2e t/2 cos t; (5 y = (/3sih(t/3e 2t/3 ; (6 y = u 2 (te t 2 cos(t 2; (7 y = u 2 (tsih(2t 2; (8 y = u (te 2t 2 cosh(t ; (9 y = (/2u 4 (te (t 4/2 (8 ( Y = s ( e s ; (2 Y = (s( + e s ; (3 Y = s ( e s + e 2s e 3s ; (4 Y = ( + e πs ( + s 2 ( e πs ; (5 Y = (s( + e s ; (6 Y = ( e s s ( + e s ; (9 ( y = cos t se t u π/2 (t( se t; (2 y = (/6( u 2π(t (2se t se2t; (3 y = (/6(2se t se2t (/6u π (t(2se t + se2t; (4 y = u (t( e (t (t e (t ; (5 y = e t e 2t +u 2 (t((/2 e (t 2 +(/2e 2(t 2 ; (6 y = cos t + u π (t( + cos t; (7 y + ( u π (t( cos(t π; (8 y = t u (t(t se(t ; (9 y = u π (te (t π se(t π; ( y = e t cos t + e t se t u π (te (t π se t; ( y = (/2se2t(u π (t u 2π (t; (2 y = 2te t + u 2π (t( e (t 2π (t 2πe (t 2π ; (3 y = cosh t + 2u (tsih(t ; (4 y = ( + u π (tse t ( ( 3/25; (2 l3; (3 ; (4 π/4; (5 (/4l5; (6 3/5 9