Programa Novos Talentos em Matemática 2010 Fundação Calouste Gulbenkian Por: Diogo Pernes (estudante 3º ano MIEEC/FEUP) Seminário Diagonal c/ orientação do Prof. SemyonYakubovich FCUP, 13 de Abril de 2011
Números Complexos Análise Complexa Função Gama e Função Hipergeométrica Transformada de Mellin
Preliminares números complexos Considerando o conjunto: E definindo as operações: Obtemos o corpo dos números complexos.
Preliminares números complexos Designando por o número complexo, vem. Assim, podemos escrever cada na forma. A chamamos parte real de e a damos o nome de parte imaginária de.
Preliminares números complexos Plano Complexo:
Números Complexos Análise Complexa Função Gama e Função Hipergeométrica Transformada de Mellin
Preliminares análise complexa Caminho definição: Aplicação contínua,, de um intervalo fechado, não reduzido a um ponto, que toma valores em e é continuamente derivável por bocados.
Preliminares análise complexa Singularidades Isoladas definição:, analítica em aberto e conexo ( derivável em ). diz-se singularidade isolada de se existe um disco aberto centrado em tal que todos os pontos deste disco, excepto, estão em, ou seja:
Preliminares análise complexa Série de Laurent: aberto contido em e centrado em., para todo o num disco Ao coeficiente chamamos resíduo de em.. Se, então diz-se pólo simples de e, nesse caso:
Preliminares análise complexa Teorema dos Resíduos:, onde é um caminho fechado, sem intersecções e orientado positivamente.
Números Complexos Análise Complexa Função Gama e Função Hipergeométrica Transformada de Mellin
Preliminares função gama e função hipergeométrica Função Gama definição: Algumas propriedades : 1. 2. 3. é inteira. 4. é analítica em todo o plano complexo, excepto em, onde tem pólos simples com resíduo.
Preliminares função gama e função hipergeométrica Função Hipergeométrica definição onde
Números Complexos Análise Complexa Função Gama e Função Hipergeométrica Transformada de Mellin
Preliminares transformada de Mellin Definição: Obs: Transformada Inversa:
Preliminares transformada de Mellin Algumas propriedades: 1.. Obs: A um integral da forma representada no 1º membro chamamos integral de convolução de Mellin. 2. Se na região, então na região..
Definição Fórmula geral de inversão Um caso particular interessante
A nossa transformada definição onde (função de Bessel da primeira espécie)
Definição Fórmula geral de inversão Um caso particular interessante
A nossa transformada fórmula geral de inversão A transformada de Mellin do núcleo é conhecida: Usando a propriedade 1. da T.Mellin, vem Portanto,,.
A nossa transformada fórmula geral de inversão determina-se agora pela inversa da T.Mellin: onde
A nossa transformada fórmula geral de inversão A função integranda tem pólos simples em e, Usando uma expansão assimptótica para (fórmula de Stirling), prova-se que o integral correspondente a converge condicionalmente na faixa:
A nossa transformada fórmula geral de inversão O Teorema de Slater ([2]) permite-nos tratar este integral como se estivesse definido sobre um caminho fechado. poles
A nossa transformada fórmula geral de inversão Assim,
A nossa transformada fórmula geral de inversão Fazendo umas continhas, obtém-se: Chegámos, finalmente, à expressão geral do núcleo da transformada inversa!
Definição Fórmula geral de inversão Um caso particular interessante
A nossa transformada um caso particular interessante Atendendo a que, no caso temos: Como calcular a fórmula de inversão? Uma possibilidade óbvia é substituir por na fórmula que encontrámos para.
A nossa transformada um caso particular interessante Vamos usar um método alternativo Atendendo a que onde
A nossa transformada um caso particular interessante Temos: Agora, queremos encontrar, se existirem, e tais que:
A nossa transformada um caso particular interessante Este sistema de equações lineares com 2 incógnitas e 4 equações é possível e determinado se e só se (é impossível para outros ). A solução é e, logo:
A nossa transformada um caso particular interessante Prova-se que: Pelo que obtemos, finalmente:
Fórmula de inversão para inteiro. Será possível exprimir como composição de outras transformadas? Quais? Propriedades de e possível aplicação na resolução de equações diferenciais. MAS PARA QUE É QUE ISTO SERVE?
[1] SMIRNOV, Gueorgui, Curso de Análise Complexa, Escolar Editora, 2003. [2] O.I. MARICHEV, Handbook of Integral Transforms of Higher Transcendental Functions: Theory and Algorithmic Tables, Ellis Horwood Limited, 1983.