Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 2007-2 Proessor: Eduardo Nobre Lages Limites Maceió/AL
Objetivo Estudar tendências no comportamento de unções. Para endoidar Para matutar
Motivação Problemas clássicos do cálculo: O problema da reta tangente O problema da área
O Problema da Reta Tangente Dada uma unção () e um ponto P em seu gráico, pede-se que seja encontrada a equação da reta tangente ao gráico no ponto P. () P Este problema é equivalente ao de encontrar o coeiciente angular da reta tangente em P.
O Problema da Reta Tangente É possível se aproimar desse coeiciente angular usando uma reta secante que passa pelo ponto de tangência P e um segundo ponto na curva Q. m sec ( c + ) ( c)
O Problema da Reta Tangente Conorme o ponto Q se aproima do ponto P, o coeiciente angular da reta secante se aproima do coeiciente angular da reta tangente. Quando essa posição ite eistir, o coeiciente angular da reta tangente é chamado de ite do coeiciente angular da reta secante.
O Problema da Área Considere a região deitada pelo gráico da unção (), o eio, e as retas verticais a e b. () a b Área?
O Problema da Área Vamos aproimar a região em pauta com diversas regiões retangulares. () () () a b a b Como sabemos calcular a área de um retângulo, à medida que o número de retângulos or crescendo, a composição das áreas tenderá ao valor da área da região original. Nossa meta é determinar o ite da soma das áreas dos retângulos conorme o número de retângulos aumente indeinidamente. a b
Continuidade de uma Função Uma unção é dita contínua num ponto se eiste um intervalo aberto ]a,b[, envolvendo este ponto, para o qual a unção é deinida para todos os pontos deste intervalo e quando a construção do gráico desta unção pode ser eita sem retirar a caneta do papel. a c Função contínua b a c b Funções descontínuas
Tipos de Descontinuidades a c Descontinuidade removível b Descontinuidade não removível Uma descontinuidade em c é chamada removível se pode tornar-se contínua por uma deinição (ou redeinição) apropriada de (c). a c b
Deinição Inormal de Limite Se () torna-se arbitrariamente próima de um único número L conorme se aproima de c por ambos os lados, o ite de (), para tendendo a c, é L. Esse ite é escrito como c ( ) L Para unções contínuas o ite da unção num ponto qualquer se conunde com o valor da unção neste ponto. (c)l a ( ) L c c b
Deinição Inormal de Limite O ite de uma unção descontínua num dado ponto de descontinuidade, não removível, não eiste. Neste caso, eistem ites laterais, quando se aproima do ponto em pauta por um lado ou outro do intervalo. K L a c Limite pela esquerda: signiica que se aproima de c por valores menores que c. c Limite pela direita: signiica que se aproima de c por valores maiores que c. b c ( ) + L ( ) K
Estimando o Limite Numericamente Faz-se uso do valor da unção em pontos vizinhos do ponto de interesse, tornando-os cada vez mais próimos. Eemplo: Calcule o valor da unção ( ) + 1 1 em diversos pontos na proimidade de 0 e use os resultados para azer uma estimativa do ite. Domínio da unção: D { R 1e 0}
Estimando o Limite Numericamente Tabela auiliar para cálculo do ite de em 0: -0,01-0,001-0,0001 0 0,0001 0,001 0,01 () 1,99499 1,99950 1,99995? 2,00005 2,00050 2,00499 A partir dos resultados vistos na tabela, é possível azer uma estimativa de que o valor ite é 2. Este resultado é reorçado pelo gráico de.
Estimando o Limite Numericamente Eemplo: Estime, em 3, o ite da unção ( ) + 2, 12 2, 3 > 3 Tabela auiliar para cálculo do ite de em 3: 2,9 2,99 2,999 3 3,001 3,01 3,1 () 4,9 4,99 4,999? 5,998 5,98 5,8 A partir dos resultados vistos na tabela, observa-se que não há convergência para um valor comum, indicando a presença de ites laterais. Portanto, 3 ( ) 5 3 + ( ) 6
Propriedades de Limites Sejam b e c números reais, seja n um inteiro positivo, e sejam e g unções com os seguintes ites: c ( ) L e g( ) c K 1. Multiplicação por um escalar: [ b ( ) ] bl 2. Soma ou dierença: 3. Produto: c c [ ( ) ± g( ) ] c 4. Quociente: [ ( ) g( ) ] 5. Potência: ( ) g c ( ) c LK L K [ ] n ( ) L ± K n L
Uma Estratégia para Encontrar Limites Seja c um número real e seja () g() para todo dierente de c em um intervalo aberto contendo c. Se eiste o ite de g() para tendendo a c, então também eiste o ite de () e c ( ) c g( )
Uma Estratégia para Encontrar Limites Eemplo: Encontre Considere 3 1 1 1 3 1 ( ), que não é deinida em 1. 1 É possível atorar () como 2 ( 1)( + + 1) 2 ( ) + + 1 g() 1
Uma Estratégia para Encontrar Limites Eemplo (continuação): Para todos os valores de, com eceção de 1, as unções e g são coincidentes, e como o ite da unção g eiste para 1, tem-se que 1 ( ) 1 g( ) 3
Uma Estratégia para Encontrar Limites Eemplo (resgate do problema da reta tangente): () 2 /10 m tan 10 10 m h 0 onde sec ( h) P(10,10) e Q(10+h,(10+h) 2 ) reta tangente para 10 m m m m sec ( tan tan tan h) (10 + h) (10) (10 + h) 10 ( 10 + h) 2 10 h 0 h 2 h 2h + 10 h 0 h h 2 + h 0 10 10 10 2 m tan 2