Questão 01 O polinômio P ( ) 10 0 81 possui rízes comples simétrics e um riz com vlor igul o módulo ds rízes comples. Determine tods s rízes do polinômio. p ( ) 10 0 81 z bi z bi 1 z bi z ( ) bi z rel Som ds rízes: z z z z z 1 z Som dos produtos ds rízes dus dus: zz zz zz zz zz zz zz zz zz zz 1 1 1 1 10 z z z z z z z z z z z z z z 1 1 1 1 10 zz 1 zz 10 bi bi bi bi 10 Segue: b Ms z b 1 9 Donde e b 7 z1 7i z 7i z 7i z 7i z Questão 0 Clcule o determinnte bio, no qul cis e i 1 1 0 i i 1 i 1i i1 1 0 1 i
Sej D o vlor do determinnte ddo. Pelo teorem de Jcobi substituímos primeir colun do determinnte por su som com terceir colun: 1 0 i 0 1 i D 0 i 1 1 1 1 i Pel regr de Chió, reduzimos ordem do determinnte: 1 i D i 1 1 0 1 0 Desenvolvendo diretmente o determinnte pel regr de Srrus, vem: D 1cis 1 cis 10 Questão 0 Determine o(s) vlor(es) de, inteiro(s) e positivo(s), que stisfz(em) equção y1 y z y1 z0 Pr cd vlor de y, de 1 té, desenvolve-se o produtório. Vlor de y 1 Produtório y 1 0 y 0 ( 1) y ( 0)( 1)( ) y ( 0)( 1)( )( ) Cd produtório result em um ftoril. Assim, 1!!!...! Cujs soluções são, por inspeção: 1 A prtir de, tem-se!. Logo os únicos vlores são: 1 e. Questão 0 Resolv equção cos log sen log sen cos Ds condições de eistênci dos logritmos, temos: sen 0 cos 0 k k cos 1
Com o uílio ds proprieddes dos logritmos desenvolvemos equção. logcos sen logcos sen logcos cos log cos sen logcos sen log sen cos logcos sen I ou logcos sen II De I, vem: sen cos sen 1 sen sen sen 1 0 1 sen 1 1 Como sen 0, então sen e rcsen k, k De II, vem: sen cos 1 sen 1 sen sen sen 1 sen sen 1 Ds condições de eistênci, temos 0sen 1 e portnto sen 0 e sen 1 0 Logo equção sen sen 1 não tem solução. Assim, o conjunto solução obtido é: 1 S rcsen k, k Questão 0 Sej ABCDABCD um prism reto de bse retngulr ABCD. Projet-se o ponto médio M d mior rest d bse sobre digonl AC, obtendo-se o ponto P. Em seguid projet-se o ponto P n fce opost, obtendo-se o ponto N. Sbe-se que NA NC k. Determine o comprimento d menor rest d bse. Suponhmos, sem perd de generlidde, que sej AB mior rest d bse. Nesse cso, temos NC NA e NC NA k. Desejmos clculr BC. Pelo teorem de Pitágors no APN e CPN, vem CP NP NC I AP NP NA II I II : Fzendo CP AP NC NA CP AP k
Trçndo o segmento CM n bse do prism e considerndo MA MB, temos seguinte figur: Pelo teorem de Pitágors no triângulo CMB obtemos CM. Nos triângulos CPM e APM, vem: CP PM CM CP PM III AP PM AP PM IV III IV Fzendo CP AP De *, vem k k Questão 06 Clculr o vlor d epressão bio Obs: lgs = lgrismos 7070 07 11 1 00 0 89 lgrismos 0 lgs "1" 0 lgs "0" Podemos decompor 707007 como 89 lgrismos 87 8 81 0 87 8 0 7 10 7 10 7 10 7 10 7 10 7 10 10 10 Pel fórmul d som dos termos d PG, vem: 0 0 7 10 90 10 1 7 90 10 1 10 1 10 1 999 7 Podemos decompor 111 1000 0 como: 0 lgs 0 lgs 0 0 1 9 10 10 10 10 10 1 9 Assim, riz dd equivle : 90 60 0 10 1 10 10 7 9 10 110 10 7 90 60 0 0 10 1 0 10 1 0 7 lgs 0 10 10 1 60 0 10 10 Questão 07 O ldo BC de um triângulo ABC é fio e tem comprimento. O ortocentro H do triângulo percorre um ret prlel à ret suporte de BC e distnte d mesm. ) Determine o lugr geométrico do ponto A qundo H vri. b) Determine o vlor mínimo d áre do triângulo ABC qundo A e H estão no mesmo semi-plno definido pel ret suporte de BC.
) Sem perd de generlidde, considermos B 0,0 e,0 C. y A,y ( ) A A r H( H, ) y B(0,0) Not-se que A H. Coeficiente ngulr de r: mr. Como r t, m m 1 Equção de t : y y m r t H mt 1 m H t H 0 0 y0 H H y H Em que t é ret perpendiculr r e que pss por C. O ponto A está sobre t, tl que A H. H ya H H, logo, y A H H C (, 0) t Assim o L.G. do vértice A é prábol de equção y, em que é bsciss de H,, tl que 0 e. Trt-se de um prábol que pss por B e C, com vértice situdo à distânci de BC, equidistnte de B e C ; dest prábol retirm-se os pontos B e C nos quis o triângulo não está definido. b) Pr 0 tem-se ya 0 o que evidenci um triângulo impossível (ineistente). N vizinhnç positiv de 0 y A proim-se de zero. Logo áre de ABC pode ser tão pequen qunto se queir, tendendo zero. Um professor dá um teste surpres pr um turm de 9 lunos, e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de lunos. De qunts forms turm pode ser orgnizr pr fzer o teste? (Por eemplo, um turm de lunos pode ser orgnizr de forms e um turm de lunos pode se orgnizr de 10 forms) Questão 08 Nenhum dupl: 1 form Um dupl: C9, 6 forms C9, C7, 6 1 Dus dupls: 78 forms! C9, C7, C, 6 110 Três dupls: 160 forms! 6 C9, C7, C, C, Qutro dupls: 9 forms! O totl de forms será: 16 78 160 9 60 forms
Questão 09 Resolver o sistem de equções y log 8 y y Restrição de domínio: 0,y 0. Supondo y : i) y 0 ii) log y log y log 0 posto que log logy. y Logo y log é impossível pr y. Supondo y i) y 0. ii) log y logy log 0 y Logo y log é impossível pr y. Rest y. De fto, log Assim, y. Substituindo n segund equção: 8 Sej t : t t t 0 t t t 0 As soluções são t 0,t 1,t Regressndo à vriável : 0 (impossível) 1 0 (impossível) e S, Logo, y Questão 10 Sejm p o semiperímetro de um triângulo, S su áre, r e R os rios de sus circunferêncis inscrit e circunscrit, respectivmente. Demonstre que vle seguinte desiguldde p S rr 9 7 Sejm,b,c os ldos do triângulo de vértices A,B,C 1ª prte: S r R 9 bc A áre do triângulo é S r 6
D lei dos senos: b c bc R sen A sen B sen C sen Asen Bsen C, ou sej bc RsenAsenB senc Assim, desiguldde equivle bc S r 9 9 sen A sen BsenCRr I 9 A função y sen é côncv, pr 0 180º, pois y`` sen 0 pr nesse intervlo. Assim, pel desiguldde de Jensen, temos sen A sen Bsen C ABC sen 180º sen Asen Bsen Csen sen Asen Bsen C Assim, em (I): S sen A sen B sen C Rr 9 9 Rr Rr 9 ª prte: p R r 7 D desiguldde ds médis, temos: bc bc p bc 8 p bc 7 bc A áre do tringulo é S, portnto: R 8 p SR 7 Ms temos ind que S 8 p prr 7 p Rr 7 p r, logo: 7
Professores: Mtemátic Lfyette Bruno Frg Colbordores Aline Alkmin Crolin Chveiro José Diogo Moisés Humberto Digitção e Digrmção Dniel Alves Érik Rezende João Pulo Vldivin Pinheiro Desenhists Lucino Brros Rodrigo Rmos Vinicius Ribeiro Projeto Gráfico Vinicius Ribeiro Assistente Editoril Vldivin Pinheiro Supervisão Editoril José Diogo Rodrigo Berndelli Mrcelo Mores Copyright Olimpo01 A Resolução Comentd ds provs do IME poderá ser obtid diretmente no OLIMPO Pré-Vestibulr, ou pelo telefone (6) 088-7777 As escolhs que você fez ness prov, ssim como outrs escolhs n vid, dependem de conhecimentos, competêncis, conhecimentos e hbiliddes específicos. Estej preprdo. www.grupoolimpo.com.br 8