Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto
1 Itrodução Neste material teórico iremos estudar relações etre úmeros biomiais, evolvedo as suas posições o Triâgulo de Pascal Além da relação de Stifel, e do fato de que podemos facilmete calcular a soma de todos os úmeros em uma liha de tal triâgulo, veremos que também é possível calcular a somas dos p primeiros termos de uma colua ou de uma diagoal, ode p é um atural qualquer Veremos também algumas aplicações desses fatos Aqui, sempre represetará um iteiro ão egativo e, quado escrevermos liha, estaremos os referido à liha do Triâgulo de Pascal, ou seja, àquela que começa com 0 Do mesmo modo, colua se refere à colua do Triâgulo de Pascal, ie, aquela que começa com Comecemos relembrado o que vimos até agora O teorema das lihas O seguite fato é cohecido como o Teorema das Lihas A soma dos úmeros da liha Triâgulo de Pascal é igual a : i 0 i0 A Figura 1 ilustra o que acotece as primeiras lihas Lembre-se de que já os deparamos com tal fato várias vezes, tedo exibido tato provas algébricas fazedo as cotas com a fórmula do Biômio de Newto, o material aterior a este, como provas que usam apeas argumetos combiatórios veja, por exemplo, o material sobre Combiações do Módulo Pricípios Básicos de Cotagem Liha 0: 1 0 1 Liha 1: 1 1 1 1 Liha : 1 1 Liha 3: 1 3 3 1 3 Liha : 1 6 1 8 Liha 5: 1 5 10 10 5 1 5 16 Figura 1: somas dos úmeros de uma liha do Triâgulo de Pascal Vejamos, a seguir, uma aplicação simples do Teorema das Lihas Exemplo 1 Ecotre o valor da seguite soma: 10 10 10 S 3 10 do Solução Apesar de que essa ão é a soma de uma liha iteira do Triâgulo de Pascal, faltam apeas três parcelas para obtermos todas as etradas da liha 10 Portato, aplicado o Teorema das Lihas, obtemos 10 10 10 S 0 1 10 10 10 10 0 1 10 10 10 10 0 1 10 1 10 5 968 Veja que é bem mais rápido calcular apeas os três biomiais que faltavam do que cada um dos outros oito Os exemplos seguites são aplicações ão do Teorema das Lihas em si, mas da ideia aplicada para demostrá-lo usado a fórmula do Biômio de Newto Exemplo Para um iteiro positivo fixado, mostre que a soma dos biomiais do tipo i, ode i é par, é igual à metade da soma de todos os biomiais da liha Prova Lembre-se de que, pela fórmula do Biômio de Newto, temos, para quaisquer x e y reais, x y x x 1 y 0 1 x i y i y i Em particular, tomado x y 1, obtivemos que a soma de todos os biômios a liha é igual a Por outro lado, para coseguirmos separar os termos ode i é par daqueles ode i é ímpar, basta fazermos x 1 e y 1 Nesse caso, temos: 0 1 1 1 0 1 Veja que as parcelas positivas da soma acima são justamete as do tipo i, ode i é par, ao passo que as egativas são as do tipo i, ode i é ímpar Como a soma total é igual a zero, cocluímos que a soma dos biomiais i, com i par, é igual à soma daqueles com i é ímpar É etão claro que, esse caso, cada uma dessas duas somas correspode à metade da soma de todos os biomiais a liha do Triâgulo de Pascal, ou seja, é igual a 1 1 Exemplo 3 À guisa de ilustração, observe que, como caso particular do exemplo aterior, a soma dos biomiais da liha que pertecem a coluas pares é 1 6 1 8 3, 0 http://matematicaobmeporgbr/ 1 matematica@obmeporgbr
equato a soma daqueles que pertecem a coluas pares é 8 3 1 3 Exemplo Ecotre o valor da soma 1 3 1 3 Solução Vamos usar o fato de que, para todo iteiro i com 1 i, vale: 1 i i i 1 Realmete,! i i i i! i!! i 1! i! 1! 1 i 1! i! i 1 Sedo assim, podemos escrever 1 1 i i i 1 i 1 i1 i1 1 1 1, j i1 j0 ode utilizamos o Teorema das Lihas a última igualdade acima Problema 5 Puc-Rio Sejam A 0,, A úmeros reais tais que, para todo x real, tehamos 1 x x A 0 A 1 x A x 1 a Ecotre o valor de A 0 A 1 A b Ecotre o valor da soma dos A i tais que i é par, ou seja, A 0 A A A Solução Como a idetidade 1 deve valer para qualquer valor de x, podemos testar o que acotece escolhedo algus valores específicos a Tomado x 1, todas as potêcias x i passam a ser iguais a 1 e o lado direito de 1 tora-se igual à soma desejada Etão, temos que 3 1 1 1 A 0 A 1 A b Aqui, iremos começar substituido x por 1, de ode cocluímos que 1 1 1 1 A 0 A 1 A A Agora, chamado de P a soma dos A i ode i é par e de I a soma daqueles ode i é ímpar, obtemos, a partir dessa última relação, que P I 1 Por outro lado, pelo item aterior, já sabíamos que P I 3 Somado membro a membro essas duas igualdades, obtemos P 3 1 e, daí, P 3 1 3 A relação de Stifel Como já apresetada o material teórico aterior, essa é outra importate relação que devemos lembrar Relação de Stifel Para k e iteiros, com 1 k, vale que: 1 k 1 k k Aqui, vale a pea ressaltarmos como esses termos são posicioados o Triâgulo de Pascal veja a Figura Desehado o triâgulo de forma que suas lihas estejam alihadas à esquerda, a relação de Stifel é visualizada assim: k 1 e k são etradas vizihas em uma mesma liha, equato 1 k fica logo abaixo de k : k 1 k 1 k Figura : a relação de Stifel O teorema das coluas Ao cotrário das lihas do Triâgulo de Pascal, que sempre possuem uma quatidade fiita de elemetos, veja que cada uma de suas coluas possui uma quatidade ifiita de etradas Sedo assim, ão faz setido calcularmos a soma de todos os elemetos de uma colua, pois tal soma ão é um úmero real vulgarmete, dizemos que tal soma é ifiita pois os termos da colua são todos iteiros positivos, logo, maiores ou iguais a 1 Por outro lado, uma perguta atural é o que acotece se somarmos apeas uma certa quatidade fiita de termos http://matematicaobmeporgbr/ matematica@obmeporgbr
iiciais de uma colua O Teorema das Coluas os mostra como calcular tal soma Para tato, veja iicialmete que o primeiro elemeto da colua sempre é 1, ao passo que aqueles que o seguem são 1,,, e assim por diate Teorema 6 Dados iteiros ão egativos e p, a soma dos p 1 primeiros úmeros da colua do Triâgulo de Pascal veja a Figura 3 é: 1 p p 1 1 Prova Faremos uma prova iteiramete algébrica, ou seja, sem o uso de argumetos de cotagem A ideia é calcular de duas formas diferetes o coeficiete de um determiado termo de um poliômio, qual seja: P x x1 x x1 x 1 x1 x p 3 Se expadirmos cada uma das parcelas dessa soma, obtemos um poliômio da forma P x a 1 x a p1 x p1, para certos úmeros reais a 1,, a p1 Vamos calcular o coeficiete a 1 de x 1 em P x Para tato, veja que a 1 pode ser obtido calculado-se o coeficiete de x 1 a expasão de cada um dos termos x1 x i e, em seguida, somado-se esses valores para cada i, com 0 i p Claramete, o coeficiete de x 1 a expasão da parcela x1x i é igual ao coeficiete de x a expasão de 1 x i ; por sua vez, pela fórmula do Biômio de Newto, esse último coeficiete é igual a i Etão, fazedo i variar de 0 a p, obtemos: 1 p a 1 Agora, vamos calcular o valor de a 1 de outra maeira Observe que a expressão origial para P x é a soma dos termos de uma progressão geométrica PG de primeiro termo x1 x e razão 1 x Portato, aplicado a fórmula para a soma dos termos de uma PG fiita, obtemos: P x x1 xp1 x1 x 1 x 1 1 x p1 1 x Por fim, desevolvedo essa última expressão, ovamete com o auxílio da fórmula do Biômio de Newto, temos que o coeficiete de x 1 é igual a p1 1 em 1 x p e igual a 0 em 1 x Portato, p 1 a 1 1 Como os dois valores obtidos para a 1 têm que ser iguais, obtemos que o Teorema das Coluas é válido 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 6 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 Figura 3: a soma dos quatro primeiros elemetos de uma colua do Triâgulo de Pascal Exemplo 7 Como caso particular do Teorema das Coluas, quado e p 3, ele os diz que 3 5 6 3 Os valores desse biomiais são exibidos a Figura 3 Observe que o Teorema das Coluas só pode ser aplicado se a soma for tomada começado pelo primeiro elemeto da colua que está sedo cosiderada Cotudo, é possível obter outras somas de termos cosecutivos aplicado-se o teorema duas vezes, coforme ilustra o próximo exemplo Exemplo 8 Ecotre o valor da soma Solução Sejam 9 10 0 A 3 3 3 3 0 B, 3 3 3 3 8 C, 3 3 3 e perceba que A B C Agora, pelo Teorema das Coluas, temos B 1 e C 9 Sedo assim, 1 9 A 5985 16 5859 http://matematicaobmeporgbr/ 3 matematica@obmeporgbr
5 O teorema das diagoais De forma aáloga à seção aterior, queremos ecotrar uma fórmula para a soma dos primeiros elemetos de uma diagoal do Triâgulo de Pascal Aqui, quado dizemos diagoal, estamos os referido a uma diagoal pricipal, ie, a uma sequêcia de termos que começa a colua 0 e tal que os termos seguites são obtidos avaçado-se, a cada passo, uma uidade tato a liha quato a colua do triâgulo Assim, começamos com um úmero biomial da forma 0 e cotiuamos para 1 1,,, e assim por diate Nesse caso, dizemos que se trata da diagoal do Triâgulo de Pascal Para um caso particular, veja a Figura O resultado desejado é o seguite, sedo cohecido como o Teorema das Diagoais Teorema 9 Dados iteiros ão egativos e p, a soma dos p 1 primeiros úmeros da diagoal do Triâgulo de Pascal é: 1 p p 1 0 1 p p Prova Dessa vez, faremos um prova iteiramete combiatória Para tato, vamos cotar de duas maeiras diferetes o úmero de soluções da iequação x 1 x 1 p, 5 ode x 1,, x 1 são úmeros iteiros ão egativos Lembre-se de que, o material teórico sobre Combiações Completas, apresetamos como resolver o problema aálogo a esse, o caso em que temos uma igualdade o lugar de uma desigualdade Aqui, basta observar que a iequação 5 vale se, e só se, existe um iteiro r tal que x 1 x 1 r, com 0 r p Para cada valor de r, o úmero de soluções dessa equação é 1 1 r r CR 1,r r r Etão, somado as quatidades de soluções obtidas para cada valor de r, obtemos 1 p, 6 0 1 p que é o lado esquerdo de Por outro lado, veja que 5 vale se, e só se, existe um iteiro ão egativo f tal que x 1 x 1 f p 7 Pese em f como a folga que temos a iequação origial 5 Veja, também, que cada solução da iequação 5, com x 1,, x 1 iteiros ão egativos, correspode, de forma úica, a uma solução da equação 7, e que a quatidade de tais soluções é 1 p p 1 CR,p 8 p p Agora, como tato 6 quato 8 represetam o úmero de soluções iteiras e ão egativas da mesma iequação, temos que eles devem ser iguais 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 6 1 1 5 10 10 5 1 Figura : somas dos quatro primeiros elemetos de uma diagoal do Triagulo de Pascal Exemplo 10 Particularizado o Teorema das Diagoais para 1 e p 3, obtemos 1 0 1 3 3 5 3 Os valores desses úmeros biomiais são exibidos a Figura De forma aáloga ao Teorema das Coluas, o Teorema das Diagoais só pode ser aplicado diretamete se a soma for iiciada com um termo da colua 0 Mas somas de outros termos cosecutivos de uma diagoal também podem ser calculadas aplicado-se o teorema várias vezes Vejamos um exemplo a seguir: Exemplo 11 Calcule o valor da soma 5 6 10 3 8 Solução Deotado por S a soma do euciado, temos 8 j j S j j j0 j0 11 5 155 8 http://matematicaobmeporgbr/ matematica@obmeporgbr
6 Equivalêcia etre os teoremas das coluas e das diagoais Apesar de termos exibido duas provas totalmete distitas uma da outra para os dois teoremas que omeiam esta seção, olhado para os euciados de cada um deles com cuidado pode-se perceber que eles são equivaletes Realmete, para ver isto é suficiete lembrarmo-os que, para quaisquer iteiros ão egativos a e b, vale a igualdade a b a b a b veja o material teórico sobre Combiações, por exemplo Os biomiais ab a e ab b são chamados de complemetares A partir da igualdade acima, basta observar que, se trocarmos cada um dos úmeros biomiais que aparecem a equação do Teorema das Coluas por seus respectivos complemetares, etão o resultado obtido é precisamete a equação do Teorema das Diagoais De fato, cada termo do lado esquerdo de é da forma i, ode 0 i p, equato que cada termo do lado esquerdo de é da forma i i, ode 0 i p; mas, como observamos acima, i i i Pelo mesmo argumeto, os valores que aparecem o lado direito de tais equações também são iguais: p 1 p 1 1 p Dessa forma, temos que a equação é satisfeita se, e somete se, a equação também é satisfeita Em outras palavras, poderíamos ter provado apeas o Teorema das Coluas, utilizado-o para cocluir que o Teorema das Diagoais é verdade, ou vice-versa É claro que, em todo caso, precisaríamos provar de forma idepedete pelo meos um deles 7 Aplicações Problema 1 Dado N, ecotre o valor da soma S 1 Solução 1 Observe que S ada mais é do que a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética, em que tato o primeiro termo quato a razão são iguais a 1 Etão, podemos simplesmete usar a fórmula para a soma dos termos de uma PA para obter S 1 Solução Caso você aida ão teha estudado progressões aritméticas, há uma outra forma de resolver esse problema A ideia que usaremos aqui ilustra a técica que será usada também os problemas seguites Basta perceber que, para todo iteiro ão egativo i, temos que i i 1 Sedo assim, 1 S 1 1 1 e, pelo Teorema das Coluas, segue que 1 1 S Problema 13 Dado N, ecotre o valor da soma S 1 3 3 1 Solução Veja que o termo geral de uma parcela dessa soma é igual a i i 1i, ode i varia de 3 a Como queremos obter uma soma de úmeros biomiais, basta observar que i i 1i i i i 1i 3! 3! 3! 3 Sedo assim, e utilizado o Teorema das Coluas, obtemos 3 S 3! 3! 3! 3 3 3 3 3! 3 3 3 1 3! 1 1 3!! 1 1 Problema 1 Ecotre o valor da soma dos quadrados dos primeiros iteiros positivos, isto é, calcule Q 1 Solução 1 Assim como o problema aterior, a ideia aqui é relacioar a soma pedida com uma soma de úmeros biomiais O termo geral da soma Q é simplesmete i ode i varia de 1 até Etretato, veja que i 1 i i ii 1 i 1 http://matematicaobmeporgbr/ 5 matematica@obmeporgbr
Sedo assim, e utilizado duas vezes o Teorema das Coluas, podemos escrever: 1 3 Q 1 1 1 1 3 1 9 1 1 1 1 1 3 Por fim, podemos simplificar a expressão fial obtida, o que resulta em: 1 1 Q 6 1 3 6 1 1 6 Solução Outra bela maeira de resolver esse problema é começar desevolvedo x1 3 com o auxílio da fórmula para o Biômio de Newto, obtedo o cohecido produto otável x 1 3 x 3 3x 3x 1 Em seguida, substituido x sucessivamete por 1,,,, obtemos: 1 1 3 1 3 3 1 3 1 1 1 3 3 3 3 1 1 3 3 3 3 1 Agora, somado membro a membro todas as equações acima, observe que a maioria dos termos que estão elevados ao cubo irão se cacelar, restado a igualdade 1 3 1 3 31 31 1 1 1 }{{} Assim, segue do resultado do Problema 1 que 1 3 1 1 3Q 3 Resolvedo a igualdade acima para Q, iremos obter o mesmo valor ecotrado a Solução 1 Problema 15 Ecotre o valor da soma dos cubos dos primeiros iteiros positivos, isto é: T 1 3 3 3 Prova Como a Solução 1 do problema aterior, é possível escrever o termo geral dessa soma, que é igual a i 3, ode 1 i, em fução apeas de algus úmeros biomiais Cotudo, para reduzir a quatidade de cálculos, vamos usar os resultados que já obtivemos sobre S e Q os problemas ateriores Observe primeiro que: i i 3 ii 1i 3i i 3! 3i i 3 Ao somar essas igualdades para i variado de 1 até e reordear as parcelas da igualdade assim obtida do mesmo modo que fizemos a Solução 1 do Problema 1, obtemos T 1 3 3 3 3 3! 3 3 3 3 1 1 3 6 3Q S 10 Usado os resultados dos Problemas 1 e 1 e simplificado, obtemos que: 3 1 T 6! 1 1 1 3 6 3 1 1 1 5 6 1 1 1 1 Observação 16 Uma curiosidade iteressate é que cocluímos que T S Essa igualdade ão se geeraliza para a soma dos cubos de quaisquer úmeros, mas ão é uma coicidêcia; ela é um caso particular do Teorema de Liouville, que afirma que a soma dos cubos dos úmeros de divisores positivos dos divisores positivos de um iteiro positivo m é igual ao quadrado da soma dos úmeros de divisores positivos dos divisores positivos de m Para uma prova desse fato, veja o problema 11 do capítulo 3 da referêcia [1] http://matematicaobmeporgbr/ 6 matematica@obmeporgbr
Em osso caso, tomado m 1, temos que m tem os divisores positivos 1,,,, 1, cujos úmeros de divisores positivos são 1,, 3,,, respectivamete Portato, a soma dos cubos dos úmeros de divisores positivos dos divisores positivos de m é 1 3 3 3, ao passo que o quadrado da soma dos úmeros de divisores positivos dos divisores positivos de m é igual a 1 Os dois problemas seguites mostram outras somas iteressates evolvedo úmeros biomiais, e serão deixados como exercícios para o leitor Para o primeiro deles, covecioamos que k 0 se k > Problema 17 Mostre que a seguite idetidade, cohecida como idetidade de Euler ou de Vadermode, é válida: p m m i p i p i0 Dica: Use um argumeto combiatório Mais precisamete, cosidere um cojuto {a 1,, a m, b 1,, b } e cote, de duas maeiras diferetes, a quatidade de subcojutos dele com p elemetos Problema 18 Mostre que a seguite idetidade, cohecida como idetidade de Lagrage, é válida: 0 1 Dica: Substitua algus dos úmeros biomiais por seus complemetares e utilize o resultado do problema aterior Dicas para o Professor Caso os aluos já teham estudado o Pricípio da Idução Fiita, uma outra forma bastate atural de provar o Teoremas das Coluas e o Teorema das Diagoais é usado idução sobre a quatidade de termos a serem somados Neste caso, para provar que vale o passo idutivo basta usar a relação de Stifel É iteressate observar visualmete, o Triâgulo de Pascal, a que correspode esse passo idutivo Essa visualização pode ser útil mesmo para aluos que ão sejam fluetes em idução Sugestões de Leitura Complemetar 1 A Camiha Tópicos de Matemática Elemetar, Volume 5: Teoria dos Números, a edição SBM, Rio de Jaeiro, 013 P C P Carvalho, A C de O Morgado, P Feradez e J B Pitombeira Aálise Combiatória e Probabilidade SBM, Rio de Jaeiro, 000 3 R L Graham, D E Kuth e O Patashik Matemática Cocreta: Fudametos para Ciêcia da Computação Editora LTC 1995 J P O Satos, M P Mello e I T Murari Itrodução à Aálise Combiatória Rio de Jaeiro, Ciêcia Modera, 007 http://matematicaobmeporgbr/ 7 matematica@obmeporgbr