Tem #4. Resolução de problem que conduzem s.e.l. incomptível Assunto: Problems que conduzem Sistem de Equções Lineres incomptível. Introdução os sistems incomptível Ns uls nteriores, estudmos problems que erm modeldos por sistem de equções lineres com solução únic ou infinits soluções, existe outr possibilidde qundo sistem não tem solução, neste cso o problem será reformuldo modificndo ddos primários ou encontrndo s condições pr que dito problem tenh solução. Os princípios que devemos seguir são seguintes: I. Compreender o problem ) Expressr o problem com outrs plvrs. b) Domínio dos conceitos necessários pr interpretr o problem. c) Determinr os ddos do problem. d) Estbelecer o objetivo do problem. II. Construção do modelo mtemático. ) Determinr s vriáveis. b) Construção do sistem de equções lineres identificndo cd equção e elementos del. III. Solução do modelo mtemático. ) Expressr o sistem de equções lineres d form AX=B b) Verificr comptibilidde do sistem de equções lineres utilizndo teorem de condicionlidde d solução dos posto d mtriz dos coeficientes denotdo por P(A) e d mtriz mplid denotdo por P(A B). Se P(A)=P(A B) então vmos pr o inciso c d solução do modelo mtemático senão modificmos mtriz B dos termos independentes e vmos o inciso b d construção do modelo mtemático. c) Achr su solução do sistem trvés do comndo Solve no sistem de computção Algébric Derive. IV. Interpretção d solução. ) Anlisr o resultdo em correspondênci com o problem.
Problem 1 Um gricultor tem um fzend com 10 h e desej plntr dois cultivos, se por cd hectre do cultivo 1 e 2 gst R$ 200. Que quntidde de hectre deve plntr o gricultor se possui pr inverter n plntção R$ 1000? I. Compreender o problem Lei o problem detlhdmente e interprete os conceitos do mesmo. Hectre: Unidde de medid grári equivlente 10000 metros qudrdos, simbolizdo por h. Reis Hectre Quntidde de reis gstdo por cd hectre produzid, denotdo por R$ h Determinr e interpretr os ddos do problem. A fzend possui 10 hectre pr plntr dois cultivos O dinheiro disponível pr os dois cultivos é de R$ 1000 Os gsto por hectre pr plntr cd cultivo é de R$ 200. O objetivo do problem é determinr quntidde de hectre plntr pr cd cultivo, se desej cultivr dois tipos de cultivo. II Construção do modelo mtemático. Determinr s vriáveis A vriáveis x represent quntidde de hectre ser plntd do cultivo 1 e y quntidde hectre do cultivo 2. As vráveis são x 0e y y 0 Atividde 1. Definir s vriáveis. Construção do sistem de equções lineres b) Construção do sistem de equções lineres. x porque representm hectre. Como (quntidde de hectre do cultivo 1) + (quntidde de hectre do cultivo 2) = 10 hectre então equção x + y = 10 represent quntidde de hectre cultivd. O cpitl disponível pr cultivr é de R$ 1000 e como (cultivo 1 gst R$ 200 por h) + (cultivo 2 gst R$ 2000 por h) = R$ 1000 é representdo pel equção 200x + 200 y = 1000 que represent o gsto em reis n plntção.
A expressão 200x signific quntidde de reis ser gstdo pelo cultivo 1, R$ 200 xh R$ 200x e pr o cultivo 2 expressão 200y signific quntidde de reis ser h gstdo pelo cultivo 2, R$ 200 yh R$ 200y h Podemos resumir Cultivo 1 Cultivo 2 Totl Hectre (h) x h y h 10 h Gsto (R$) R$ 200 x R$ 200 y R$ 1000 O sistem qued representdo por: x y 10 200x 200y 1000 III Solução do modelo mtemático A representção do sistem d form AX=B 1 200 1 x 10 200 y 1000 Atividde 2. Definir o sistem em form mtricil AX=B. Solubilidde do sistem de equções lineres Por ser um sistem de dus equções por dus incógnits podemos utilizr o método gráfico pr determinr solubilidde do sistem. Atividde 3. Determinr solubilidde do sistem.
Podemos observr que s dus equções são prlels, pelo que nunc se cortrão em um ponto então podemos concluir o sistem não tem solução. Critério do posto d mtriz dos coeficientes e d mtriz mplid. Como P( A B) 2 1 P( A), então o sistem não tem solução Utilizndo o comndo Solve o resultdo é ddo [ ] indicdo que o sistem não tem solução Atividde 4. Solução do sistem utilizndo o comndo Solve. Nosso objetivo gor é reformulr o problem pr tenh solução e que posto ds mtrizes dos coeficientes (A) sej igul o posto d mtriz mplid (A B), ou sej, P(A B)=P(A). Podemos trnsformr mtriz dos coeficientes (A) e/ou mtriz dos coeficientes (B) sempre que cumprm que P(A B)=P(A). Pel nturez de nosso problem será trnsformdo B porque devemos plntr dois cultivos que já tem um gsto que não pode ser lterdo.
10 Trnsformemos mtriz B por B, onde represent totl de hectre e b totl 1000 b de reis ser gstdo n plntção, devemos encontrr que condição deve cumprir e b pr x y poder gerr solução do problem. O sistem quedrá representdo por 200x 200y b Resolvendo o sistem de equções nterior podemos isolr y d equção (1) e obtemos e gor vmos substituir n equção (2), então 200 x 200( x) 200x 200 200x 200 b, podemos concluir que b 200 (1). (2) y x O sistem nterior vi ter solução se e b b 200 0, é dizer todos os vlores reis de e b que se encontrm sobre ret b-200, permitindo que o posto P(A)=P(A B)=P=1 convertendo o sistem com solução. Como posto é menor que número de vriáveis P=1<2=N o sistem tem infinits soluções e N-P=2-1=1 vriáveis independentes. A trnsformção d mtriz B pode ser obtid no Derive utilizndo o comndo TrnsCol(MtrizB) que trnsform mtriz colun B que está formd pelo termos independentes do sistem pr um função que o número de vriáveis independente é menor ou igul número de elementos de B. O comndo TrnsCol(MtrizB) não form prte do pcote pdrão, no Derive podem ser crido comndo pr complementr noss necessiddes que serão gurddo nos rquivos utilitários com extensão MTH. O diretório \Users no disco do DERIVE inclui pcotes mtemáticos como um contribuição grtuit produzid por vários usuários do DERIVE. Alguns dos pcotes são distribuídos como rquivos MTH compnhdos de rquivos de documentção DOC e demonstrção DMO, possuindo os mesmos nomes que os rquivos MTH. Outros pcotes são distribuídos como rquivos DFW, contendo sus própris documentções e exemplos. Se você tiver qulquer dúvid sobre um pcote, contte diretmente o utor do pcote. O nome e endereço dos utores devem estr incluídos n documentção de cd pcote. O comndo TrnsCol(MtrizB) encontr-se em C:\DFW5Tril\Mth mis loclizção deste rquivo pode depender d versão do Derive, d instlção ou onde o usuário quere gurdr os rquivos utilitários MTH, o nome do rquivo onde se encontr o comndo TrnsCol é TrnsformB.mth. Atividde 5. Crregndo comndos de rquivos utilitários.
Pr crregr o comndo TrnsCol devemos pressionr no menu Arquivo>> Crregr >> Arquivos Utilitário, posteriormente seguimos o cminho C:\DFW5Tril\Mth e brimos o rquivo TrnsformB.mth. O comndo LOAD pode ser digitdo n linh de edição com o cminho e o rquivo como é indicdo bixo. Atividde 6.Utilizndo o comndo TrnsCol. Atividde 7. Gráfico d ret b-200=0.
Existem infinitos e b que stisfzem equção b-200=0, pel nturez de nosso problem e b devem ser reis positivos porque representm totl de totl hectre e b dinheiro em reis ser gsto nos cultivos. De cordo com os ddos de nosso problem, se tem 10 hectres por tnto, 0 10, utilizndo o comndo Tble construiremos tbel possíveis de e b ; Atividde 8. Vlores possíveis de e b. Ds combinções de e b pr que o sistem de equções lineres tenh solução vmos nlisr dois csos: 1 cso, Qundo cultivmos os 10 hectres o investimento deve umentr de R$ 1000 pr R$ 2000 e 2 cso, se investimos R$ 1000 os hectres ser plntd deve diminuir de 10 hectres pr 5 hectres. 1 Cso: O vlor de =10 e b=2000 x y 10 O sistem ser resolvido 200x 200y 1000 Atividde 9. Resolvendo o sistem de equções do 1 cso.
2 Cso: O vlor de =5 e b=1000? x y 5 O sistem ser resolvido (II) 200x 200y 1000 Atividde 10. Resolvendo o sistem de equções do 2 cso.
IV Interpretção d Solução Considerndo o 1º cso, o totl de terr ser cultivd é 10 hectre pr dois cultivos e deve ser umentdo o gsto de R$ 1000 pr R$ 2000. Os resultdos em detlhes de hectre cultivdos e gstos são mostrdos n tbel bixo. Hectre do Cultivo 1 Hectre do Cultivo 2 Gsto em Reis do Gsto em Reis do Cultivo 1 Cultivo 2 0 10 0 2000 1 9 200 1800 2 8 400 1600 3 7 600 1400 4 6 800 1200 5 5 1000 1000 6 4 1200 800 7 3 1400 600 8 2 1600 400 9 1 1800 200 10 0 2000 0 Considerndo o 2º cso, o totl de terr ser cultivd deve diminuir de 10 hectre pr 5 hectres com um gsto de R$ 1000 pr os dois cultivos Os resultdos em detlhes de hectre cultivdos e gstos são mostrdos n tbel bixo. Hectre do Cultivo 1 Hectre do Cultivo 2 Gsto em Reis do Gsto em Reis do Cultivo 1 Cultivo 2 0 5 0 1000 1 4 200 800 2 3 400 600 3 2 600 400
4 1 800 200 5 0 1000 0 Problem 2. Um fzend cultiv três cultivos em 120 hectres pr stisfzer um necessidde de consumo de 500 tonelds e se possui R$ 50000 pr o investimento. O cultivo 1 tem um rendimento por hectre de 3 tonelds com um gsto por hectre de R$ 200, pr o cultivo 2 e 3 o rendimento por hectre é de 5 tonelds e um gsto de R$ 500 por hectre. Determine quntidde de hectre ser plntd pr cd cultivo? I. Compreender o problem Lei o problem detlhdmente e interprete os conceitos do mesmo. Hectre: Unidde de medid grári equivlente 10000 metros qudrdos, simbolizdo por h. Tonelds Quntidde de tonelds produzid por cd hectre cultivd, denotdo por Hectre ton h Reis Hectre Quntidde de reis gstdo por cd hectre cultivd, denotdo por R$ h Determinr e interpretr os ddos do problem. A fzend possui 120 hectres pr plntr três cultivos A produção deve ser de 500 tonelds incluindo os três cultivos. O dinheiro disponível pr os três cultivos é de R$ 50000. O rendimento de tonelds por hectre do cultivo 1 é de 3 tonelds, pr o cultivo 2 e 3 é de 5 tonelds. Os gsto por hectre pr plntr cd cultivo 1 é de R$ 200 e de cultivo 2 e 3 é de R$ 500. O objetivo do problem é determinr quntidde de hectre plntr pr cd cultivo, se desej cultivr três tipos de cultivo. II Construção do modelo mtemático. Determinr s vriáveis A vriáveis c1 represent quntidde de hectre ser plntd do cultivo 1, c2 quntidde hectre do cultivo 2 e c3 quntidde hectre do cultivo 3. As vriáveis 1, c2, c3 c1 0, c2 0, c3 0 Atividde 11. Definir s vriáveis. c porque representm hectre.
Construção do sistem de equções lineres Como (quntidde de hectre do cultivo 1) + (quntidde de hectre do cultivo 2) + (quntidde de hectre do cultivo 3)= 120 hectre então equção c1+c2+c3 = 120 represent quntidde de hectre cultivd. O totl d produção dos três cultivos é de 500 tonelds e (tonelds do cultivo 1) + (tonelds do cultivo 2) + (tonelds do cultivo 3) = 500 tonelds então equção 3c1+5c2+5c3=500 represent produção em tonelds; onde 3c1 signific toneld produzid do cultivo 1, ton ( 3 )( c1h ) 3c1 ton ; 5c2 signific toneld produzid do cultivo 2, h ton ( 5 )( c2h ) 5c2 ton e 5c3 signific toneld produzid do cultivo 3, h ton ( 5 )( c3h ) 5c3 ton. h O cpitl disponível pr cultivr é de R$ 50000 e como (cultivo 1 gst R$ 200 por h) + (cultivo 2 gst R$ 500 por h) + (cultivo 3 gst R$ 500 por h)= R$ 50000 então equção 200c1+500c2+500c3=50000 represent o gsto em reis n plntção; onde 200c1 signific os R$ gsto em reis n produção do cultivo 1, ( 200 )( c1h ) R$ 200c1 ; 500c2 signific os gsto h R$ em reis n produção do cultivo 2, ( 500 )( c2h ) R$500c2 e 500c3 signific os gsto em h R$ reis n produção do cultivo 3, ( 500 )( c3h ) R$500 c3. h Podemos resumir Cultivo 1 Cultivo 2 Cultivo 3 Totl Hectre (h) c1 h c2 h c3 h 120 h Tonelds (ton) 3c1 ton 5c2 ton 5c3 ton 500 ton Gsto (R$) R$ 200 c1 R$ 500 c2 R$ 500 c3 R$ 50000 O sistem qued representdo por:
c1 c2 c3 120 3c1 5c2 5c3 500 200c1 500c2 500c3 50000 III Solução do modelo mtemático A representção do sistem d form AX=B 1 3 200 1 5 500 1 c1 120 5 c2 500 500 c3 50000 Atividde 12. Definir o sistem em form mtricil AX=B. Determinr solubilidde do sistem de equções lineres Atividde 13. Determinr solubilidde do sistem.
Como P( A) 2 3 P( A B) então o sistem não tem solução, por tnto trnsformremos mtriz pr B pr fzer nosso sistem solúvel. Devido que temos que produzir 500 tonelds entre os três limentos pr stisfzer um necessidde de mercdo, 500 será fixdo n mtriz B e vriremos que represent totl de hectres ser cultivds e c totl de investimentos em reis pr os três cultivos. O sistem ser resolvido pr encontrr s condições pr que nosso sistem tenh solução é c1 c2 c3 3c1 5c2 5c3 500 200c1 500c2 500c3 c Atividde 14.Utilizndo o comndo TrnsCol. O sistem tem solução qundo P(A B)=P(A), pr isso deve-se cumprir condição 250 c 75000 0. Do problem temos 120 hectres pr cultivr, nlisremos qundo vrimos os hectres ser cultivd qunto devemos gstr pr mnter produção em 500 tonelds. O vlor de represent totl de hectres deve cumprir 0 120 Atividde 15. Vlores possíveis de e c.
Vmos reformulr o problem e fzer proposts de soluções. Considerremos dois csos: 1 Cso, qundo produzimos totlidde ds 120 hectres e o custo de produção é R$ 45000 o que sobrri R$ 5000, 2 Cso Se gstmos todo dinheiro disponíveis R$ 50000 quntidde de hectre plntr é de 100 hectres. 1 Cso: O vlor de =120, b=500 e c=45000 c1 c2 c3 120 O sistem ser resolvido 3c1 5c2 5c3 500 (III) 200c1 500c2 500c3 45000 Atividde 16. Resolvendo o sistem de equções do 1 cso.
2 Cso: O vlor de =100, b=500 e c=50000 c1 c2 c3 100 O sistem ser resolvido 3c1 5c2 5c3 500 200c1 500c2 500c3 50000 Atividde 17. Resolvendo o sistem de equções do 2 cso.
IV Interpretção d Solução Considerndo o 1 cso, o totl de terr ser cultivd é 120 hectre, com um produção de 500 tonelds e o custo pode ser reduzido de R$ 50000 pr R$ 45000. Os resultdos em detlhes por cultivo de hectre cultivdos, tonelds produzids e gstos são mostrdos n tbel bixo. Legend d tbel C-1 h: Hectre cultivd do cultivo 1 C-2 h: Hectre cultivd do cultivo 2 C-3 h: Hectre cultivd do cultivo 3 C-1 ton: Tonelds produzid do cultivo 1 C-2 ton: Tonelds produzid do cultivo 2 C-3 ton: Tonelds produzid do cultivo 3 R$ C-1: Reis gsto no cultivo 1 R$ C-2: Reis gsto no cultivo 2 R$ C-3: Reis gsto no cultivo 3 C-1 h C-2 h C-3 h C-1 ton. C-2 ton. C-3 ton. R$ C-1 R$ C-2 R$ C-2 50 0 70 150 0 350 10000 0 35000 50 10 60 150 50 300 10000 5000 30000 50 20 50 150 100 250 10000 10000 25000 50 30 40 150 150 200 10000 15000 20000 50 40 30 150 200 150 10000 20000 15000 50 50 20 150 250 100 10000 25000 10000
50 60 10 150 300 50 10000 30000 5000 50 70 0 150 350 0 10000 35000 0 Consideremos o 2 cso, se gsto por produzir 500 tonelds é de R$ 50000 áre cultivd pode ser reduzid de 120 hectre pr 100 hectre. Os resultdos em detlhes por cultivo de hectre cultivdos, tonelds produzids e gstos são mostrdos n tbel bixo. C-1 h C-2 h C-3 h C-1 ton. C-2 ton. C-3 ton. R$ C-1 R$ C-2 R$ C-2 0 0 100 0 0 500 0 0 50000 0 20 80 0 100 400 0 10000 40000 0 40 60 0 200 300 0 20000 30000 0 60 40 0 300 200 0 30000 20000 0 80 20 0 400 100 0 40000 10000 0 100 0 0 500 0 0 50000 0 Podemos concluir que um sugestão pr fzend será o 1 cso porque temos produção dos três cultivos enqunto 2 cso não temos produção do cultivo 1
Exercícios Propostos 1. Se tem 22 kg de um produto pr elborr dois produtos diferentes n elborção do produto 1 consume-se 2 kg por unidde e do produto 2 consume-se 4 kg por unidde.o preço de vend do produto 1 e de R$ 15 e do produto 2 R$ 30 e tem-se um rend de R$ 150. ) Demonstrr que o sistem não tem solução b) Determinr relção entre quntidde totl em kilogrm e rend pr que o problem tenh solução. c) Achr um conjunto solução d quntidde produzir de cd produto. d) Determinr o consumo de mtéri prim e rend de cd produto do conjunto solução clculdo. 2. Se desej fbricr um mistur utilizndo três produtos, onde som d quntidde do produto 1 e 2 com dobro do produto 3 é igul 20 kg, se pr mistur tem-se 445 g de proteín e 3,2 kg de crboidrtos. Pr elborr mistur do produto 1 contem por cd kilogrm, 40 g de proteín e 100 g de crboidrtos; o produto 2 tem 5 g de proteíns e 200 g de crboidrtos e o produto 3 tem 80 g de proteíns e 200g de crboidrto. ) Demonstrr que o sistem não tem solução b) Determinr relção entre quntidde totl proteín e crboidrto mntendo fix quntidde totl de 20 kg pr que o problem tenh solução c) Achr um conjunto solução d quntidde que deve ser utilizd de cd produto. 3. Um fbric produz 140 uniddes entre três tipos de produtos prtir de dus mtéris prims. Do produto tipo B se fbric igul quntidde que s fbricds entre os tipos A e C. Cd unidde fbricd do produto tipo A consume 3 kg d mtéri 1 e 2 kg d mtéri prim 2, o produto B consume 1 kg d 1 e 0.5 kg d 2 e o produto C consume 2 kg d 1 e 2 kg d 2, se em totl são consumido 195 kg d mtéri prim 2. ) Demonstrr que o sistem não tem solução b) Determinr relção entre quntidde totl de uniddes e o consumo de mtéri prim 2 pr que o problem tenh solução. c) Achr um conjunto solução d quntidde de uniddes que devem fbricr-se de cd tipo de produtos e o consumo totl d mtéri prim 1.
4. Se desej fbricr três produtos utilizndo um mesm linh de produção em um jornd 08 hors, o produto 1 consume 22 minutos pr su fbricção, 10 minutos o produto 2 e 30 minutos pr o produto 3. Se o produto 1 tem um custo unitário R$ 5,00 e um rend unitári de R$ 10,00, o produto 2 o custo de R$ 5,00 e rend de 20,00 e o produto 3 o custo de R$ 15,00 e rend de 60,00, se tem-se um rend de R$ 400,00 e um custo de R$ 150,00. ) Demonstrr que o sistem não tem solução b) Determinr relção rend e custo mntendo fix um jornd de 8 hors pr que o problem tenh solução. c) Achr o um conjunto solução d quntidde que deve ser produzid de cd produto. 5. Se desej plntr 100 h entre 05 tipos de cultivo. De form que s h plntds do cultivo 1 sejm iguis s ds plntds entre os cultivos 2 e 3, e pr o cultivo 2 s há plntds são iguis s dos 4 e 5 juntos. O custo pr plntr um h do cultivo 1 é de R$ 300, pr o cultivo 2 e 3 de R$ 250, pr o cultivo 4 é de R$ 400 e pr o cultivo de R$ 400 com um custo totl de R$ 30750. O rendimento esperdo é de 2 ton/h pr o cultivo 1, 1,5 ton/h pr os cultivos 2 e 3 e de 3 ton/h pr os cultivos 4 e 5, com produção totl de 200 tonelds. ) Demonstrr que o sistem não tem solução b) Determinr relção d quntidde totl de produção em tonelds e o custo em reis mntendo fixo 100 hectres ser cultivd pr que o problem tenh solução. c) Achr um conjunto solução d quntidde de hectres ser plntd de cd tipo de cultivo