Oscilações e Ondas Oscilações forçadas

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Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 1 Oscilações livres e forçadas Exainaos até aqui a dinâica de osciladores harônicos e oviento a partir de ua condição inicial No Capítulo O Oscilador Harônico, soente a força da ola epurrava a assa após o oento de partida No Capítulo Oscilações Aortecidas, ua força de atrito viscoso se juntou à da ola Nos dois casos, as forças são internas E cada instante, elas são deterinadas pela posição e pela velocidade da assa Vaos agora estudar o efeito de ua força externa sobre o oscilador, que pode variar co o tepo t Particularente iportantes são as forças externas periódicas Coo já vios, a vibração de u oscilador harônico siples te u período característico independente das condições iniciais Terá o oscilador coportaento especial quando o período da força externa se aproxiar do período natural do oscilador? Não é a prieira vez que essa pergunta aparece Já a encontraos, e sua resposta, no Capítulo RLC Lá, vios que o circuito elétrico constituído por indutor, resistor e capacitor possui ua frequência natural de oscilação Quando a frequência do gerador de corrente alternada que alienta o circuito se aproxia da frequência natural, o circuito entra e ressonância Encontrareos o eso fenôeno nos osciladores ecânicos Quando a frequência da força externa se aproxia da frequência natural do oscilador, o oviento deste se aplifica Que epurra u balanço, por exeplo, procura acopanhar o rito natural do seu oviento Ua pequena força na frequência certa é suficiente para elevar o assento a u etro ou ais acia do ponto de equilíbrio Equação diferencial A assa da Figura 1 está sujeita a três forças horizontais: a força da ola F k, o atrito viscoso F υ e a força externa F(t) Esta últia é ua função conhecida do tepo A dependência das forças elástica e viscosa e relação à posição e à velocidade da assa já foi discutida no Capítulo Oscilações Aortecidas: F k = kx e F υ = bυ, ( 1 ) Figura 1: O oscilador harônico forçado onde k e b são constantes

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas A Lei de Newton nos dá então a aceleração de : a = kx bυ + F(t) ( ) Lebrando que v = dx/ e a = dv/, obteos a igualdade: Coo sepre, a Lei de Newton nos conduziu a ua equação diferencial Sua solução depende das condições iniciais: dv + b dx + kx = Ft () ( 3 ) x(t = ) = x e v(t = ) = v, ( 4 ) onde x e v são duas constantes conhecidas A Equação 3 pode ser resolvida pelo procediento descrito no Capítulo Oscilações Aortecidas Ua vez que a equação diferencial vincula a velocidade da partícula à sua posição, definios ais ua vez a função: z(t) = v(t) + sx(t), ( 5 ) onde s é ua constante que deterinareos ais adiante Teos portanto: ou seja, dz dv = + sv, ( 6 ) Substituíos agora dv/ na Equação 3 pelo lado direito dessa expressão Obteos assi a equação: dv dz = sv ( 7 ) dz sv+ bv+ kx= F(), t ( 8 )

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 3 ou, dividindo os dois lados por e agrupando os teros proporcionais à velocidade, dz b s v k x Ft + + = () Coo no Capítulo Oscilações Aortecidas, para siplificar a notação, definios as constantes: ( 9 ) ω = k γ = b e Co essas definições, a Equação 9 passa a ser escrita: ( 1 ) Deveos agora substituir as parcelas proporcionais a v e x por u só tero, proporcional a z Para isso, agrupaos aquelas parcelas: e escolheos s de fora que o segundo tero à esquerda seja proporcional a z(t) = v(t) + sx(t) Isso exige que: Multiplicando os dois lados dessa igualdade por γ s, encontraos ua equação do segundo grau para s: dz dz + ( γ sv ) + ω x = Ft ω + s v+ s x ( γ ) = γ ω s = γ s () Ft (), ( 11 ) ( 1 ) ( 13 ) s γs + ω = ( 14 ) As raízes dessa equação são: γ γ s ± = ± ω 4 A Equação 15 já apareceu no Capítulo Oscilações Aortecidas Na ocasião, a discussão esteve atenta ao sinal do radicando A condição γ > ω, por exeplo, faz co que s+ e s seja núeros ( 15 )

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 4 reais e corresponde a u oviento sobreaortecido Aqui, antes de retornar à solução da Equação 1, apenas registrareos que a Equação 15 estabelece dois vínculos entre as raízes: s + + s = γ; ( 16 ) s + s = ω ( 17 ) Os dois valores de s desdobra a Equação 1 e u par de equações diferenciais: dz ± + ( γ s ) z = ± ± Ft (), ( 18 ) onde z ± (t) = v(t) + s ± x(t) ( 19 ) E particular, as condições iniciais que controla a Equação 18 são dadas pelas igualdades: z ± (t = ) = v + s ± x ( ) Continuando a seguir o procediento definido no Capítulo Oscilações Aortecidas, lebraos que o lado esquerdo da Equação 18 é proporcional a ua derivada: dz ( ) = s z e s tdze + γ Assi, a Equação 18 é equivalente à igualdade: γ dz± e ( s± ) t Da Equação 16, teos s = γ ± s Podeos, portanto, siplificar a expressão : ( γ) Ft () = e ( γ s) t ( γ s± ) t ( 1 ) ( ) dz e st ± = Ft () e st ( 3 )

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 5 E seguida, para encontrar z(t), prieiro integraos os dois lados e relação ao tepo: st t ± = + st ze z F( ) t e, ( 4 ) e ultiplicaos o resultado por e st z () t = e z + Ft ( ) e ± Por fi, para encontrar a posição x(t), recorreos às expressões 19 A subtração entre as duas, seguida divisão por s + s, dá ua expressão explícita para a posição: st t st ( ) ( 5 ) Força oscilatória z () t z () t xt () = + s s + ( 6 ) As Equações 5 e 6 descreve a resposta do oscilador a qualquer força F(t) a ele aplicada Estaos particularente interessados no efeito de ua força periódica da fora: F(t) = F cos(ωt + ϕ ), ( 7 ) onde F é ua constante co diensão de força, a constante ω é a frequência co que a força varia e a constante ϕ é ua fase inicial arbitrária no intervalo ϕ < π A substituição da força (7) na Equação 5 leva à igualdade: F z t ze e t st st t e st ± () = + cos( ω + ϕ ) Para efetuar a integral à direita, é útil a identidade: i( ωt+ ϕ) i( ωt+ ϕ) e + e cos( ωt + ϕ) =, ( 8 ) ( 9 )

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 6 que transfora o integrando e ua soa de exponenciais O cálculo da integral nos dá a expressão: Transiente F s z± () t = z cosϕ + ωsenϕ s + ω ( ) i ωt+ ϕ st F e e e + + s + iω s ( ) ωt ϕ iω i + ( 3 ) A resposta de u circuito RLC a u gerador de corrente alternada é constituída por ua parcela o transiente que decai rapidaente co o tepo e outra que acopanha a voltage do gerador Da esa fora, a relação (3) reparte o oviento do oscilador forçado e dois teros A prieira parcela à direita te u coeficiente que depende das condições iniciais (de z ) e da força externa (de F, de ω e de ϕ ) A sua dependência e relação ao tepo, no entanto, é deterinada pelas raízes s ± } O seu coportaento é, portanto, seelhante ao do oscilador livre: u decaiento exponencial no caso sobreaortecido e u decaiento oscilatório no caso subaortecido As raízes s ± } pode ser reais ou coplexas, as a parte real de cada ua delas é sepre positiva Assi, o fator e st tende a zero quando o tepo cresce Analogaente aos circuitos RLC, chaa-se transiente a prieira parcela à direita na Equação 3 O transiente se deve aos coponentes reativos ebutidos na dinâica do oscilador A inércia da assa e o atrito viscoso que se opõe ao seu oviento ipede que ela se adapte prontaente à força externa Assi, o transiente garante a transição entre as condições iniciais e o coportaento estacionário Coo ilustração, a Figura ostra a posição resultante da Equação 6, co z + (t) e z (t) dados pela Equação 3, para u oscilador criticaente aortecido (ω = γ) A força externa é dada pela Equação 7 co ϕ = e ω = ω A parcela transitória na Equação 3 é iportante no início do oviento E particular, ela garante as condições iniciais, x(t = ) = v(t = ) = Para ωt < 5, ela afasta a curva laranja, que representa a posição do oscilador, da curva tracejada, que representa o coportaento estacionário A partir do final do prieiro ciclo, poré, o transiente se torna insignificante e a assa entra no regie estacionário Daí por diante, ela oscila co a frequência da força externa Se o coeficiente γ for uito aior ou uito enor do que a frequência natural ω, o regie transitório será ais duradouro Depois de algu tepo, no entanto, a parcela proporcional a e st na Equação 3 terá valor insignificante, e o oviento passará a ser regido pela segunda parcela Figura : Evolução da posição de u sistea assa-ola aortecido criticaente sujeito à força externa F = F cos(ωt) No instante inicial, a assa está parada no ponto de equilíbrio (x = ) A curva laranja ostra a posição e função do tepo A curva tracejada corresponde à segunda parcela à direita na Equação 3 (coportaento estacionário)

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 7 Regie estacionário O decaiento do tero transitório reduz a Equação 3 à igualdade i( ωt+ ϕ i t+ F ) ( ω ϕ) e e z± () t = + s + iω s iω A posição x(t) pode então ser obtida da Equação 6: ( 31 ) + F e ( s+ s ) xt () = s ( + s ) ss + + iω( s+ + s ) ω + e ) ( s+ s ) + ss iω( s + s ) ω i ( ω t ϕ ) i ( ω t ϕ A soa s + + s e o produto s + s são encontrados nas igualdades (16) e (17) Sua substituição na Equação 3 conduz à expressão: + + ( 3 ) e a igualdade de Euler, i( ωt+ ϕ) i( ωt+ ϕ) F e e xt () = +, ω ω + iωγ ω ω iωγ ( 33 ) i( ωt+ ϕ ) e = cos( ωt+ ϕ ) + isen( ωt+ ϕ ), ( 34 ) perite siplificar o lado direito: F ( ω ω )cos( ωt+ ϕ) + γωsen( ωt+ ϕ) xt () = ( ω ω ) + ωγ As funções trigonoétricas à direita ostra que a força externa iprie oviento cíclico ao oscilador A cada intervalo de tepo T = π/ω, a posição e a velocidade se repete A velocidade da assa e u dado instante t é dada pela derivada da Equação 35: ( 35 ) dx ωf γωcos( ωt+ ϕ) + ( ω ω) sen( ωt+ ϕ) vt () = = ( ω ω ) + ωγ ( 36 )

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 8 Potência O cálculo da velocidade é iportante porque abre cainho para a deterinação da energia transferida pela força externa ao oscilador a cada ciclo A potência fornecida é o produto da força pela velocidade Das Equações 7 e 36 ve a expressão: s ωf ( ω ω) sen( ωt+ ϕ)cos( ωt+ ϕ) + γωcos ( ωt + ϕ) Pt () = = ( ω ω ) + ω γ Co auxílio da relação trigonoétrica ( 37 ) 1 sen( ωt+ ϕ)cos( ωt+ ϕ) = + sen( ωt + ϕ), veos que a prieira parcela na fração à direita na Equação 37 oscila e torno de zero Ao longo de u período, sua édia é nula O eso não ocorre co a segunda parcela A identidade 1 cos( ωt + ϕ) cos ( ωt + ϕ) = + ostra que o fator cos²(ωt + ϕ ) oscila e torno de 1/ A édia da potência ao longo de u período é, portanto: F ωγ P( ω) = ( ω ω ) + ωγ Podeos agora dividir nuerador e denoinador da fração à direita por (ω ω)² para obter o seguinte resultado para a potência édia dissipada pelo oscilador: F P ( ) γ ω = ω ω ω γ + ω ω ω ( 38 ) ( 39 ) ( 4 ) ( 41 )

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 9 Ressonância A expressão (41) é análoga à fórula deduzida no Capítulo RLC para a potência absorvida por u circuito RLC Para realçar a seelhança, definios o fator de qualidade: Q = ω /γ, ( 4 ) e substituíos γ por ω /Q na Equação 41 O resultado é: F Q P( ω) = ω ω ω Q + 1 ω ω ( 43 ) O denoinador sob Q, à direita é sepre aior ou igual a 1 Quando ω = ω, ele assue o valor unitário, e a potência édia é axiizada: FQ P ( ) ω ω = A forte absorção de energia na frequência ω caracteriza ua ressonância Quando ω = ω, o tero proporcional a sen(ωt + ϕ ) na Equação 36 desaparece A velocidade é proporcional a cos(ωt + ϕ ) Ela acopanha a força (7) instante a instante A força externa favorece continuaente o acréscio da velocidade Se não houvesse atrito, a aplitude do oviento cresceria indefinidaente Coo existe atrito, a aplitude é liitada e a potência áxia é inversaente proporcional ao coeficiente γ, isto é, proporcional a Q Longe da ressonância, co ω ω ou ω ω, a parcela proporcional a sen(ωt + ϕ ) na Equação 36 tende a doinar a parcela proporcional a cos(ωt + ϕ ) Nessas condições, durante boa parte de cada período, a velocidade e a força tê sentidos opostos Nesse intervalo de tepo, o oscilador devolve para a fonte que provê a força parte da energia que recebe durante o restante do ciclo A energia líquida recebida ao longo do ciclo é, portanto, pequena Tais características são visíveis na Figura 3, que ostra a potência édia e função da frequência para três fatores de qualidade: Q =,5 e 1 A ressonância está sepre centrada na frequência natural de oscilação, ω = ω, as a figura ostra que sua largura diinui co o cresciento de Q Coo indicado na curva verde (Q =,5), para fatores de qualidade elevados, a largura da curva P ω, edida no ponto e que a potência se reduz à etade do áxio, é aproxiadaente γ ( 44 ) Figura 3: Potência édia dissipada e u ciclo do oscilador harônico forçado e função da frequência da força externa, para os três fatores de qualidade indicados As setas horizontais ostra que, para grandes Q s, a largura da ressonância é aproxiadaente γ

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 1 Fase e aplitude A Expressão 35 descreve a posição da assa coo cobinação das duas funções trigonoétricas sen(ωt + ϕ) e cos(ωt + ϕ) Essa istura de duas funções periódicas dificulta a visualização do oviento A expressão pode, felizente, ser reduzida a ua fora ais copacta O diagraa na Figura 4 serve de guia para a transforação O triângulo retângulo ali representado relaciona os parâetros ω ω e γω co funções trigonoétricas de u ângulo θ E particular, dados ω, ω e γ, a seguinte expressão deterina o ângulo θ : tgθ γω = ω ω A projeção da hipotenusa sobre o cateto adjacente a θ dá ua expressão para o fator ω ω, que ultiplica a função cos(ωt + ϕ ) na Equação 35: ( 45 ) ω ω ω ω = γω θ ( ) + cos ( 46 ) Da esa fora, a projeção sobre o cateto oposto a θ dá ua expressão para γω, fator que ultiplica a função sen(ωt + ϕ ): ( ) + γω = ω ω γωsen θ ( 47 ) A substituição dessas duas igualdades no lado direito da Equação 35 conduz a ua expressão siples para a posição do oscilador harônico forçado e função do tepo: x(t) = x (ω) cos(ωt + ϕ θ ) A fase θ é dada pela Equação 45 e a aplitude x, pela igualdade: F x ( ) ω = ( ω ω ) + ωγ ( 48 ) ( 49 ) Figura 4: Triângulo retângulo que define a fase θ

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 11 Na frequência de ressonância, ω = ω, o lado direito da Equação 35 diverge, e a fase θ = π/ A força (7) e a posição (48) estão, portanto, π/ fora de fase A força e a velocidade, ao contrário, coo vios na Seção Potência, estão e fase E função da frequência, a aplitude será áxia quando o radicando à direita na Equação 49 for ínio Para encontrar a frequência ω ax e que isso ocorre, basta derivar o radicando e igualá-lo a zero Resulta ua equação do segundo grau, cuja solução (positiva) é: 1 ωax = ω 1 Q Coo ilustração, a Figura 5 ostra o gráfico de x ω para os três fatores de qualidade apresentados na Figura 3 A aplitude é realçada na região ω ω ax, pouco abaixo da ressonância A superposição das três curvas a altas frequências concorda co a Equação 49, a qual se reduz no liite ω ω a ua expressão independente de γ: Da esa fora, as três curvas se confunde na região de baixas frequências No liite ω, a Equação 49 tabé se reduz a ua expressão independente de γ: x F ω = ( 5 ) ( 51 ) F x ( ) = ω A interpretação deste últio resultado erece breve discussão Substituído na Equação 48, co ω = tg (θ ) =, ele ostra que: ( 5 ) Figura 5: Aplitude da vibração do oscilador forçado Fcos( ϕ) x = ( ω = ) ω Essa posição nada ais é do que o ponto de equilíbrio para o qual a assa se desloca sob a ação de ua força externa constante De fato, no liite ω da Equação 7, a força externa assue o valor: ( 53 ) F = F cos(ϕ ) (ω = ) ( 54 )

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 1 Sob a ação dessa força, a assa se desloca para u novo ponto de equilíbrio x eq, no qual a força da ola Fk = kx eq copensa a força F, isto é, tal que: kx eq = F cos(ϕ ) ( 55 ) Ua vez que k = ω, a expressão resultante para x eq, coincide co a Equação 53 x F cos( ϕ ), ω eq = ( 56 )

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 13 Coo usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook conté recursos interativos Para prevenir probleas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9 ou ais recente Botões Indica pop-ups co ais inforações Sinaliza u recurso idiático (aniação, áudio etc) que pode estar incluído no ebook ou disponível online Ajuda (retorna a esta página) Créditos de produção deste ebook Indica que você acessará u outro trecho do aterial Quando terinar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de orige Bons estudos!

Oscilações e Ondas» Oscilações forçadas 14 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP) Autoria: Gil da Costa Marques e Luiz Nunes de Oliveira Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yaaura Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro Revisão de Texto: Marina Keiko Tokuaru Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Roero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Caila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A M S Aniações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein