7. Circuitos de Corrente Alternada (AC)

Transcrição

1 7. ircuitos de orrente Alternada (A) 7.. Fontes de A e Fasores 7.. esistências nu ircuito A 7.3. ndutores nu ircuito A 7.4. ondensadores nu ircuito A 7.5. O ircuito e Série 7.6. essonância nu ircuito e Série

2 Descreveos os princípios básicos dos circuitos A siples. Análise de circuitos e série siples co resistências (), condensadores (), e indutores (), isoladaente ou e cobinação, alientados por ua fonte de voltage sinusoidal. aos usar o facto de, e tere respostas lineares: a corrente alternada instantânea (A) e cada u deles é proporcional à voltage alternada instantânea no coponente. Quando a voltage () alternada aplicada for sinusoidal, a corrente e cada coponente tabé será sinusoidal, as não necessariaente e fase co a voltage aplicada. Quando a corrente nua bobina (indutor) se altera co o tepo, há ua fe (força electro-otriz) induzida na bobina, confore a ei de Faraday. A fe auto-induzida nua bobina define-se pela expressão: ε di dt Onde é a indutância da bobina

3 A ndutância é ua edida de oposição du coponente do circuito (neste caso a bobina) à variação da corrente. S henry (H) H s A Aindutância de qualquer bobina (solenóide, bobina toroidal) é dada pela expressão Nφ Onde é a corrente, φ é o fluxo agnético através da bobina, e N o núero total de espiras. A indutância de u coponente de u circuito depende da geoetria do coponente. ndutor (bobina) 3

4 7.. Fontes de A e Fasores ircuito de corrente alternada (A): ua cobinação de coponentes (,,) e u gerador que proporciona A. Pela rotação dua espira nu capo agnético co velocidade angular (ω) constante, induz-se ua voltage alternada (fe) sinusoidal na espira. Esta voltage instantânea é dada por: υ senωt : voltage de pico do gerador de A ou aplitude da voltage. A frequência angular é: ω π f f: frequência linear da fonte, T: período (f Hz (ciclos por segundo); ω rad/s) π T E Portugal, na rede eléctrica f50 Hz 4

5 Objectivo priordial do capítulo - exeplo: Suponha que te u gerador de A ligado a u circuito co coponentes, e e série; se a e a f do gerador fore dadas, e os valores de, e tabé, achar a corrente resultante, caracterizada pela aplitude e pela fase. A fi de siplificar esta análise teos que construir graficaente u diagraa de fasores: as grandezas oscilatórias (corrente, voltage) são representadas por vectores giratórios (no sentido anti-horário) no plano coplexo, os fasores. O copriento do fasor representa a aplitude (valor áxio) da grandeza; A projecção do fasor no eixo real representa o valor instantâneo da grandeza. 5

6 7.. esistências nu ircuito A v ~ υ.sen(ω.t) A soa algébrica instantânea da elevação do potencial, e do abaixaento do potencial, na alha do circuito deve ser nula (ei das alhas de Kirchhoff) Συ i 0 υ-υ 0 υ υ.sen ω t υ : queda instantânea de voltage na resiatência (). A corrente instantânea: corrente de pico i υ senωt senωt e υ sen ω t 6

7 i e υ varia, abos de ua fora sinusoidal (co sen ωt) e atinge os valores áxios (picos) nu eso instante as duas grandezas estão e fase. i i v t υ ωt Gráfico da voltage e da corrente e função do tepo Diagraa de fasores. As projecções de e (fasores) no eixo vertical representa os valores instantâneos de i e υ.!o valor édio da corrente sobre u ciclo é nulo: a corrente anté-se nu sentido (+) durante o eso intervalo de tepo que se anté no sentido oposto (-) O sentido da corrente não te efeito sobre o coportaento do no circuito. 7

8 Efeito térico Qualitativaente: as colisões entre os electrões de condução de corrente e os átoos fixos da resistência () provoca u auento da sua teperatura, que depende do valor da corrente, as é independente da direcção da corrente. Quantitativaente: taxa de conversão da energia eléctrica e calor nua é a sua potência instantânea P i ; i: corrente instantânea na. P i não faz diferença se a corrente for contínua (D) ou alternada (A), ou seja se o sinal (+) ou (-) for associado a i.! O efeito térico provocada por ua corrente alternada co não éo eso que o provocado por ua corrente contínua co o eso valor, dado que a corrente alternada soente te o ax durante u pequeno instante de tepo durante u ciclo. 8

9 portante nu circuito A é o valor édio da corrente ou corrente édia quadrática (rs). A corrente édia quadrática (ou eficaz) é a raiz quadrada da édia dos quadrados da corrente. O quadrado da corrente varia co sen ωt, e pode-se ostrar que o valor édio de i é / rs rs 0,707 i rs t Exeplo: Ua corrente A co A libertará o eso calor nua do que ua corrente D de 0,707,44 A 9

10 A potência édia dissipada nu co ua corrente A é: P ed rs rs rs A voltage édia quadrática (ou eficaz): rs 0,707! Quando se fala e edir a voltage alternada de 0 dua toada eléctrica, fala-se na realidade dua rs de 0 3,! Usareos valores rs ao discutir as correntes e voltagens alternadas.! Os aperíetros e voltíetros de A são projectados para ler os valores rs Se fore usados os valores rs, uitas equações terão a esa fora que as equações nos circuitos D 0

11 alor instantâneo alor áxio (pico) alor édio quadrático (ou eficaz) oltage υ rs ( ef ) orrente i rs ( ef ) Exercício 7.

12 7.3. ndutores nu ircuito A υ υ : queda instantânea de voltage no indutor (bobina). ~ υ sen(ω.t) ei das alhas: Συ i 0 υ+ υ 0, di di + senωt 0 senωt dt dt A integração dá a corrente e função do tepo: i senωtdt cosωt ω π dado que: cos ωt sen ωt i ω π sen ωt

13 oparando co a corrente está fora de fase co a voltage, co u atraso de π/ rad, ou 90 v i v ω.t t i υ atinge (pico) nu instante que está u quarto do período de oscilação antes de i atingir Quando a υ aplicada for sinusoidal, i segue a υ co u atraso de 90! υ di/dt υ é aior quando i estiver a variar co aior rapidez. i(t) é ua curva sinusoidal di/dt (declive) é áxio quando a curva i(t) passar pelo zero υ atinge quando i 0 3

14 i π sen ωt ω Da Eq. 3 ω X X ω é a ipedância indutiva (ou reactância indutiva) rs é dada por ua expressão seelhante à 3 co substituída por rs rs X rs! O conceito de ipedância é usado a fi de não ser confundido co o de resistência. A ipedância distingue-se da resistência porque introduz ua diferença de fase entre υ e i. ircuito puraente resistivo i e υ e fase ircuito puraente indutivo i segue υ co ua diferença de fase de 90 4

15 o e 3 υ senωt X senωt Pode ser visto coo a ei de Oh du circuito indutivo. X te a unidade S de resistência (ipedância) o Oh (Ω). A ipedância du indutor auenta co a frequência. Nas frequências ais elevadas i varia ais rapidaente, o que provoca u auento da fe induzida associada a ua certa. Exercício 7. 5

16 7.4. ondensadores nu ircuito A v ~ v sen(ω.t) ei das alhas: Συ i 0 υ-υ c 0 υ υ c sen ω t υ c : queda instantânea de voltage no condensador. ( ) Q t vc Q() t senωt Ua vez que i dq/dt a derivação de dá a corrente instantânea dq π i ωcosωt ωsin ωt+ dt π dado que: cosωt sen ωt+ eos que a corrente não está e fase co a voltage aos terinais do condensador. 6

17 π π i ωsen ωt+ sen ωt+ Χ i está co ua diferença de fase de 90 e antecipação à υ. v i t υ ωt i atinge (pico) u quarto de ciclo Quando a fe aplicada for sinusoidal, a ais cedo que o instante e que a υ corrente nu condensador está avançada atinge de 90 relativaente à voltage no. X ω pedância capacitiva Exercício 7.3 7

18 7.5. ircuitos e Série v t υ υ υ v ~ υ.sen ω t i v t t i.sen(ωt -φ); φ éoângulo de fase entre a corrente e a voltage aplicada. Objectivo: deterinar φ e. Tereos que construir e analisar o diagraa de fasores do circuito.! Todos os coponentes estão e série no circuito a corrente alternada (i) é sepre a esa (esa aplitude e esa fase) e todos os pontos do circuito. a voltage e cada coponente terá aplitude e fase diferente. 8

19 ω ω ω esistência ndutor ondensador oltage e fase / avanço de 90 / atraso de 90 co a corrente As quedas instantâneas de voltage: υ sen (ωt-φ) sen (ωt-φ) υ X sen (ωt+π/-φ) cos (ωt-φ) υ X sen (ωt -π/-φ) - cos (ωt-φ) i sen t ( ) ω φ ; X ; X são as voltagens de pico (áxios) aos terinais de cada coponente. 9

20 ! A voltage instantânea υ nos três coponentes obedece a: υ υ + υ + υ É ais siples efectuar a soa usando o diagraa de fasores A corrente e cada coponente é a esa, (t) pela cobinação dos três fasores : - ω φ φ Soa vectorial das voltagens 0

21 ! A soa vectorial das aplitudes das voltagens,, é igual a u fasor cujo copriento é o pico da voltage aplicada,, e que faz u ângulo φ co o fasor da corrente. Pelo triângulo na Figura: ( ) ( ) ( ) X X + + ( ) X X + ; X ω; X / ω A ( ) X X + ( ) X X + S: Oh Z A ipedância (Z) do circuito é: Z Generalização da ei de Oh para A A

22 Z ; Z rs rs!a corrente no circuito depende da,, e ω Se eliinaos o factor cou de cada fasor da Figura triângulo de ipedância. Z φ X X tanφ X X sen t ( ) ω φ Quando X > X (frequências altas) φ > 0, a i segue a υ aplicada. Se X < X φ < 0, i precede a υ aplicada. Quando X X φ 0, Z e / A frequência a que se verifica esta condição é a frequência de ressonância. i

23 oponentes do ircuito pedância, Z Ângulo de Fase, φ X 0º -90º X +90º + X Negativo, entre 90 e 0 + X Positivo, entre 0 e 90 + ( ) X X Negativo se X > X Positivo se X < X Exercício 7.5 3

24 7.6. Potência nu ircuito A No circuito podeos expriir a potência instantânea, P, coo: P i υ sen(ωt φ) sen (ωt) sen(ωt) sen(ωt φ)! Função coplicada do tepo se uita utilidade prática. nteressa, e geral: a potência édia e u ou ais ciclos sen(ωt-φ) sen(ωt)cos(φ) sen(φ)cos(ωt) P sen (ωt) cos(φ) sen(ωt) cos(ωt) sen(φ) Toa-se a édia de P sobre o tepo durante u ou ais ciclos (,, φ e ω constantes). Média de sen (ωt).cos(φ) ½ cos(φ) Média de sen(ωt).cos(ωt).sen(φ) 0 ½.sen(ωt) 4

25 rs ; rs A potência édia ou potência activa eficaz: P ed ½..cosφ rs. rs.cos φ - factor de potência φ A queda áxia de voltage na resistência é: cos φ. cos φ / P cosφ éd rs rs P éd rs 5

26 ! A potência édia proporcionada pelo gerador é dissipada coo calor na. (coo e D)! Não há perda de potência nu indutor ideal ou nu condensador ideal. (Ex.: o é carregado e descarregado duas vezes durante cada ciclo há forneciento de carga ao durante dois quartos do ciclo, e há o retorno da carga à fonte de voltage, durante os outros dois quartos. A potência édia proporcionada pela fonte é nula. ogo u nu circuito de A não dissipa energia.) (Analogaente para o indutor) A potência que se transite entre a fonte e o circuito que não é dissipada: Potência reactiva: P react rs. rs.sen(φ) 6

27 P éd P act rs. rs.cos φ Puraente resistivo φ 0, cos φ P ax rs. rs Potência áxia (áx. aplitude) P v.i v i t } Potência édia Exercício 7.8 7

28 7.7. essonância nu ircuito e Série. U circuito está e ressonância quando a corrente te o seu valor de pico (ver pag. ). E geral rs Z rs + rs ( X X )! Z Z (ω) rs rs (ω) A corrente atinge o seu valor áxio quando X X Z A frequência ω 0 a que isso ocorre é a frequência de ressonância do circuito: X X ω 0 ω 0 ω 0 ω 0 tabé corresponde à frequência natural de oscilação do circuito. 8

29 Nesta frequência a corrente está e fase co a voltage instantânea aplicada. rs. (A) 0. 9 w 0 3.5Ω 5Ω 0Ω 5 µh nf q 5 ω rad/s ω, Mrad/s urvas ais estreitas e altas quando diinui. rs, 0 (teoria!!) Os sisteas ecânicos tabé exibe ressonâncias: sistea assa-ola. Actuando na ω 0, a aplitude das oscilações auenta co o tepo. Os circuitos reais tê sepre ua certa resistência que liita o valor da corrente. 9

30 A potência édia e função da frequência: P éd rs Z rs + rs ( X X ) X ω X ω ω 0 P éd, µw P éd rs ω + ω ( ω ω ) 0 Quando ω ω 0 a P éd é áxia, P éd rs 7 3.5Ω ω 0Ω 9 ω 0 ω, Mrad/s A largura da curva é descrita por u factor de qualidade: Q 0 Q 0 ω ω 0 30

31 ωé a largura da curva edida entre dois valores de ω para os quais P éd te etade do valor áxio da P ω ω0 Q 0 X (ω 0 ) Grandeza adiensional! Q 0 elevado, ω estreito; Q 0 baixo, corresponde a ua faixa de frequências ais apla.! 0 < Q 0 < 00 (aprox.) nos circuitos electrónicos. Aplicações: Aparelho de rádio - ω 0 (sintonização) - ω 0 do circuito onda de rádio recebida auenta no circuito. - Sinal aplificado alienta o alto-falante - Q 0 elevado a fi de sere eliinados os sinais indesejáveis. 3

32 Anexo: epresentação oplexa das grandezas A Ua corrente ou tensão alternadas pode ser representadas por u núero coplexo. Aproveitando a identidade egra para a representação: e iθ cos θ + i sen θ ; co i - Ua voltage alternada 0.cos(ωt+δ) deve ser representada pelo núero coplexo 0.e iδ.e iωt, isto é, o núero cuja parte real é 0.cos(δ) e cuja parte iaginária é 0.sen(δ) que roda no plano coplexo co a velocidade angular ω. Portanto, a voltage e função do tepo é dada pela parte real do produto 0.e i(ωt+δ). 3

33 oltage e função do tepo. Y 0 epresentação coplexa δ X 0.cos(ωt+δ) 0.e iδ x + iy Multiplique por e iωt e toe a parte real e[ 0.e iδ (e i ωt )] 0.cos(ωt+δ) 33

34 , + ( X X ) Z Z δ arctan ( ) + X X X X Z Z iδ e ; Z + ix Z Z Z iπ ω e iω i i e ω ω π iω Z Z + Z + Z ( Z Z ) Z Z + + Z arctan e Z δ 34

35 35 Acetatos preparados por: - S. anceros-méndez (conteúdo e figuras) - J. A. Mendes (layout) -. Tavares (coentários adicionais) Anexo : ircuito e Paralelo + +.(Y + Y + Y ) i Y i Z Y Z ω ω ; ; Y Z Y ; ;.Y T i Y i Z Y Z ω ω ; ; i i i i Y Y Y Y T ω ω ω ω Y T ; ω ressonância:! Y, aditância pedância, Z /Y ;