Exercícios Comlemetares..A Dê exemlo de uma sequêcia fa g ; ão costate, ara ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e crescete (c) limitada e ão moótoa (e) ão limitada e ão moótoa (b) limitada e decrescete (d) ão limitada e ão crescete (f) moótoa e ão limitada..b Em cada caso abaixo, ecotre os quatro rimeiros termos da sequêcia: (a) a = (b) b = + (c) c = ( ) :.C Faça um grá co que reresete os rimeiros termos da sequêcia a = + ligados or segmetos de retas e veri que quatos otos da forma (; a ) estão fora da faixa horizotal determiada elas retas y = 4=5 e y = 6=5:.D Dê exemlo de uma sequêcia limitada e ão moótoa com uma subsequêcia crescete..e Exresse elo seu termo geral cada sequêcia dada abaixo: (a) ; =; =3; =4; : : : (b) ; 0; ; 0; ; : : : (c) =; =4; =8; =6; : : : (d) 0; ; 0; ; 0; ; 0; : : : (e) ; 9; 5; 49; 8; : : : (f) 0; 3=; =3; 5=4; 4=5; 7=6 : : : (g) ; ; 3=; ; 4=3; ; : : : (h) 0; 3; ; 5; 4; : : : (i) =; =4; =6; =8; =0; = : : : (j) ; 0; ; 0 ; 3; 0 3 ; : : : (k) ; 3=; ; 5=; 3; : : : (l) 4; ; 4; ; : : :.F Classi que as sequêcias do Exercício.E quato à limitação e mootoia e selecioe de (e), (f) e (i) uma subsequêcia crescete. Qual daquelas sequêcias ossui uma subsequêcia costate?.g Cosidere as fuções f (x) = cos x, g (x) = se x e h (x) = ( + x). Ecotre exressões ara as derivadas de ordem dessas fuções, o oto x = 0.
SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS.H Determie o su e o if das seguites sequêcias: + ;! ; ; 3 4 3 ; fl g ; ; f( ) g : +.I Dê exemlo de uma sequêcia fa g ão costate, crescete e limitada sueriormete e observe o comortameto da sequêcia quado! : Faça a mesma aálise com uma sequêcia decrescete e limitada iferiormete..j Dê exemlo de uma sequêcia fa g cuja distâcia etre quaisquer dois termos cosecutivos é igual 4..K Dê exemlo de uma sequêcia fa g com as seguites características: os termos de ordem ar estão etre 3 e 4, os termos de ordem ímar estão etre 4 e 5, mas a se aroxima do úmero 4, à medida que o ídice vai aumetado..l Cosidere a sequêcia de termo geral a = + 3 se (+) 3. Escreva os 0 rimeiros termos da sequêcia fa g e calcule a 0 : Exercícios Comlemetares.4.4A Falso ou verdadeiro? Procure justi car as a rmações falsas com um cotraexemlo. (a) toda sequêcia covergete é limitada; (b) toda sequêcia limitada é covergete; (c) toda sequêcia limitada é moótoa; (d) toda sequêcia moótoa é covergete; (e) a soma de duas sequêcias divergetes é divergete; (f) toda sequêcia divergete é ão moótoa; (g) se uma sequêcia covergete ossui uma i idade de termos ulos, seu limite é zero; (h) toda sequêcia divergete é ão limitada; (i) se uma sequêcia ossui uma subsequêcia covergete, ela rória coverge; (j) toda sequêcia alterada é divergete; (k) toda sequêcia decrescete limitada é covergete e seu limite é zero;
CAPÍTULO - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 3 (l) se uma sequêcia fa g diverge, etão fja jg também diverge; (m) se ja + a j! 0, etão fa g é covergete; () se a sequêcia fja jg coverge ara zero, etão fa g também coverge ara zero; (o) se a b ; 8; fa g crescete e fb g covergete, etão fa g coverge; () se fa g é covergete, etão f( ) a g também coverge; (q) a sequêcia fa g de ida or a = e a + = a + é covergete; (r) a sequêcia fa g de ida or a = e a + = a é covergete; (s) se a 6= 0; 8; e lim a +! a = l <, etão lim a = 0;! (t) se ja + a j = ; 8; etão fa g é divergete; (u) se ( ) a é covergete e a > 0; 8, etão a! 0; (v) se fa g é decrescete e a > 0; 8 0; etão fa g coverge..4b Dê exemlo de duas sequêcias fa g e fb g tais que lim! a = 0 e fa b g seja divergete. Por que isso ão cotradiz o Critério.3.9?.4C Usado a de ição de limite, rove que: (a) lim! = 5 + (d) lim! + 3 = 3 se 5 + (b) lim = 0 (c) lim!! (e) lim! 5 = 0 (f) lim + 3! 3 + = 3 + = :.4D Calcule o limite das seguites sequêcias: (a) (b) 3 3 + 3 + (c) l 4 3 4 e (d) + 5 6 (f) +! + e (g) 3 5 (h)! e e (i) 3 + 7 (e) + (j) + + (k) = (l) se (=) (m) =e () + (o) + () a ; a > 0 (q) 3 + ( ) 3 + + ( ) (r)! 3 + (s) ( + ) +.4E Em cada caso veri que se a sequêcia fa g é covergete ou divergete. (t) 3 se +
4 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS (a) + (e) + (b)! (f)! (c) (g) + (d) 3 5 ::: ( )! (h) + 3 + se se (i) + ( ) (j) Z e x dx (k)! 3 5 ::: ( ) (l) l ( + ) (m) l (e ) () cos () (o) 8 + 4 + () se (=).4F Prove que lim! (3 + 4 ) = = 4. Se a; b 0; mostre que lim! (a + b ) = = max fa; bg :.4G Se jrj <, use o Critério da Razão.3.7 ara mostrar que lim! r = 0: Se r >, mostre que lim! r = : E se r <?.4H Dado um úmero real r seja S = +r+r + +r ; N: Mostre que S rs = r e se jrj < ; use essa relação e deduza que lim S =! r : Agora, ideti que a sequêcia ; q ; ; : : : com aquela de termo geral a = + 4 ++ e calcule seu limite..4i Seja fb g covergete, com b 6= 0; 8; e lim! b 6= 0: Use a de ição de limite e mostre que a sequêcia f=b g é limitada. Isto foi usado a demostração da Proriedade.3.7(e)..4J Dois rocedimetos foram usados ao calcular lim (= + = + = + + =) (soma com arcelas). Exlique qual o rocedimeto correto. (a) simli cado a exressão: lim (= + = + + =) = lim = (b) usado a roriedade.3.7(a): lim (= + = + + =) = lim = + lim = + + lim = = 0:.4K Mostre que lim! hse( ) se( 3 ) se( 4 ) : : : se( ) i = 0: (o roduto de limites ão deve ser usado!)
CAPÍTULO - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 5.4L Cosidere a sequêcia cujos termos são de idos ela recorrêcia: a = 5 e a + = a : Estes termos odem ser gerados em uma calculadora, itroduzido-se o úmero 5 e ressioado-se a tecla x. (a) Descreva o comortameto de fa g quado aumeta; (b) Coveça-se de que a = 5 = e calcule lim! a :.4M Em uma calculadora uma sequêcia é gerada itroduzido-se um úmero e ressioado-se a tecla =x. Em que codições a sequêcia tem limite?.4n Seja f : R! R uma fução derivável, sedo f (0) = 0: Calcule lim f(=). Quato vale! lim arctg(=)?!.4o Seja f : R! R uma fução derivável tal que f (x) > ; 8x; e lim de uma tal fução e calcule o limite da sequêcia a = l ( + f ()) : f () x! f (x) = 0: Dê exemlo.4p Cosidere a sequêcia fa g de ida ela recorrêcia: a = e a = a + cos a ; ara. Mostre que fa g é moótoa limitada (covergete) e que lim a = =:.4Q Uma oulação estável de 35.000 ássaros vive em três ilhas. Cada ao, 0% da oulação da ilha A migra ara ilha B, 0% da oulação da ilha B migra ara a ilha C e 5% da oulação da ilha C migra ara ilha A. Deotado or A ; B e C, resectivamete, os úmeros de ássaros as ilhas A; B e C, o -ésimo ao ates da ocorrêcia da migração e admitido a covergêcia das sequêcias fa g ; fb g e fc g, dê uma aroximação do úmero de ássaros em cada ilha aós muitos aos. Exercícios Comlemetares.6.6A Use o Método de Idução Fiita ara rovar as seguites relações: (a) + 3 + 5 + ::: + ( ) = ; (b) + + 3 + ::: + = 6 ( + ) ( + ); ( + ) (c) 3 + 3 + 3 3 + ::: + 3 = ;
6 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS (d) + 3 + 5 + ::: + ( ) = 3 (43 ); (e) ( + x) + x + x 4 x + ::: + x = ; o oto de artida é = 0; x " # P (k + ) + (f) l = l + l : k (k + ) + k=.6b Mostre que + 5 é divisível or 6. (sug. use o Exemlo.5.3)..6C Uma fução f : R! R satisfaz a: f(xy) = f (x) + f(y); 8x; y. Prove que f (a ) = f (a) :!.6D Reresete or o coe ciete biomial, ode k e são úmeros iteiros k k! ( k)! ositivos e k : Mostre que: + (a) + = ; k k k (b) (x + y) P = x k y k. k k=0.6e Demostre a seguite regra de Leibiz ara derivação: X [fg] () = f ( k) g (k) : k k=0.6f Prove a Desigualdade de Beroulli: ( + r) + r, ara r e N. Use o resultado e mostre que se > e r 0; etão + r ( + r) :.6G Se x e y são úmeros reais, mostre que:.6h Mostre que.6i Mostre que lim x! x y = (x y) x + x y + + xy + y ; N: 3 5 : : : ( ) 4 6 : : : () x (l x) = ; 8 = 0; ; ; 3; : : : : ; 8 N:.6J Uma sequêcia fb g é de ida ela recorrêcia: b = e b = ( ) b ; : Use o Método de Idução Fiita e rove que b = ( ) ; 8 = ; ; 3; : : : :!.6K A sequêcia de Fiboacci é de ida or: a = ; a = e, ara 3; a = a + a : Mostre que a = h + 5 5 5 i :
CAPÍTULO - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 7.6L Cosidere a sequêcia a = ( + )! a + a + a 3 + + a = e mostre or idução que ( + )! :.6M Em cada caso abaixo, ecotre o rimeiro iteiro ositivo 0 ara o qual a seteça é verdadeira e, usado a extesão do Método de Idução, rove que a seteça matemática é verdadeira ara qualquer úmero iteiro maior do que 0 : (a) 0 (b) + 8 3 (c) 5 + log (d) + (e)! (f) + (g) log + 9 (h) : RESPOSTAS & SUGESTÕES. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::.A (a) + o (b) (c) f( ) g (d) f g (e) f( ) g (f) fg.b (a) ; =3; =5; =7 (b) ; 3 ; 3; 5 (c) ; ; 3; 4.C Os otos (; a ) ; (; a ) e (3; a 3 ) estão fora da faixa; o oto (4; a 4 ) está a froteira e a artir de = 5 todos os otos (; a ) estão detro da faixa, como sugere a gura abaixo..d A sequêcia a = ( ) crescete. é limitada e ão moótoa e a subsequêcia a = é.e (a) = (b) [ + ( ) + ]= (c) = (d) + ( ) (e) ( ) (f) ( ) + = (g) ( ) + + + (k) + (l) 3 + ( ) (h) ( ) + (i) ( )+ (j) [ + ( ) ] 0= +[+( ) + ] + 4
8 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS.F Limitada: (a), (b), (c), (d), (f), (g), (i) e (l); crescete: (e) e (i); decrescete: (a) e (b). Em (e), (f) e (i) as subsequêcias ares são crescetes e (b), (d), e (g) são as úicas que ossuem subsequêcias costates. Recorde-se que uma sequêcia ossui uma subsequêcia costate quado essa costate se reetir uma i idade de vezes..g f () (0) = cos(=); g () (0) = se(=); h () (0) = ( )!.H + =! =(3 4) ( ) = l 3 = + su 0 3 if 0 0 0 3=.I A sequêcia de termo geral a = é crescete limitada e seus termos se aroximam de +, quado tede ara :.J a = ( ).K a = 4 + ( ) + =.L a 0 = :.4 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::.4A (a) V (b) F (c) F (d) F (e) F (f) F (g) V (h) F (i) F (j) F (k) F (l) F (m) F () V (o) V () F (q) V (r) F (s) V (t) V (u) V (v) V.4B Cosiderado as sequêcias a = = e b = ; etão a sequêcia a b = é divergete com limite. Nesse caso, a sequêcia b ão é limitada, como exige o Teorema..9..4D (a) (b) 0 (c) 0 (d) 4 (e) (f) 3 e (g) /5 (h) 0 (i) 3= (j) e (k) (l) (m) 0 () (o) 0 () (q) /3 (r) (s) 0 (t) 0.4E (a) Divergete (lim a = ). (b) Covergete (segue do Critério da Razão que lim a = 0). (c) Covergete (lim a = 0). (d) Covergete (lim a = ). (e) Covergete (lim a = lim 4 = =). (f) Divergete (lim a = ).
CAPÍTULO - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 9 (g) Covergete (lim a = 0). (h) Covergete (lim a = 0). (i) Covergete (lim a = 0). (j) Covergete (lim a = =e). (k) Covergete (lim a = 0). (l) Divergete (lim a = ). (m) Covergete (lim a = 0). () Divergete (ão tem limite). (o) Covergete (lim a = 0). () Divergete (ão tem limite)..4h Para comrovar a relação + r + r + + r ( r) = r é su ciete distribuir o roduto do lado esquerdo. Se jrj <, etão r! 0 e, sedo assim, lim r + r + + r = r r. Para r = =, obtemos lim + 4 + 8 + + = e, coseqüetemete, lim a = :.4J O rocedimeto (b) ão está correto, orque a Proriedade.3.7(a) o úmero de arcelas é xo, isto é, ão muda com o ídice :.4M A sequêcia covergirá se o úmero r itroduzido a calculadora for igual a :.4N Usado a de ição de derivada, é fácil deduzir que lim f(=) = f 0 (0) : Para f (x) =! arctg x; temos f 0 (x) = + x e daí f 0 (0) = : Assim, lim arctg(=) = :!.4O A fução f (x) = ex x atede às codições exigidas e usado a regra de L Hôital ecotra-se lim a = :.4P A sequêca fa g é crescete e 0 a =. Se l = lim a, etão l = l + cos l e, assim, l = =:.4Q Temos que A + = 0:9A +0:05C ; B + = 0:A +0:8B e C + = 0:95C +0:B. Deotado, resectivamete, or A; B e C os limites das sequêcias fa g ; fb g e fc g, ecotramos 0.000 a ilha A, 5.000 a ilha B e 0.000 a ilha C.