ESTATÍSTICA MULTIVARIADA º SEMESTRE 010 / 11 EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revsões de Estatístca -0-11 1.1
1.1. (Varáves aleatóras: função de densdade e de dstrbução; Méda e Varânca enquanto expectatvas matemátcas) Seja x f ( x), 0 x 4 8 a) Verfque que f(x) é uma função de densdade de probabldade, represente-a grafcamente e utlze-a P x 3. para calcular b) Calcule a função de dstrbução, represente-a grafcamente e utlze-a para repetr o cálculo de P x 3. c) Calcule o valor esperado e a varânca desta dstrbução. d) Calcule Ex 3, V x 3 e E x 3 1.. (Varáves aleatóras: função de densdade e de dstrbução; Méda e Varânca) Seja f x k e x 3x ( ), 0 a) Calcule o valor de k para o qual f(x) é uma função de densdade de probabldade, Represente-a grafcamente e confrme geometrcamente que a condção que usou para determnar k está verfcada. b) Use a função de densdade de probabldade para calcular P0.5 x 1 dstrbução, represente-a grafcamente e utlze-a para repetr o cálculo de P0.5 x 1 c) Calcule a méda e a varânca desta dstrbução.. Calcule a função de. d) Calcule E3x, 3 V x e E 3x 1.3. (Dstrbução Normal) Seja X uma varável aleatóra com dstrbução Normal com = 4 e =. a) Calcule P x 6, P x 5, x 3 P. b) Quas os percents de.5%, 5%, 95% e 97.5%? c) Calcule 1.5 x 6 P. d) Seja Y uma varável aleatóra com dstrbução Normal com = e =. Calcule x y 8 ) Sob a hpótese de X e Y serem v. a. ndependentes; ) Sob a hpótese de COV(X,Y) =. P. -0-11 1.
1.4. (Dstrbuções de estatístcas amostras ) Consdere que tem um população para a qual X N(4, 4). Retra uma amostra de 9 objectos dessa população. Se desgnar por X a) Calcule P X 3 ; b) Qual a P s' 1? 9 x 1 9 e por s ' 9 1 x X 8 1.5. (Inferênca estatístca ) Uma empresa de comuncações móves está nteressada em estudar, para um determnado segmento de clentes, o tempo de permanênca em roamng (meddo em das). Para o efeto recolheu-se uma amostra de dez clentes, para os quas se regstou, no últmo trmestre um número de das de: 5; 7; ; 11; 4; 18; 6; 9; 5; 8. Teste a hpótese do número médo por trmestre de regsto em roamng ser 8 no pressuposto de a) o desvo padrão ser 4; b) não ser conhecdo o desvo padrão da dstrbução. 1.6. (Inferênca estatístca ) Uma empresa de vendas por telefone está a promover para um grupo fnancero dos produtos muto dferentes: crédto a partculares e seguros de vda. Dos grupos de vendedores foram afectos a estes dos negócos, mas vve-se algum mal estar, com vendedores da equpa seguros de vda a sentrem-se prejudcados e a pressonarem para passar a vender crédto a partculares com o argumento que os telefonemas são mas rápdos (e há um prémo fxo por telefonema) e que têm maor probabldade de sucesso. Começámos por estudar a duração dos telefonemas, em mnutos, tendo recolhdo uma amostra de cada tpo, com as segunte observações: Crédto a partculares: 3, 1, 8, 1,, 4, 5, 16,, 5; 3; 7, 6, 4, 17, 9, 7, 8, 1, 6 Seguro de vda: 9, 11, 4, 6, 9, 14, 7, 6, 1. Teste as hpóteses de a) A duração méda dum telefonema para vender crédto a partculares ser 8 mnutos; b) A varânca da duração dos telefonemas ser gual para os dos grupos; c) Serem guas as durações médas dos telefonemas para vender os dos tpos de produtos. -0-11 1.3
1.7. (Intervalo de confança para uma proporção) Numa sondagem a 50 pessoas determnou-se o valor de 0.5 para a frequênca de um determnado atrbuto. Calcule um ntervalo de confança para o verdadero valor dessa proporção no conjunto da população, com um nível de confança de 95%. 1.8. (Correlação) Numa determnada regão, são conhecdos para cada concelho, o número de habtantes, o número de assnantes e o número de mnutos de lgação na nossa rede do últmo trmestre: Concelho A B C D E F População 15 43 158 36 85 34 145 35 87 34 17 145 Assnantes 65 345 9 518 55 19 78 34 43 116 87 35 Nº de mnutos 3 475 67 1 649 1 8 379 608 9 769 960 4 88 99 180 550 Pretende-se explorar a relação entre estas varáves calculando as covarâncas ou as correlações entre elas. Para o efeto a) comece por fazer as representações gráfcas que lhe parecerem adequadas, calcule os ndcadores e nterprete; b) Confrme usando o EXCEL; c) Repta com o SPSS. 1.9. (Dstrbução conjunta) Seja f(x,y) 0.5, 0 x 0 y a) Represente grafcamente a função de densdade de probabldade. Use o gráfco para calcular ) P x 1.5 y 1 ) P x 1.5 b) Utlze f(x,y) para calcular ) P x 1.5 y 1 ) P x y c) Calcule a f x (x). Utlze-a para repetr o P x 1.5. cálculo de d) Calcule. X e) Calcule utlzando f(x,y) e repta utlzando f x (x). f) Calcule XY construa.. Sabendo que 1 Y, 3 g) Qual a probabldade de (X,Y) estar a uma dstânca de gual ou superor a 0.8? h) Qual a regão em torno de a que pode assocar uma probabldade de 60%? -0-11 1.4
Y 1.10 (Dstrbução conjunta) Consdere as varáves aleatóras X e Y cuja função densdade conjunta é dada por: 0 x 1 f ( x, y) ( x y) 0 y 1 a) Represente grafcamente f(x,y). Utlze-a para calcular x y P 1. b) Calcule f x (x) e f Y (y). Que pode dzer sobre a ndependênca das varáves X e Y? c) Calcule X = E(x), Y = E(y), XY = Cov(x,y) e XY. d) Calcule F(x,y). 1.11 (Utlzação do SPSS; adaptado do mn-teste de 6.Fev.008) Num estudo sobre as condções do ar no centro duma grande cdade recolheram-se, entre outros dados, as concentrações de CO (monóxdo de carbono) e de NO (dóxdo de azoto), meddas sempre às 1h00 de 4 das consecutvos. Ao estudar a dstrbução destes dos poluentes, obteve CO 191 NO 4 NO 4674 CO NO 014 e os seguntes resultados com o SPSS: N Descrptve Statstcs Mean Std. Devaton Varance Statstc Statstc Std. Error Statstc Statstc CO 4 A B 1,34 C NO 4 D E F G Vald N (lstwse) 4 Correlatons CO NO CO Pearson Correlaton 1 H Sg. (-taled),000 NO Pearson Correlaton H 1 Sg. (-taled),000 a) Que varáves correspondem a X e Y no gráfco? Porquê? X b) Complete o quadro segunte calculando A a H, justfcando. c) Pode apresentar a matrz para estas varáves? Porquê. Qual a sua estmatva?: -0-11 1.5
1.1 (Utlzação do SPSS; adaptado do mn-teste de 8.Mar.007) Dspõe da despesa no últmo mês em telemóvel (TLM) e jornas e revstas (JR) dum grupo de 5 alunos da Pretende-se estudar a relação entre estas duas despesas. Com o SPSS obteve o segunte output: Descrptve Statstcs N Mnmum Maxmum Mean TLM 5 8,39 7,1 4,8196 JR 5 0 40 16,3 Vald N (lstwse) 5 Correlatons TLM TLM Pearson Correlaton 1 JR Sg. (-taled).,000 Sum of Squares and Cross-products 665,513 3169,793 Covarance A B N 5 5 JR Pearson Correlaton C 1 Sg. (-taled),000. Sum of Squares and Cross-products 3169,793 895,440 Covarance 10,643 N 5 5 ** Correlaton s sgnfcant at the 0.01 level (-taled). Com o Excel obteve VARP(TLM) = 50.605 e VAR(TLM) = 61.063 a) Complete os quadros calculando A a C, justfcando. Fo agora testar a possbldade da despesa mensal méda com telemóves ser 0 euros. Obteve: One-Sample Test Test Value = 0 t df Sg. (-taled) Mean Dfference CTLM D E F G b) Complete o quadro calculando os valores D a G e conclua acerca da hpótese. -0-11 1.6
1.13 (Utlzação do SPSS; adaptado do mn-teste de 6.Set.007) Uma empresa tem o seu mercado dvddo em dezassete regões, nas quas utlza canas de dstrbução muto dferentes e polítcas de preço também muto dferentes. Com o ntuto de perceber o mpacto da polítca de preços nas suas vendas, construu para cada uma das regões um índce de preços (tendo em conta as dferenças de poder de compra) e um índce de vendas (tendo em conta dferentes ndcadores de penetração de mercado). Regão X 1 X 1 101.0 99. 100.1 10.0 3 100.0 110.0 4 90.6 111.6 5 76.5 1. 6 89.7 117.6 7 95.6 11.1 8 8.8 136.0 9 70.1 154. 10 65.4 153.6 11 61.3 158.5 1 6.5 140.6 13 63.6 136. 14 77.6 148.0 15 79.7 134.3 16 59.5 149.0 17 91.3 135.5 Sendo X 1 é o índce de preços pratcado; X é índce de vendas obteve: X 1 1 367.3 X 47. 6 X 113 1 47.8 X 30 03. 4 X X 1 177 33.0 a) Complete o quadro segunte calculando A a F, justfcando. Descrptve Statstcs N Mnmum Maxmum Mean Std. Devaton Statstc Statstc Statstc Statstc Std. Error Statstc X1 - Indce Preço * A * B C D X - Indce Vendas E * F 13,1 4,33 17,451 Vald N (lstwse) * b) Va testar a possbldade da méda do índce de vendas ser 140 (H 0 : X = 140). Apoe-se no segunte output do SPSS que deverá completar, justfcando o cálculo de G a K: One-Sample Test Test Value = 140 95% Confdence Interval of the Dfference t df Sg. (-taled) Mean Dfference Lower Upper X - Indce Vendas G H,084 I J K -0-11 1.7