EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

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1 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA I EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES Secção de Estatístca e Aplcações Departamento de Matemátca Insttuto Superor Técnco 2004/2005

2 Adenda A1. De um lote de 6 aparelhos electróncos, dos quas se sabe serem 2 de orgem japonesa, são retrados, ao acaso e sem reposção, 2 aparelhos para nspecção. (a) Calcule as probabldades de serem escolhdos, respectvamente 0, 1 ou 2 aparelhos de orgem japonesa. (b) Verfcou-se que o prmero dos aparelhos selecconados não obedece a certas especfcações padrão. Sabendo que 30% dos aparelhos de orgem japonesa obedecem às dtas especfcações e que 10% dos aparelhos de orgem não japonesa obedecem às dtas especfcações, determne a probabldade desse aparelho ser de orgem japonesa. (Exame 19 Jan 2002 ) A2. Numa undade ndustral as peças podem ser produzdas por uma das três máqunas exstentes, A 1, A 2, A 3, nas seguntes condções: Máqunas Produção Peças defetuosas por máquna A 1 35% 2% A 2 45% 3% A 3 20% 1% (a) Calcule a probabldade de que uma peça extraída ao acaso do lote das peças produzdas nessa undade ndustral seja defetuosa. (b) Fo extraída ao acaso uma peça e verfcou-se que era defetuosa. Qual é a probabldade de ela ter sdo produzda pela máquna A 1 ou pela máquna A 2? (Exame 5 Fev 2002 ) A3. Em qualquer letor de vídeo um correcto alnhamento entre a cabeça de letura e a fta magnétca é essencal para uma reprodução com qualdade. Há dos possíves tpos de alnhamento ncorrecto: envesamento e descentragem. Em certo modelo há problemas por envesamento em 10% dos aparelhos, por descentragem em 5% dos aparelhos e tanto por envesamento como por descentragem em 2% dos aparelhos. Admta anda que nesse modelo a probabldade de um erro de letura é: quando não há problemas de alnhamento; 0.01 quando há somente problemas de envesamento; 0.02 quando há somente problemas de descentragem; e 0.05 quando há problemas de envesamento e descentragem. 1

3 (a) Calcule a probabldade de um aparelho desse modelo ter problemas de alnhamento só por envesamento. (b) Calcule a probabldade de um aparelho desse modelo ter problemas de alnhamento e erros de letura. (c) Sabendo que houve um erro de letura ao usar um desses aparelhos, calcule a probabldade de sso se dever a um erro de alnhamento. (Exame B 15 Fev 2000 ) A4. A experênca com uma técnca automátca de mpressão fotográfca mostrou que em 98% dos casos se obtém um resultado satsfatóro. (a) Admtndo ndependênca entre a qualdade de dferentes mpressões, qual é a probabldade de em 20 mpressões haver pelo menos uma não satsfatóra? (b) Nas mesmas condções que em (a), qual é a probabldade de ao fazer mpressões sucessvas, a prmera não satsfatóra ser a vgésma? (c) Num lote de 100 mpressões há 5 não satsfatóras. Ao examnar ao acaso e sem reposção 10 dessas mpressões, qual é a probabldade de ser detectada pelo menos uma não satsfatóra? (Exame 19 Jan 2002 ) A5. O número de defetos por componente da produção de um fabrcante segue uma dstrbução de Posson de valor esperado 0.1. As componentes são embaladas em caxas com capacdade para 10 componentes. (a) Sabendo que uma dada componente tem defetos, qual é a probabldade da componente possur apenas um defeto? (b) Calcule a probabldade de numa caxa não haver nenhuma componente com defetos. (c) O fabrcante propôs as seguntes ofertas para preço de venda de (caxas de) componentes: (A): O preço de uma caxa de componentes é $00. (B): Depos de tentar usar as componentes, o comprador paga 2 300$00 por cada componente sem defetos e recebe uma ndemnzação de 500$00 por cada componente com defetos. Dga, justfcando, se o comprador deve escolher a oferta (A) ou a oferta (B). (Teste A 27 Nov 1999 ) A6. Mensagens chegam por va electrónca a um servdor de acordo com dstrbuções de Posson à taxa méda de 10 por hora. As mensagens recebdas são dstrbuídas ndependentemente pelos város destnatáros dos quas um, desgnado por A, é responsável por 20% das mensagens dstrbuídas. Calcule a probabldade do destnatáro A: (a) receber pelo menos 5 mensagens em 10 chegadas ao servdor numa hora. (b) não receber qualquer mensagem numa hora. (Teste B 25 Nov 2000 ) 2

4 A7. Um posto de gasolna é abastecdo uma vez por semana. Baseando-se em experêncas passadas, pode afrmar-se que a função de densdade de probabldade das vendas semanas de gasolna (X), em dezenas de mlhares de ltros, é x 1, 1 x < 2 f X (x) = 3 x, 2 x 3 0, caso contráro (a) Qual é a probabldade de serem venddos no máxmo 16 ml ltros numa semana? (b) Numa semana em que se sabe terem sdo venddos pelo menos 16 ml ltros, qual a probabldade de a quantdade de gasolna vendda ser nferor a 23 ml ltros? (c) Qual é a quantdade mínma de gasolna a adqurr semanalmente pelo posto de modo a que a procura seja satsfeta até ao próxmo abastecmento em pelo menos 92% das semanas? (d) Calcule o valor esperado das vendas semanas. (Teste B, 11 Ma 2002 ) A8. O tempo (em mnutos) que cada funconáro despende a atender um utente numa repartção de fnanças é uma varável aleatóra com dstrbução exponencal com desvo-padrão 10 mnutos. (a) Sabe-se que um certo utente já está a ser atenddo há mas de 4 mnutos. Determne a probabldade de ser necessáro esperar pelo menos mas 8 mnutos para que o utente acabe de ser atenddo. Comente. (b) Escolhdos 6 utentes ao acaso, determne a probabldade de pelo menos 2 serem atenddos em menos de 8 mnutos (consdere que os tempos de atendmento dos dferentes utentes são ndependentes). (Teste B 16 Nov 2002 ) A9. A vda de um laser tem dstrbução normal com méda gual a 7000 horas e desvo padrão gual a 600 horas. (a) Qual é a probabldade de um desses lasers falhar até 5300 horas? (b) Qual é a duração que 90% desses lasers excede? (c) Um produto nclu três lasers e falha se algum deles falhar. Se os tempos de vda dos três lasers forem ndependentes, qual é a probabldade desse produto durar mas do que 7000 horas? (Teste B 13 Ma 2000 ) A10. O número de mensagens electróncas recebdas por da (24h) numa pequena empresa de entregas rápdas tem dstrbução de Posson com méda gual a 10. (a) Calcule a probabldade de num da a empresa não receber mas do que 7 mensagens. Compare o resultado com o valor obtdo através da aproxmação à dstrbução normal. (b) Qual é a probabldade do ntervalo entre duas mensagens consecutvas exceder 1 hora? (Exame 5 Fev 2002 ) 3

5 A11. Uma empresa de construção cvl tem uma actuação profssonal cujos regstos mostram que 60% dos seus projectos são completados dentro do prazo estabelecdo com o clente. Supondo que este resultado é fdedgno e sabendo que este ano a empresa tem em cartera 20 projectos para executar: (a) Obtenha a probabldade exacta de entre 10 a 15 dos projectos serem completados dentro do prazo estabelecdo com o clente. (b) Efectue, justfcando, um cálculo aproxmado para a probabldade pedda na alínea anteror. Compare e comente. (Teste A 19 Ma 2001 ) A12. Seja (X, Y ) um vector aleatóro dscreto com função de probabldade dada pelo quadro segunte: X\Y /9 1/9 1/ /9 2/9 2 1/9 1/9 1/9 (a) Obtenha as funções de probabldade margnas de X e Y. (b) Determne o coefcente de correlação entre X e Y. O que conclu? (c) Calcule E[X Y = 0] e V ar[x Y = 0]. (d) Calcule E [E [X Y ]]. (Teste A 19 Ma 2001 ) A13. Engenheros afrmam que um troço de uma ponte é capaz de suportar W = 200 toneladas sem que sejam causados danos estruturas. Para além dsso, estudos levados a cabo apontam para que a massa (em tonelada) dos carros que por ela crculam seja uma v.a. bem modelada pela dstrbução normal de valor esperado 1.5 e desvo-padrão (a) Qual a probabldade de ocorrerem danos estruturas caso estejam 130 carros nesse troço? (b) Assuma agora que W é também uma v.a. com dstrbução normal com valor esperado 200 e desvo-padrão 20. Calcule a probabldade de ocorrênca de danos estruturas, caso o número de carros que estão nesse troço da ponte seja gual a 140. (Exame 13 Jul 2002 ) A14. Um elevador de acesso a um grupo de galeras de uma mna tem capacdade nomnal de 3800kg. Os mneros que usam regularmente o elevador têm pesos que seguem uma dstrbução com valor esperado 75kg e desvo padrão 8kg. Calcule aproxmadamente a probabldade de ser excedda a capacdade nomnal do elevador quando nele se encontrarem 50 mneros. (Teste B 19 Ma 2001 ) A15. O ntervalo de tempo, em mnutos, entre a passagem de dos comboos numa estação de metropoltano tem, em horas de ponta, dstrbução unforme no ntervalo de (5, 15). 4

6 (a) Determne a probabldade de se ter de esperar mas de 8 mnutos entre dos comboos. (b) Sabendo que o últmo comboo passou há oto mnutos, qual é a probabldade de se ter de esperar pelo menos mas cnco mnutos pelo próxmo comboo? Calcule o valor esperado desse tempo de espera adconal. (c) Admtndo que os ntervalos de tempo entre passagens sucessvas dos comboos são varáves aleatóras ndependentes, calcule um valor aproxmado para a probabldade da méda dos ntervalos de tempo entre 100 passagens exceder 9 mnutos. (Exame 19 Jan 2002 ) A16. Sejam X, = 1,..., n observações da ampltude de vbração, X, de uma estrutura, sujeta a determnadas forças, supostas..d. segundo uma le de probabldade com f.d.p. f X (x) = x ( ) θ exp x2, x > 0, θ > 0, 2θ onde θ é uma quantdade relaconada com a dspersão do deslocamento da estrutura. O valor esperado e a varânca desta dstrbução são dados por πθ/2 e (2 π/2)θ, respectvamente. (a) Determne os estmadores de máxma verosmlhança de θ e do valor esperado de X. (b) Compare do ponto de vsta da centragem (não envesamento) os seguntes estmadores de θ: T 1 = 1 n X 2 e T 2 = 2 2n π X 2. (Exame 1 Fev 2005 ) A17. Admta que a densdade de construção, X, num projecto de urbanzação tem dstrbução normal. Uma amostra aleatóra de 50 lotes desse projecto conduzu a 50 x = ; 50 x 2 = Assumndo que o desvo padrão de X é gual a 4, construa um ntervalo de confança a 95% para a densdade méda de construção. Que dmensão devera ter a amostra para que a ampltude desse ntervalo fosse reduzda a metade? (Exame 19 Jan 2002 ) A18. Para comparar duas técncas de purfcação de certo tpo de mnéro foram recolhdas duas amostras, ndependentes, de mnéro purfcado e analsado o respectvo teor (em percentagem de pureza). A amostra referente à prmera técnca, de dmensão 20, conduzu a: 20 x = 1880 ; 20 x 2 =

7 Enquanto que na amostra respetante à segunda técnca, de dmensão 12, se observou 12 y = 1140 ; 12 y 2 = Admtndo que, em ambos os casos, o teor do mnéro após purfcação tem dstrbução normal: (a) Determne um ntervalo de confança a 95% para o teor médo do mnéro purfcado usando a prmera técnca. (b) Obtenha um ntervalo de confança a 90% para a varânca do teor do mnéro purfcado usando a segunda técnca. Com base no resultado obtdo, teste a hpótese desta varânca ser gual a 100. (Exame 21 Jul 2001 ) A19. Um fabrcante de cgarros envou a dos laboratóros amostras de tabaco supostamente dêntcas. Cada laboratóro efectuou cnco determnações do conteúdo em ncotna (em mg). Os resultados foram os seguntes: Laboratóro 1 (x 1 ) Laboratóro 2 (x 2 ) x 1 = 24.4 x 2 = 27.0 x 2 1 = 2998 x 2 2 = 3679 Admte-se que os resultados de cada laboratóro seguem dstrbuções normas ndependentes com varânca comum. Determne um ntervalo de confança a 99% para a dferença das médas entre os resultados fornecdos pelos dos laboratóros. Acha que se pode conclur que as médas das duas populações são guas? (Exame 5 Fev 2002 ) A20. A varável aleatóra X que representa o tempo (em mnutos) entre chegadas de camões a um entreposto tem a segunte função densdade de probabldade f(x) = 1 β e x/β, x > 0 (β > 0). Uma amostra aleatóra de 100 observações da varável X conduzu aos seguntes resultados: x = 4320 e x 2 = (a) Justfque que E(X) = β e que V ar(x) = β 2. (b) Usando o resultado da alínea (a) justfque que para n sufcentemente grande n ( X β 1) a N(0, 1). (c) A partr do resultado da alínea (b) construa um ntervalo de confança (aproxmado) a 95% para o valor esperado do tempo entre chegadas de camões ao entreposto com base na amostra obtda. (Exame A 29 Jan 2000 ) 6

8 A21. Um mesmo tpo de materal (em relação ao qual a temperatura de fusão é mportante) pode ser adqurdo a dos fabrcantes (A e B). Uma amostra de 21 observações da temperatura de fusão de materal de cada fabrcante produzu os seguntes valores: fabrcante A B méda ( o C) É sabdo que o desvo padrão das temperaturas de fusão do materal fornecdo pelos dos fabrcantes é de 4 o C. (a) Acha que a temperatura esperada de fusão do materal fornecdo pelos dos fabrcantes pode ser consderada gual? Use um teste de hpóteses convenente e um nível de sgnfcânca de 1%, não se esquecendo de ndcar alguma hpótese de trabalho que seja necessára. (b) Determne a probabldade de o teste da alínea (a) detectar dferença entre as temperaturas esperadas de fusão do materal produzdo pelos fabrcantes B e A quando exste uma dferença de +3 o C entre essas temperaturas. (Exame A 29 Jan 2000 ) A22. Para efectuar uma análse comparatva entre duas marcas X e Y de computadores pessoas, baseada no tempo (em meses) até à necessdade da prmera reparação, recolheram-se observações que conduzram aos seguntes resultados: 248, 20 x 2 = 3560, 12 y = 152, 12 y 2 20 x = = Admtndo que as amostras são ndependentes e que o tempo de vda em questão tem, para ambas as marcas, dstrbução normal com gual varânca, teste, ao nível de sgnfcânca de 10%, a hpótese dos valores esperados dos tempos até à prmera reparação serem guas para as duas marcas. (Exame 13 Jul 2002 ) A23. Um fabrcante de máqunas de calcular afrma que no máxmo 1% da sua produção é defetuosa. Numa amostra aleatóra de 1000 calculadoras verfcou-se que 12 eram defetuosas. (a) Teste a um nível de sgnfcânca de 5% a hpótese colocada pelo fabrcante. (b) Determne o valor-p para o teste da alínea anteror. (c) Que dmensão mínma devera ter a amostra se houver de facto 2% de calculadoras defetuosas, de modo que a probabldade do erro de tpo II não exceda 5%? (Exame 29 Jun 2000 ) A24. Nas eleções para a Presdênca da Repúblca há 5 canddatos. Suponha que uma sondagem de opnão revelou que 1000 eletores preferem o canddato A, 700 preferem o canddato B e que 300 preferem algum dos outros três canddatos (estes números referem-se apenas aos eletores que manfestaram a sua preferênca por algum dos canddatos). 7

9 Város analstas sustentam que o canddato A receberá cerca de duas vezes mas votos do que o canddato B e cerca de três vezes mas votos do que os outros três canddatos em conjunto. Acha que, tendo em conta os resultados da sondagem, os analstas estão a pensar correctamente? Justfque a resposta. (Exame 20 Jan 2001 ) A25. O número de golos por jogo em 32 jogos de um Campeonato do Mundo de Futebol teve a segunte dstrbução N o Golos N o Jogos Teste ao nível de sgnfcânca de 1% a hpótese de o número de golos por jogo ter dstrbução de Posson. Nota: A estmatva de máxma verosmlhança de λ, para a amostra dada, é (Exame 25 Jun 2002 ) A26. Numa experênca com tubos de vácuo foram observados os tempos de vda (em horas) de 100 tubos, tendo-se regstado as seguntes frequêncas absolutas (Freq. Abs.): Intervalo ]0, 30] ]30, 60] ]60, 90] ]90, + [ Freq. Abs Serão os dados consstentes com a hpótese de o tempo de vda de um tubo de vácuo ter dstrbução exponencal com valor esperado gual a 50 horas? Calcule um ntervalo para o valor-p e comente. (Exame 13 Jul 2002 ) A27. Um estudo sobre a nfluênca da velocdade do vento (X), em m/s, na quantdade de água (Y ) que se evapora por da, em centenas de ltros, na albufera de certa barragem, a temperaturas constantes, conduzu a: x y (a) Adoptando um modelo de regressão lnear smples, estme a recta de regressão de Y sobre X e obtenha uma estmatva da quantdade méda de água evaporada quando a velocdade do vento é gual a 90m/s. Faça uso dos seguntes valores: x = 54.0 ȳ = 5.8 x 2 = y 2 = 207 x y = 1960 (b) Calcule o coefcente de determnação do modelo estmado. (c) Teste a sgnfcânca da regressão. Indque o valor-p desse teste e comente o resultado face ao valor obtdo na alínea anteror. (Exame 5 Fev 2002 ) 8