UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Matemática Aplicada e Curso Livre

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1 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Matemátca Aplcada e Curso Lvre Sondagens e Amostragem 4º Ano º Semestre 005/006 Fcha de trabalho nº 1 Amostragem aleatóra smples 1. Uma população U é composta por cnco números, 3, 6, 8 e 11. Consdere todas amostras de dmensão extraídas de U segundo um procedmento do tpo PEAR e PESR. Determne para cada caso: 1.1 todas as amostras possíves bem como a sua méda y. 1. E( y ) e Var( y ); 1.3 Determne o efeto de amostragem de um relatvamente ao outro.. Retra-se de uma população de méda µdesconhecda e desvo padrão σ=4, uma amostra de dmensão n=64 de méda y =48..1 Para uma extracção do tpo PEAR, escolhendo um nível de confança 1-α gual a 0.95 e 0.99, determne um ntervalo de confança para µ.. Responda novamente à questão anteror para uma extracção do tpo PESR e dmensão da população: N=1000 e N= Uma amostra de 145 famílas de turstas numa dada regão de França dspenderam, uma méda dára de 830 euros e com um desvo padrão estmado de 10 euros. Sabendo que na regão onde fo efectuado o nquérto exstem famílas turstas, que se poderá dzer da despesa global dára do conjunto dessas famílas (supõe-se que a amostra é do tpo PESR)? 4. Uma certa área resdencal tem 5000 casas. Queremos estmar a proporção de casas com: 4.1 mas de três ocupantes; 4. mas do que um carro (consderado como carro própro); Os estmadores peddos devem ter um desvo padrão que não exceda 0.0 e 0.01 respectvamente. A partr de outras sondagens, sabemos que as proporções se stuam entre 0.35 e 0.55 em (4.1) e entre 0.10 e 0.0 em (4.). As duas proporções vão ser estmadas a partr de uma amostra. Qual a dmensão necessára para satsfazer o que é peddo? 5. De uma lsta de 5000 alunos de uma Unversdade, retrou-se uma amostra de 00 ndvíduos dos quas se constatou 40 serem do sexo masculno. Estme o número total de homens e determne o desvo padrão do seu estmador. 6. Numa lvrara os lvros encontram-se em 130 prateleras de tamanho dêntco. O número de lvros que foram contados nuam amostra de 15 prateleras é o segunte:

2 6.1 Estme o número total de lvros exstentes na lvrara (X T ) e calcule um ntervalo de confança com 95% de confança (X T ). 6. Suponha que o valor estmado não é sufcentemente precso; queremos estar 95% certos de que uma amostra dá uma estmatva de X T. Quantas prateleras devem ser ncluídas na amostra? 7. Um Operador Turístco deseja testar a dea de um novo modo de dstrbução de vagens organzadas junto da sua rede de agêncas de vagens, que compreende 3000 agêncas. Se se pretender estmar o número de agêncas favoráves ao seu projecto, qual a dmensão da amostra que deverá ser nterrogada? Faça um estudo com um nível de sgnfcânca de 95%, para dferentes níves de precsão. 8. Recolheram-se em 676 folhas, assnaturas para uma dada petção. Cada folha tem espaço para 4 assnaturas mas em mutas folhas um número menor de assnaturas fo recolhdo. Contou-se então o número de assnaturas em cada folha numa amostra de 50 folhas recolhdas aleatoramente no total das 676. Obtveram-se os seguntes resultados: Nº de assnaturas Nº de folhas Estme o número total de assnaturas para a petção e um ntervalo com 90% de confança para esse valor. 8. Depos da amostra ser recolhda, verfcou-se que nas 676 folhas, o número total de folhas com 4 assnaturas (folhas completas) após contagem fo de 36.Use esta nformação para melhorar a estmatva do número total de assnaturas e determne o erro padrão do estmador correspondente.

3 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Matemátca Aplcada e Curso Lvre Sondagens e Amostragem 4º Ano º Semestre 005/006 Fcha de trabalho nº Amostragem estratfcada 1. Numa base de dados de uma grande superfíce comercal estão regstados clentes, sendo possível classfcá-los em grandes compradores e em pequenos compradores, de acordo com o montante em compras efectuado em 001, conforme é apresentado na tabela segunte: Clentes Número de Méda das Desvo padrão Custo untáro Clentes compras das compras Grandes compradores Pequenos compradores Total , Determne as dmensões das amostras numa amostragem aleatóra estratfcada de dmensão total 1000, usando a afectação proporconal e a afectação de Neyman. 1..Calcule a efcênca de y relatvamente a y s para os dos métodos de afectação. 1.3 Qual será a qualdade dos resultados obtdos, a nível da precsão, ntervalo de confança e coefcente de varação, com que será estmada a méda das compras (com um grau de confança de 95% ) para os tpos de amostragem referencados na alínea anteror. 1.4.Determne as dmensões dos estratos para n fxo (n=1000) de forma a mnmzar a varânca para um custo total fxo de 6000 (sabe-se que C 0 =15). 1.5.Determne a dmensão da amostra estratfcada de modo a que o custo seja mínmo para uma varânca fxa. Qual é o valor do custo mínmo. 1.6.Determne a dmensão da amostra necessára para obter uma varânca prefxada V=V( y s ), sabendo que w 1 =0.3 e w =0.7.. Os 4000 estudantes de uma unversdade estão repartdos por 4 secções da segunte manera: 1%, 1%, 50%, 6%. Pretende-se conhecer-se a proporção P de estudantes que verfcam uma certa propredade sobre a qual vão responder num nquérto. Supõe-se que todos os estudantes da amostra respondem correctamente às questões..1.o objectvo é realzar uma amostragem estratfcada.

4 .1.1 Seja n a dmensão global da amostra. Qual o valor de n e como devem ser repartdos segundo os estratos para que a proporção em cada uma das secções seja estmada tendo uma precsão absoluta de 5% com uma confança de 90%?.1. Consdere o caso mas desfavorável, ou seja, proporções próxmas de 50% e calcule as dmensões das amostras tendo em conta as fracções de amostragem..1.3 A partr da amostra anteror como obtém a proporção estmada para a população? Qual a precsão absoluta, a 90% de confança, que se pode esperar?.. Selecconou-se uma amostra estratfcada de dmensões: n 1 =170; n =170; n 3 =40; n 4 =10 e observaram-se as seguntes proporções: p 1 =30%; p =40%; p 3 =50%; p 4 =40%...1 Construa um ntervalo de confança a 90% para as proporções em cada uma secções... Construa um ntervalo de confança a 90% para a proporção na população global...3 Entre os 170 estudantes da amostra da secção 1 contaram-se 10 do sexo femnno dos quas 30 verfcaram a propredade em estudo. Construa um ntervalo de confança a 90% para a proporção de estudantes do sexo femnno da prmera secção que verfcam a referda condção. 3. Pretende-se estudar os saldos (não nulos) de 136 clentes de uma empresa.para obter uma boa precsão, é necessáro estratfcar esses 136 valores. Decde-se estratfcar segundo o valor contablístco do saldo das contas. Obtveram-se 4 estratos, cujos elementos característcos se apresentam na tabela segunte: Estratos (h) Valores extremos Efectvos N h Valor contablstco (em Euros) Total do estrato 1 1 a a a a S ch

5 TOTAL Sabe-se que o valor médo m R =Valor real dos saldos(v R )/ Relembre, supondo que os custos de amostragem são guas para os dferentes estratos, as fórmulas que dão a repartção óptma de Neyman de uma amostra estratfcada de dmensão dada n. 3. Estmando S h (desconhecdo)= desvo padrão dos valores reas no estrato h por S ch (conhecdo)=desvo padrão dos valores contablstcos no estrato h, (h=1 a 4) ndque a expressão das dmensões da amostra a retrar nos dferentes estratos em função de n. 3.3 Relembre como se pode calcular S c = desvo padrão dos valores contablístcos na população a partr dos dados da tabela. (Sabe-se que S c =195,997). 3.4 Estmando S R, desvo padrão dos valores reas, por S c, desvo padrão dos valores contablístcos, calcule a dmensão da amostra que sera necessára no caso duma amostra aleatóra smples sem reposção para obter uma precsão absoluta de 50 Euros (com o grau de confança 95%) sobre a estmação do valor real médo m R. 3.5 Determne a dmensão da amostra necessára para obter uma precsão absoluta de 50 Euros sobre a estmação do valor real médo m R, com o grau de confança 95% (utlzando a repartção referda em 3.1 e 3.). 4. Uma grande empresa que compreende pessoas pretende fazer um nquérto junto do pessoal empregado. É realzada uma amostragem, sendo a varável dade utlzada na formação das três categoras conforme é apresentado na tabela segunte: Categora Peso no quadro do pessoal Desvo padrão das dades 1 0% 18,0 30% 1,0 3 50% 3,6 População 100% 16,0

6 4.1 Seja Y a dade méda e Y o estmador usado numa amostra aleatóra smples, sem reposção com probabldades guas de n=100 ndvíduos. Qual é o desvo padrão de Y? 4. Decdu-se que a amostra de 100 ndvíduos deve ser estratfcada pelas três categoras. Qual é a repartção representatva? Qual é a varânca do estmador de Y s? Compare com o resultado obtdo em Qual será a repartção óptma da amostra? Qual é a varânca encontrada? Comparea com o resultado obtdo em Um estatístco necessta de fazer uma amostragem estratfcada. O custo de amostragem H é C= c hn h e o número de estratos é. Ele dspõe dos seguntes dados: h= 1 Estrato N h N S h c h 1 0, , Calcule n 1 n n e que mnmzam o custo para V( Y s ) fxa. n 5. Determne a dmensão desta amostra estratfcada de modo a que V( Y s )=1 e o custo seja mínmo. 5.3 Calcule o valor do custo. 6. Supondo que são conhecdos os seguntes dados de uma população dvdda em estratos: h N h S h c h Sendo c h o custo untáro do estrato h, determne o custo de uma amostra estratfcada proporconal que garanta um coefcente de varação de 5% para estmar a méda: 6.1 Com repartção proporconal. 6. Com repartção óptma. (Supõe-se a amostragem sem reposção e x ).

7 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Matemátca Aplcada e Curso Lvre Sondagens e Amostragem 4º Ano º Semestre 005/006 Fcha de trabalho nº 3 Amostragem por clusters 1. Um jornal tem assnantes. Há um fchero com um regsto por cada assnante que está ordenado por ordem geográfca, de tal forma que as zonas geográfcas se seguem umas às outras. O jornal realza um nquérto com o objectvo de estmar quantos assnantes são propretáros da sua resdênca prncpal (tendo em vsta a realzação de determnadas acções publctáras). A drecção do jornal encomenda um nquérto com entrevstas pessoas realzadas junto de 800 assnantes, tomados em conglomerados de 10; este procedmento economza custos de transporte, já que um entrevstador pode fazer, em geral, 10 entrevstas num meo da no caso de se realzarem em zonas geografcamente próxmas. O responsável pelo plano de sondagem consdera os N=40000 regstos como uma base composta por M=4000 conglomerados de dmensão N 0. Seleccona-se, segundo um procedmento sstemátco assmlável a uma tragem com probabldades guas e sem reposção, 80 conglomerados de entre os 4000 que consttuem a população. Exemplos de resultados obtdos (nº de propretáros por conglomerado): Seja ι g o nº total de assnantes no conglomerado g, propretáros da sua resdênca prncpal (0 ι g 10). Obtêm-se os seguntes resultados: 80 g= 1 80 τ g = τg = 536 g= Encontrar um ntervalo de confança a 95% para o nº total de propretáros entre a população de assnantes do jornal. 1. Se p representa a proporção de propretáros no conjunto de assnantes, qual é o valor da estmatva p? Forneça um ntervalo de confança para p.

8 1.3 Se o valor numérco de p obtdo na questão precedente resultasse de uma sondagem aleatóra smples com probabldades guas e sem reposção, retrada de entre os 4000 assnantes, qual sera o ntervalo de confança para p? 1.4 Como explca a dferença constatada para os ntervalos obtdos nas duas questões precedentes? 1.5 Que sugestões formulara no sentdo de melhorar a qualdade (precsão) do procedmento de sondagem. Justfque brevemente as suas sugestões.. Consdere-se uma população fnta de N ndvíduos agrupados em M conglomerados de dmensões N g (g=1,...,m). Tram-se m conglomerados com probabldades guas e sem reposção, consttundo uma amostra de dmensão N. Os conglomerados são alojamentos, os ndvíduos são pessoas de 15 ou mas anos. A sondagem dz respeto à compra de uma revsta num dado trmestre. Usa-se a segunte notação: p a proporção de casas compradoras na amostra, m a o nº de casas compradoras na amostra, m g= 1 g µ τ, a e s τ,a a méda e o desvo padrão do nº de revstas compradas por casa compradora na amostra..1 Forneça as expressões de µ e sτ, a méda e o desvo padrão do nº de revstas compradas por alojamento na amostra, em função de τ µ τ, a. No caso de M=5000, m=4500, p =0.1, = 3. e s, a = 3 1forneça um ntervalo de confança a 95% para alojamento na população. µ τ e s τ, a µ τ,a τ.. o nº médo de revstas compradas por.3 Quas são os problemas assocados à obtenção de um ntervalo de confança para:.3.1 µ, a, o nº médo de revstas compradas por alojamento comprador na população τ.3. µ, o nº médo de revstas compradas por ndvíduo na população.4 Forneça uma expressão aproxmada para Var( µ ) τ,a

9 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Matemátca Aplcada e Curso Lvre Sondagens e Amostragem 4º Ano º Semestre 005/006 Fcha de trabalho nº 4 Estmação de e por quocente 1. Retram-se os dados seguntes dos resultados de um nquérto ao emprego. População estmada Intervalo de confança a 95% População actva 406 ± 19 Actvos ocupados Desempregados ± 149 ± Calcule a taxa de desemprego (em %) e o seu ntervalo de confança a 95%. (Nota: a taxa de desemprego é o quocente entre o nº de desempregados e a população actva. A população actva é a soma dos actvos ocupados e dos desempregados). De entre os 3000 funconáros duma empresa, fo extraída uma amostra aleatóra smples sem reposção de 300 ndvíduos, com o objectvo de estudar os saláros médos..1 Determne um ntervalo de confança a 95% para µ, sabendo que o rendmento médo dos ndvíduos nqurdos é de u.m. e y = Desgne-se por D 1 o conjunto dos funconáros com vatura da empresa e por D o conjunto dos restantes ndvíduos. Na amostra selecconada, verfcou-se que 50 funconáros têm vatura da empresa e que o total do rendmento destes é undades monetáras (u.m.). Determne ntervalos de confança a 95% para o rendmento médo dos funconáros com vatura e sem vatura da empresa. A amostra forneceu os seguntes dados: D1 y = Um jornal dáro pretende fazer uma sondagem sobre os preços dos almentos. Para sso extrau uma amostra (a.a.s.) de 48 géneros almentícos báscos num supermercado. Os preços (em dezenas de euros) desses géneros foram recolhdos em duas ocasões, com um ntervalo de 3 meses. Os valores da prmera recolha são denotados por y e os da segunda por x. Foram obtdos os seguntes resultados: x = 1.07 y = x = y = x y s =

10 Assume-se que a dmensão da população é grande em relação à dmensão da amostra. 3.1 Determne uma estmatva para o quocente R= X / Y e estme a varânca do seu estmador. 3. Determne um ntervalo com 95% de confança para R. 4. As 364 aldeas de uma determnada zona foram estratfcadas segundo a sua área agrícola. Dspõe-se da segunte nformação respetante à área agrícola das aldeas X h e ao número de cabeças de gado Y h : Estrato Nh X h Y h σ xh σ ρ yh h Até 1000 acres Mas de 1000 acres TOTAL Pretendem-se selecconar 73 aldeas (cerca de 0% do total). Determne a repartção óptma da amostra pelos dos estratos, utlzando para estmar o número total de cabeças de gado: 4.1 o estmador centrado do quocente; 4. o estmador combnado do quocente; 4.3 o estmador da méda de uma amostra estratfcada. 4.4 Calcule e compare a varânca do estmador do total obtdo por cada um dos três métodos. 5. Parte de uma floresta de coníferas contém 80 árvores de uma mesma espéce e de dade smlar. Fo pedda uma estmatva prelmnar do peso total de madera que estas árvores rão produzr. Um perto florestal dz uncamente por nspecção vsual de qualquer árvore é capaz de dar, com bastante precsão a sua produção. Ele calcula que o total de produção será de 43.6 toneladas. Assm, foram escolhdas aleatoramente 5 árvores as quas foram abatdas determnando-se a quantdade de madera por elas produzda. Os resultados são representados por x e os correspondentes calculados pelo perto florestal, por y. Obteve-se o segunte: x 39. y = 40.7 x y = x = 66.9 y = = Estme a produção total usando o estmador do quocente e o estmador de regressão. Compare as efcêncas do estmador do quocente, do estmador da regressão e do estmador baseado apenas nos valores x da amostra.

11 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Matemátca Aplcada e Curso Lvre Sondagens e Amostragem 4º Ano º Semestre 005/006 Fcha de trabalho nº 5 Exercícos complementares 1. Numa determnada localdade pretende-se estmar o número total de cranças vacnadas contra uma dada doença e o seu erro de amostragem. Dspõe-se de nformação sobre o número de agregados famlares por quarterão. Selecconam-se 10 quarterões, com probabldades desguas, proporconalmente ao seu número de agregados. O número total de agregados da localdade é de 5000, dstrbuídos por 50 quarterões. Quarterões Nº de agregados Cranças vacnadas TOTAL Para lançamento de um produto fnancero um banco com uma rede de M sucursas deseja conduzr um estudo junto dos partculares que nele têm conta. Para efectuar o nquérto junto dos N= ttulares de conta defnu-se um plano de amostragem em duas etapas, a fm de estmar o número de depostantes nteressados no produto a lançar..1 De entre as 100 sucursas do banco selecconaram-se aleatoramente 10. Em cada uma das sucursas adoptou-se uma taxa de amostragem unforme de 10%. Construa um ntervalo de confança a 95% para o estmador da proporção. Sucursal Nº de ttulares da Amostra de p sucursal N ttulares n TOTAL

12 . Consderando que as sucursas são em número de ttulares de conta de dmensões desguas, decde-se escolhê-las com probabldades proporconas ao número de depostantes, ou seja, A =N /N (=1,,M), e selecconam-se 10 sucursas, em cada uma das quas se nqure o mesmo número de clentes...1 Indque as expressões do estmador de P e do estmador da varânca para este plano de amostragem... Determne um ntervalo de confança de 95% para p. Admta que os valores da coluna dos p do quadro são percentagens observadas nas 10 sucursas da amostra. 3. Efectuou-se um nquérto junto de N=10000 consumdores de electrcdade para conhecer o seu equpamento de electrodoméstcos e estudar os consumos anuas. Fo selecconada uma amostra aleatóra smples sem reposção de dmensão n=1000. Conhece-se para a população uma varável de controlo (lgada ao equpamento) que é a tarfa de consumo de electrcdade. Exstem 3 tarfas T1, T e T3. Após o nquérto regstou-se, para os elementos da amostra, a dstrbução por aquelas tarfas e comparouse com a dstrbução conhecda da população: Tarfas T1 T T3 TOTAL População Amostra Supõe-se que no nquérto por va postal o número de não respostas fo de 400. Os não respondentes repartem-se segundo o quadro (apenas para o electrodoméstco A): 1º Inquérto T1 T T3 TOTAL Electrodoméstco A Sem electrodoméstco Não resposta TOTAL Estme o número de detentores do equpamento A, a partr do lote de respondentes, sem ter em conta as tarfas. 3. Ajuste a amostra dos respondentes segundo a tarfa, utlzando uma estratfcação à posteror.