MTEMÁTI Geometri Espcil 0. Um cilindro reto tem cm de ltur e su áre lterl vle d áre totl. etermine o seu volume. S = p S L = p. h = p. = p S T =. S + S L = p + p = p ( + ) omo S L = S T então p = p ( + ) 8 p = p ( + ) 8 = ( + ) Þ = cm Logo, V = S. h = p.. Þ V = 08 p cm 0. superfície lterl de um cilindro, qundo plnificd, é um qudrdo de cm de áre. etermine o volume do cilindro. Se um qudrdo tem áre cm então seu ldo mede = = cm. Então, no cilindro, p = = Þ = p e h = Logo, V = p. h = p. p. Þ p cm. 0. Um retângulo medindo cm por 8 cm gir em torno de um de seus ldos gerndo um cilindro de áre e volume V. etermine os vlores possíveis de e V. 8 =. p + p h V = p. h =. p. + p. 8. V = p. 8. = 8 p + 9 p V = 8 p cm = p cm 8 = p. + p. 8 V = p.. 8 = 7 p + 9 p V = 88 p cm = 8 p cm mtcol0- PV
MTEMÁTI 0. Um cilindro de rio = cm foi secciondo por um plno prlelo o seu eio e distnte cm deste. etermine seu volume sbendo que secção determind é um qudrdo. 0. figur bio mostr um recipiente cilíndrico construído especilmente pr condicionr sem folg um peç com formto de prlelepípedo com dimensões, e cm. entre s possíveis dimensões do recipiente, determine de menor volume. Olhndo de cim vemos: plicmos pitágors no triângulo formdo pelo rio (hipotenus). + = Þ = 9 = Logo, = 8 cm = ltur V = p.. h = p.. 8 Þ V = 00 p cm ) () = + = = e h = V = p h = p.. Þ V = p b) () = + = 0 = e h = V = p h = p.. Þ V = 0 p c) () = + = 0 = 0 e h = V = p h = p. 0. Þ V = 0 p Logo, de menor volume é quel cujo rio é = cuj ltur é h = cm cm e 0. lcule rzão entre os volumes de um cilindro e de um prism tringulr regulr de mesm ltur e mesm áre lterl? H bse do prism é um triângulo equilátero de ldo e ltur h = SL ) = π. H SL P =. H V = π. H V P =. h. H =.. H = como são iguis Þ π = = π... H = p. 9 H V π H π H 9 9 = = = = = VP π H π H π π π V VP = À PV mtcol0-
MTEMÁTI 07. Um peç de ouro de cm tem o formto de um cubo e será derretid e trnsformd em um cilindro cujo diâmetro é cm. etermine ltur do cilindro. V = p.. h = Þ p.. h = Þ h = p cm 08. Num cilindro reto de volume p cm, ltur é o dobro do diâmetro. lcule áre lterl. V = π. h Þ π = π.. Þ = Þ = cm S L = π. h Þ S L = π... Þ S L = 8 p cm 09. Um depósito tem o formto de um semicilindro de rio = m e comprimento d = 0 m. Quntos glões de tint são necessários pr pintá-lo se cd glão cobre etos,8 m de superfície? = h = 0 S T =. π + π. h S T = π. + π.. 0 S T = 9 π m 0 Se cd glão cobre,8 m, pr cobrir 9 π m serão necessários: 9π 9., = 8, 8, = 8 glões 0. Munido do esquem bio, um estudnte desej construir um cilindro de crtolin. Qul o volume do cilindro por ele construído sbendo que crtolin disponível é qudrd e mede,8 cm por,8 cm? p =,8 Þ =, 8 8, Þ = 0 cm + H =,8 Þ H =,8 0 Þ H =,8 cm V = p. H = p. 0.,8 Þ V = 79, cm mtcol0- PV
MTEMÁTI. (FUVEST-SP) Um cilindro oblíquo tem rio ds bses igul, ltur e está inclindo de um ângulo de 0º. O plno β é perpendiculr às bses do cilindro, pssndo por seus centros. Se P e são os pontos representdos n figur, clcule P. β P 0º O P 0º H Temos tg 0º = H H = Þ H = no ΔOP temos que P = no ΔP temos que P = P +, ms = H Þ P = ( ) + ( ) Þ P =. Um cilindro reto está inscrito num cubo de volume cm. etermine: ) o volume do cilindro; b) áre totl do cilindro. V cubo = Þ = cm Þ r = cm ) V cil = π. Þ V = π cm b) S T = S + S L Þ S T =. π. + π.. S T = π cm r PV mtcol0-
MTEMÁTI. Um cubo está inscrito em um cilindro reto. etermine rzão entre o volume do cubo e o volume do cilindro. = Þ = V cubo = V cil = p. Þ V cil = p V V cubo cubo = Þ = Vcil π Vcil p. onsidere um cilindro reto inscrito num cubo. O volume do cilindro represent que porcentgem do volume do cubo? V cubo = onde V cil = pr. h Vcil = p = rest do cubo r = rio d bse do cilindro h = ltur do cilindro = r = h. = p V cil = p. V cubo V cil @ 78,% V cubo. Um pirâmide qudrngulr ret está inscrit num cilindro equilátero cujo rio d bse mede cm. etermine o volume d pirâmide. r. Sej um folh de crtolin retngulr de ldos iguis cm e cm. om ess crtolin é possível construir s superfícies lteris de um cilindro e de um prism de bse qudrngulr, mbos de ltur cm. etermine rzão entre os volumes do cilindro e do prism. p r = r r r = p V cil = p π. = p V pri =. = = p r r = Þ 0 = Þ = 0 Þ = V PI =. r Þ V = 0.. Þ V = 00 cm Vcil = Vpri π = p mtcol0- PV
MTEMÁTI 7. Um produto pode ser vendido em emblgens de dois formtos: de cilindro ou de prism qudrngulr reto. Se s emblgens têm mesm ltur e mesmo volume, determine s áres totis e verifique qul ds emblgens é mis econômic considerndo pens o custo do mteril utilizdo. r h omo os volumes são iguis e s lturs tmbém, então s áres ds bses são iguis. Portnto: Sb = Sb Þ π r = Þ = p r omo s áres ds bses são iguis, bst comprr s áres lteris: SL πrh πr = = SL h ms r = π portnto, S L πr π π = = = SL π como π < então S L < S L. Logo, emblgem (cilindro) é mis econômic que emblgem (prism qudrngulr reto). 8. Quntos mililitros de tint podem ser condiciondos no reservtório cilíndrico de um cnet esferográfic, sbendo que seu diâmetro é mm e seu comprimento é cm? ) 0,78 b),78 c) 0,078 d) 7,8 e) 0,0078 O rio é mm ou 0,0 dm e ltur é cm ou, dm portnto o volume é V = π (0,0)., dm V =,. 0,000., V =,78. 0 L V = 0,78 ml lterntiv 9. áre totl de um cilindro equilátero cujo rio d bse é r é r ) pr b) pr c) πr d) pr e) pr S T = S b + S L S T =. πr + pr. r S T = πr r lterntiv 0. um ci d'águ de form cúbic com metro de ldo está copldo um cno cilíndrico com cm de diâmetro e 0 m de comprimento. Num certo instnte, ci está chei de águ e o cno vzio. Solt-se águ pelo cno té que fique cheio. Qul o vlor proimdo d ltur d águ n ci no instnte em que o cno ficou cheio? ) 90 cm b) 9 cm c) 9 cm d) 9 cm e) 98 cm V cno = π (0,0). 0 V cno =,. 0,000. 0 V cno = 0,08 m V águ n ci = 0,08 V = 0,9 m.. h = 0,9 h = 0,9m Þ h = 9 cm m m = cm 0m lterntiv PV mtcol0-
MTEMÁTI 7. Um cone equilátero tem gertriz medindo cm. etermine su áre totl e seu volume. h g = g = h + Þ = h + Þ h = Þ h = S T = p + pg = p. + p.. S T = p cm = V = p. h = p.. V = 8 p cm. Um triângulo tem medids 0, 8 e cm. etermine áre totl e o volume do cone gerdo pel rotção do mesmo, ) em torno do menor cteto; b) em torno do mior cteto. ) S T = p. 8 + p. 8. 0 = p cm g = 0 h = V = p. 8. = 8p cm = 8 b) S T = p. + p.. 0 = 9p cm g = 0 h = 8 V = p.. 8 = 9p cm =. áre lterl de um cone, qundo plnificd, é um setor circulr de 0º e áre p cm. etermine o volume e áre totl do cone. g V 0º π h g = = áre do setor de 0º é π Podemos escrever: 0º 0 = º Þ g = cm π πg O comprimento do setor é π Podemos escrever: 0 º 0º π = πg Þ = cm Logo, com relção o cone: g = h + Þ h = = 8 Þ h = V = π h = π.. = π S T = π + π g = π. + π.. S T = π cm cm cm mtcol0- PV
8 MTEMÁTI. lcule o volume de um cone inscrito num cubo de rest cm. Sendo = cm rest do cubo, é fácil perceber que ltur do cone é = cm e seu rio é = cm. Então: V = p.. = p cm. Um pirâmide qudrngulr regulr tem rest de bse e ltur. etermine: ) o volume do cone circunscrito; b) áre totl do cone inscrito. lro que os dois cones têm mesm ltur d pirâmide. om relção às bses, vej n figur: r Sendo rest do qudrdo, é fácil perceber que r = rio do cone inscrito = = Þ r = = rio do cone circunscrito: = r + r = + = Þ = ) Volume do cone circunscrito: V = p. h = p ( ). = p Þ V = p b) Áre totl do cone inscrito: Pel secção meridin do inscrito temos: g = () + = 0 Þ g = 0 Logo: S T = p + p. 0 Þ S T = p ( + 0) g r = h =. Um bloco de ferro tem o formto de um cubo de rest = 8 cm e nele é feito um furo cônico com s medids do esquem bio. Sbendo que densidde do ferro é 7,8 g/cm determine mss do bloco pós confecção do furo. = r = h h 8 V cubo = 8 = cm Podemos escrever: h h 8 = Þ h = cm V grnde = π.. = 08 p cm V pequeno = π.. ( 8) = p cm V tronco = 08 π π 0π = cm V do bloco pós o furo cônico: 0 p = 0, cm Mss = Volume. ensidde = 0,. 7,8 =,7 g PV mtcol0-
MTEMÁTI 9 7. Sbendo que em cm cbem 0 grãos de trigo, determine cpcidde, em grãos, do silo esquemtizdo bio:,80 m,0 m,0 m V silo = V cone + V cilindro Trnsformndo em cm, temos: V silo = π. 0. 0 + π. 0. 80 V silo =..0 + 8.8.880 V silo = 0 0 00 cm Então, 0.0.00. 0 = 7.0.000 grãos de trigo 8. Um tç pr drinques com formto cônico present s medids d = 8 cm, h = cm e p = cm. d h p Se os frisos dividem gertriz em três prtes iguis então s secções de cd friso dividem ltur h = em três prtes iguis, cd um com = tç present frisos que dividem su gertriz em prtes iguis. No prepro de um drinque primeir bebid deve ser colocd té o segundo friso e depois, completmos com segund bebid té o terceiro friso. Sendo V o volume de drinque ssim preprdo, determine, em função de V, o volume utilizdo de cd bebid. Sej V o volume d tç tod (h = ) Sej V o volume d bebid (h = = ) Sej V = V V o volume d bebid Pel rzão entre os volumes temos: V = V = = Logo, V = 8 V 7 ( bebid) Se V = V V, então V = V 8 V 9V = 7 7 ( bebid) 7 8 mtcol0- PV
0 MTEMÁTI 9. figur bio, qundo gir em torno do eio, ger um sólido de volume V e áre lterl S. lcule V e S. São ddos: V = e V = 0 = e V = 0 V Vmos dividir o sólido em : o cone gerdo por V e o tronco gerdo por. om relção o cone: g = 0 V r h = Pitágors Þ g = h + r Þ 00 = + r Þ r = 8 V = p r h = p8. Þ V cone = 8p S = prg = p. 8. 0 Þ S cone = 80p om relção o tronco: Pitágors no de hipotenus Þ = + d Þ d =. Então = d + r Þ = + 8 Þ = g Podemos escrever: H H H H = + = + H H = r 8 r = 8 Pitágors no de hipotenus g Þ g = H + r Þ g = 0 S V tronco = V grnde V pequeno V tronco = p. (H + ) pr. H Þ V tronco = p.. - p.. π 08π d r = 8 = Þ Vtronco = p 9 9 } } g = 0 pr p 0 S Ltronco = p (g + ) prg = p.. + p. 8. 0 = p.. p. 0 Logo, com relção o sólido temos: V = V cone + V tronco = 8p + p Þ V = 9p S = S cone + S tronco = 80π + 9π Þ S = 7p 8π = Þ SLtronco = 9p 0. Um cone reto de ltur h = cm é dividido em dois sólidos de volumes iguis por um plno prlelo à bse e distnte do vértice. etermine. Se os dois sólidos têm volumes iguis, então o volume do cone originl é o dobro do volume do cone pequeno. V G =. V P ou V G VP = VG = VP = Þ =. Þ = = =. Þ = cm PV mtcol0-
MTEMÁTI. lcule o volume do sólido hchurdo, desenhdo seguir. r r r V cil = πr. r = πr V cone = πr. r πr = V = V cil. V cone Þ V = πr. pr Þ V = pr. Um triângulo retângulo, cujos ctetos medem cm e cm, gir em torno do cteto mior. etermine o volume do sólido gerdo. omo V = H p > H então S pri > S cil p. Þ V = 00 p cm cm cm. Um semicírculo de áre 8 p cm é superfície lterl de um cone. etermine o volume do cone. Se áre lterl é um semicírculo, então o cone é equilátero. Logo: S L = 8π = p g Þ g = Þ = cm V = S. b. H p.. Þ V = = 8 p cm. Um triângulo equilátero de ldo cm gir em torno de um dos seus ldos. etermine o volume do sólido gerdo. =. = cm e H = cm V = V cone =. p. H V = 8 p cm. Um sólido é obtido trvés d rotção de um triângulo isósceles em torno do ldo conforme figur. etermine o volume desse sólido. cm cm 0º V = V V, onde V = p. e V = p. Temos que: =. Þ = 9 cm, = + = + Þ = 9 = Então V = π. 9. 9 π. 9. Þ V = p. 9. V = p cm mtcol0- PV
MTEMÁTI. esej-se construir um cone circulr reto com cm de rio d bse e cm de ltur. Pr isso, recort-se em crtolin um setor circulr pr superfície lterl e um círculo pr bse. medid do ângulo centrl do setor circulr é ) º b) 9º c) 0º d) 88º e) º Temos que: g = h + r Þ g = + Þ g = cm = rco rio rd Þ = p. rd Þ =. 80 º. = 88º lterntiv 7. Um cone circulr reto tem ltur igul. rzão entre o volume e áre d bse é ) b), c) d) e) Sb. H V S = b S = = b lterntiv 8. etermine áre e o volume de um esfer sbendo que secção que dist cm de seu centro tem rio cm. Note pelo esquem que = cm Α = p = 00p cm V = p r = 00 p cm 9. Um recipiente cilíndrico tem rio cm, ltur, cm e / de seu volume ocupdo por águ. Esfers de rio, cm são colocds cuiddosmente, um um, no interior do recipiente té trnsbordá-lo. etermine o número de ordem d esfer responsável pelo trnsbordmento. O volume totl ds "n" esfers deverá ser igul o volume vzio do cilindro, ou sej; de, =,7 cm té qui de águ de, = 0,8 V cilindro = p.. h V ESFE =. p. p..,7 =. π., 7, =,n Þ n = 7,,. n Þ 7, =.,7. n = dicionndo esfer águ trnsbordrá. PV mtcol0-
MTEMÁTI 0. Um esfer de π cm de volume é introduzid num orifício cônico de cm de diâmetro de tl modo que o plno d bse tngencie. etermine o volume do orifício cônico.. Um miiric de rio cm tem gomos idênticos. Qul áre de cd gomo? 0 T g 0 h T g h = cm V V V Sendo o volume d esfer p temos: p = p Þ = cm (rio d esfer) Sendo semelhntes os triângulos OV e TV temos: = = g h h Þ (h ) = g Þ g = (h - ) plicndo Pitágors em OV Note que cd gomo present dois semi círculos de rio = cm e / d superfície esféric S =.. π. +. π. S = π + p p = Þ S = 7 cm g = + h = [(h 0)] Þ h = 8 cm (ltur do cone) Logo, V = p.. 8 Þ V = 9p cm. Um semiesfer é soldd um cilindro e este, por su vez, é solddo um cone. O rio de cd sólido é cm. etermine áre totl d peç ssim construíd, sbendo que cd sólido componente tem o mesmo volume. semiesfer: V =. p = p. = 8p cm 9 S =. p = p. = 8p cm cilindro: cone: V = p. h = p.. h = 8 Þ h = cm S = p. h = p.. = p cm V = p. h = p.. h = 8 Þ h = cm omo: g = + = Þ g = S = p g = p.. = 9p cm Logo, áre totl = S + S + S = S S = 8p + p + 9p = p. (0 + ) cm mtcol0- PV
MTEMÁTI. us esfers, de rios 9 cm e cm, são tngentes eteriormente e tngencim um plno nos pontos e. lcule distânci entre e. 9 9 + 9 9 T d (9 ) + d = (9 + ) Þ d = Þ d = cm. (Unifesp 00) Um recipiente contendo águ tem form de um cilindro circulr reto de ltur h = 0 cm e rio r = cm. Este recipiente contém litro de águ menos que su cpcidde totl. águ ) lcule o volume de águ contido no cilindro. (use π =,). b) Qul deve ser o rio de um esfer de ferro que, introduzid no cilindro e totlmente submers, fç trnsbordrem etmente litros de águ? r h ) O volume totl é V = p. r. h =,.. 0 =. cm Þ V =, L V águ =, L L =, L b) p. = 000 cm Þ = 9000 p 0 = p cm. Um esfer oc, de rio cm, é cortd etmente o meio. Sbendo que su espessur é cm, determine áre totl de cd semiesfer. cm io d semiesfer etern = cm Áre = p. = 7p cm io d semiesfer intern = cm Áre = p. = p cm. ois plnos prlelos cortm um esfer em hemisférios diferentes determinndo círculos de rios 8 mm e 0 mm. distânci entre os plnos é mm. om relção o volume d esfer, podemos dizer: ) é muito mis de um litro b) é pouco mis de meio litro c) é etmente meio litro d) é pouco menos de meio litro e) fltm ddos s medids form dds em mm ms vmos trblhr com cm lembrndo que 000 cm = litro. =,0 + =,8 + (, ) igulndo,8 +,.,. + =,0 + Þ = cm Logo =,0 + 9,0 =,0 Þ = cm 8 0 V = p = 00 p =, cm lternrtiv PV mtcol0-
MTEMÁTI 7. Um superfície esféric de rio cm é cortd por um plno situdo um distânci de cm do centro d superfície esféric, determinndo um circunferênci. O rio dest circunferênci, em cm, é ) b) c) d) e) T = + P r r = cm r lterntiv E 8. Um recipiente cilíndrico cujo rio d bse é cm contém águ té um cert ltur. Um esfer de ço é colocd no interior do recipiente, ficndo totlmente submers. Se ltur d águ subiu cm, então o rio d esfer é ) cm b) cm c) cm d) cm e) cm V esf = V águ deslocd V esf = p.. = p p r = p r = cm lterntiv 9. Um copinho de sorvete, em form de cone, tem 0 cm de profundidde, cm de diâmetro no topo e tem í colocds dus conchs semiesférics de sorvete, tmbém de cm de diâmetro. Se o sorvete derreter pr dentro do copinho, podemos firmr que ) não trnsbordrá. b) trnsbordrá. c) os ddos são insuficientes. d) os ddos são incomptíveis. e) tods s firmções nteriores são flss. V sorvete = π r = cm p V cone = π.. 0 = 0p cm Logo, não trnsbordrá. cm 0 cm lterntiv 0. Um lrnj pode ser considerd um esfer de rio, compost por gomos etmente iguis. superfície totl de cd gomo mede ) π b) π p c) d) π e) π = 0 º = 0 S fuso =.. π. = p S L =. p = π S T = π + π S T = π lterntiv E. (FGV-SP) Está sendo construído um glpão em form de hemisfério, pr um eposição. Se, pr o revestimento totl do piso form utilizdos 78, m de lon, quntos metros qudrdos de lon serim utilizdos pr cobertur complet do glpão? (onsidere p =,) S b = 78, m Þ πr = 78, Þ r @ Þ r = m S hem =. πr Þ S hem = 7 m mtcol0- PV
MTEMÁTI. Um indústri metlúrgic produzirá três mil pesos de ppel, conforme figur. Observe que cd um dqueles pesos são formdos por um cilindro reto e um esfer de mesmo diâmetro. etermine o volume de ço necessário pr produção ds três mil peçs. cm cm V cil = volume do cilindro V esf = volume d esfer V = volume de peç V = V cil + V esf V esf = π π. = cm V = 8π + π π = cm V totl = 00. =.000π cm p V cil = π. ( ) = 8πcm V totl = 0,0π m. etermine áre superficil d esfer inscrit num prism hegonl regulr, cujo pótem d bse mede cm. pótem = rio d esfer = cm Þ S = π ( ) S = 9 π cm. Inscrevem-se num cone equilátero dus esfers conforme figur. Se gertriz do cone mede cm, determine o volume ocupdo pels esfers. H =. Þ H = 9 Logo =. 9 Þ = e r = Þ r = Portnto, V = π. + π. V = π cm H. Um tnque cônico, de eio verticl e vértice pr bio, tem águ té metde de su ltur. Se cpcidde do tnque é 00 L, quntidde de águ nele eistente é de: ) 00 L b) 0 L c) 00 L d) 00 L e) 0 L V V = k, ms k = H H V = 00 8 = Þ = 0 L 00 V = () H H lterntiv E PV mtcol0-
MTEMÁTI 7. Um copo em form de cone tem 8 cm de ltur e rio de bse cm. Pr enchê-lo com quntiddes iguis de suco e de águ, ltur tingid pelo primeiro líquído colocdo deve ser: 8 ) cm b) cm c) cm d) cm e) cm 8 V V k = = = k = 8 = = cm lterntiv E 7. Temos dois vsilhmes geometricmente semelhntes. O primeiro é um grrf de vinho, cuj ltur é 7 cm. O segundo é um minitur do primeiro, usdo como propgnd do produto, e cuj ltur é 9 cm. Qunts vezes é preciso esvzir o conteúdo d minitur n grrf comum pr enchê-l completmente? ) vezes b) 9 vezes c) 8 vezes d) 7 vezes e) vezes H h = 7 9 = = k V = k V = 7 lterntiv 8. Um indústri de sucos us um emblgem em form de pirâmide regulr de bse qudrd, com cpcidde pr, litros; su ltur mede 0 cm. Se est emblgem fosse interceptd por um plno prlelo à bse, prte superior formri outr emblgem, semelhnte à primeir. Pr que su cpcidde fosse de 0,7 litros, su ltur deveri ser (em centímetros): ) 000 b) 0 c) 00 d) 000 e) 0 V =, L V = 0,7 L k = Þ k = 0 = Þ = 0 = 000 V V =, 07, = 0 cm lterntiv 9. Um pirâmide de ltur H = 9 cm e volume V = 08 cm é cortd por um plno prlelo à su bse, determinndo um tronco de pirâmide de ltur h = cm. O volume do tronco de pirâmide resultnte é: ) cm b) 8 cm c) cm d) 7 cm e) 7 cm V V = k 9 = k Þ k = V = 08 V = cm V T = 08 V T = 7 cm 9 lterntiv E mtcol0- PV
8 MTEMÁTI 0. (FUVEST-SP) No qudrilátero bio, ^ = 0º; = = cm; = 0 cm; MN = cm, sendo M e N os respectivos pontos médios de e. medid (em cm ) d áre do triângulo é: ) 0 b) c) 0 d) 0 e) 0 M N ^ = 0º = = cm = 0 cm MN = cm Se M e N são médios de e então MN// e = MN, ou sej, = cm. Então é equilátero e ^ = ^ = ^ = 0º 0º M N 0 Logo, como ^ = 0º temos ^ = 90º Áre =. 0. = 0 cm 0 lterntiv. (FUVEST-SP) No triângulo, os ldos = 0 cm e = cm; o ângulo ^ é obtuso e o qudrilátero MNP é um losngo de áre 8 cm. medid do ângulo ^NP é: ) º b) 0º c) º d) 0º e) 7º M P =? Por semelhnç 0 M P N N M 0 0 = = MP Þ = Áre do ΔNP = cm (metde do losngo) Logo, NP = =.. sen Þ sen = Logo, = 0º ou = 0º (Se ^ é obtuso então é gudo) Logo, = 0º lterntiv PV mtcol0-
MTEMÁTI 9. (FUVEST-SP) N figur bio, = cm, = cm, medid do ângulo ^ é 0º e =, sendo um ponto do ldo. medid do ldo (em cm) é: = =? 0º Pel lei dos cossenos em temos: 80 ) = ( ) +.. cos 0º = Þ = Note que é retângulo em pois seus ldos, e stisfzem Pitágors ( = ( ) + ) b) c) d) e) 7 Logo, = 0º e obvimente 80º = 0º Pel lei dos cossenos, gor em temos: = +... cos 0º = +... = Þ = lterntiv. (UNImp-SP) hipotenus de um triângulo retângulo mede m e um dos ângulos gudos é o triplo do outro. ) lcule os comprimentos dos ctetos. b) Mostre que o comprimento do cteto mior está entre 9 e 9 centímetros. ) sen = = b. (ESPM-SP) áre de um qudrdo retirmos áre correspondente um círculo de diâmetro igul à metde d medid do ldo do qudrdo. áre restnte, em relção à áre originl do qudrdo, vle proimdmente: ) 0% b) 0% c) 7% d) 80% e) 90% cos = b = b ms + = 90 Þ = º0 ' Logo: º cos º = sen º0' = sen = = º cos º b = cos º 0' = cos = + b) Note: b = + = b = 0,8 = + +,,, = = = 0,8 Se b = 9 cm = 0,9 m então b = 0,8 Se b = 9 cm = 0,9 m então b = 0,89 Temos então 9 < b < 9 = = π = π = π ( = π ) = 0,807 Logo, restnte é 80,7% d lterntiv mtcol0- PV
0 MTEMÁTI. medid mis próim de cd ângulo eterno do heptágono regulr d moed de $ 0, é: ) 0º b) º c) º d) 8º e) º E N T V O S 7 = 0º = 0 º =,º 7 lterntiv E. (FUVEST-SP),, e são vértices consecutivos de um heágono regulr. medid de um dos ângulos formdos pels digonis e é: ) 90º b) 00º c) 0º d) 0º e) 0º = 0º Þ = 0º β + = β + 0º = 90º Þ β = 0º y = β + β = 0º e = 80º y = 0º β y β β lterntiv 7. (ESPM-SP) Pr medir lrgur de um rio, podemos tomr dois pontos e n mesm mrgem e distntes 00 m um do outro, e um ponto n outr mrgem, de tl modo que o ângulo ^ vle 0º e o ângulo ^ vle 0º. lrgur do rio, nesse cso, vle: b h ) 0 m b) 0 m c) 7 m d) m e) m sen 0º = = b Þ b = 0 m 00 sen 0º = 0º 0º 00 m = Þ = 0 m 00 00. h =. b Þ h = 0. 0 00 = m lterntiv 8. (FUVEST-SP) No qudrilátero bio, = = cm, = cm, ^ = 0º e ^ = 90º. medid do seu perímetro é: ) cm b) cm c) cm d) cm e) cm Em temos = + Þ = Em temos, pel lei dos cossenos: = +... cos 0º = 9 + ou = 0 Logo, =, que não convém ou = Perímetro = + + + = 0º lterntiv PV mtcol0-
MTEMÁTI 9. (FUVEST-SP) No ppel qudriculdo d figur bio, dot-se como unidde de comprimento o ldo do qudrdo hchurdo. E é prlelo. Pr que áre do triângulo E sej metde d áre do triângulo, medid de, n unidde dotd, deve ser: ) b) c) d) e) 8 7 E Þ S =.. Þ. 8. = E Þ S = S Þ = Ms, E = 8 Logo,. ou E =.. = = Þ =.. E Þ. E = lterntiv 70. (PU-SP) João e Mri costumvm nmorr pssendo por um cminho reto que pss pelo centro de um cnteiro circulr de rio m (figur ). J P cnteiro cminho do psseio cnteiro Figur erto di, pós um brig que tiverm no ponto P de prtid, seguirm emburrdos, em direção o ponto de chegd. Mri cminhou pelo diâmetro do cnteiro e João ndou pelo cminho que mrgev o cnteiro (sobre o círculo), cuidndo pr estr sempre à mesm ltur de Mri, isto é, de modo que ret MJ formd por Mri e João ficsse sempre perpendiculr o diâmetro do cnteiro (figur ). J omo M é médio de O, então JM é medin, lém de ser ltur. Logo, OJ é equilátero e = 0º e 80 = 0º Então P π. S 0º 0. 0π 0. PJ p = = PJ 0 0 º 80 O M lterntiv P M Figur Qundo medid do segmento PM percorrido por Mri for igul 7, = + / metros, o comprimento (em m) do rco de circunferênci PJ percorrido por João será igul : ) 0. p b) p c) p d) p e) p mtcol0- PV
MTEMÁTI Teto pr s questões 7 7 (Use p =,). Um chp de metl circulr de m de rio ficou epost o sol. Em consequênci, sofreu diltção de % n dimensão do rio. 7. O perímetro dess chp pós diltção (em m) é: ),8 b), c),8 d), e), =,00 + % =,0 metro p = π.,0 Þ p =, lterntiv 7. áre dess chp pós diltção (em m ) é: ), b), c),0 d),0 e), = π.,0 Þ =,0 lterntiv 7. O umento percentul do perímetro é: ) 0,9 % b) % c) 9, % d) 0 % e) % 7. O umento percentul d áre é: ) % b),9 % c) 9, % d) 0, % e) % 7. (IT-SP) Um heágono regulr e um qudrdo estão inscritos no mesmo círculo de rio e o heágono possui um rest prlel um rest do qudrdo. distânci entre ests rests prlels é: ) b) c) d) e) - + + - - perímetro ntes Þ π.,00 =,8 perímetro depois Þ π.,0 =, créscimo Þ 0,0 m,8 00% 0,0 % 00,. 00 Þ = = 0,9%, áre ntes Þ π.,00 =, áre depois Þ π.,0 =,0 créscimo Þ 0,0 m, 00% 0,0 % F 00,. 00 Þ = =,9%, P Δ ONP Þ = + Þ = Δ MO Þ = + b Þ b = N Logo, d = b = ( ) = - / O M b d lterntiv lterntiv Q lterntiv PV mtcol0-
MTEMÁTI 7. (FUVEST-SP) No triângulo, = cm, = 0 cm e cos =. O mior vlor possível (em cm ) pr áre do retângulo MNPQ, construído conforme mostr figur, é: 77. (VUNESP) figur mostr o logotipo de um empres, desenhdo sobre um ppel qudriculdo. M Q ) b) 8 c) 0 d) e) N P M Por semelhnç entre QM e N 0 b Q P porcentgem d áre do qudrdo ocupd pel áre d prte hchurd é de, proimdmente, ) 0% b) 0,0% c),8% d) 9,% e) 0% Q P O ' b = 0 Þ b = ' omo cos = temos sen = Áre figur tod = 9. 9 = 8 Logo, 0 - = ou = Então áre = S =. b = 0 -. = - + S m =.. 0 =.. ( ) = 0. lterntiv Áre hchurd =. S onde S = + + + Δ O Þ = O. '. = =, Δ O Þ = O. '. = =, Δ OQ Þ = QO.. = =, Δ OP Þ = PO.. = =, Logo, S =, +, +, +, = e áre hchurd = S = 8 = 0,9 ou 9,% lterntiv mtcol0- PV
MTEMÁTI 78. (ESPM-SP) entre todos os retângulos de perímetro 0 cm, quele que tem áre máim é: ) o retângulo de ldos cm e cm. b) o qudrdo de ldos cm. c) o retângulo de ldos 8 cm e cm. d) o retângulo de ldos 7 cm e cm. e) impossível clculr. p = 0 = + b Þ b = 0 b =. b = (0 ) = + 0 m = = ( 0. ( ). 0) = 00 =. ( ) m = b = 0. ( ) = e b = 0 m = lterntiv 79. (FUVEST-SP) No retângulo bio, o vlor de + b é: ) 0º b) 90º c) 0º d) 0º e) 0º 0º b 90 + 0 + 90 β = 90 Logo, + β = 0 90 90 β 0º β lterntiv 80. onsidere s dus fotogrfis bio. O vlor de pr que s medids ds bses e ds lturs ds dus fotos sejm proporcionis é: ), b),0 c), d),0 e), 8. (FUVEST-SP) é um triângulo retângulo em, X é bissetriz do ângulo ^ e X é ponto do ldo. medid de X é cm e de é cm. lcule medid de. 8, cm X b Pitágors em X:, cm cm + = = Pelo teorem ds bissetrizes = b =. b 8, = Þ =,, lterntiv Pitágors em : + ( + b) = Logo: + + b + b = 7 + ( ) +.. + 7 + 8 + 7 = 0 Þ =. ( ) = 7 (s rízes e 8/ não convêm) PV mtcol0-
MTEMÁTI 8. (ESPM-SP) noção de simetri pode ser entendid de diverss forms. Podemos, por eemplo, dizer que um figur é simétric se precer mesm pós sofrer um rotção de um determindo ângulo. form do digrm chinês denomindo ying-yng tem est crcterístic de simetri de rotção. Sbendo-se que o círculo de centro tem rio cm e que s semicircunferêncis de centros e têm mbs rio igul cm, podemos firmr que áre d figur sombred é: Pel simetri temos: áre pret = áre brnc =. áre tod = π. lterntiv ) p cm b) p cm c) p cm d) p cm e) p cm 8. (MK-SP) O vlor mis próimo d áre d região ssinld é: 0º 0º 0º 0º c b ) 0 b) sen 0º = Þ = c) 0 d) e) 8 cos 0º = c Þ c = b tg 0º = Þ b = + c + st somr s áres dos dois trpézios: Þ b = + = 9 Áre = (c + + ). + ( + c + + ). b Áre = 9 7 +. + + +. = + 0 = lterntiv mtcol0- PV
MTEMÁTI 8. (PU) Um pizz entregue em domicílio em emblgem circulr (Figur ) é vendid por $,00. ecentemente, tis emblgens form substituíds por cis hegonis (Figurs e ), porém com o mesmo diâmetro (0 cm). s novs pizzs, tmbém circulres, ocupm prcilmente áre do fundo ds cis hegonis, tngencindo s predes d emblgem (Figur ). 0 0 i irculr i irculr i Hegonl Pizz i Hegonl i Hegonl Pizz Figur Figur Figur ) Supondo que o preço d pizz é diretmente proporcionl à áre que el ocup no fundo d ci, e como áre ocupd pel nov pizz, n ci hegonl, é, evidentemente, menor que áre ocupd pel pizz d ci circulr, clcule o preço ds pizzs entregues ns emblgens hegonis (lembre-se de que estmos considerndo que s emblgens têm o mesmo diâmetro de 0 cm). b) etermine, em termos percentuis, o desconto que se deve dr no preço d pizz d ci hegonl em relção o preço conhecido d pizz d ci circulr. c) Mesmo que nov pizz fosse hegonl, isto é, mesmo que ocupsse tod áre do fundo d nov emblgem, ind ssim hveri um perd em relção, à vendid n ci circulr. lcule áre ocupd por ess pizz hegonl. d) dmit que áre n de um polígono regulr de n ldos, inscrito num círculo de rio, é dd por n = k. n. sen 0º sendo k um número rel que n não depende do número de ldos do polígono, isto é, k não depende de n. etermine, com o uílio d fórmul dd, o vlor d constnte k. Se chr conveniente, use o resultdo obtido no item (c). tenção: mesmo que você não consig completr s soluções, eplicite, em todos os itens, os rciocínios utilizdos. 0 = 0 + Þ = 0 Áre d pizz n ci circulr = π. 0 Þ = 00π Áre d pizz n ci hegonl = π. = π. (0 ) Þ = 00π ) 00π reis 00π p reis 00p. Þ p = 00p b) O desconto de,00 reis corresponde :,00 00%,00 d Þ d =. 00 Þ p = 9,00 reis Þ desconto de % c) HEX =. 0 =. 0. 0 Þ HEX = 00 cm 0 d) n = k. n. sen n 0 00 = k.. sen Þ k = 00 PV mtcol0-
MTEMÁTI 7 Teto pr s questões 8 e 8. lrgur e o comprimento de um terreno retngulr estão n rzão de pr 7. dmitindo-se que o perímetro desse terreno sej m, respond s pergunts seguir. 8. lrgur (em metros) deste terreno é: ) b) 0 c) d) e) 8. áre (em m ) deste terreno é: ) 0 b) 00 c) d) e) 8 p = + 7 + + 7 = = Logo, = e lrgur é. = 7. =. = 7 lterntiv E lterntiv 87. (UNImp-SP) O retângulo de um ndeir do rsil, cuj prte etern o losngo é pintd de verde, mede m de comprimento por,0 m de lrgur. Os vértices do losngo, cuj prte etern o círculo é pintd de mrelo, distm 7 cm dos ldos do retângulo e o rio do círculo mede cm. Pr clculr áre do círculo use fórmul = pr e, pr fcilitr os cálculos, tome p como 7. ) Qul é áre d região pintd de verde? b) Qul é porcentgem d áre d região pintd de mrelo, em relção à áre totl d ndeir? ê su respost com dus css decimis depois d vírgul. Áre zul = π. = 7. Þ zul = 80 cm digonl mior = 00. 7 = cm Áre mrel + zul digonl menor = 0. 7 = 0 cm =. 0 = 8798 cm Þ represent s regiões mrel e zul. Áre totl = 0. 00 = 8000 cm ) verde = 8000 (mrelo + zul) = 8000 8798 = 90 cm b) Áre mrel = 8798 80 = 98 cm porcentgem Þ 98 8000 = 0,77 Þ p = 7,7% 88. (FUVEST-SP) onsidere um rco de 0º num circunferênci de rio 0 cm. onsidere, seguir, um rco ' ' de 0º num circunferênci de rio cm. ividindo-se o comprimento do rco pelo rco ' ' (mbos medidos em cm), obtém-se: ) b) c) d) e) π. 0 0º 0º π. 0. 0 00π = = 0 0 π. 0º ' ' 0º π.. 0 00π ' ' = = 0 0 00π = = ' ' 00π 0º 0 0 0º lterntiv mtcol0- PV
8 MTEMÁTI 89. (PU) Sej o octógono EFGHIJKL inscrito num qudrdo de cm de ldo, conforme mostr figur. Se cd ldo do qudrdo está dividido pelos pontos ssinldos em segmentos congruentes entre si, então áre do octógono (em centímetros qudrdos) é: ) 98 E L b) 0 c) 08 d) e) 0 F G K J Temos: + = Þ = áre de cd triângulo do cnto será: + Þ = ( ) T =. =. ( ) = 8( + ) = ( ) H I áre do octógono será: =. ( ) = + 88 = 88 88 = 88 ( ) = 88. 0, = 9 lterntiv E 90. figur bio mostr um nten retrnsmissor de rádio de 7 m de ltur, sustentd por cbos de ço que ligm o topo d nten o solo, em pontos que estão 0 m do pé d nten. quntidde proimd de cbo que será gst pr sustentr nten é: ) m b) 78 m c) m d) 0 m e) 0 m 0 m 0 m 0 m d = comprimento de cd fio d = 0 + 7 = 08 Þ d = 78 Þ d = lterntiv 9. (FGV-SP) Os vlores dos ângulos ^E, ^E e ^ d figur são respectivmente 8, 0 e 70. om esses ddos, é possível determinr o vlor dos ângulos E^, ^E, ^ e ^ ou é necessári informção dicionl? 70 0 8 E 8 0?? 70?? º Pr clculr os ângulos solicitdos, dependemos de informções dicionis. PV mtcol0-
MTEMÁTI 9 9. (MK-SP) N figur, tg b = e + b = 0º. Então áre do triângulo ssinldo é: Áre = b (b ). = - ) + b) + c) + d) e) + + β tg β = b = Þ b = - Þ b = + tg = = tg (0 β) = tg 0 tg β = + tg 0. tg β + Logo, = Þ = b β ( ) ( ) = = Áre ssinld = b = + = + lterntiv E 9. (MK-SP) Num triângulo retângulo, um cteto é o dobro do outro. Então rzão entre o mior e o menor dos segmentos determindos pel ltur sobre hipotenus é: ) b) c) d) e) m h n 9. (ESPM-SP) Um outdoor tem o formto retngulr, como mostr figur, de form que áre do triângulo XE é igul à terç prte d áre do retângulo E e é o ponto médio do ldo. Sbendo-se que o teto será escrito sobre áre sombred, podemos firmr que áre disponível pr o teto será de proimdmente: ), m b) 7,0 m c) 8, m d) 0, m e),0 m X m m E = + () = Þ =. h =. Þ h = = h + m Þ m = () = h + n Þ n = Logo n m = lterntiv Áre E =. = 8, Áre XE =. 8 =,. d Logo, = Þ d = Áre X =.,. =, Áre disponível pr o teto = 8, = 0, X d E lterntiv mtcol0- PV
0 MTEMÁTI 9. (MK-SP) N figur o ldo, circunferênci de centro O tem rio, = rc tg e é ponto de tngênci. áre do triângulo é: ) b) 8, c) 0 d) 0, e) O = rc tg ou tg = 9. (VUNESP) O triângulo PQ está inscrito num qudrdo de ldo unitário, com P sobre o ldo e Q sobre o ldo. O vlor de (comprimento do segmento P), pr que o triângulo PQ sej equilátero é: ) b) c) d) e) Q Q P y b h β O P ΔP é retângulo em (inscrito num semicircunferênci) Logo tg = y = Þ = y e P ΔQP Þ ( ) + ( ) = l ΔP Þ + = l Logo, + = + + + ou não convém pois = + > + = 0 ( ) = lterntiv = + y = y + y Þ y = omo O = O temos O^ = O ^ = e = omo O ^ = 90º e ^P = 90º temos O ^ = P ^ = Logo, Δ e ΔP são semelhntes ( ^ é comum) + b β y P b β s questões de 97 99 referem-se o enuncido bio. (MK-SP) Pelo centro de um qudrdo MNPQ de ldo = levnt-se um perpendiculr o plno do qudrdo e unese um ponto T dess perpendiculr os vértices do qudrdo, obtendo-se qutro triângulos equiláteros. 97. O ângulo ^MT mede: ) 0º b) º c) 0º d) rc tg e) rc tg T Então: b = y y = y = Þ b = e + y = = b y y = Þ + = b =. = Þ = Ms, em P temos h. =. y Þ h =,8 Áre = ( + ). h =..,8 = 8, lterntiv M Temos MN = MT = NT = Temos M = / digonl = / Q T = MT M Þ T = ( /) = Þ T = Logo, ^MT = = º lterntiv N P PV mtcol0-
MTEMÁTI 98. O volume do poliedro de vértice T e bse MN é: ) b) c) V =... = lterntiv d) e) 8 99. áre totl do poliedro de vértice T e bse MNPQ é: ) + b) ( + ) c) + d) + e) + No triângulo equilátero MNT temos h = Áre totl = +... = + lterntiv E 00. (MK-SP) rzão entre os volumes ds esfers circunscrit e inscrit um mesmo cubo é: ) b) c) d) e) 0. (PU) Um imperdor de um ntig civilizção mndou construir um pirâmide que seri usd como seu túmulo. s crcterístics dess pirâmide são: ) su bse é um qudrdo com 00 m de ldo; ) su ltur é de 00 m. O cubo tem rest. O rio d inscrit será. O rio d circunscrit será metde d digonl do cubo, ou sej O volume d inscrit será O volume d circunscrit será Logo, rzão será p π π =. π π =.. =. p V =. 00. 00 =..000.000 m, ou sej,. 000 prtes de 000 m. lterntiv Pr construir cd prte de pirâmide equivlente 000 m, os escrvos, utilizdos como mão de obr, gstvm em médi dis. Mntid ess médi, o tempo necessário pr construir pirâmide, medido em nos de 0 dis, foi de: Logo. 000. = 8.000 dis = 0 nos lterntiv ) 0 nos b) 0 nos c) 0 nos d) 90 nos e) 0 nos mtcol0- PV
MTEMÁTI Teto pr s questões 0 0. O glpão d figur bio está no prumo e cumeeir está bem no meio d prede. u m cumeeir 0. O ângulo dos plnos dos dois telhdos (em grus) é: ) 90 b) c) 0 d) e) 0 Sendo equilátero o triângulo, o ângulo será 0º. lterntiv E t s v m r 0. (FGV-SP) Um depósito de grãos num rmzém tem o formto de um cilindro reto encimdo por um hemisfério. ) Se o rio d bse do cilindro for m e o volume do recipiente for 0p m, qul será ltur do cilindro? 7 b) Se o volume do recipiente for.p m e o cilindro tiver m de ltur, clcule o rio d bse do cilindro (que é o mesmo do hemisfério). m 0. s rets ssinlds, podemos firmr que: ) t e u são reverss. b) s e u são reverss. c) t e u são concorrentes. d) s e r são concorrentes. e) t e u são perpendiculres. lterntiv (Solução óbvi) 0. ltur d cumeeir desse gráfico (em metros) é: ) b) + 8 c) + d) + e) + ) π.. h + b) π.. + 0. (FUVEST-SP) No cubo de rest bio, X e Y são pontos médios ds rests e GH, respectivmente. onsidere pirâmide de vértice F cuj bse é o qudrilátero XYE. lcule, em função de :.. π. = 0π Þ h = 7 m ) o comprimento de XY; b) áre d bse d pirâmide; c) o volume d pirâmide... π. = 7 π Þ = m E H X Y F G F ) XY = digonl d fce = b) bse é um qudrdo de ldo l l = + = Þ l = Logo, áre d bse = l = l X = + Þ = ltur = + lterntiv c) ltur d pirâmide será metde de F que é digonl do cubo e mede. V = bse. F =.. Þ V = PV mtcol0-
MTEMÁTI 07. (VUNESP) do um cone circulr reto, considere esfer de rio igul o rio d bse do cone. Se o volume do cone é igul à metde do volume d esfer, rzão entre ltur do cone e o rio d bse do cone é: ) b) p c) π d) e) p Vcone = π.. h π.. h =. π. h h= = Vcilindro = π. lterntiv 08. (IT-SP) s dimensões, y e z de um prlelepípedo retângulo estão em progressão ritmétic. som desss medids é igul cm e áre totl do prlelepípedo é igul 9 cm. O volume deste prlelepípedo (em cm ) é igul : ) 00 b) 9 c) d) 78 e) 8 + + + = = Þ = + ( + ). ( ) + ( ) + ( + ) = 9 = 7 Þ = V = ( + ). ( ) =.. 7 Þ V = lterntiv 09. (FUVEST-SP) Um superfície esféric de rio cm é cortd por um plno situdo um distânci de cm do centro d superfície esféric, determinndo um circunferênci, cujo rio (em cm) é: = + Þ = ) b) c) d) e) lterntiv E 0. (MK-SP) o se fzer rotção do triângulo d figur bio em torno d ret r, o ldo descreve um ângulo de 70º. r O sólido obtido terá volume: ) 8 p b) p c) 08 p d) 7 p e) p bse do sólido será: 70º bse = π. = 7π O volume do sólido será: V =. 7π. = π lterntiv E. (FUVEST-SP) O volume de um prlelepípedo reto retângulo é 0 cm. s áres de dus de sus fces são 0 cm e 8 cm. áre totl do prlelepípedo é: ) 9 cm b) 8 cm c) cm d) 0 cm e) 7 cm. b = 0 b. c = 8. c = V =. b. c = 0 logo,. 8 = 0 Þ = ou 0. c = 0 Þ c = 8 Então =. c =. 8 = 0 c totl =. 0 +. 8 +. 0 = b lterntiv mtcol0- PV
MTEMÁTI. (FGV-SP) Um produto é embldo em recipientes com formto de cilindros retos. O cilindro tem ltur 0 cm e rio d bse cm. O cilindro tem ltur 0 cm e rio d bse 0 cm. ) Qul emblgem utiliz menos mteril? b) O produto embldo no cilindro é vendido $,00 unidde, e o do cilindro, $ 7,00 unidde. Pr o consumidor, qul é emblgem mis vntjos? Þ T = π. +. π.. 0 = 0π V = π.. 0 = 00π (com rel compr π) Þ T = π. 0 +. π. 0. 0 = 00π V = π. 0. 0 = 000π (com rel compr π) ) emblgem b) emblgem. (MK-SP) ltur de um cone reto é igul o rio d esfer ele circunscrit. O volume d esfer é: ) o dobro do volume do cone. b) o triplo do volume do cone. c) o quádruplo do volume do cone. d) do volume do cone. e) 8 do volume do cone. VE =. π. VE V V =. π... π. =. = π. V E = V e V = VE lterntiv. (FUVEST-SP) Um formig resolveu ndr de um vértice outro do prism reto de bses tringulres e EG, seguindo um trjeto especil. El prtiu do vértice G, percorreu tod rest perpendiculr à bse, pr em seguid cminhr tod digonl d fce G e, G finlmente, completou seu psseio percorrendo rest revers G. E formig chegou o vértice: ) b) c) d) e) E. (VUNESP) Visndo estimr o número de bctéris por ml de um dd suspensão, um microbiologist identificou bctéris num mostr dess suspensão, mostr ess que ocupv todo o volume de um recipiente n form de um prlelepípedo reto retângulo, com s dimensões de 0 mm 0 0 mm. Estim-se o número de bctéris por ml de suspensão em: ) 0 b) 0 c) 0 8 d) 0 e) 0 lterntiv E (Solução óbvi) bctéris em 0,0. 0,0. 0,0 mm = 0,0000 mm bctéri em 0,0000 mm 0 bctéris em mm 0 8 bctéris em 000 mm = ml lterntiv PV mtcol0-
MTEMÁTI. (PU) bse de um pirâmide ret é um qudrdo cujo ldo mede 8 cm. Se s rests lteris d pirâmide medem 7 cm, o seu volume (em centímetros cúbicos) é: ) 0 b) 0 c) 80 d) 70 e) 780 + = (8 ) Þ = 8 7 = + h Þ h = V = (8 ). Þ V = 0 h 7 8 lterntiv 7. (VUNESP) do um cubo qulquer, identifique um de seus vértices com letr P. Em seguid, em cd um ds fces do cubo que contém o vértice P, determine os pontos médios ds rests que não pssm por P. O polígono cujos vértices são os pontos médios encontrdos é: ) um triângulo equilátero. b) um qudrdo. c) um heágono regulr. d) um octógono regulr. e) um figur não pln. P lterntiv Teto pr s questões 8 e 9. Um tnque de petróleo tem form de um cilindro circulr reto, cujo volume é ddo por V = p. H. Sbendo-se que o rio d bse e ltur medem 0 m cd um, podemos firmr que: 8. O volume eto desse cilindro (em m ) é: ) 000 p b) 00 p c) d) ( 00π) V = π. 0. 0 = 000π e) 00 p ( 000π) lterntiv 9. diferenç (em litros) entre os resultdos dos volumes proimdos usndo p =, e p =, é: ) 0000 b) 00 c) 0 d) 000 e) 0. (FUVEST-SP) N figur, X e Y são respectivmente os pontos médios ds rests e do cubo. rzão entre o volume do prism XFEYGH e o cubo é: H G ) 8 d) F X E G b) e) Y H c) E X Y Note que, se considerrmos fce HG como bse F Y G Y' H Se π =, Þ V = 00 L Se π =, Þ V = 0 L diferenç = 0 L lterntiv Temos GY = HG e GHY = HG Sendo XY ltur dos prisms Vprism Logo, = Vcubo lterntiv mtcol0- PV
MTEMÁTI. (PU) Um tnque de uso industril tem form de um prism cuj bse é um trpézio isósceles. 8 N figur, são dds s dimensões, em metros, do prism: O volume desse tnque (em metros cúbicos) é: ) 0 b) 0 c) 80 d) 00 e) 0 8 = h + Þ h = trp = ( 8 + ). = 0 V tnque = trp. H = 0. = 00 h h lterntiv. (FUVEST-SP) Um cubo de rest m está inscrito em um semiesfer de rio de modo que os vértices de um ds fces pertencem o plno equtoril d semiesfer e os demis vértices pertencem à superfície d semiesfer. Então, m é igul : ) b) d) e) c) = m + m m Þ = m Þ m = m lterntiv. (FUVEST-SP) Sejm p' e p'' s fces de um ângulo diedro de º e P um ponto interior esse diedro. Sejm P' e P'' s projeções ortogonis de P sobre p' e p'' respectivmente. medid do ângulo P'PP'' é: º ) 0 o b) o P'' c) 0 o d) 90 o P' P e) o p'' º P' P" P p' π". (IT-SP) rest de um cubo mede cm. rzão entre o volume e áre totl do poliedro cujos vértices são os centros ds fces do cubo é: ) 9 cm b) 8 cm c) cm d) cm e) cm O poliedro em questão é um octedro, cujs fces são triângulos equiláteros de rests e ltur h = Temos que = + ou = e h = Logo, T = 8... h =.. = Pr o cáculo do volume podemos imginr o octedro como sendo dus pirâmides de ltur e bse qudrd de ldo. º + 90º + 90º + = 0º Þ = º π' lterntiv E Logo, V =... = = V =. = T 8 cm lterntiv PV mtcol0-
MTEMÁTI 7. (FUVEST-SP) s bses de um tronco de cone circulr reto são círculos de rios cm e cm. áre lterl do tronco é igul à som ds áres ds bses. lcule: ) ltur do tronco de cone; b) o volume do tronco de cone. ) lt = bsinh + bson (π. + π. ). g = π. + π. Þ g = cm omo g = h + ( ) Þ h = cm b) V tronco = V todo V cone pequeno h g 7. (MK-SP) rotção complet do triângulo em torno de ger um sólido de volume: ) 7 p b) 08 p c) 0 p d) p e) p K + V = V cone grnde V cone pequeno K K V =. π.. H. π. (H h) V =. π. H. π (H ) V = 9. π. π Þ V = 8. π cm H h H H h = Þ H = 8 V =. π(k). (K + ). π. K (K + ) V = π. K (K + ) Obs.: flt lgum ddo no enuncido que nos permit descobrir o vlor de K, provvelmente lgum cois relciond com o ângulo. lterntiv. (FUVEST-SP) ois blocos de lumínio em form de cubo, com rests medindo 0 cm e cm, são levdos juntos à fusão e, em seguid, o lumínio líquido é molddo como um prlelepípedo reto de rests 8 cm, 8 cm e cm. O vlor de é: ) b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 V 0 = 0 = 000 cm V = = cm V fusão = 8. 8. = Þ = 9 cm lterntiv 8. (FUVEST-SP) No prlelepípedo reto retângulo, = cm e = E = cm. X é um ponto de e é medid de X. Pr que vlor de : ) X = XH? b) ^XH é reto? E H F G = + = + b = + = + + c = ( ) + = + d = + = b d c X ) b = c Þ + = + Þ = 0,7 cm b) d = b + c Þ = + + + Þ =,00 cm mtcol0- PV
8 MTEMÁTI 9. (Uf-rs/00) Um reservtório tem form de um cilindro circulr reto com dus semiesfers coplds em sus etremiddes. O diâmetro d bse e ltur do cilindro medem, cd um, dm, e o volume de um esfer de rio r é pr /. O vlor mis próimo d cpcidde do reservtório é: ) 0 litros b) 0 litros c) 70 litros d) 80 litros e) 90 litros cpcidde do reservtório será dd pel som dos volumes do cilindro, de ltur dm e rio d bse dm, com s dus semiesfers, que formm um esfer de rio dm. V T = π. (). +. π. () Þ V T = 80 p dm @ 80 litros lterntiv 0. (IT-SP/00) s superfícies de dus esfers interceptm-se ortogonlmente (isto é, em cd ponto d intersecção os respectivos plnos tngentes são perpendiculres). Os rios dests esfers medem cm e / cm, respectivmente. ) lcule distânci entre os centros ds dus esfers. b) lcule áre d superfície do sólido obtido pel intersecção ds dus esfers. plicndo o Teorem de Pitágors n figur, temos: ) d = + (/) Û d = Û d = b) O d / O. (UF-E/00) Em um contêiner de 0 m de comprimento, 8 m de lrgur e m de ltur, podemos fcilmente empilhr cilindros de m de rio e 0 m de ltur cd, bstndo dispô-los horizontlmente, em três cmds de cilindros cd. Porém, o fzê-lo, um certo volume do contêiner sobrrá como espço vzio. dotndo, como proimção pr p, é correto firmr que cpcidde volumétric desse espço vzio é: ) inferior à cpcidde de um cilindro. b) mior que cpcidde de um cilindro, ms menor que cpcidde de dois cilindros. c) mior que cpcidde de dois cilindros, ms menor que cpcidde de três cilindros. d) mior que cpcidde de três cilindros, ms menor que cpcidde de qutro cilindros. e) mior que cpcidde de qutro cilindros. O volume do contêiner (prlelepípedo) é ddo por: / V = 0. 8. = 80 m m n O / O = (/). m Û m = 8 e n = 8 9 = 0 Áre de um clot esféric: O volume de cd cilindro é igul : V = π.. 0 =, m ess form, cpcidde volumétric do espço vzio será: V E = 80., = 0, m h = rio d esfer = p h Portnto, o espço vzio tem cpcidde volumétric mior que cpcidde de três cilindros, ms menor que cpcidde de qutro cilindros. lterntiv Primeir clot: = p. ( 8/) = 8 p cm Segund clot: = p. (/ 9/0) = 9 p cm Logo áre totl será 8 p cm + = 9 p cm = 7 cm p PV mtcol0-
MTEMÁTI 9. (esgrnrio-sp/00) Um plc metálic qudrd é dobrd de modo formr um cilindro sem fundo e sem tmp, como ilustrdo. O volume no interior desse cilindro é 8 litros. o ter su tempertur umentd de 0 º, plc dilt de form que su áre ument de 7 mm. onsiderndo p =, o coeficiente de diltção liner do mteril do qul plc é constituíd vle: ),0 0 º b), 0 º c),0 0 7 º d), 0 7 º e),0 0 8 º Sej L o ldo d plc qudrd que foi dobrd pr formr o cilindro de rio, ltur H e volume 8 litros, que é equivlente 8. 0 m. ssim: L L π L = = π = H = L π H = L H = L 8. 0 = π. H 8 0 L. = π.. L L 8. 0 = π π dotndo π =, temos: L =. 0 Þ L =. 0 m =. 0 mm fórmul d diltção é: Δ = 0. (). Δθ, onde é o coeficiente de diltção liner do mteril. Logo: 7 = (. 0 ).. 0 Þ =,. 0 º lterntiv. (UNImp-SP/00) Um peç esféric de mdeir mciç foi escvd, dquirindo o formto de nel, como mostr figur seguir. Observe que, n escvção, retirou-se um cilindro de mdeir com dus tmps em formto de clot esféric. N figur r + (/) = Û r = / h / r Um clot esféric tem volume V cl = ph ( h), em que h é ltur d clot e é o rio d esfer. áre d superfície d clot esféric (ecluindo porção pln d bse) é dd por cl = p h. tenção: não use um vlor proimdo pr p. ) Supondo que h =, determine o volume do nel de mdeir, em função de. b) epois de escvd, peç de mdeir receberá um cmd de verniz, tnto n prte etern, como n intern. Supondo novmente que h = /, determine áre sobre qul o verniz será plicdo. ) V = V e V cl V cil V = π. π... π. V = π. π. π V = p b) = ( esfer. cl ) + cili = π π π... +. = ( + ) π. r / mtcol0- PV