Mteril Teório - Módulo de Lei dos Senos e dos ossenos Leis dos Senos e dos ossenos Primeiro no do Ensino Médio Prof. ntonio minh M. Neto
Nest segund ul, estudremos Lei dos Senos e Lei dos ossenos pr triângulos quisquer (isto é, triângulos não neessrimente retângulos). Tis leis são dois onjuntos de relções métris que, onforme veremos, funionm, pr triângulos quisquer, omo sustitutos d Trigonometri em triângulos retângulos. 1 Lei dos Senos I omeemos oservndo que, ddo um triângulo, su ltur reltiv o vértie é o segmento H, tl que H é um ponto sore ret pr o qul H (figur 1). Nesse so, dizemos que H é o pé d ltur reltiv. de modo que ou, ind, senγ = senβ senβ = senγ. (1) Vejmos um plição interessnte d iguldde im. Exemplo 1. N figur, os pontos, e representm iddes de um pís, e porção inzentd represent um lgo. Pr enurtr o deslomento entre s iddes e, o governdor d região do pís em que fim s iddes determinou que um ponte fosse onstruíd sore lgo. No omeço do plnejmento d onstrução, os engenheiros do governo preisrm lulr distâni ext entre s iddes e. Sendo que distâni d idde à idde é igul 8 quilômetros, e que os ângulos e Ĉ do triângulo (medidos om o uxílio de um teodolito 1 ), são respetivmente iguis 60 e 45, explique omo os engenheiros puderm lulr distâni entre s iddes e. H Figur 1: ltur de um triângulo, reltiv. Evidentemente, podemos definir, de mneir nálog, s lturs de reltivs os vérties e. ssim, todo triângulo tem extmente três lturs. Se é um triângulo tl que,ĉ < 90 (omo é o so do triângulo d figur 1), então H é um ponto sore o ldo (pr ver o que oorre se  > 90, oserve figur 6). Denotemos =, =, H = h, = β e Ĉ = γ (figur ). Segue d Trigonometri dos triângulos β H h Figur : primeiro so d Lei dos Senos. retângulos H e H que senγ = h γ e senβ = h. lulndo o vlor de h em ms s igulddes im, otemos h = senγ e h = senβ, Figur : medindo distânis om ostáulos. Solução. Eles utilizrm relção (1), om =, = = 8, = β = 60 e Ĉ = γ = 45. om tis vlores, (1) fornee iguldde de mneir que sen60 = 8 sen45, = 8sen60 sen45 = 8 = 4 = 4 6 = 9,79. 1 Portnto, distâni entre s iddes e é de proximdmente 9, 79km. Seotriângulo forutângulo, istoé, seâ,,ĉ < 90, então os pés H e H, ds lturs respetivmente reltivsosvérties e, tmémestãosoreosldos e (tmém respetivmente). N figur 4, trçmos http://mtemti.omep.org.r/ 1 mtemti@omep.org.r
h H Figur 4: ltur reltiv, pr utângulo. ltur reltiv, de form que H. lulndo os senos de e γ nos triângulos retângulos H e H, otemos senγ = h e sen = h e, dí, h = senγ e h = sen. Portnto, ou, ind, γ senγ = sen sen = senγ. () Então, ominndo s relções (1) e (), otemos Lei dos Senos pr triângulos utângulos: se é um triânguloutânguloomldos =, =, = e ângulos  =, = β, Ĉ = γ, então sen = senβ = senγ, () Suponhmos, gor, que é um triângulo retângulo em, onforme mostr figur 5. omo sen = e β Figur 5: Lei dos Senos em triângulos retângulos. senγ =, temos Então, sen = / = e γ sen = senγ = senγ = / =. 1 Um teodolito é um instrumento utilizdo em onstrução ivil, que permite lulr om preisão o ângulo entre dois pontos de referêni, medido prtir de um ponto fixdo. e, omo β = 90, se quisermos que () ontinue vler pr triângulos retângulos, devemos definir o seno de 90 (oservequenãofizemosissonulpssd)detl form que sen90 =. Em resumo, definindo sen90 = 1, (4) onluímos que () ontinu verddeir pr triângulos retângulos. Vejmos, gor, o que oorre se tiver ângulos miores que 90. Pr tnto, reorde que som dos ângulos internos de todo triângulo é igul 180 : Â+ +Ĉ = 180. Portnto, no máximo um dentre Â, ou Ĉ pode ser mior que 90. Suponhmos (figur 6) que  = > 90 (os sos em que > 90 ou Ĉ > 90 podem ser nlisdos de form ompletmente nálog). Então, fzendo = β e Ĉ = γ, temos β,γ < 90 e, de ordo om (1), h H β θ senβ = senγ. (5) Figur 6: ltur reltiv um ngulo otuso. gor, omo > 90, o ponto H, pé d ltur reltiv, é tl que H. Se ÂH = θ, então θ = 180 < 90. Denotndo H = h, Trigonometri dos triângulosretângulosh e H fornee s igulddes senγ = h e senθ = h. Resolvendo ms s igulddes im pr h, otemos Portnto, ou, ind, γ h = senγ e h = senθ. senγ = senθ senθ = senγ. ominndo ess últim iguldde om (5), otemos senθ = senβ = senγ. http://mtemti.omep.org.r/ mtemti@omep.org.r
Então, se quisermos mnter vlidde de() tmém nesse so, devemos definir o seno de (oserve que, n ul pssd, tmém não definimos o seno de ângulos otusos) de tl form que sen = senθ. Em resumo, lemrndo que θ = 180 < 90, e definindo sen = sen(180 ), (6) hegmos à seguinte formulção gerl d Lei dos Senos: se é um triângulo om ldos =, =, = e ângulos  =, = β, Ĉ = γ, então sen = senβ = senγ. (7) ntes de presentrmos lgums plições d Lei dos Senos, oleionemos um onsequêni útil ds definições (4) e (6). Em (6), fzendo 180 respetivmente igul 60, 45 e 0, e levndo em ont os vlores de sen0, sen45 e sen60, luldos n ul 1, otemos tel ixo: 90 10 15 150 sen 1 1 1 No exemplo seguir, utilizmos lei dos senos pr deduzir o Teorem d issetriz Intern de um mneir ompletmente diferente dquel d segund ul do Módulo Semelhnç de Triângulos e Teorem de Tles, do nono no. Exemplo. Ns notções d figur 7, sej P o pé d is- d segund, otemos x = sen sen(180 θ) = sen senθ. Portnto, x = y. Reotemos, ssim, o Teorem d issetriz Intern: Em um triângulo, sej P o pé d issetriz intern de reltiv o vértie. Se =, =, P = y e P = x, então x = y. Lei dos Senos II Nest seção, refinmos o estudo d seção nterior, sore Lei dos Senos. ntes, ontudo, preismos disutir lguns ftos preliminres sore triângulos e ângulos no írulo. Ddo um írulo Γ (lê-se Gm) de entro O (figur 8), um ângulo entrl em Γ é um ângulo de vértie O e que O Figur 8: ords de ângulos entris iguis. θ y x P Figur 7: revisitndo o Teorem d issetriz Intern. setriz intern de reltiv o vértie, isto é, o ponto sore o ldo tl que ÂP = ÂP. Se P = θ, então P = 180 θ. Fç ÂP = ÂP =, P = y e P = x. plindo Lei dos Senos os triângulos P e P, otemos y sen = senθ e x sen = D primeir iguldde im, otemos y = sen senθ ; sen(180 θ). tem dois rios do írulo por seus ldos. Ns notções d figur 8, O é um ângulo entrl e o ro em negrito é o ro suentendido pelo ângulo entrl O. Denotndo por Ô medid do ângulo entrl O, temos por definição que Ô = m( ), medid do ro suentendido. ssim, se Ô =, então é porque m( ) = tmém. Se e são ords de um írulo Γ de entro O (figur 9), dizemos que é um ângulo insrito em Γ. Nesse so, dizemos ind que O é o ângulo entrl orrespondente o ângulo insrito. Mis dinte nest seção, preisremos do seguinte fto importnte sore ângulos insritos, onheido omo o Teorem do Ângulo Insrito: http://mtemti.omep.org.r/ mtemti@omep.org.r
Γ Dí, Ô = Ô +Ô = +β = (+β) = Â. O Isso justifi iguldde (8). Figur 9: ângulo insrito e ângulo entrl orrespondente. Voltemo-nos, gor, à disussão de outro tem. Ddos pontos distintos e, definimos meditriz do segmento omo ret r, perpendiulr e pssndo pelo ponto médio de (figur 11). P Se é um ângulo insrito em um írulo de entro O, então medid de é igul à metde d medid do ângulo entrl orrespondente O. Em símolos,  = 1 Ô. (8) Justifiquemos propriedde im no so em que o ângulo ontém o entro O em seu interior (figur 9 os sos em que o ângulo não ontém o entro O ou em que o entro O está sore um dos ldos de podem ser trtdos de form muito semelhnte). M r Figur 11: P r P = P. importâni d meditriz do segmento se deve que, pr todo ponto P r, temos P = P. (9) O De fto, sendo M o ponto médio de, os triângulos PM e PM são tis que PM é omum, P M = P M = 90, M = M. Figur 10: ângulo insrito qundo o entro pertene o mesmo. omo O = O e O = O, onluímos que os triângulos O e O são isóseles, de ses respetivmente iguis e ; portnto, temos O = O e O = OĈ. Denotndo O = O = e O = OĈ = β, temos  = O +O = +β. Por outro ldo, segue do Teorem do Ângulo Externo que e Ô = O +O = Ô = O +OĈ = β. Portnto, os triângulos P M e P M são ongruentes, pelo so de ongruêni de triângulos LL. Logo, relção (9) é válid. propriedde d meditriz de um segmento disutid im tem seguinte onsequêni importnte: Pr todo triângulo, existe um írulo pssndo por seus vérties. Tl írulo é o írulo irunsritootriânguloeseuentroéoirunentro do triângulo. Relmente (figur 1), ddo um triângulo, se r e s são s meditrizes dos ldos e, então r e s não são prlels (pois r e s ); por outro ldo, sendo r s = {O}, segue de (9) que Portnto, O r O = O e O s O = O. O = O = O http://mtemti.omep.org.r/ 4 mtemti@omep.org.r
s O Γ R O R r Figur 1: irunentro e írulo irunsrito um triângulo. Figur 1: Lei dos Senos. e, denotndo por R ess distâni omum, onluímos que o írulo de entro O e rio R pss por, e. Estmos finlmente em ondições de enunir versão mis gerl possível d Lei dos Senos. Proposição (Lei dos senos). Sej um triângulo de ldos =, =, = e ângulos  =, = β e Ĉ = γ. Se R é o rio do írulo irunsrito, então sen = senβ = = R. (10) senγ seguir, justifiremos vlidde ds relções (10), o que implirá, em prtiulr, que reoteremos s igulddes (7). Entretnto, gor nosso rgumento será ompletmente diferente do que utilizmos nteriormente. Por simpliidde, onsiderremos somente o so em que é um triângulo utângulo ( nálise dos demis sos nos quis é retângulo ou otusângulo é totlmente nálog). Prov. É sufiiente provr que sen = R, senβ = R e senγ = R. Provemos primeir iguldde im, sendo prov ds outrs dus ompletmente nálog. Ns notções d figur 1, sej O o entro do írulo Γ, irunsrito. Se é outr extremidde do diâmetrodeγquepsspor,entãooteoremdoângulo Insrito grnte que  = 1 m( ) e  = 1 m( ). Portnto, denotndo medid do ro em negrito por, onluímos que  =  =. Por outro ldo, omo é diâmetro de Γ, temos Ĉ = 90. Então, no triângulo retângulo, temos sen = senâ = = R. onforme mostrdo no exemplo seguir, versão gerl d Lei dos Senos fornee um mneir simples de lulr o rio do írulo irunsrito um triângulo, ontnto que onheçmos s medids de um ldo do triângulo e do seno do ângulo oposto esse ldo. Exemplo 4. Sejm um triângulo equilátero ujos ldos têm omprimento l, e R o rio de seu írulo irunsrito. omo  = 60, segue d Lei dos Senos que Portnto, R = l. R = senâ = l sen60 = l. Exemplo 5. Em um triângulo utângulo, o rio de seu írulo irunsrito é igul o omprimento do ldo. lule os possíveis vlores do ângulo Â. Solução. Denotndo =, temos R =. Denotndo  =, segue d Lei dos Senos que sen = R =. Portnto, sen = 1 = sen0 e, omo < 90, temos = 0. Lei dos ossenos Sejm um triângulo de ldos =, = e =, e H o pé d ltur reltiv o ldo, om H = h. Se  < 90 e Ĉ < 90 (figur 14), então o ponto H está http://mtemti.omep.org.r/ 5 mtemti@omep.org.r
H h Figur 15: lei dos ossenos pr ângulos retos. Figur 14: Lei dos ossenos. sore o ldo. lulndo o osseno e o seno do ângulo  no triângulo retângulo H, otemos de mneir que senâ = h e osâ = H, h = senâ e H = osâ. (11) Por outro ldo, plindo o Teorem de Pitágors o triângulo H, segue que = h + H = h +( H ) = (senâ) +( osâ) = + ((senâ) +(osâ) ) osâ. gor, segue d relção fundmentl d trigonometri (vej ul 1 deste módulo) que (senâ) +(osâ) = 1. Então, sustituindo ess iguldde nos álulos im, otemos relção = + osâ, (1) onheid omo Lei dos ossenos. Oserve que, se for utângulo, então rgumentos nálogos os que utilizmos im nos dão mis s outrs igulddes ixo, tmém onheids omo Lei dos ossenos: = + os = + osĉ. Se  = 90 (figur 15), o Teorem de Pitágors grnte que = +. Portnto, úni mneir de (1) ontinur verddeir nesse so é definindo os90 = 0. (1) Suponh, porfim, queâ > 90. Nesseso(figur16), o h H Figur 16: Lei dos ossenos pr ângulos otusos. vértie pertene o segmento H. Por simpliidde de notção,fçâh = θ, de modo queθ = 180  < 90. Então, lulndo o osseno e o seno de θ no triângulo retângulo H, omo em (11), otemos h = senθ e H = osθ. plindo novmente o Teorem de Pitágors o triângulo H e prosseguindo omo fizemos no so  < 90, Ĉ < 90, otemos suessivmente = h + H = h +(+ H ) = (senθ) +(+osθ) = + ((senθ) +(osθ) )+osθ. Por fim, invondo novmente relção fundmentl d Trigonometri, temos (senθ) +(osθ) = 1 e, dí, = + +osθ. Então, se quisermos que(1) ontinue válid tmém nesse so, temos de definir osâ = osθ, quer dizer, temos de definir que, pr 90 <  < 180, tenhmos osâ = os(180 Â). (14) Definindo os90 = 0 e o osseno de ângulos otusos omo em (14), segue que relção (1) é válid pr todos os vlores de Â. Otemos, ssim, versão gerl d Lei dos ossenos. Proposição 6 (Lei dos ossenos). Se é um triângulo de ldos =, = e =, então = + osâ = + os = + osĉ. (15) http://mtemti.omep.org.r/ 6 mtemti@omep.org.r
Em (14), fzendo 180 Â respetivmente igul 60, 45 e 0, e levndo em ont os vlores de os0, os45 e os60, luldos n ul 1, otemos tel ixo, omplementr àquel otid nteriormente pr os senos do um ângulo reto e de ângulos otusos notáveis: Â 90 10 15 150 osâ 0 1 1 seguir, vejmos lguns exemplos de plição d Lei dos ossenos. Exemplo 7. N figur 17, D é um qudrdo e DE é um triângulo equilátero. esse respeito, fç os seguintes itens: () Sendo l =, lule, em função de l, o omprimento do segmento E. () Use o resultdo do item () pr lulr sen15. l D Figur 17: justpondo qudrdo e triângulo equilátero. Solução. () omo D = 90 e DE = 60, temos DE = D + DE = 90 +60 = 150. Por outro ldo, omo os ldos de um qudrdo e de um triângulo equilátero são todos iguis, temos D = = l e DE = D = = l. plindo Lei dos ossenos o triângulo DE, otemos Portnto, E = D + DE D DEos150 ( ) = l +l l l ) = l (1+ = l (+ ). E = l +. () Ns notções d figur 17, omo D = DE, onluímos que o triângulo DE é isóseles de se E, de E form que DÂE = DÊ. Ms, omo DE = 150, otemos DÂE +DÊ = 180 DE = 0. Portnto, DÂE = DÊ = 15. plindo Lei dos Senos o triângulo DE, e utilizndo o vlor de DE luldo no item (), otemos ou, ind, DE sendâe = E sen DE l sen15 = l + sen150. Sustituindo sen150 = 1 e resolvendo iguldde nterior pr sen15, otemos sen15 1 = + =. (Verifique que tl vlor oinide om quele luldo no Exemplo 10 d ul 1.) Exemplo 8. Em um triângulo, temos =, = 4 e =. Mrmos um ponto P sore o ldo, tl que P = 1 e P =. lule o omprimento do segmento P. Prov. Ns notções d figur 18, sejm P = x e P = θ, de form que P = 180 θ. x 1 P Figur 18: lulndo o omprimento P. plindo Lei dos ossenos o triângulo P pr lulr = 4, otemos e, dí, 4 = x + xosθ 4 osθ = x 1. 4x http://mtemti.omep.org.r/ 7 mtemti@omep.org.r
Por outro ldo, plindo Lei dos ossenos o triângulo P pr lulr =, e usndo que os(180 θ) = osθ, otemos de modo que = x +1 xos(180 θ) = x +1+xosθ, osθ = x x. Igulndo s dus expressões pr os θ otids im, e nelndo o ftor x que pree no denomindor dels dus, segue que x 1 4 = x. Resolvendo equção im, hegmos filmente x = 6. Exemplo 9. Os três mosqueteiros, thos, Porthos e rmis, disutirm erto di num tvern. Imeditmente pós disussão, d um deles seguiu seu minho, vlgndo em linh ret, em direções que formvm 10 um om outr. Sendo que sus veloiddes erm 10km/h, 0km/h e 40km/h, respetivmente, mostre que, extmente um hor pós disussão, s posições dos três mosqueteiros formvm os vérties de um triângulo retângulo, om o ângulo reto n posição oupd por thos. Solução. onsidere figur 19 omo representtiv d situção, onde T denot lolizção d tvern e, e s posições de thos, Porthos e rmis um hor pós eles terem deixdo tvern. T e = T + T T T os10 ( = 10 +40 10 40 1 ) = 1700+400 = 100 = T + T T T os10 ( = 0 +40 0 40 1 ) = 000+800 = 800. Então, no triângulo, temos = +, de form que esse triângulo é retângulo em, que é posição de thos. Gostrímos de terminr ess ul oservndo um ponto muito importnte: s extensões dos oneitos de seno e osseno ângulos retos e otusos preservm relção fundmentl d Trigonometri, vist n ul 1 pr ângulos gudos: Pr 0 < θ < 180, temos sen θ +os θ = 1. Relmente, pr 0 < θ < 90, relção fundmentl d Trigonometri foi vist n ul 1. Pr θ = 90, temos sen θ+os θ = 1 +0 = 1. Por fim, pr 90 < θ < 180 e pondo = 180 θ, temos 0 < < 90, de modo que (senθ) +(osθ) = (sen) +(os) = 1. Figur 19: s trjetóris dos mosqueteiros. omo s veloiddes dos mosqueteiros erm onstntes, temos que T = 10km, T = 0km e T = 40km. gor, plindo Lei dos ossenos d um dos triângulos T, T e T, otemos respetivmente = T + T T T os10 ( = 10 +0 10 0 1 ) = 500+00 = 700, Dis pr o Professor d um ds três seções deste mteril meree pelo menos dus, ms idelmente três, sessões de 50min pr ser disutid dequdmente. Um ponto muito importnte, que trvess s três seções e que voê deve enftizr, é o fto de omo s leis dos senos e dos ossenos permitem estender o oneito de seno e osseno pr ângulos retos e otusos. lerte tmém os lunos pr o fto de que relção fundmentl d trigonometri ontinu válid pr tis extensões do seno e do osseno. Esses ftos formrão um se pr o luno, sore qul onstruiremos, em uls futurs, teori gerl de Trigonometri. Outro ponto muito importnte é que voê deve presentr uiddosmente todos os rgumentos ds proprieddes http://mtemti.omep.org.r/ 8 mtemti@omep.org.r
disutids o longo do texto. Por um ldo, o luno deve pereer que Mtemáti não é um mtéri deortiv, ms sim dedutiv; por outro, em que pese o fto de que o texto disute o porquê d vlidde ds proprieddes, experiêni mostr que, pós um explnção iniil por prte do professor, o luno terá muito mis filidde em, relendo o mteril em s, preender os detlhes e o qudro gerl d teori que foi expost em sl. Oserve que referêni[] ontém vários exemplos mis simples de plição ds leis dos senos e dos ossenos, os quis voê pode explorr. Novmente, referêni [1] ontém exemplos e prolems mis vnçdos, os quis podem instigr os lunos que presentrem mior filidde om o onteúdo deste mteril. Sugestões de Leitur omplementr 1.. minh. Tópios de Mtemáti Elementr, Volume : Geometri Eulidin Pln. Rio de Jneiro, Editor S..M., 01.. O. Dole e J. N. Pompeu. Os Fundmentos d Mtemáti Elementr, Volume 9: Geometri Pln. São Pulo, tul Editor, 01. http://mtemti.omep.org.r/ 9 mtemti@omep.org.r