Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 6 0 TÓPICO Gil d Cost Mrques 6. Potêci de Epoete Rel 6.2 Fuções iverss 6.3 Fução epoecil 6.4 Fuções logrítmics 6.5 Fução Logrítmic Como Fução Ivers 6.6 O Número de Npier (o úmero e) 6.7 Curt Históri do úmero e e dos Logritmos Neperios Licecitur em Ciêcis USP/ Uivesp
Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp 03 6. Potêci de Epoete Rel Os rqueologists logrrm êito em ecotrr cerc de meio milhão de tbuls de rgil região d Mesopotâmi. Por meio dels descobrimos que civilizção que li hbitou em tempos tão remotos quto 2000 os tes de Cristo já tih cohecimeto d operção de potecição. De fto, lgums tbuls cotêm tábus eibido vlores de pr de té 0 e pr vlores de reltivmete grdes (té = 225). Podemos geerlizr operção defiid o iício do tópico 4 (cosiderd pes pr úmeros reis z iteiros e positivos ) pr qulquer úmero rel. Cosiderdo-se como um úmero rel positivo e z um úmero rel qulquer, defiimos o úmero b, deomido potêci de epoete rel, como: z b= z, R 6. Note-se que pr z =, estmos defiido, de 6., o úmero iverso de. Pr z = ½, potêci de epoete rel é riz qudrdo do úmero. Ou sej, b= 6.2 Trt-se portto de mplir o coceito de potecição de um úmero, pr icluir potêcis de úmeros reis. Assim, coquto 2 2 b= 4 e c = 4 6.3 Obtemos, por defiição, b= 6 e c = 2 A etesão d operção de potecição pr qulquer úmero rel os permite itroduzir, como já o fizemos pr os úmeros iteiros e positivos, s fuções de epoete rel s quis podem ser escrits sob form gerl: 6.4 z = ( > 0) f 6.5
04 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Cosidere, por eemplo, fução f = 2 6.6 Assim, podemos costruir um tbel o seguite cojuto de vlores pr f. Figur 6. Gráficos de fuções de epoete rel pr vlores iteiros e positivos do epoete. / Fote: Cep = 0 f (0) = 0 = f () = = 4 f (4) = 2 = 9 f (9) = 3 = 6 f (6) = 4 Figur 6.2: () Gráfico d fução f () = e (b) gráfico d fução f = ±. / Fote: Cep Gráficos de fuções de epoete rel depedem fortemete d potêci z. Como regr gerl, els são crescetes pr o eio positivo se z > 0, e são decrescetes o mesmo itervlo o cso de z < 0. A Figur 6.2 preset os gráficos f = ±. ds fuções f () = e 6.2 Fuções iverss Fuções de epoete rel podem ser utilizds pr ilustrr o coceito de fução ivers de um form reltivmete simples. Pr ilustrr isso, cosideremos fução f () = z. El tem como fução ivers fução cujo epoete rel é o iverso do epoete rel de f (). Isto é: f z z =, 0 6.7 De fto, pode-se fcilmete verificr que z z z z z f f f = = = = 6.8 TERRA E UNIVERSO Fudmetos d Mtemátic I
Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp 05 Assim, s fuções f () = 2 e f () = ½ são fuções iverss um d outr. A fução f () = e f () = são s sus própris fuções iverss. Nesse cso escrevemos: f = f 6.9 Por eemplo, o último cso temos que 6.3 Fução epoecil f f = f = = 6.0 Num ds tbuls do Louvre, ecotr-se um problem de Juros compostos. Nesse problem, formuldo cerc de 700.C., se procur determir por quto tempo devemos plicr um quti, dmitido-se um retbilidde de 20% o o, pr que el dobre de vlor. Vem, portto, d Bbilôi, o primeiro eemplo de uso d fução epoecil. A fução epoecil de bse é fução f () defiid por: > 0 f ( ) = 6. Pr vlores de > ess fução é sempre crescete. Pr vlores de <, o etto, el é um fução decrescete. Cosideremos o cso d fução epoecil de bse 2. Nesse cso, escrevemos, f ( ) = 2 6.2 Pr ilustrrmos o coceito de fução de fução epoecil, recorremos o eemplo do Mrjá, rrdo o livro de Mlb Th, que propôs um dos seus súditos que como form de pgmeto de um trsção ele o pgsse de um form simples. No primeiro o o súdito pgri pes um grão de trigo. No segudo o ele pgri míseros dois grãos de trigo. Duplicdo, dí em dite, cd o o úmero de grãos té últim cs do tbuleiro.
06 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Assim o úmero de grãos N seri ddo em fução do úmero de os seri epresso pel fórmul O súdito elborou Tbel 6., bsed em us poucos os: Número de os N = 2 Número de grãos de trigo 2 2 4 3 8 4 6 5 32 6 64 7 28 6.3 Figur 6.3: Ilustrção d Recompes de Sess, um coto de Mlb Th, do livro Leds do oásis. / Fote: Cep Tbel 6.: Número de grãos cd o, té o sétimo o. Pr Pesr Qutos grãos terim depois de 20 os? E depois de 40? Figur 6.4: Gráficos típicos de fuções iverss um d outr. No cso, fução ríz qudrd e fução qudrátic. / Fote: Cep Coclui, certdmete que depois de 8 os deveri depositr últim cs d primeir fileir pes 256 grãos. Um bgtel, portto. Não etededo de fuções epoeciis ceitou, pr su desgrç, ess form de pgmeto. A fução epoecil mis importte detre tods, do poto de vist cietífico, é fução epoecil do úmero e. Esse úmero, ssim como o úmero π, é um dos úmeros mis importtes ds ciêcis. Ele será discutido o térmio deste tópico. Assim, defiimos fução epoecil de bse e é fução: f ( ) = e 6.4 TERRA E UNIVERSO Fudmetos d Mtemátic I
Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp 07 Mis usul ciêci, é fução epoecil depedete de dois prâmetros e b, defiid por: f e e b b = 6.5 Igulmete importte são s fuções d form: f2 ( ) = Ae b 6.6 Algus gráficos ds fuções epoeciis evolvedo o úmero e são presetdos bio. Figur 6.5: Gráficos de fuções epoeciis evolvedo o úmero e. / Fote: Cep Um bom eemplo d relevâci d fução epoecil de bse e diz respeito o decimeto de substâcis rdiotivs. Nesse cso, o úmero de átomos N que compõe um determid substâci vri com o tempo (t )de cordo com epressão: N= Ne λt 0 6.7 Ode N 0 é úmero de átomos presetes o istte de tempo t = 0 e λ é um costte crcterístic do mteril e que recebe o ome de costte rdiotiv.
08 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Defiimos id fuções epoeciis especiis tomdo combições de fuções epoeciis. Por eemplo, defiimos s fuções seo hiperbólico e cosseo hiperbólico, como sedo dds pels combições: e e e + e se h = cos h = 2 2 6.8 6.4 Fuções logrítmics A descobert dos logritmos foi motivd pel procur de simplificções em epressões lgébrics ou ritmétics comples. Com eles podemos reduzir multiplicções, divisões e rízes epressões cotedo pes soms de úmeros. Cosidere determição do úmero c que result d seguite epressão: c = 5 7,2 4 ( 4) 3 7 5 6.9 Figur 6.6: Joh Npier, escocês, sceu em 550, morte em 4 de bril de 67. / Fote: Cep Ates d iveção do logritmo de um úmero, tis cots dvm um eorme trblho. Ao crir um úmero deomido logritmo de b, Npier procurv um form de simplificr s cots. O logritmo, gor desigdo por, de um úmero b bse (logritmo de b com respeito esse úmero), é o epoete ecessário pr que se obteh o úmero b. Ou sej, b= Assim, levdo-se em cot defiição, represetmos esse úmero d seguite form: 6.20 > 0 log b b > 0 6.2 TERRA E UNIVERSO Fudmetos d Mtemátic I
Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp 09 O rciocíio de Joh Npier pr ivetr o logritmo de um úmero se bsev procur de um form de ssocir os úmeros de um progressão geométric 2 3 q,,,,, 6.22 Aos úmeros d progressão ritmétic,, 2,3, m,, 6.23 Ess ssocição seri tl que o produto m de dois termos d progressão geométric, estej ssocido à som de dois termos m + d progressão ritmétic. Ess seri simplificção itroduzid qudo do cálculo evolvedo produtos de dois úmeros. Assim, propriedde mis otável d dos logritmos de um úmero, por ser quel que lhe deu origem, é que, ddos dois úmeros quisquer b b 2 = = 2 6.24 Lembrdo que bb = = + 2 2 2 6.25 Etão, levdo-se em cot propriedde cim, cocluímos que o logritmo do produto de dois úmeros é igul à som dos logritmos desses úmeros: Isto é: log bb = log b + log b = + 2 2 2 6.26 É usul dotr-se um coveção medite qul escrevemos os logritmos bse 0 suprimido-se refereci ess bse. Assim, escrevemos: log = log 0 ( ) 6.27
0 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Assim, podemos escrever, por eemplo, log( 0.000) = log( 0) + log( 000) = + 3 = 4 6.28 D epressão cim, obtemos log p b = plog b 6.29 E portto, por eemplo, o cso d fução logritmo de bse 0, podemos escrever: 0 p log 0 = plog0 = p 6.30 E, portto, pr quisquer dois elemetos d progressão geométric meciod teriormete, Npier ecotrou o resultdo: log m + m = log = m+ 6.3 Observe-se que d defiição 6.2 ecotrmos que log = 0 6.32 E que: log = log b b 6.33 Cosideremos o eemplo terior, resumido pel epressão 6.9. Pr clculrmos o úmero c, tommos o logritmo esse úmero, por eemplo bse 0. Isso porque s tbels mis difudids, depois dquel dos logritmos eperios, form tbels bse 0. As mis utilizds form elbords por Briggs, cotemporâeo de Npier. Tomdo o logritmo de c, ecotrmos log0 c = log 3 0 7, 2 + log0 4 log0 4 5 5 7 6.34 TERRA E UNIVERSO Fudmetos d Mtemátic I
Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp A solução gor evolve recorrer tbels pr logritmos. Npier pssou cerc de 20 os desevolvedo os logritmos bem como escrevedo tbels pr os seus logritimos, um vez que fil, muits vezes s cots evolvem o processo iverso (cohecer um úmero ddo o seu logritmo). 6.5 Fução Logrítmic Como Fução Ivers Defiimos fução logritmo de bse como fução: > 0 f ( ) = log pr > 0 6.35 qul ssoci um úmero rel positivo, o seu logritmo bse. Muits vezes ess fução é defiid como fução ivers d fução epoecil. De fto, pode-se verificr que se escrevermos fução logrítmic como fução ivers d fução g(), g = log 6.36 é fácil verificr que = g 6.37 E isso porque, pel defiição d fução logrítmic, segue que: ( ) log log g g = g = = 6.38 Figur 6.7: Gráficos típicos ds fuções logrítmics. / Fote: Cep gráficos d fução logrítmic são presetdos Figur 6.7. É importte ressltr que fução logritmo ssume vlores egtivos qudo vriável idepedete ssume vlores meores do que bse.
2 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Os logritmos de bse 0 são cohecidos como logritmos comus, ou Briggsios. Hery Briggs foi o propoete dess bse, durte muito tempo mis difudid e objeto de váris tbels de logritmos. A mis utilizd físic é bsed um úmero tmbém descoberto por Npier, o úmero e. 6.6 O Número de Npier (o úmero e) Cosideremos um úmero muito próimo de, o qul desigremos por. Cosideremos o cso em que ele sej um fução de, um úmero iteiro, rel e positivo, d seguite form: ( ) = + Ode o úmero será cosiderdo como sedo um úmero grde. Por eemplo, cosideremos os csos ssocidos os vlores: 6.39 = 2 3 4 0 0, 0, 0, 0, 0. 6.40 Pr tis csos, ecotrmos: =,,0,00, 000,, 000000000. Cosideremos gor úmeros defiidos pel potecição do úmero, defiido por: 6.4 ( ( ) ) + 6.42 Estes úmeros, pr os vlore de ddos em 6.42, são: 2,5937.. 2,7048.. 2,769.. 2, 784. 6.43 TERRA E UNIVERSO Fudmetos d Mtemátic I
Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp 3 O úmero e é defiido como quele pr o qul podemos escrevê-lo com um proimção cd vez melhor quto mior for o úmero. Formlmete, escrevemos: e = lim + 6.7 Curt Históri do úmero e e dos Logritmos Neperios 6.44 Figur 6.8: Gráfico d fução epoecil de bse e. / Fote: Cep Com o ituito de resolver o problem presetdo o iicio d seção sobre logritmos ( seção terior), Npier fez um rciocíio iteresste. Cosiderou um solução qul o vlor de d progressão geométric diferisse pouco do cso trivil, o qul =. Pesou um progressão geométric de tl form que o úmero se diferecisse pouco do úmero. Escolheu = 0,9999999, o qul se pode escrever, detro de um bo proimção, como: 0 0 7 = + Em seguid, procurou escrever um úmero N, começdo pelos iteiros, de tl form que esse úmero pudesse ser escrito como o produto de um úmero grde (0 7 ) vezes um úmero L tl que, qudo o úmero = 0,9999999 fosse elevdo um potêci L dí resultri um úmero qulquer, iclusive um úmero pequeo. Escreveu ssim: 7 6.45 L 7 7 7 N = 0 = 0 0,9999999 + 0 L 6.46 Percebeu ssim, grosso modo, que qulquer úmero poderi ser escrito como potecis de. Lembrmos que su primeir escolh foi tl que o vlor desse úmero é muito próimo de. Assim, úmeros próimos de requerem um vlor de L pequeo. No etto, à medid que os fstmos do vlor est escolh os lev vlores, de L, etremmete grdes, em módulo. Cosidere, por eemplo, o vlor de L = 0 7. O úmero ele ssocido, é o úmero e de Npier: 7 0 7 e = + 0 2,78288 6.47
4 Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp Npier defiiu L como o logritmo do úmero N. A escolh feit por Npier, do ftor 0 7 se deve á ecessidde de evitr decimis. Observe-se que dividido-se tto N como L pelo ftor já meciodo obtemos de 6.46 N = 7 7 0 + 0 L 7 0 7 0 Dode obtemos um sistem de logritmos bse /e ode e é um úmero, o úmero de Npier o qul se pode idetificr, prtir de 6.48, como sedo ddo por: 6.48 7 0 = 7 = + e + 0 7 ( 0 ) 7 0 6.49 Npier descobriu ssim, um úmero que detro de bo proimção é ddo por 6.47. Su defiição mis et evolve grdes úmeros, como previsto por Npier. A melhor defiição desse úmero, tmbém cohecido como úmero de Euler (que o populrizou), é: = lim e + / 6.50 Defiimos fução logritmo turl (l) como fução logritmo de bse e. Ou sej, f ( ) = l log e 6.5 Su fução ivers é fução epoecil de bse e f ( ) = e 6.52 TERRA E UNIVERSO Fudmetos d Mtemátic I
Licecitur em Ciêcis USP/Uivesp 5 Os logritmos eperios, queles ivetdos por Npier muits vezes são cofudidos como os logritmos turis, queles defiidos cim. A rigor isso ão é verdde, um vez que os logritmos origiis de Npier têm mis ver com logritmos defiidos bse /e. Os logritmos eperios são defiidos por: Np (log ) log = 7 / e 7 0 0 6.53 O ome logritmo foi cuhdo por Npier, o procurr dr ele cootção de úmero d rzão. Isso porque Logos em grego sigific rzão.