Álgebra Liear I Soia Elea Palomio Castro Bea Daiel Noberto Kozakevich ª Edição Floriaópolis, 0
Govero Federal Presidete da República: Dilma Vaa Rousseff Miistro de Educação: Ferado Haddad Coordeador Nacioal da Uiversidade Aberta do Brasil: Celso Costa Uiversidade Federal de Sata Cataria Reitor: Alvaro oubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distâcia: Cícero Barbosa Pró-Reitora de Esio de Graduação: Yara Maria Rauh Müller Pró-Reitora de Pesquisa e Extesão: Débora Peres Meezes Pró-Reitor de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo Pró-Reitor de Desevolvimeto Humao e Social: Luiz Herique Vieira Silva Pró-Reitor de Ifra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitor de Assutos Estudatis: Cláudio José Amate Cetro de Ciêcias da Educação: Wilso Schmidt Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas: arciso Atôio Gradi Cetro de Filosofia e Ciêcias Humaas: Roselae Neckel Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia Coordeação de Curso: Neri ereziha Both Carvalho Coordeação de utoria: Jae Crippa Coordeação Pedagógica/CED: Roseli Ze Cery Coordeação de Ambietes Virtuais/CFM: Nereu Estaislau Buri Comissão Editorial Atôio Carlos Gardel Leitão Albertia Zatelli Elisa Zuko oma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão
Laboratório de Novas ecologias - LANEC/CED Coordeação Pedagógica Coordeação Geral: Adrea Lapa, Roseli Ze Cery Núcleo de Formação: Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regia Flores Núcleo de Criação e Desevolvimeto de Materiais Desig Gráfico Coordeação: Laura Martis Rodrigues, hiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Origial: Diogo Herique Ropelato, Marta Cristia Goulart Braga, Natal Aacleto Chicca Juior Redeseho do Projeto Gráfico: Laura Martis Rodrigues, hiago Rocha Oliveira Diagramação: Kallai Maciel Boelli, Karia Silveira Ilustrações: Gabriela Dal oé Fortua, Kallai Maciel Boelli Capa: Rafael Narava Kiee Desig Istrucioal Coordeação: Elizadro Maurício Brick Desig Istrucioal: Maria Carolia Machado Magus Revisão Gramatical: Daiela Piatola, Raquel Coelho, oy Roberso De M Rodrigues Copyright 0, Uiversidade Federal de Sata Cataria/CFM/CED/UFSC Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordeação Acadêmica do Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia Ficha Catalográfica K88a Kozakevich, Daiel Álgebra Liear I / Daiel Norberto Kozakevich, Soia Elea Palomio Castro Bea ed Floriaópolis : UFSC/EAD/CED/ CFM, 0 50 p : il ; grafs, tabs Iclui bibliografia UFSC Liceciatura em Matemática a Modalidade a Distâcia ISBN 978-85-800-0-9 Álgebra liear I Bea, Soia Elea P Castro II ítulo CDU 564 Catalogação a fote pela Biblioteca Uiversitária da UFSC
Sumário Apresetação 7 Matrizes 9 Matriz ipos de Matrizes 6 Operações com Matrizes 4 4 Determiates 4 5 Matriz Adjuta: Adj (A) 5 6 Iversa de uma Matriz 55 Resumo 7 Bibliografia Cometada 7 Sistemas Lieares 7 Prelimiares 75 Sistemas Lieares 80 Decomposição LU 08 Resumo 4 Bibliografia Cometada5 Espaços Vetoriais 7 Itrodução9 Espaços Vetoriais 4 Subespaços Vetoriais 4 Espaços Gerados48 5 Idepedêcia Liear 55 6 Bases e Dimesão66 7 Subespaços Associados a Matrizes e Computação de Bases89 8 Espaços Liha/Colua e os Sistemas Lieares 94 Resumo 97 Bibliografia Cometada 99
4 rasformações Liares 0 4 Itrodução 0 4 Operações com rasformações Lieares6 4 A Imagem e o Núcleo de uma rasformação Liear 6 44 rasformações Ijetoras, Sobrejetoras e Isomorfismos 45 Represetação Matricial de rasformações Lieares 9 46 Matrizes e rasformações Lieares, Equivalêcias e Propriedades 47 Bibliografia Cometada 49
Apresetação A Álgebra Liear é o estudo dos espaços vetoriais e das trasformações lieares defiidas etre eles Quado os espaços têm dimesões fiitas, as trasformações lieares podem ser represetadas por matrizes ambém com matrizes podem ser represetadas as formas bilieares e, mais particularmete, as formas quadráticas Assim a Álgebra Liear, além de vetores e trasformações lieares, lida também com matrizes e formas quadráticas São umerosas e bastate variadas as situações, em Matemática e em suas aplicações, ode esses objetos se apresetam Daí a importâcia cetral da Álgebra Liear o esio da Matemática Neste livro se itroduzem os coceitos da Álgebra Liear, desde os mais simples, que são as matrizes, até os mais abstratos, quado se trata do estudo de espaços vetoriais odos esses coceitos são apresetados, detro do possível, de uma forma acessível, ajudado a compreesão com muitos exemplos, exercícios resolvidos e propostos ambém, com o objetivo de facilitar a compreesão do coteúdo, colocamos algus tópicos com detalhes e justificações que usualmete ão são expostos os livros tradicioais Este texto pretede forecer coceitos suficietes para que os estudates cosigam ter acesso ao ível dos livros avaçados Isto ão sigifica deixar para trás as possibilidades que oferece a utilização de um software matemático ou igorar as aplicações, o favor de uma exclusiva e úica compreesão da Matemática Sigifica que se pretede, pricipalmete, que o leitor obteha uma compreesão global dos coceitos (como por exemplo, que a multiplicação de uma matriz por um vetor pode ser etedida como a aplicação de uma trasformação liear) e também cosiga acompahar as provas e demostrações O primeiro capítulo trata de Matrizes e Aplicações No segudo capítulo, se estudam os Sistemas Lieares, começado com uma breve revisão dos coceitos da Geometria Aalítica, para poder eteder em uma forma geométrica como é que tais sistemas podem ser caracterizados No terceiro capítulo defie-se Espaço Vetorial, um coceito básico da Álgebra Liear que proporcioa uidade e precisão aos assutos esseciais da Matemática E fialmete,
o quarto capítulo itroduz a oção de rasformação Liear e as relações que existem etre trasformações lieares e matrizes Embora a apresetação esteja focalizada sobre os pricipais tópicos da Álgebra Liear, ão pressupõe que os estudates possuam desde o iício uma prática em trabalhar com coceitos que demadem certos íveis de abstração, aida que desejável Em lugar disso, esta atividade é estimulada através dos muitos exemplos e exercícios que diferem das verificações rotieiras ou uso de técicas de resolução O objetivo está colocado pricipalmete em desevolver, sedo o material usual de um curso de graduação, o ível de maturidade matemática de um estudate da Liceciatura de Matemática Soia Elea Palomio Castro Bea Daiel Noberto Kozakevich
Capítulo Matrizes
Capítulo Matrizes Ao fializar o estudo deste Capítulo você será capaz de idetificar algus tipos de matrizes, fazer operações e provar propriedades e teoremas sobre matrizes ambém, será capaz de compreeder e aplicar o coceito de matrizes em situações reais Matriz As matrizes são estruturas matemáticas que podem ser ecotradas em muitos problemas do osso dia-a-dia Por isso, este capítulo, iiciaremos o estudo das matrizes com um problema vido do osso cotidiao Problema Já pesou que a temperatura que temos em cada estação do ao pode ser registrada dia a dia e hora a hora (e até miuto a miuto!), com ajuda de dispositivos especiais? Isso é feito pelo Istituto de Meteorologia de cada uma das regiões Cosidere a seguite situação: As temperaturas de cico cidades brasileiras as primeiras horas da mahã de um determiado dia (durate o ivero) foram registradas da forma seguite: Cidade : São Joaquim (SC) às horas da mahã apreseta graus cetígrados; Cidade : Rio de Jaeiro (RJ) às 5 horas da mahã apreseta 4 graus cetígrados; Cidade : urvo (SC) às 7 horas da mahã apreseta 5 graus cetígrados; Cidade 4 : Floriaópolis (SC) às 9 horas da mahã apreseta 6 graus cetígrados;
Cidade 5: São Luis (MA) às horas da mahã apreseta 0 graus cetígrados Essas iformações podem ser arrajadas em tabelas de várias formas, como as que apresetamos a seguir: Cidade emperatura ( C) - 4 5 4 6 5 0 Cidade Hora 5 7 4 9 5 Hora emperatura ( C) - 5 4 7 5 9 6 0 Hora Cidade 5 7 9 4 5 Observe que dessa forma as iformações estão dispostas em forma vertical, mas também podemos colocar as mesmas iformações em forma horizotal Perguta De que forma podem ser arrajados os dados acima de modo a estarem dispostos horizotalmete? Se cosiderarmos H como sedo a hora e a temperatura da cidade, etão, a terceira tabela pode ser disposta da seguite maeira: H 5 7 9 ( C) - 4 5 6 0 Deixamos de atividade para você completar essa disposição horizotal o caso das outras tabelas Cotiuado com o Problema, supohamos que por algum motivo é do osso iteresse os dados do arrajo dado pela última tabela
Assim, podemos formular o seguite: Em cico cidades brasileiras, em determiadas horas, foram registradas as seguites temperaturas: H ( C) - 5 4 7 5 9 6 0 Observação A mesma iformação poderia ter sido colocada da seguite forma: H 5 7 9 ( C) - 4 5 6 0 Os dois jeitos de arrajar os dados estão os forecedo o que deomiaremos como Matriz Defiição de matriz É de osso iteresse trabalhar apeas com úmeros reais este Livro, assim sedo tudo o que será defiido mais adiate, o caso das matrizes ou vetores, será com elemetos reais (mais adiate você terá a possibilidade de trabalhar com úmeros complexos também!) Uma matriz é um arrajo de úmeros, símbolos, letras, etc, dispostos em lihas e coluas Ordem de uma matriz As matrizes geralmete são deotadas por letras maiúsculas e seus elemetos por letras miúsculas Se uma matriz possui m lihas e coluas diremos que a matriz tem ordem m Exemplo Deomiemos por A e B as duas matrizes defiidas o Problema e a Perguta, respectivamete Assim: 5 4 A = 7 5 9 6 0 e B 5 7 9 = 4 5 6 0
4 A matriz A tem 5 lihas e coluas, ou seja, é de ordem 5 ; já a matriz B tem lihas e 5 coluas e é de ordem 5 O elemeto da ª liha e ª colua da matriz A é igual a 4, ou seja: a = 4 O elemeto da ª liha e 4ª colua da matriz B é igual a 9, isto é: b 4 = 9 Quado uma matriz é obtida por algum problema específico (como o explicitado o Problema ), é possível forecer alguma iterpretação aos seus elemetos Por exemplo, as matrizes A e B do Exemplo com elemetos a = e b 4 = 9 podem ser iterpretadas da seguite forma: 4 No segudo horário (5 horas da mahã) o segudo valor da temperatura (o Rio de Jaeiro) é 4 graus São 9 horas da mahã quado a temperatura em Floriaópolis é 6 graus E, claro, após forecermos todas as iterpretações podemos fazer algumas coclusões: Eu gosto do frio, portato irei para São Joaquim o ivero Não, ão gosto de tato frio, por isso o ivero ficarei o Rio de Jaeiro Bom, você deve estar se pergutado: ode está a matemática esse papo todo? Se estiver fazedo esse tipo de questioameto está ido por um bom camiho, pois a matemática, por icrível que pareça, está presete em muitas situações! E é isso que esperamos mostrar ao logo deste material! Lembrete A partir de agora, serão apresetados vários exercícios que pediremos para você resolver
5 Agora verifique se você está acompahado as discussões que fizemos, resolvedo os seguites exercícios Exercício Coloque mais alguma codição o Problema para costruir uma matriz de ordem x 5 Dica: Imagie que os dados são colhidos durate dias Exercício Será que você pode imagiar e criar um problema do seu cotidiao diferete do dado acima para chegar a uma matriz? Dada uma liha i e uma colua j de uma matriz A, o elemeto a posição (i, j) será deotado por a ij Assim, uma matriz com m elemetos pode ser escrita a seguite forma estedida: a a a j a a a a j a A = ai ai aij ai am am amj am ambém podemos colocá-la a forma abreviada: A = aij m Assim, a matriz A de ordem m possui m elemetos da forma a com i =, m, e j =,, ij Algus livros deotam a matriz A de elemetos aij a forma A= ( a ij ) m Muitas vezes é forecida uma lei de formação para obtermos os elemetos de uma matriz Por exemplo, se A= a ij com a ij = i+ j, com m = e =, estaremos costruido a seguite matriz A: + + + 4 A = = + + + 4 5
6 Exemplo Vamos obter a matriz B= ( b ij ) 4, de ordem 4, cujos elemetos são da forma b ij j i, i =, = 0, i = Solução Observe que ão há ehuma codição para os ídices j, isto é, j está variado coforme o úmero de coluas que a matriz tem Já a ª liha ( i = ) todos os elemetos serão ulos Assim sedo, a matriz B é dada por: 4 4 4 8 6 B = = 0 0 0 0 0 0 0 0 ipos de Matrizes Matriz Retagular São deomiadas assim aquelas matrizes cujo úmero de lihas é diferete do úmero de coluas Por exemplo: A = 0 9 5 0 4 7 8 0 B = e 6 C 0 0 = 9, 5 0 0 9 e podem ser colocadas a forma A [ ], B [ ] e C [ ] = = = No 4 5 que segue podemos omitir a ordem a represetação da matriz toda vez que ela veha dada a forma estedida Matriz Liha A matriz liha é uma matriz que tem apeas uma liha Por exemplo: L = [ 4] M = (0 0 8) Observação É comum colocarmos vetores o plao e o espaço como matrizes liha etre parêteses, ode os elemetos estão separados por vírgula Exemplo: (0, 0,, 8)
7 Matriz Colua A matriz colua é uma matriz que tem apeas uma colua Por exemplo: 0 B = D = 4 Observação Sabia que um vetor o plao (ou o espaço) pode ser cosiderado como uma matriz colua? Mais adiate (capítulo de Sistemas Lieares) usaremos essa forma ao represetar a solução de um sistema de equações Assim, se tivermos duas ou três icógitas elas podem ser alocadas uma forma vetorial o plao ou o espaço, respectivamete; você também ecotrará essa otação o livro Um curso de geometria aalítica e álgebra liear, citado a bibliografia cometada 4 Matriz Nula A matriz ula é uma matriz cujos elemetos são todos ulos Por exemplo: 0 0 O 0 0 0 0 = 0 0 O = 0 0 0 0 0 0 0 0 Esses tipos de matrizes geralmete são deotados pela letra maiúscula O e depededo do problema deverá discerir a ordem da matriz o exercício ou problema em questão Algus autores deotam essa matriz da forma: O = 0 ij m 5 Matriz Quadrada Para facilitar, usamos apeas a otação A= a ij para represetar, de forma abreviada, matrizes quadradas de ordem Uma matriz quadrada é uma matriz ode o úmero de lihas é igual ao úmero de coluas Nas seguites matrizes, A é uma matriz de ordem e B uma matriz de ordem : A= a ij B = 7 0
8 No caso de matrizes quadradas, é possível defiir duas diagoais: A diagoal pricipal de uma matriz quadrada está dada pelos elemetos a posição i = j Por exemplo, os valores, e 0 são os elemetos da diagoal pricipal da matriz B A diagoal secudária está dada pelos elemetos da matriz cujos ídices cotabilizam o valor i+ j = +, assim, a mesma matriz B dada acima os elemetos, e são aqueles cujos ídices sempre somam i+ j = + = 4, esses elemetos são b, b e b Exemplo : Cosidere a matriz B = 7 0 Os elemetos {, -, 0} formam a diagoal pricipal e os elemetos {, -, } formam a diagoal secudária A partir de agora, falaremos um pouco mais sobre matrizes quadradas 6 Matriz Diagoal A matriz diagoal é uma matriz quadrada cujos elemetos fora da diagoal pricipal são ulos, isto é, a ij = 0 se i j Por exemplo: 0 0 D = 0 0 0 0 6 0 0 E = 0 Pelo fato das matrizes diagoais possuírem elemetos, quase sempre ão ulos Apeas a posição ( i, i ) é que elas podem ser deotadas como diag{ d, d,, d }, ou aida a forma diag{ d, d,, d } ode d, d,, d idicam os elemetos diagoais Por exemplo, a matriz D dada ateriormete pode ser escrita como D = diag {,, 6 } 7 Matriz Idetidade A matriz idetidade é uma matriz diagoal ode todos os elemetos da diagoal pricipal são iguais a um É geralmete deotada
9 com a letra I e com um ídice que deota a ordem, como ilustrado a seguir: 0 0 0 0 0 0 0 I = 0 I 4 = 0 0 0 0 0 0 8 Matriz riagular Superior A matriz triagular superior é uma matriz quadrada de ordem cujos elemetos a ij são ulos quado i > j Isto é: A a a a 0 a a 0 0 a = 9 Matriz riagular Iferior A matriz triagular iferior é uma matriz quadrada de ordem cujos elemetos a ij são ulos quado i< j, ou seja: 0 Matriz Simétrica A a 0 0 a a 0 a a a = Quado falamos de elemetos assumido qualquer valor real podemos deotá-los com a Nesse caso, o símbolo é lido como pertece a e deota os úmeros reais Uma matriz quadrada S, de ordem, é simétrica se aij = aji, para quaisquer valores dos ídices i, j São exemplos de matrizes simétricas: 0 0 0 4 5 S = 0 S4 = 4 0 0 5 0 a Observe que o elemeto a a posição (4,4) da matriz S 4 ão tem valor umérico, isto é, assume qualquer valor real
0 Exemplo 4 Ecotre os valores de t, w, s, z, a, b para obtermos S simétrica: a 0 t x b w 0 S = z z 0 0 0 0 0 Solução Pela defiição de matriz simétrica, todos os elemetos s ij da matriz S devem ser tais que s ij = s ji Como a matriz é de ordem = 4 e cosiderado que i, j variam etre e 4 (ou seja, i, j =, ),, 4 ecotramos que: s = x= = s ambém: s = z = 0 = s, e de forma similar: s = = t = s 4 4 Assim, ambém, t = s = z = w= s, como z = 0 e o oposto de zero é ele próprio, etão: w = 0 Por último, s = a e s = b, mas ão há ehuma codição para esses valores Portato, a e b são valores reais quaisquer, isto é, a, b Matriz Ati-simétrica Uma matriz quadrada A é ati-simétrica se aij de matrizes ati-simétricas as matrizes: = a São exemplos ji 0 A = 0 0 6 B = 0 4 6 4 0
Exemplo 5 Cosidere a matriz S forecida o Exemplo ; ecotre os valores de t, w, s, z, a, b para S ser uma matriz ati-simétrica Solução Usado um raciocíio similar ao usado o Exemplo e cosiderado que para cada valor de i e j deve se satisfazer aij = aji, ecotra-se x =, z = 0, t =, w = 0, a = 0 e b = 0 Assim: 0 0 0 0 0 S = 0 0 0 0 0 0 0 Você percebeu que os elemetos da diagoal pricipal das matrizes ati-simétricas forecidas são todos ulos? Isso seria apeas uma coicidêcia? No exemplo seguite, provaremos que esse resultado vale para qualquer matriz ati-simétrica Exemplo 6 Prove que os valores da diagoal pricipal de uma matriz ati-simétrica qualquer são todos ulos Solução Se A= a ij é uma matriz ati-simétrica de ordem, os seus elemetos satisfazem a relação a ij = a ji para quaisquer valores i, j Os elemetos a diagoal pricipal ecotram-se a posição i = j, etão aii = aii Daí, a ii = 0 para qualquer valor de i Em cosequêcia, a ii = 0 para qualquer i Um exemplo umérico que ilustra o que acabamos de provar foi dado o Exemplo 4 Nele, você ecotrou que os valores diagoais são todos ulos! Matriz Elemetar Uma matriz é deomiada elemetar se for obtida por meio de uma úica mudaça a matriz idetidade Essa mudaça pode ser de um dos seguites tipos:
) A troca de uma liha (ou colua) por outra liha (ou colua); ) A multiplicação de uma liha (ou colua) por um valor ; ) A soma de uma liha (ou colua), multiplicada pelo valor, com outra liha (ou colua) Exemplos: a) A matriz elemetar de ordem obtida ao trocarmos a liha pela liha da matriz idetidade de ordem é dada por: 0 E = 0 b) c) A matriz elemetar de ordem 4 obtida ao multiplicar a liha da matriz idetidade (de ordem 4) por é dada por: E 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 A matriz elemetar de ordem obtida ao multiplicar a liha por e somar com a liha da matriz idetidade (de ordem ) é dada por: 0 0 E = 0 0 0 ambém, são matrizes elemetares as matrizes: A 0 = 0 0 0 0 0 0 0 B = 0 0 0 0 0 Agora é com você! Exercício Como foram obtidas as matrizes elemetares A e B ateriores?
Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B, de ordem m, são ditas serem iguais se todos os seus elemetos são iguais Isso pode ser expressado com a seguite relação de igualdade: O símbolo matemático é lido para todo Na relação dada, i, j é lido para todo i e para todo j A expressão a = b, i, j ij ij também pode ser colocada como: a = b, i {,, m}, j {,, } ij ij Exemplo 7 Foreça codições para estabelecer a igualdade das matrizes A e S dadas a seguir 0 0 0 t A = 0 0 0 t 0 0 s 0 y t S = 0 0 0 t 0 0 Solução Como as matrizes são de ordem 4, teremos i, j {,, 4 } Se A= S, etão, aij = sij i, j {,, assim:, 4 } a = 0 = s a = 0 = s = y, daí resulta: ambém, com isso: Mais, y = 0 a4 = t = s4 = t, t a4 = t = s4 = t t = 0,
4 que implica: t = 0 Por último, como t e t = 0, implica t = 0 Observação As matrizes A = e B = possuem os mesmos elemetos, mas ão são iguais, você pode justificar o porquê? Agora é com você! Exercício 4 Quais são os valores de b para a matriz b b A = b b b ser simétrica? Operações com Matrizes A seguir, serão defiidas as operações de adição, produto por um escalar e produto de matrizes Adição de Matrizes Dadas as matrizes e B é a matriz C Notação C = A+ B A = aij e B b m ij =, a adição das matrizes A m = cij, ode c m ij aij bij A+ B= aij + b ij = +, i, j m 0 0 0 t Exemplo 8 Se A = e 0 0 0 t 0 0 s 0 y t S =, calcu- 0 0 0 t 0 0 le C = A+ S para t, y e s quaisquer úmeros reais
5 Solução Ao aplicarmos a defiição de soma de matrizes as matrizes A e S, teremos: s 4 0 0 y 0 t C = 0 4 0 0 0 0 0 Produto de uma matriz por um escalar Escalar Na maioria dos casos, é um úmero real É possível, também, tomarmos os escalares como úmeros complexos, Os escalares podem ser tomados de qualquer sistema umérico o qual podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir de acordo com as leis habituais da aritmética Dado o escalar, o produto da matriz A pelo escalar é uma matriz da mesma ordem cujos elemetos foram multiplicados pelo valor Em outras palavras, se A= a ij e, o produto de A pelo escalar é uma matriz C de elemetos cij com cij = aij para todos os m valores i, j defiidos a matriz A Isto é: C Notação C = A= a = cij, tal que c m ij aij ij m =, i, j Exemplo 9 Multiplique a matriz I 4 pelo escalar = Solução 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C = I4 = = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nota Quado =, podemos escrever A= A Produto de Matrizes Dadas as matrizes A= [ a ik ] m t e B= b kj, o produto das matrizes A e B é uma matriz C = c ij cujos elemetos c ij são da forma: m c t = a b ij ik kj k = t
6 Isto é, ao defiirmos as matrizes A a a a t a a a, a a a t = m m mt m t B b b b b b b e bt bt b t t = C c c c c c c, c c c = m m m m os elemetos da matriz produto adotam a forma: c = a b + a b + + a b c ij i j i j it tj t = a b ij ik kj k = Note que o úmero de coluas da matriz A é igual ao úmero de lihas da matriz B t Notação: C = AB = aikbkj k = 4 4 Exemplo 0 Seja a matriz A = 4 5 e a matriz B, de ordem 4 5 6 j 4 com elemetos = i Obter a matriz produto C = AB bij Solução Como o úmero de coluas de A é igual ao úmero de lihas de B, o produto pedido é possível As matrizes explicitadas são dadas respectivamete por: 4 A = 4 5 4 5 6 e B = 4 8 6 9 7 8 Para obtermos a matriz produto C = AB = c ij com elemetos 4 c = a b, i =,,, j =,, 4 ij ik kj k = Percorredo cada valor de i e j dado temos os elemetos da: Primeira liha: c c c c 4 = ()() + ()() + (4)() = + 6 + = 0 = ()() + ()(4) + (4)(9) = + + 6 = 50 = ()() + ()(8) + (4)(7) = + 4 + 08 = 4 = ()() + ()(6) + (4)(8) = + 48 + 4 = 74
7 Seguda liha: c = ()() + (4)() + (5)() = + 8 + 5 = 6 c = ()() + (4)(4) + (5)(9) = + 6 + 45 = 64 c = ()() + (4)(8) + (5)(7) = + + 5 = 70 c 4 = ()() + (4)(6) + (5)(8) = + 64 + 405 = 47 E, por último, os da terceira liha: c = (4)() + (5)() + (6)() = 4 + 0 + 8 = ; c = (4)() + (5)(4) + (6)(9) = 4 + 0 + 54 = 78; c = (4)() + (5)(8) + (6)(7) = 4 + 40 + 6 = 06; c 4 = (4)() + (5)(6) + (6)(8) = 4 + 80 + 486 = 570 Sedo assim, temos a seguite matriz: c c c c4 0 50 4 74 C = c c c c = 6 64 70 47 4 c c c c 4 78 06 570 Ao multiplicarmos matrizes devemos tomar cuidado com a ordem das lihas e coluas, ou seja, poderemos fazer o produto de matrizes quado o úmero de coluas da primeira matriz for igual ao úmero de lihas da seguda Assim, a matriz produto C terá um úmero de lihas igual ao úmero de lihas da matriz A e um úmero de coluas igual ao úmero de coluas de B 4 Propriedades das Operações com Matrizes Cosidere A = aij, B b m ij = e C = c ij, etão temos as seguites propriedades: ) Propriedades da Adição m A ) Comutatividade: A+ B= B+ A; m A ) Associatividade: ( A+ B) + C = A+ ( B+ C) ; A ) Elemeto Neutro da Soma: A+ O= A, O = [0] m ; A 4 ) Elemeto Simétrico: A+ ( A) = O ( A A= O)
8 Observação A= A= ( aij ) = a ij Prova das Propriedades A ) Comutatividade: A+ B= B+ A m m Seja A = = aij e B b m ij m A+ B= a + b ij m ij m = aij + b ij m = ( aij + bij ) m Usado a propriedade comutativa dos úmeros reais: ( x+ y) = ( y+ x), com x, y temos: Logo, = ( bij + aij ) = bij + a ij = B+ A m m A+ B= B+ A A ) Associatividade: ( A+ B) + C = A+ ( B+ C) Cosideremos A = aij, B b m ij Da defiição de soma de matrizes, = e C = c ij m A+ B= aij + b ij m e ( A+ B) + C = ( aij + bij ) + c ij m Usado a propriedade associativa dos úmeros reais: emos, etão: m ( x+ y) + z = x+ ( y+ z) com x, y, z = aij + ( bij + cij ) m E usado a defiição de soma de matrizes: = a + b + c ij m ij ij m
9 Logo, = A+ ( B+ C) ( A+ B) + C = A+ ( B+ C) A ) Elemeto Neutro da Soma: A+ O= A, O = [0] m Seja A = aij e O = [0] m m A+ O= aij + 0 = ( aij + 0) Pela propriedade dos úmeros reais: m m Etão, Com isso, Logo, x+ 0 = x com x a + 0 = a, i, j ij aij + 0 = a ij = A ij m m A+ O= A A 4 ) Elemeto Simétrico: A+ ( A) = O Seja A = aij e A= a m ij Logo, m A+ ( A) = aij + ( aij ) Pela propriedade dos úmeros reais: m Etão, Assim, Logo, x+ ( x) = 0 com x a + ( a ) = 0, i, j ij ij a ij + ( a ij ) = [0] O m = m A+ ( A) = O ) Propriedades do Produto por um Escalar Sejam A e B duas matrizes da mesma ordem e, dois escalares, etão: M ) ( A) = ( ) A; M ) ( A+ B) = A+ B;
0 M ) ( + )A= A+ A; M 4 ) A= A Observação Quado trabalhamos com matrizes, pode acotecer a ecessidade de multiplicá-las pelo escalar zero, dado como resultado a matriz ula Isto é, Você observou as difereças etre o zero escalar e a matriz zero, deotada pela letra O? Vejamos: se A = aij, O [0] m m = e o escalar ulo (0): = 0 aij m O A = 0 a ij m = [0] m = O Prova das Propriedades M ) ( + )A= A+ A Sejam, dois escalares e a matriz ( + ) A= ( + ) a ij A= a, etão: ij m m = ( + ) a ij m Usado a propriedade distributiva dos úmeros reais ( x + y) z = xz + yz para cada elemeto da matriz, temos: = ( aij ) + ( aij ) m = + aij a m ij m Pela defiição de produto por um escalar, Logo, = a + a ij m ij m = A+ A ( + ) A= A+ A M 4 ) A= A
Seja A= a e o escalar ij m A= a ij = m a ij m = ( aij ) m Usado a propriedade do elemeto eutro da multiplicação dos úmeros reais, x= x, x emos: a ij = a A m ij = m Logo, A= A Agora é com você! Exercício 5 Prove as outras propriedades do produto de uma matriz por um escalar Ao euciar as propriedades do produto de matrizes ão explicitamos a ordem das mesmas, por exemplo, em P, ( AB) C = A( BC) supomos possíveis os produtos AB e BC, isto é, o úmero de coluas de A é igual ao úmero de lihas de B e o úmero de coluas de B é igual ao úmero de lihas de C ) Propriedades do Produto de Matrizes Cosidere A, Be C matrizes, etão valem as seguites propriedades de produto de matrizes: P ) Associativa: ( AB) C = A( BC) ; P ) Distributiva: A( B + C) = AB + AC; P ) ( A + B) C = AC + BC; P 4 ) ( AB) = ( A) B = A( B) Prova das Propriedades P ) ( A + B) C = AC + BC; Sejam as matrizes A= [ a ik ] m p, B= [ b ik ] m p, C = [ c kj ] p, etão: ( A+ B) C = [( a + b )] c ik ik m p kj Usado a defiição do produto de matrizes para A+ B e C, temos: p = ( aik + bik ) ckj k = m p
Usado a propriedade distributiva dos úmeros reais: p = a c + b c ik kj ik kj k = m Pela propriedade dos somatórios e da defiição de adição de matrizes, p p p p aikckj + bik ckj = aikckj + bik ckj k= k= m k= m k= m A lista de propriedades ecotra-se o fial desta Seção Pela defiição do produto de matrizes: Logo, = AC + BC ( A + B) C = AC + BC P 4 ) ( AB) = ( A) B = A( B) Seja, A= [ a ik ] m t e B= [ b kj ] t ( AB) = [ a ] [ b ] = ( a b ) Usado a propriedade do somatório: temos: t ik m t kj t ik kj k = m i = i, c: costate, i= i= c x cx t = ( a b ) ik kj k = m Da propriedade associativa dos úmeros reais: emos: ( xy) z = x ( yz) com x, y, z t ( a ) b ik kj k = m E, pela defiição de produto de matrizes e produto de uma matriz por um escalar, = ( A) B Logo, ( AB) = ( A) B
Observação É importate observar que em geral AB BA, isso será ilustrado com o seguite exemplo Exemplo Dadas as matrizes produto AB BA A 0 = 0 e B = 0, a matriz AB = 0, etretato BA = 0, verificado que No ambiete virtual da disciplia você ecotrará algumas atividades as quais poderá praticar tato a multiplicação de matrizes uméricas, usado problemas do cotidiao, quato a aplicação das propriedades Agora é com você! Exercício 6 Prove as outras propriedades do produto de matrizes 5 rasposta de uma Matriz Na literatura é também usual ecotrarmos a trasposta de uma matriz deotada como A ou t A, mas usaremos tal otação pelo fato de ser a forma como trabalharemos computacioalmete com algus softwares como MALAB ou SCILAB, durate as ossas aulas ou o ambiete virtual Seja A= a, a matriz trasposta de A, deotada por A', é aquela ij m matriz obtida trocado-se as lihas pelas coluas de A Isto é: Por exemplo, se A = 4 5 6 de ordem dada por: A = a ji m 4 A' = 5 6, a matriz trasposta é uma matriz Observe que a matriz trasposta cada elemeto a liha i e colua j aparece como sedo um elemeto da liha j e colua i da matriz A
4 Exemplo Seja A uma matriz de ordem, ecotre o valor de x de modo que A' = A x A = 0 Solução Como A' A' = x 0 = A é uma codição do exercício, etão: Isso será válido apeas se x = x x 0 = 0 Observação Outra forma de defiirmos a matriz simétrica é usado a matriz trasposta Assim, diremos que uma matriz é simétrica se ela coicide com a sua trasposta, isto é, A' = A 6 Propriedades da Matriz rasposta Dadas as matrizes trasposta: Ae B, são válidas as propriedades da matriz ) ( A') ' = A; ) ( A+ B)' = A' + B' ; ) ( AB)' = B ' A' ; 4) ( A) ' = A', Prova da Propriedade Sejam A= [ a ik ] m p, B= [ b kj ] ( AB)' = B ' A' p p AB = a b ik kj k = m = [ ] c ij m
5 Assim: c p = a b ij ik kj k = Pela defiição de trasposta de uma matriz, ( AB)' = [ c ji ] m Pode-se verificar que: p p = a b () jk ki k = m jk ki jk ki k= k= p b a = a b () Por outro lado: B' ' = [ b ],, A' ' = [ a ] jk jk p ki ki p m Observe que k {, p, }, e p B' A' = b a jk ki k = m (deixamos a você a tarefa de pesquisar a propriedade do somatório usado), substituido () e (): p ( AB)' = b a jk ki k = m Logo, ( AB)' = B ' A' Agora é com você! Exercício 7 Prove as demais propriedades, justificado todos os passos do seu procedimeto Exercício 8 Prove que se A' = A, etão A é ati-simétrica Exercício 9 Dado um escalar ão ulo, prove que, se A é uma é si- matriz simétrica e B é uma matriz ati-simétrica, etão, A métrica e B é ati-simétrica
6 Exemplo Prove que toda matriz quadrada pode ser colocada como a soma de uma matriz simétrica com outra ati-simétrica Solução Seja A= a ij Em primeiro lugar, vejamos que A+ A' é uma matriz simétrica Seja A= a e A= B+ C com B simétrica ec ati-simétrica (ambas de ordem ) Isto é, ij B' raspodo, A' = B' + C' = Be C' = C Somado a última expressão a equação A= B+ C, temos: A' + A= ( B' + B) + ( C' + C) Sedo B simétrica e C ati-simétrica: A' + A= B Etão, A+ A' B = Como C é ati-simétrica, ao substituirmos as equações: A A' = B+ C B' C' = B B' + ( C C') = C Etão: Assim, A A' C = A+ A' A A' A = + 7 Potêcia de uma Matriz: A p Seja A uma matriz quadrada e p um úmero iteiro positivo, a p potêcia p da matriz A, deotada por A está defiida por: p A = A A p vezes
7 Exemplo 4 Seja A= [ a ij ], com a ij = i j, calcule A, para p =,, 4 Solução Pela lei de formação forecida obtemos facilmete o valor de A: Se =, Assim, Se p =, 0 A = 0 0 0 0 A = AA = 0 = 0 0 0 0 0 A = AAA = A A = = 0 0 0 Deixamos como exercício calcular Observações: 4 A ) p p Calcular A equivale a calcular A A Assim, se quiser ecotrar A, calcule A e multiplique o resultado por A (para o que 50 49 48 previamete calculou o valor de A e assim por diate) ) Por defiição, se p = 0 e A O, etão 0 A = I 8 raço de uma Matriz Dada A= a ij, o traço de A, deotado por r( A ), é o úmero dado pela soma dos elemetos da diagoal pricipal Isto é: r ( A) = a i= ii Por exemplo, se 0 0 0 5 A = r ( A) = + 0+ 7+ 5= 4 7 0 0 0 5
8 9 Propriedades do raço =, são verdadeiras as seguites proprie- Dados dades: A = aij e B b ij ) r ( A+ B) = r ( A) + r ( B) ; ) r ( A) = r ( A) ; ) r ( A') = r ( A) ; 4) r ( AB) = r ( BA) Prova da Propriedade Sejam A r ( A+ B) = r ( A) + r ( B) = aij e B b ij Pela defiição do traço, e pela propriedade do somatório: = duas matrizes quadradas r ( A+ B) = ( aii + bii ), i= = a + ii i= i= b = r ( A) + r ( B) ii Agora é com você! Exercício 0 Prove as outras propriedades Exercícios Resolvidos ) Dada a matriz Solução 7 A = 0 5 0 A' = 5 7, ecotre a sua trasposta
9 ) Ecotre o traço de matriz idetidade Solução Seja I a matriz idetidade de ordem r ( I) = = i= ) Ecotre o traço de uma matriz diagoal e de uma matriz triagular de qualquer ordem Solução Usado a otação simplificada, temos a matriz diagoal D = diag{ d, d,, d} Assim: r ( D) = d i= i Deixamos para você o cálculo do traço o caso de se ter uma matriz triagular 0 Propriedades de Somatórios Os seguites ites forecem algumas propriedades de somatórios úteis para a prova das propriedades listadas ateriormete a) bi = bj; i= j= b) ( a + b) = a + b; i i i i i= i= i= c) ba = a b ; i k k i i= i= m m d) b = b ij i= j= j= i= ij Observação No fial deste Capítulo você ecotrará um resumo de todas as propriedades até aqui utilizadas, que servirá de ajuda ao resolver exercícios de demostração
40 Agora é com você! Exercício Dadas as matrizes: ecotre: A =, 4 5 0 B = 4, 7 a) C = A+ B; C = B b) ; c) tr ( A), tr ( B ) e tr ( AB ); Expresse as matrizes A e B como somas de uma matriz simétrica com outra ati-simétrica Exercício Sejam as matrizes A e B, de ordem 4, A= a ij com 4 i j se i j aij =, e B uma matriz simétrica com bij = i+ j se i j 0 se i< j Ecotre: a) C = A B C = B b) C é uma matriz simétrica? Exercício Sejam A e B matrizes simétricas, justifique se os euciados a seguir são falsos ou verdadeiros: A+ B é uma matriz simétrica AB é uma matriz simétrica Nota Se sua resposta for verdade, prove Se for falsa, apresete um cotraexemplo Exercício 4 Imagie uma situação cotidiaa e procure problematizá-la de tal forma que você possa fazer uso: da soma de matrizes;
4 da subtração de matrizes; do produto de matrizes 4 Determiates 4 Meor de uma Matriz: M ij Dada uma matriz quadrada, A= [ a ij ], o meor da matriz A, deotado por M ij, é uma submatriz de ordem ( obtida ) ao cacelarmos a liha i e a colua j Assim, se: Com: a a a j a a a a j a A= M = a a a aj a ij ij a ( ) i ai aij a i M ij a a( j ) a( j+ ) a a( i ) a( i )( j ) a( i )( j+ ) a ( i ) = a( i+ ) a( i+ )( j ) a( i+ )( j+ ) a( i+ ) a a( j ) a( j+ ) a Exemplo: Se 4 5 6 0 0 4 A = 0, 0 0 0 0
4 etão, o meor M 4 é obtido ao elimiarmos a liha e a colua 4, isto é: M 4 4 6 0 0 4 = 0 0 0 0 Similarmete, ao elimiarmos a liha e a colua, obtemos o meor M Agora é com você! M 0 4 0 = 0 0 0 Exercício 5 Verifique que meores A= a (com ij elemetos) possui Nessa parte da teoria assumimos que você está familiarizado(a) com o cálculo de determiates de matrizes de ordem e O valor do determiate de uma matriz A é deotado as formasdet ( A ), det A ou A Por exemplo, se: A 0 = 0, etão ( ) (0)(0) ( )() det A = = Similarmete, se: B = 4 5 6, etão: 7 8 9 det ( B ) = ()(5)(9) + ()(6)(7) + ()(4)(8) ()(5)(7) ()(6)(8) ()(4)(9) = = 45 + 84 + 96 05 48 7 = 0 Com esses exemplos, estamos relembrado de forma rápida que o determiate de uma matriz de ordem é calculado de uma úica maeira: o produto dos elemetos da diagoal pricipal meos o produto dos elemetos da diagoal secudária E o determiate de uma matriz de ordem é calculado pela Regra de Sarrus Para lembrar esta regra pesquise a Iteret ou em algum material de matemática do esio médio
4 4 Cofator de uma Matriz: A ij O cofator A ij do elemeto a posição ( i, j ) de uma matriz A é dado pelo valor do determiate M, multiplicado pelo valor ( i+ j ) Isto é: ij A ij i+ j = ( ) d e t ( M ) ij Ou: A ij ( ) i + = j M ij 4 6 0 0 4 Exemplo 5 Se A =, calcule A 0 0 0 0 44, A, A, A, A 4, A e A Solução 4 A = ( ) M = ( + ) 0 0 = 0 4+ 4 44 44 0 0 0 A + 0 4 = ( ) M = ( + ) 0 0 0 = 0 A + 4 6 = ( ) M = ( + ) 0 4 = 9 8 = A + 6 = ( ) M = ( + ) 0 0 4 = 8 = 4 A + 4 4 4 0 0 = ( ) M = ( ) 0 0 0 = 0 A + 6 = ( ) M = ( ) 0 0 0 = 0
44 A + 4 6 = ( ) M = ( ) 0 4 = (8 4) = 4 Observe as mudaças de siais dos elemetos as posições ( i, j ), isto é, ( i + j :) + + + + + + + + Em geral, para uma matriz de qualquer ordem, as mudaças de siais dos elemetos as posições ( i, j ) (( ) são: i+ j + + + + + 4 Determiate de A usado Cofatores Dada A uma matriz de ordem, A= a ij Se =, os meores e os cofatores da liha um da matriz de ordem dois são dados respectivamete por: M = [ a ], A = a, M = [ a ], A = a E o valor do determiate será: det ( ) a a A = = a a a a a a = a M + a ( M ) = a A + a A Se =, o valor do determiate da matriz (colocado em fução dos cofatores relativos à primeira liha) será:
45 a a a det ( A) = a a a a a a = aaa + aaa + aaa aaa aaa aaa = a ( a a a a ) + a ( a a a a ) + a ( a a a a ) = a ( + M ) + a ( M ) + a ( + M ) = a A + a A + a A = a A j j j= Note que calculamos o determiate de A usado cofator ode i = Podemos usar qualquer liha da matriz Por exemplo, com i = : A = a ( M ) + a ( + M ) + a ( M ) Por exemplo, se A = 4 5 6 7 8 9 liha é dado por: = a A + a A + a A = a A j j j= o determiate usado a seguda A = 4A + 5A + 6A = 4( M ) + 5( + M ) + 6( M ) = 4(8 4) + 5(9 ) 6(8 4) = 4 60 + 6 = 0 No caso geral de uma matriz de ordem, o cálculo do determiate da matriz referido à liha (ou a qualquer liha k) é dado por: A = a A + a A + + a A = a A = a A i i j j i= j= Se o desevolvimeto do determiate for referido a qualquer liha k, temos: A = a A, ode k é um valor fixo j= kj kj
46 Por exemplo, a matriz do Exemplo 4, calculamos o determiate pelo desevolvimeto de cofatores referido à liha (pois tedo todos seus elemetos ulos evitaremos cálculos desecessários) Assim: A = 0 A + 0 A + 0 A + 0 A = 0 4 Nota Fica como regra: ao calcular o determiate usado cofatores, escolha a liha (ou colua) da matriz que tiver o maior úmero de elemetos ulos Similarmete, é possível fazer o desevolvimeto por coluas Veja: ) Usado a primeira colua: A = a A + a A + + a A ) Deixamos para você chegar ao seguite desevolvimeto para uma colua k qualquer: A = a A O desevolvimeto dado acima para ecotrarmos o valor do determiate (usado lihas ou coluas) é comumete cohecido como o desevolvimeto de Laplace i= ik ik Astrôomo e matemático fracês, Marquês de Pierre Simo de Laplace (749-87) ficou cohecido como o Newto fracês Sua carreira foi importate por suas cotribuições técicas para as ciêcias exatas, tato pelo poto de vista filosófico que ele desevolveu durate sua vida, quato pela parcela que tomou parte a formação das moderas disciplias cietíficas 44 Defiição Geral do Determiate de uma Matriz Permutação Dados os úmeros (ou objetos distitos) uma permutação desses úmeros (ou objetos) cosiste em dispô-los em uma determiada ordem Exemplo 6 Cosidere os úmeros, e, podemos ordeá-los de várias formas, por exemplo: ( ), ( ), etc O mesmo acotece quado escolhemos 4 úmeros, como,, e 4 Podemos ordeá-los, por exemplo: ( 4), ( 4), etc Notação Uma permutação de úmeros é deotada por ( j j j )
47 Número de Permutações Dados os úmeros e há duas permutações, ( ) e ( ), ou seja,! permutações No caso dos úmeros, e as permutações ( ) e ( ) são dois exemplos, o total existem! permutações Quais são? Dado úmeros,,, existem,! permutações Agora é com você! Exercício 6 Calcule o úmero de permutações possíveis de 4 úmeros Iversão É o úmero de mudaças ecessárias em uma permutação para voltá-la à sua posição ordeada iicial Notação Uma iversão de úmeros será deotada por: J J j j j = ( ) Por exemplo, as permutações dadas acima: J ( ) = 0, J ( 4) = 0 e J ( ) = No último caso, embora o úmero esteja a posição que lhe correspode, para colocarmos os úmeros e os seus lugares será ecessário fazermos assim: ( ) ( ) ( ) e por último ( ) Ou ( ) ( ) ( ) e por último ( ) Em ambos os casos haverá iversões Exemplo 7 Costruir uma tabela do úmero de iversões possíveis de e úmeros Solução Se =, cosidere os úmeros e Permutação N de iversões J ( ) = 0 J ( = )
48 Se =, cosidere os úmeros, e Permutação N de iversões J ( ) = 0 J ( ) = J ( ) = J ( ) = J ( ) = J ( ) = Agora é com você! Exercício 7 Verifique que o úmero de iversões da permutação J (4 ) é igual a 6 Exemplo 8 Costruir uma tabela do úmero de iversões de 4 úmeros Solução Neste caso o úmero de iversões para cada permutação ( j j j j 4) será dado por J = J( j j j j4) O resultado será colocado a seguda colua da tabela Permutação N de iversões 4 0 4 4 4 4 4 4 4 : 4 : 4 : 4 : : : Deixamos para você completar a tabela
49 Determiate Defiição Dada a matriz de ordem, A é defiido por: A= a, o determiate de ij J j j j det ( A) = ( ) a a a Ode J = J( j j j ) idica o úmero de iversões da permutação ( j j j ), idica que o somatório é estedido a todas as! permutações dos úmeros,,, Exemplo 9 Verifique o uso da defiição os casos dos determiates de ordem e Solução Na solução deste exemplo serão usados os resultados obtidos o Exemplo 5 Se =, etão =, assim: det ( A) = ( ) a a = ( ) a a + ( ) a a = a a a a J( j j) 0 j j Se =, = 6 e, assim: ( ) det ( A) = ( ) J j j j aj a j a j 0 aa a aaa aa a aaa aaa aa a = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = aaa + aaa + aaa aaa aaa aaa Agora é com você! Exercício 8 a) Obteha o desevolvimeto para o caso de um determiate de ordem 4 b) Verifique a relação desse desevolvimeto com o desevolvimeto dos cofatores Propriedades do Determiate Cosidere Ae B matrizes quadradas Etão, valem as propriedades dos determiates ) Se A possui uma liha (ou coluas) de zeros, etão, det ( A ) = 0;
50 ) Se A possui duas lihas (ou coluas) iguais, etão, det ( A ) = 0; ) Se B é obtida de A multiplicado-se uma liha (ou colua) por um escalar, etão, det ( B) = det ( A) ; 4) Se B é obtida por troca das posições relativas de duas lihas (ou coluas) da matriz A, etão, det ( B) = det ( A) ; 5) Se B é obtida de A, substituido-se a liha i (ou colua) por ela somada a um múltiplo escalar de outra liha j (ou colua) ( j i) etão, det ( B) = det ( A) ; 6) det ( A) = det ( A') ; 7) det ( AB) = det ( A) det ( B) Observações Não é objetivo do presete material didático fazer as demostrações das propriedades ateriores, porém as mesmas podem ser provadas a partir da defiição do determiate Na Seção 4, ao calcularmos o determiate usado cofatores, usamos o desevolvimeto (referetes às lihas) dado por Mais detalhes a respeito dessas demostrações podem ser ecotrados o livro de Álgebra Liear, de Callioli (99), citado o fial deste Capítulo det ( A) = a A, i= ki ki ode k é a k-ésima liha escolhida Podemos euciar uma oitava propriedade usado desevolvimetos similares 8) a A = 0, l k, k, l valores fixos i= ki li Verifiquemos a propriedade com o seguite exemplo Se k =, l = e = : a ia i = aa + a A i=
5 Assim, se etão: dessa forma: A = 4, A = e A =, a iai = ( ) + () = 0 i= ambém, ao usarmos o desevolvimeto pelas coluas e escolhedo l =, k =, ecotramos também que: a A = a A = (4) + 4( ) = 0 il ik i i i= i= Agora é com você! Exercício 9 Use as operações elemetares e o Método de Laplace para ecotrar o determiate das matrizes: 4 4 5 A =, 0 0 B =, 0 C = 4 6 7 Exercício 0 Usado apeas as propriedades dos determiates mostre que det ( A) = det ( B) Das matrizes, a c+ a A = b d + b, a c B = b d 5 Matriz Adjuta: Adj (A) Dada A= a, a matriz adjuta de A é dada por ij Adj ( A) = ( Cof ( A) )', ode Cof ( A ) é a matriz cujos elemetos são os cofatores A ij da matriz A, ou seja, é a matriz ode cada elemeto a ij é igual ao cofator A da matriz A Um exemplo para essa defiição é o seguite: ij
5 Se B = 4, etão, os cofatores são: A A A A = = + ( ) det[ 4] 4 = = + ( ) det[] = = + ( ) det[ ] = = + ( ) det[] 4 Cof ( B) = Assim, 4 4 Adj( B) = = Exemplo 0 Calcule a matriz adjuta de A dada por: 0 A = 4 6 5 Solução A matriz de cofatores de A é dada por: A A A 9 9 9 Cof ( A) = A A A = 5 0, A A A 4 8 5 pois: A A A A A A + 4 = ( ) det 5 4 9 6 5 = = 4 = 5 = = + = ( ) det = 8 = 9 6 + 0 = ( ) det (5 0) 5 6 5 = + = + 0 = ( ) det 0 0 0 5 = = + = ( ) det = ( ) = 6 + ( ) det ( 5 4) 9
5 A A A + 0 = ( ) det 4 0 4 4 = = 0 = 4 = = + = ( ) det = + = 5 + ( ) det (8 0) 8 Assim, Adj ( A) = Cof ( A)' 9 9 9 = 5 0 4 8 5 9 5 4 = 9 0 8 9 5 ambém, o determiate da matriz A é det ( A ) = 9, pois det( A) = a A + a A + a A = ( 9) + (9) + 0( 9) = 8 + 9 = 9 Observe que Adj( A) A = det( A) I ; cosiderado A do exercício aterior, temos: 9 5 4 0 Adj( A) A = 9 0 8 4 9 5 6 5 ( 9) + ( 5) ( ) + 4 ( 9) + ( 5) + 4 6 ( 9) 0 + ( 5) 4+ 4 5 = 9 0 ( ) ( 8) 9 0 ( 8) 6 9 0 0 4 ( 8) 5 + + + + + + ( 9) + ( ) ( ) + 5 ( 9) + ( ) + 5 6 ( 9) 0 + ( ) 4 + 5 5 9 0 0 = 0 9 0 0 0 9 0 0 = 9 0 0 0 0 = det( A) I
54 O próximo teorema mostra que essa afirmação é válida para qualquer matriz quadrada eorema Se A é uma matriz de ordem, Demostração Adj( A) A = A Adj( A) = det( A) I a a A A A Adj( A) = a a A A = ( ) j j j j j j j j j j j= j= j= j= j= ( ) j j j j j j j j j j j= j= j= j= j= ( ) j j j j j j j j j j j= j= j= j= j= j= a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A ( ) j ( ) a A a A a A ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j j j j= j= j= j= ( ) j a A a A a A a A a A j j j j j j j j j j= j= j= j= j= Usado a Propriedade 8 dos determiates os elemetos fora da diagoal pricipal, temos: ajaj 0 0 0 j= 0 a ja j 0 0 j= A Adj( A) = 0 0 ajaj 0 j= 0 0 0 aj Aj j= Pelo desevolvimeto de Laplace (por lihas) temos o valor do determiate:
55 isto é: det ( A) = a A, para cada k =,,,, j= kj kj det( A) 0 0 0 0 det( A) 0 0 A Adj( A) = 0 0 det( A) 0, 0 0 0 det( A) = det ( A) I De forma similar, podemos ecotrar Assim, temos demostrado que Adj( A) A = det( A) I Adj( A) A = A Adj( A) = det( A) I 6 Iversa de uma Matriz 6 Matriz Sigular Defiição Uma matriz é dita sigular se o seu determiate é ulo Caso cotrário, dizemos que a matriz é ão sigular Por exemplo, a matriz é uma matriz sigular, pois B = 4 det( B ) = ( 4) [ ( )] = 4 ( 4) = 4 + 4 = 0 Você saberia dizer por quê? Pese a respeito! Já a matriz idetidade de ordem é ão sigular, pois det ( I ) = Em geral, uma matriz idetidade de ordem qualquer é ão sigular
56 6 Matriz Iversa Defiição Seja A uma matriz quadrada de ordem Dizemos que A é iversível se existe uma úica matriz B (da mesma ordem) tal que: AB = BA = I B é deomiada matriz iversa de A Notação B= A Por exemplo, se A = 0, a matriz matriz iversa, pois: 6 B = 0 é a respectiva 0 AB = BA = 0 Propriedade Se A é iversível, etão, A é ão sigular Prova Será suficiete ecotrar que o det ( A ) ão é ulo Demostrado por absurdo, supomos o cotrário, isto é, det ( A ) = 0, e devemos chegar a uma cotradição Assim, usado a Propriedade 7 dos determiates: det( AB) = det( A) det( B) = 0 det( B) = 0 Por outro lado, temos por hipótese que A é iversível, etão existe B tal que AB = I, assim: det ( AB) = det ( I) = Assim, 0=, impossível, é uma cotradição! Uma vez que a cotradição foi ecotrada, etão o euciado é verdadeiro Assim, a propriedade fica demostrada Logo, A é ão sigular Cohecedo que det ( A) 0, para A iversível, uma forma de verificar a existêcia da matriz iversa será ecotrar o valor do determiate da matriz Após essa verificação, o passo seguite será Geralmete uma cotradição é deotada pelo símbolo O mesmo poderá ser usado as próximas provas ecotrarmos a matriz iversa, A Como exemplo, os casos das
57 matrizes A = 0 e B = 4, podemos afirmar que apeas A possui iversa Como obtermos A? 6 Cálculo da Matriz Iversa usado a Matriz Adjuta Sabedo que existe A, etão: AA A A I = = Observe pela propriedade da matriz adjuta que Adj( A) Adj( A) A = A= I det( A) det( A) Assim, a úica possibilidade será: Adj ( A) A = det ( A) Exemplo Se A = 0, ecotre A Solução Ecotramos facilmete que det ( A ) = 6, e também a matriz adjuta Assim, Agora é com você! A 0 Adj ( A) = Adj ( A) 6 = = det ( A) 0 Exercício Seja 0 A = 4, verifique se sua matriz iversa é 6 5
58 A = 5 4 9 9 0 8 9 9 5 9 9 64 Propriedades da Iversa de uma Matriz Se A e B são iversíveis, etão: ) ; ( AB) = B A ) ( A ) = A; ) ; ( t t A ) = ( A ) 4) det ( A ) = det ( A) Prova da Propriedade ( AB) = B A Em primeiro lugar, vejamos se existe ( ) AB Calculado det ( ) AB : det ( AB) = det ( A) det ( B) Por hipótese existem as iversas das matrizes A e B ( A, B ), isto é, det ( A) 0 e det ( B) 0 Assim, det ( AB) 0 e com isso ( AB), isto é, ( AB)( AB) = I () Como: A A = I e B B = I Na seguda parte dessa última relação, multiplicamos em ambos os lados pela iversa de A (pela direita): ( B B ) A I A = Associado e multiplicado por I, temos B B A A e multiplicado à esquerda por A: ( ) =, A ( B B A ) A A ( ) =
59 Você também pode cosiderar os seguites passos após a expressão (): Associado ovamete e, sabedo que AA = I, temos () Sedo que a existêcia da matriz iversa é úica e comparado as expressões () e () cocluímos que ( AB) ( B A ) = Agora é com você! Exercício Prove as propriedades, e 4, justificado o seu procedimeto Ao calcular a matriz iversa de A, usado a matriz adjuta, vimos Adj ( A) que A =, e os exemplos aplicamos essa relação para matrizes de ordem e E se a matriz for de ordem maior ou igual det ( A) a 4? O procedimeto acaba sedo mais trabalhoso esses casos Vejamos agora como podemos obter a matriz iversa sem usar a matriz adjuta 65 Cálculo da Matriz Iversa por Operações Elemetares Seja A uma matriz ão sigular, portato existe Por defiição, sabemos que AA A A I = = A e det ( A) 0 Etão, a ideia é ecotrarmos uma matriz que ao ser multiplicada por A (à direita ou à esquerda) resulte a matriz idetidade Para tal é ecessário cohecer o que são aperações elemetares e fazer uso das matrizes elemetares Operações Elemetares Operações elemetares são realizadas a matriz com o objetivo de ivertê-la, reduzi-la ou simplesmete colocá-la um formato especificado previamete Elas podem ser de três tipos:
60 ) ) A troca de uma liha (ou colua) por outra liha (ou colua); A multiplicação de uma liha (ou colua) por um valor, com 0; ) A soma de uma liha (ou colua) multiplicada pelo valor, ( 0) uma outra liha (ou colua) Se l i e l j represetam a lihas i e j da matriz e é o escalar citado ateriormete, etão, as operações elemetares dadas acima serão deotadas respectivamete por: a) l l ; i b) l i ; c) l l + l j j i j Seja A uma matriz, se uma (ou várias) operação elemetar for efetuada essa matriz, obteremos uma matriz diferete, a qual deotaremos por à Assim, o processo efetuado será deotado por: Exemplos: A à operação( ções) elemetar ( es) Se realizarmos uma operação elemetar a matriz idetidade de ordem, I, e trocarmos a liha pela liha da matriz, obteremos a seguite matriz elemetar: 0 à = 0 A operação efetuada é deotada por I l l à Dada a matriz de ordem 4, 0 6 0 0 0 A =, 0 0 0 0
6 ao fazermos a operação elemetar que multiplica a liha da matriz por, obtemos a seguite matriz: Idicamos isso com: 0 6 0 0 0 Ã = 6 0 4 0 0 0 0 6 ( ) 0 0 0 I A 6 0 4 0 0 0 Dada a matriz de ordem, 8 B = 0 0, 5 ao fazermos duas operações elemetares, obtemos a seguite matriz B : Assim, a matriz B foi obtida: 4 6 l ( ) l+ l B 5 9 = B l 5 ) ) multiplicado-se a liha por e somado-a à liha da matriz B, multiplicado a liha por Observação A operação elemetar l ( ) l + l idica a liha ode a soma das lihas está acotecedo No caso, a soma será efetuada a liha da matriz