Núcleos isotrópicos e positivos definidos sobre espaços compactos 2-homogêneos Rafaela Neves Bonfim

Núceos isotrópicos e positivos defiidos sobre espaços compactos 2-homogêeos Rafaea Neves Bofim Tese de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPG-MAT)

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: Assiatura: Rafaea Neves Bofim Núceos isotrópicos e positivos defiidos sobre espaços compactos 2-homogêeos Tese apresetada ao Istituto de Ciêcias Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obteção do títuo de Doutora em Ciêcias Matemática. VERSÃO REVISADA Área de Cocetração: Matemática Orietador: Prof. Dr. Vadir Atoio Meegatto USP São Caros Agosto de 2017

Ficha cataográfica eaborada pea Bibioteca Prof. Achie Bassi e Seção Técica de Iformática, ICMC/USP, com os dados forecidos peo(a) autor(a) B713 Bofim, Rafaea Neves Núceos isotrópicos e positivos defiidos sobre espaços compactos 2-homogêeos / Rafaea Neves Bofim; orietador Vadir Atoio Meegatto. São Caros SP, 2017. 60 p. Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) Istituto de Ciêcias Matemáticas e de Computação, Uiversidade de São Pauo, 2017. 1. Espaços 2-homogêeos. 2. úceos positivos defiidos. 3. úceos estritamete positivos defiidos. 4. produtos de úceos positivos defiidos. 5. poiômios de Jacobi. I. Meegatto, Vadir Atoio, oriet. II. Títuo.

Rafaea Neves Bofim Positive defiite ad isotropic eres o compact two-poit homogeeous spaces Doctora dissertatio submitted to the Istitute of Mathematics ad Computer Scieces ICMC- USP, i partia fufimet of the requiremets for the degree of the Doctorate Program i Mathematics. FINAL VERSION Cocetratio Area: Mathematics Advisor: Prof. Dr. Vadir Atoio Meegatto USP São Caros August 2017

Para Deus e miha famíia.

AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramete a Deus por estar sempre ao meu ado, dado-me força e reovado meu âimo a cada dia. Sem Ee ão teria acaçado meus objetivos. Agradeço aos meus pais, Sema e Dair, que sempre me icetivaram e que durate todo esse tempo estiveram ao meu ado, auxiiado-me em todas as mihas dificudades. Agradeço também ao meu amorado, Michae, por me apoiar sempre. Aos amigos do ICMC, Gregory, Nado, Joás, Thiago, Aexadre, Cirio, Mariee, Miriae e Aa Maria, que fizeram parte dessa trajetória, dividido mometos de descotração, torado a camihada mais agradáve. Ao professor Vadir Meegatto, pea paciêcia, dedicação e por estar sempre dispoíve em ajudar. Agradeço à FAPESP peo fiaciameto do projeto de doutorado, com processo de úmero 2014/14380-2.

Quado a beção chegar uca foi sorte, sempre foi Deus. (Leadro Sapuahy)

RESUMO BONFIM, R. Núceos isotrópicos e positivos defiidos sobre espaços compactos 2-homogêeos. 2017. 60 f. Tese (Doutorado em Ciêcias Matemática) Istituto de Ciêcias Matemáticas e de Computação (ICMC/USP), São Caros SP. Este trabaho é composto de duas partes distitas, ambas detro de um mesmo tema: úceos positivos defiidos sobre variedades. Na primeira deas forecemos uma caracterização para os úceos cotíuos, isotrópicos e positivos defiidos a vaores matriciais sobre um espaço compacto 2-homogêeo. Utiizado-a, ivestigamos a positividade defiida estrita destes úceos, apresetado iiciamete agumas codições suficietes para garatir ta propriedade. No caso em que o espaço 2-homogêeo ão é uma esfera, descrevemos uma caracterização defiitiva para a positividade defiida estrita do úceo. Neste mesmo caso, para úceos a vaores o espaço das matrizes de ordem 2, apresetamos uma caraterização aterativa para a positividade defiida estrita do úceo via os dois eemetos a diagoa pricipa da represetação matricia do úceo. Na seguda parte, os restrigimos a úceos positivos defiidos escaares sobre os mesmos espaços e determiamos codições ecessárias e suficietes para a positividade defiida estrita de um produto de úceos positivos defiidos sobre um mesmo espaço compacto 2-homogêeo. Apresetamos aida uma extesão deste resutado para úceos positivos defiidos sobre o produto cartesiao de um grupo ocamete compacto com uma esfera de dimesão ata, matedo-se a isotropia a compoete esférica. Paavras-chave: Espaços 2-homogêeos, úceos positivos defiidos, úceos estritamete positivos defiidos, produtos de úceos positivos defiidos, poiômios de Jacobi.

ABSTRACT BONFIM, R. Núceos isotrópicos e positivos defiidos sobre espaços compactos 2-homogêeos. 2017. 60 f. Tese (Doutorado em Ciêcias Matemática) Istituto de Ciêcias Matemáticas e de Computação (ICMC/USP), São Caros SP. I this wor we preset a characterizatio for the cotiuous, isotropic ad positive defiite matrix-vaued eres o a compact two-poit homogeeous space. After that, we cosider the strict positive defiiteess of the eres, describig some idepedet sufficiet coditios for that property to hod. I the case the space is ot a sphere, oe of the coditios becomes ecessary ad sufficiet for the strict positive defiiteess of the ere. Further, for 2 2- matrix-vaued eres o a compact two-poit homogeeous space which is ot a sphere, we preset a characterizatio for the strict positive defiiteess of the eres based upo the mai diagoa eemets i its matrix represetatio. I the ast part of this wor, we restrict ourseves to scaar eres ad determie ecessary ad sufficiet coditios i order that the product of two cotiuous, isotropic ad positive defiite eres o a compact two-poit homogeeous space be stricty positive defiite. We aso discuss the extesio of this resut for eres defied o a product of a ocay compact group ad a high dimesioa sphere. Key-words: Two-poit homogeeous spaces, positive defiite eres, stricty positive defiite eres, products of positive defiite eres, Jacobi poyomias.

SUMÁRIO INTRODUÇÃO.................................... 17 1 PRELIMINARES............................. 21 1.1 Espaços compactos 2-homogêeos... 21 1.2 Núceos positivos defiidos sobre espaços compactos 2-homogêeos 22 2 NÚCLEOS ESTRITAMENTE POSITIVOS DEFINIDOS SOBRE ES- PAÇOS 2-HOMOGÊNEOS....................... 27 2.1 Positividade defiida... 27 2.2 Positividade defiida estrita: codições suficietes... 31 2.3 Positividade defiida estrita: codições ecessárias... 35 2.4 Positividade defiida estrita o caso de espaços ão esféricos... 38 2.5 Positividade defiida estrita o caso = 2... 41 3 PRODUTOS DE NÚCLEOS POSITIVOS DEFINIDOS USUAIS SO- BRE VARIEDADES........................... 47 3.1 O caso do círcuo uitário... 48 3.2 O caso dos demais espaços homogêeos... 49 3.3 Núceos sobre o produto de um grupo ocamete compacto e uma esfera... 53 REFERÊNCIAS.................................... 57

17 INTRODUÇÃO Os estudos apresetados este trabaho evovem úceos positivos defiidos sobre um cojuto ão vazio X a vaores matriciais. Se é um iteiro positivo fixado, deote por M (R) o cojuto de todas as matrizes de ordem com etradas reais. No caso = 1, idetificamos M (R) com R. Uma fução a vaores matriciais F : X X! M (R) (x,y)! [ f µ (x,y)] µ,=1 é um úceo positivo defiido quado as seguites codições estão satisfeitas: f µ (x,y)= f µ (y,x)= f µ (y,x), µ, = 1,2,...,, x,y 2 X, e, para cada iteiro positivo (appe a cardiaidade de X), quaquer escoha de potos distitos x 1,x 2,...,x em X, e quaisquer vetores B 1,B 2,...,B em R tem-se Acima, estamos escrevedo B t if(x i,x j )B j = i, j=1 i, j=1 µ,=1 B µ i B j f µ (x i,x j ) 0. B t i =(B 1 i,b 2 i,...,b i), i = 1,2,...,. Em iguagem matricia, a desiguadade acima equivae ao fato da matriz em bocos F(x i,x j ), de ordem, com boco µ dado por [ f µ (x i,x j )] µ,=1, ser defiida ão egativa. O úceo positivo defiido F é dito ser estritamete positivo defiido se as desiguadades acima são estritas, quado peo meos um dos vetores B i é ão uo. Depededo do cotexto, a defiição acima pode icorporar a cotiuidade de F ou aguma outra propriedade desejáve para F ou X. Neste trabaho, savo uma excessão, X será um espaço métrico. Precisamete, X será um espaço métrico compacto 2-homogêeo coforme a caracterização oferecida por Wag ([40]) há muito tempo atrás. Por equato, o eitor precisa tão somete saber que esta categoria evove um certo úmero de espaços importates, sedo as esferas uitárias usuais em R, muidas de suas distâcias geodésicas usuais, seus represetates mais iustres. Também poderíamos cosiderar úceos a vaores matriciais com etradas compexas. Neste caso, uma pequea simpificação poderia ser feita as defiições acima e todo o materia a ser desevovido o trabaho cotiuaria váido a meos de pequeas aterações. A teoria dos úceos positivos defiidos usuais ( = 1) pode ser ecotrada em [5], mas ão cohecemos ehuma referêcia específica de citação que coteha um texto sistematizado

18 SUMÁRIO de boa quaidade sobre úceos positivos defiidos em gera. No caso em que X é um espaço métrico, a cotiuidade do úceo é costumeiramete assumida, ago que também faremos este trabaho. Por outro ado, por razões de apicabiidade, também assume-se este caso que o úceo é isotrópico, ou seja, as variáveis estão amarradas expicitamete através da métrica do espaço. Em outras paavras, se d é a métrica de X e F é o úceo, etão exigimos que F(x,y)= f (d(x,y)), x,y 2 X, para aguma fução f cotíua em {d(x,y) : x,y 2 X} a vaores em M (R). Os resutados mais reevates sobre úceos positivos defiidos usuais o cotexto métrico foram obtidos por Schoeberg o iício do sécuo passado. No caso estrito, os resutados mais iteressates surgiram recetemete, icusive em situações ode o espaço é compacto 2-homogêeo. Uma sítese de todos estes resutados pode ser ecotrada em [13, 21, 42]. Em Estatística, os úceos positivos defiidos a vaores matriciais sobre um espaço 2-homogêeo são fuções de covariâcia em várias variáveis atreadas a campos radômicos especiais sobre os espaços. O caso esférico é o mais reevate, uma vez que a esfera usua 3-dimesioa modea aturamete a superfície terrestre em vários probemas da Geo-estatística. Por outro ado, a positividade defiida estrita de úceos como os aqui cosiderados garate que determiados procedimetos de iterpoação, reacioados a dados dispersos em potos arbitrários o espaço utiizado, sejam resovidos de forma úica. O artigo [19] discute fuções de covariâcia em várias variáveis, equato que os textos [32, 33] apresetam um tratameto modero para a teoria de campos radômicos sobre esferas e outros espaços. No âmbito da Estatística, a caracterização dos úceos cotíuos, isotrópicos e positivos defiidos em esferas é geramete atribuída a E. J. Haa ([24]) ou a A. M. Yagom ([44]), os quais supostamete geeraizaram o caso usua demostrado por Schoeberg em 1942. Estas caracterizações formam o aicerce sobre o qua muitos outros trabahos recetes e reevates detro do mesmo tema foram embasados. Citamos, em particuar, os trabahos de C. Ma ([29, 30, 31, 41]) ode agumas questões bem simpes sobre positividade defiida estrita o cotexto esférico são resovidas. Outras questões ão resovidas detro deste tema ou reacioadas a ee podem ser ecotradas em [21, 37]. No caso usua, os úceos cotíuos, isotrópicos e estritamete positivos defiidos em espaços 2-homogêeos foram devidamete caracterizados em [3, 12, 34, 35]. No etato, excetuado-se o caso usua, ão há quaisquer registros sobre caracterizações semehates o caso matricia, fato este que motivou parte deste trabaho. As pricipais cotribuições deste trabaho são: (i) Apresetamos uma caracterização para os úceos cotíuos, isotrópicos e positivos defiidos sobre um espaço compacto 2-homogêeo, compemetado assim as caracterizações já existetes para os casos esféricos. Nossa demostração vae para todos os espaços 2-homogêeos e ão carrega quaquer iguagem de Estatística.

SUMÁRIO 19 (ii) No caso em que o espaço compacto 2-homogêeo ão é uma esfera, apresetamos uma caracterização para os úceos cotíuos, isotrópicos e estritamete positivos defiidos. (iii) No caso usua = 1, exibimos codições ecessárias e suficietes sobre dois úceos cotíuous, isotrópicos e positivos defiidos sobre um mesmo espaço compacto 2-homogêeo de modo que o produto dees seja estritamete positivo defiido. Aém disso, o trabaho aida cotém vários resutados parciais reevates detro do mesmo tema, os quais serão efatizados o mometo oportuo. O trabaho prossegue da seguite forma. No Capítuo 1, itroduzimos os coceitos ecessários para o desevovimeto dos demais capítuos. Pea mesma razão e, para a coveiêcia do eitor, apresetamos também agus resutados previamete provados em fotes variadas. No Capítuo 2, apresetaremos o descrito em (i) e (ii). Este capítuo se competa com agus resutados parciais e aida, uma caracterização adicioa para os úceos cotíuos, isotrópicos e estritamete positivos defiidos sobre um espaço compacto 2-homogêeo, que ão uma esfera, o caso específico = 2. Fiamete, iiciamos o Capítuo 3 com a aáise do probema (iii) o caso do círcuo S 1 para depois cosiderar o mesmo probema para os demais espaços compactos 2-homogêeos. Na útima seção do capítuo, fazemos uma breve discussão sobre úceos positivos defiidos sobre o produto cartesiao de um grupo ocamete compacto e uma esfera e, em seguida, resovemos uma extesão do probema em (iii). Os resutados do Capítuo 2 estão pubicados em [6], equato que os resutados do Capítuo 3 fazem parte do preprit [7], o qua já foi submetido para pubicação.

21 CAPÍTULO 1 PRELIMINARES Apresetamos este capítuo, de maeira objetiva, agus resutados básicos que serão utiizados o desevovimeto do trabaho. Iiciamete, defiimos os espaços compactos 2-homogêeos e expomos agumas de suas propriedades. Na sequêcia recapituamos as caracterizações para os úceos cotíuos, isotrópicos, positivos defiidos e estritamete positivos defiidos sobre os espaços 2-homogêeos. Fiaizamos o capítuo com uma discussão bem sucita sobre a Fórmua de Liearização e a Fórmua de Adição para os poiômios de Jacobi. 1.1 Espaços compactos 2-homogêeos Seja M uma variedade Riemaiaa e deote por xy a distâcia Riemaiaa etre x e y. Se para quaisquer dois pares de potos (p 1, p 2 ) e (q 1,q 2 ) em M, com p 1 p 2 = q 1 q 2, existe uma isometria j : M! M que eva p 1 em q 1 e p 2 em q 2, ou seja, j(p 1 )=q 1 e j(p 2 )=q 2, dizemos que M é um espaço 2-homogêeo. Esses espaços são também cohecidos como espaços simétricos de posto um ([25]). Os espaços compactos 2-homogêeos foram cassificados por Wag ([40]). Ee demostrou que esses espaços pertecem a uma das seguites categorias: 1. Esfera uitária S d, d=1, 2,... ; 2. Espaço projetivo rea P d (R), d= 2, 3,... ; 3. Espaço projetivo compexo P d (C), d= 4, 6,... ; 4. Espaço projetivo quateriôico P d (H), d= 8, 12,... ; 5. Espaço projetivo de Cayey P d (Cay), d=16. Aqui, d deota a dimesão das respectivas variedades. Vamos deotar um espaço compacto 2-homogêeo de dimesão d peo símboo M d, para efatizar a dimesão.

22 Capítuo 1. Preimiares Um fato iteressate sobre esses espaços é que suas geometrias são bastate semehates. Em particuar, todas as geodésicas dos espaços compactos 2-homogêos são curvas fechadas e tem o mesmo comprimeto, a saber, duas vezes o diâmetro do espaço. Neste trabaho, ormaizaremos a distâcia Riemaiaa destes espaços de modo que o diâmetro de cada um dees seja 2p. Vae observar que, quado M d = S d, vae a fórmua cos( xy /2)=x y, x,y 2 M d, ode é o produto itero usua em R d+1. Uma propriedade particuar dos espaços compactos 2-homogêeos é que agus dees podem ser merguhados isometricamete em outros. Defiição 1.1.1. Sejam (M 1,d 1 ) e (M 2,d 2 ) espaços métricos. Um merguho isométrico de M 1 em M 2 é uma fução j : M 1! M 2 ta que d 2 (j(x),j(y)) = d 1 (x,y), x,y 2 M 1. p.66]). O seguite resutado descreve um destes merguhos, o qua será utiizado à frete ([1, Lema 1.1.2. Se d 2, etão existe um merguho isométrico de S 1 em M d. Vae ressatar que o ema acima eva em cosideração a ormaização que adotamos para os espaços M d. Outro coceito que também será importate é o de variedade atipoda. Aqui, também temos que evar em cota a ormaização previamete adotada. Defiição 1.1.3. A variedade atipoda de um poto x 2 M d é o cojuto V x := {y 2 M d : xy = 2p}. Cabe observar que o caso M d = S d, a variedade atipoda V x é o cojuto uitário { Nos demais casos, ea é uma sub-variedade ão trivia, ogo um cojuto ifiito. x}. 1.2 Núceos positivos defiidos sobre espaços compactos 2-homogêeos Nesta seção, cosideramos tão somete úceos sobre M d que são usuais, ou seja, o caso em que = 1. Uma parte deste trabaho depede fortemete das caracterizações para os úceos cotíuos, isotrópicos e positivos defiidos usuais sobre um espaço compacto 2-homogêeo. No

1.2. Núceos positivos defiidos sobre espaços compactos 2-homogêeos 23 caso esférico, ta caracterização foi obtida por I. J. Schoeberg ([38]) e os demais espaços, eas seguem de um teorema de R. Gagoi ([16]). Reembramos que a isotropia de um úceo F : M d M d! R correspode à existêcia de uma fução F d r : [ 1,1]! R de modo que F(x,y)=F d r (cos( xy /2)), x,y 2 M d. Chamaremos F d r de parte isotrópica (ou radia) de F. Teorema 1.2.1. Seja F : M d M d! R um úceo cotíuo e isotrópico. Ee é positivo defiido se, e somete se, sua parte isotrópica Fr d possui uma represetação em série a forma ode a d,b 2 [0,), 2 Z +, P ((d 2)/2,b) e =0 ad,b Fr d (t)= a d,b =0 ((d 2)/2,b) ((d 2)/2,b) P ((d 2)/2,b) P (t), t 2 [ 1,1], (1.1) é o poiômio de Jacobi de grau associado ao par (1) <. O ídice b assume os vaores (d 2)/2, 1/2,0,1 ou 3 depededo, respectivamete, da categoria à qua M d pertece, de acordo com a cassificação de Wag. P ((d Como o teorema de represetação acima baseia-se fortemete os poiômios de Jacobi 2)/2,b), aproveitamos para revisar brevemete agumas de suas propriedades. Lembramos que, quase todas eas, vaem ão somete para poiômios de Jacobi associados aos pares ((d 2)/2,b), como para aquees associados a um par geérico (a,b) como cosiderado em [39]. Ees formam uma famíia ortogoa o itervao [ 1,1], isto é, ode Z 1 P ((d 1 2)/2,b) ((d 2)/2,b) (t)p (t)(1 t) (d 2)/2 (1 +t) b dt = d, h d,b h d,b = 2b+d/2 2 + b + d/2 Aqui G idica a fução gama usua. ([2, 39]). G( + d/2)g( + b + 1) G( + 1)G( + b + d/2), 2 Z +. No ema abaixo, registramos agumas propriedades específicas dos poiômios de Jacobi Lema 1.2.2. Vaem as seguites propriedades: (i) P ((d 2)/2,b) ( t)=( 1) (b,(d 2)/2) P (t),t2[ 1,1]; (ii) im! P ((d 2)/2,b) ((d 2)/2,b) (t)[p (1)] 1 = 0,t2 ( 1,1); (b,(d 2)/2) ((d 2)/2,b) (iii) Se d > 2b + 2, etão im! P (1)[P (1)] 1 = 0; (iv) P ((d 2)/2,b) ((d 2)/2,b) (1)= máx {P (t) : t 2 [ 1,1]}., Quado b =(d de Gegebauer C (d 1)/2 : 2)/2, os poiômios de Jacobi são mútipos positivos dos poiômios P ((d 2)/2,(d 2)/2) (d 1)/2 (t)= (d/2) C (d 1) (t), t 2 [ 1,1], = 0,1,...

24 Capítuo 1. Preimiares Neste caso particuar, os poiômios de Jacobi de grau par são fuções pares, equato que aquees de grau ímpar são fuções ímpares. No caso estrito, temos o resutado abaixo ([3, 12, 34, 35]). Observamos que o caso ão esférico o resutado é muito recete. Teorema 1.2.3. Seja F : M d M d! R um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido. Cosidere a represetação dee coforme o Teorema 1.2.1. Etão F é estritamete positivo defiido se, e somete se, as seguites codições vaem: (i) M d = S 1 : o cojuto { : a 1,b > 0} itersecta toda progressão aritmética de Z. (ii) M d = S d,d 2: o cojuto { : a d,b > 0} cotém ifiitos pares e ifiitos ímpares. (iii) Demais casos: o cojuto { : a d,b > 0} cotém ifiitos iteiros. Em particuar, este resutado ratifica que a positividade defiida estrita de um úceo positivo defiido usua sobre M d, ão depede dos vaores assumidos peos escaares a d,b a represetação em série da parte isotrópica do úceo, e sim do cojuto dos ídices para os quais os coeficietes são positivos. de Jacobi. Cocuímos a seção apresetado duas fórmuas importates que evovem os poiômios Em 1962, Hyeraas ([27]) foreceu uma reação para o produto de poiômios de Jacobi P (a,b) P (a,b) + = b a,b, (m)p m (a,b), (1.2) m= ode b a,b, (m) 2 R e a,b > 1. Um pouco mais tarde, Gasper ([17, 18]) utiizou as iformações evatadas por Hyeraas para deduzir o seguite resutado. Lema 1.2.4. Se a b > 1 e (a + b + 1)(a + b + 4) 2 (a + b + 6) (a b) 2 [(a + b + 1) 2 7(a + b + 1) 24], etão os coeficietes b a,b, (m) a reação aterior são todos ão egativos. Aém disso, o coeficiete b a,b, ( + ) é, de fato, positivo. Não é difíci ver que a ão egatividade dos coeficietes está garatida o caso em que a b > 1 e a + b 1. Em particuar, isso também é verdade os casos a =(d 2)/2 > 0 e b =(d 2)/2, 1/2,0,1,3, registrados o Teorema 1.2.1. Em outras paavras, para os espaços que estamos cosiderado este trabaho, a casse de fuções que possui uma represetação como o Teorema 1.2.1 é um semigrupo sob mutipicação potua. No caso dos poiômios de Gegebauer, a fórmua de Liearização foi obtida em [11]: C a ^ (t)ca (t)= b a, (µ)ca + 2µ (t), t 2 [ 1,1], (1.3) µ=0

1.2. Núceos positivos defiidos sobre espaços compactos 2-homogêeos 25 ode b a + + a 2µ (a) µ (a) µ (a) µ (2a) + µ ( + 2µ)!, (µ)=. + + a µ µ!( µ)!( µ)!(a) + µ (2a) + 2µ Aqui ^ deota o míimo etre e, ( ) r é o símboo de Pochhammer. Obviamete, todos os coeficietes b a, (µ) são ão egativos. Em um dos casos que estamos iteressados este trabaho, o resutado abaixo é váido. Lema 1.2.5. Para a =(d µ = 1,2,..., ^. 1)/2,d= 2,3,..., os coeficietes b a,b, (µ) são positivos, Demostração. Como a 1/2 > 0, todos os símboos de Pochhammer que aparecem o umerador da expressão que defie b a, (µ) são ão uos, idepedete dos vaores de, e µ. O fatoria ( + 2µ)! também é sempre positivo. Fiamete, como µ appe e µ appe, temos + + a 2µ =( µ)+( µ)+a a 1/2 > 0, µ = 0,1,..., ^. Portato, b a, (µ) > 0, para todo µ = 0,1,...,^. Os espaços compactos 2-homogêeos admitem um operador D d de seguda ordem e ivariate, chamado de operador de Lapace-Betrami. Este operador tem espectro discreto, rea e ão positivo. Ordeado os eemetos deste espectro a forma 0 = z 0 > z 1 > z 2 >..., e defiido H d como sedo o autoespaço de D d correspodete ao autovaor z, os espaços H d são mutuamete ortogoais em L 2 (M d,s d ), ode s d é a medida ormaizada de Riema sobre M d. Assim, se a dimesão de H d é deotada por d(,d), podemos tomar uma base ortoorma {S,1 d,sd,2,...,sd,d(,d) } para ta espaço, com respeito ao produto itero de L2 (M d,s d ). Um resutado de E. Gié ([20]) garate a Fórmua de Adição: P ((d 2)/2,b) (cos( xy /2)) = 1 c d,b d(,d) S,a d (x)sd,a (y), x,y 2 Md. a=1 Aqui, c d,b é uma costate positiva que depede de, d e b. Os eemetos da base S,a d são comumete chamados de harmôicos esféricos. Mais iformações sobre a Fórmua de Adição, sua apicabiidade e sobre a aáise harmôica em gera atreada aos espaços M d podem ser ecotradas em [8, 9, 28, 36] e as referêcias á citadas.

27 CAPÍTULO 2 NÚCLEOS ESTRITAMENTE POSITIVOS DEFINIDOS SOBRE ESPAÇOS 2-HOMOGÊNEOS Neste capítuo apresetamos iiciamete uma caracterização para úceos cotíuos, isotrópicos e positivos defiidos sobre M d. Lembramos que o caso usua já havia sido expicitado por Schoeberg e Gagoi ([38, 16]), equato que o caso matricia para superfícies esféricas já foi descrito em [24, 44], o âmbito da Estatística. Nossa demostração é uiversa, o setido de que vae para todos os espaços compactos 2-homogêeos e ão carrega quaquer iguagem estatística em sua comprovação. No restate do capítuo, apresetamos a cotribuição mais reevate da tese, ou seja, uma caracterização para os úceos cotíuos, isotrópicos e estritamete positivos defiidos sobre M d, o caso em que M d ão é uma esfera. Neste mesmo cotexto, mas com a restrição = 2, apresetamos uma caraterização adicioa para a positividade defiida estrita, via os dois eemetos diagoais a represetação matricia do úceo. O capítuo descreve aida vários resutados parciais detro do mesmo tema, mas sem quaquer restrição sobre. 2.1 Positividade defiida Como já descrito a Itrodução, a positividade defiida de um úceo F =[f µ ] µ,=1 : M d M d! M (R) demada que f µ (x,y)= f µ (y,x)= f µ (y,x), µ, = 1,2,...,, x,y 2 M d, e que, para cada iteiro positivo e quaquer escoha de potos distitos x 1,x 2,...,x em M d, a matriz [F(x i,x j )] i, j=1, de ordem, é defiida ão egativa. A positividade defiida estrita exige, por sua vez, que as matrizes da frase aterior, ou seja, as matrizes [F(x i,x j )] i, j=1, sejam positivas defiidas. A isotropia de tais úceos correspode à isotropia de cada uma de suas

28 Capítuo 2. Núceos estritamete positivos defiidos sobre espaços 2-homogêeos fuções coordeadas f µ, equato que a cotiuidade de um úceo como acima demada a cotiuidade de cada uma das fuções coordeadas f µ. Reiteramos que estamos adotado a distâcia Riemaiaa (geodésica) usua em M d ormaizada, de modo que o diâmetro de cada espaço M d seja 2p. Um exempo particuar de úceos positivos defiidos é forecido pea proposição abaixo. O eitor ão deve se esquecer que o ídice superior b, que aparece o poiômio de Jacobi, varia de acordo com a cassificação dos espaços compactos 2-homogêeos de Wag. Proposição 2.1.1. Seja um iteiro ão egativo fixado. Se A é uma matriz simétrica e defiida ão egativa de M (R), etão F(x,y)=AP ((d 2)/2,b) (cos( xy /2)), x,y 2 M d, é um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido em M d. Demostração. Sejam A =[A µ ] 2 M (R) e um iteiro positivo. Cosidere aida vetores B 1,B 2,...,B em R e potos distitos x 1,x 2,...,x de M d. Etão B t if(x i,x j )B j = i, j=1 = i, j=1 B t iap ((d i, j=1 µ,=1 Itroduzido a Fórmua da Adição vem que i, j=1 B t if(x i,x j )B j = 1 c d,b d(,d) a=1 2)/2,b) (cos( x i x j /2))B j B µ i B j A µ P ((d 2)/2,b) (cos( x i x j /2)). µ,=1 i=1 B µ i Sd,a (x i) B j S,a d (x j)a µ. j=1 Como a matriz A é defiida ão egativa e o escaar c d,b é positivo, cocuímos que B t if(x i,x j )B j 0. i, j=1 Isso demostra a positividade defiida de F. No ema técico abaixo apresetamos agumas propriedades potuais dos úceos positivos defiidos. Lema 2.1.2. Seja F =[f µ ] µ,=1 um úceo positivo defiido sobre Md. Vaem as seguites afirmações: (i) Se B é um vetor de R, etão a fórmua B t FB(x,y)=B t F(x,y)B, x,y 2 M d, defie um úceo B t FB positivo defiido em M d. (ii) Cada eemeto diagoa f µµ é um úceo positivo defiido usua sobre M d. (iii) Se F é um úceo cotíuo, isotrópico e estritamete positivo defiido, etão cada eemeto da diagoa f µµ é cotíuo, isotrópico e estritamete positivo defiido.

2.1. Positividade defiida 29 Demostração. A parte (i) segue diretamete da defiição de positividade defiida. Ea vae até em cotextos mais gerais do que o cosiderado aqui (veja por exempo, [10, 43]). Os ites (ii) e (iii) são cosequêcias de (i) e de ossas defiições. O pricipa teorema desta seção tem euciado como a seguir. Teorema 2.1.3. Seja F : M d M d! M (R) um úceo cotíuo e isotrópico. Etão, F é positivo defiido se, e somete se, ee tem uma represetação a forma F(x,y)= =0 A P ((d 2)/2,b) (cos( xy /2)), x,y 2 M d, ode cada A =[A µ ] é uma matriz (simétrica) defiida ão egativa de M (R) e A µ =0 ((d 2)/2,b) P Demostração. Podemos escrever F a forma (1) <, µ, = 1,2,...,. F(x,y)=[f µ (cos( xy /2))], x,y 2 M d, µ, = 1,2,...,. Observe que estamos pesado em f µ como a parte isotrópica da fução coordeada µ. Devido ao Lema 2.1.2-(ii), cada eemeto f µµ é parte isotrópica de um úceo positivo defiido usua sobre M d. Logo, usado a caracterização de Gagoi temos que f µµ (t)= a d,b ((d 2)/2,b) (µµ)p (t), t 2 [ 1,1], µ = 1,2,...,, =0 ((d 2)/2,b) ode a d,b (µµ) 0 e =0 ad,b (µµ)p (1) <. Aaisemos agora o caso em que µ 6=. Usado vetores coveietes de R, o Lema 2.1.2-(i) revea que f µµ + f + f µ + f µ e f µµ + f f µ f µ são partes isotrópicas de úceos positivos defiidos usuais sobre M d. Logo, ovamete peo resutado de Gagoi, podemos escrever f µµ + f ± 2 f µ = f µµ + f ± f µ ± f µ = a d,b,± (µ)p((d =0 2)/2,b), ode a d,b,± (µ) 0e =0 ad,b,± (µ)p((d 2)/2,b) (1) <. Como f µ = 1 4 [ f µµ + f + 2 f µ ( f µµ + f 2 f µ )], temos que ode f µ (t)= a d,b ((d 2)/2,b) (µ)p (t), t 2 [ 1,1], =0 a d,b (µ)= 1 4 (ad,b,+ (µ) ad,b, (µ))

30 Capítuo 2. Núceos estritamete positivos defiidos sobre espaços 2-homogêeos ((d 2)/2,b) e =0 ad,b (µ)p (1) <. Itroduzido as iformações obtidas acima, a matriz que defie F, obtemos a represetação matricia F(x,y)= =0 A P ((d 2)/2,b) (cos( xy /2)), x,y 2 M d, ode A =[a d,b (µ)]. A simetria de A é óbvia, equato que a covergêcia citada o euciado do teorema segue caramete do que desevovemos acima. Para competar a demostração da primeira parte é suficiete demostrar que cada matriz A é defiida ão egativa. Para tato, demostraremos que para quaisquer úmeros reais c 1,c 2,...,c fixados, o úceo usua G(x,y) := =0 µ,=1 c µ c a d,b (µ)! P ((d 2)/2,b) (cos( xy /2)), x,y 2 M d, é positivo defiido, uma vez que a caracterização de Gagoi os dá de imediato que c µ c a d,b (µ) 0, µ,=1 ou seja, A é defiida ão egativa. Sejam etão x 1,x 2,...,x potos distitos em M d e b 1,b 2,...,b úmeros reais. Temos que b i b j G(x i,x j ) = i, j=1 = i, j=1b i b j =0 i, j=1 b i b j " µ,=1 µ,=1c µ c =0 c µ c a d,b (µ) a d,b! P ((d 2)/2,b) (cos( x i x j /2)) ((d 2)/2,b) (µ)p (cos( x i x j /2)) #, isto é, b i b j G(x i,x j ) = i, j=1 = i, j=1 b i b j " µ,=1 b i b j C t F(x i,x j )C i, j=1 c µ c f µ (cos( x i x j /2)) # ode C =(c 1,c 2,...,c ) 2 R. Como o Lema 2.1.2-(i) garate que o úceo usua C t FC é positivo defiido, a útima soma que deduzimos é ão egativa. Portato, G é positivo defiido. Reciprocamete, observe que pea Proposição 2.1.1, úceos matriciais da forma (x,y) 2 M d M d! AP ((d 2)/2,b) (cos( xy /2)), ode A 2 M (R) é defiida ão egativa, são cotíuos, isotrópicos e positivos defiidos sobre M d. Como a famíia dos úceos positivos defiidos é fechada por somas fiitas e imites potuais, a parte suficiete do teorema segue.

2.2. Positividade defiida estrita: codições suficietes 31 Como o caso usua, a critério do eitor, a fução matricia F d r (t)= =0 A P ((d 2)/2,b) (t), t 2 [ 1,1], oriuda da represetação descrita o teorema aterior, pode ser chamada de parte isotrópica de F. Várias observações merecem ser registradas este mometo. No caso esférico, o Teorema 2.1.3 recupera a caracterização de Haa e Yagom, uma vez que este caso particuar, os poiômios de Jacobi toram-se poiômios de Gegebauer. Assim sedo, este teorema compemeta e estede os resutados de Haa e Yagom. O que aida ão existe e carece de ivestigação, é a costrução efetiva de úceos que se ecaixam a represetação do teorema. Há de se observar que, o caso usua, tais cotruções já existem. Por exempo, se f é a restrição a [0,p] de uma fução cotíua em [0,), que é competamete moótoa em (0,), etão a fórmua F(x,y)= f ( xy /2), x,y 2 S d defie um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido usua sobre S d ([21]). Esse fato é um caso particuar de um teorema mais gera provado em [34]. Fiamete, é importate mecioar que se um espaço compacto 2-homogêeo está isometricamete merguhado em um segudo, etão quaquer úceo positivo defiido sobre o segudo espaço será positivo defiido sobre o primeiro. A versão esférica desta propriedade o cotexto usua foi origiamete observada por Schoeberg e recetemete exporada em [21]. 2.2 Positividade defiida estrita: codições suficietes Esta seção cotém resutados gerais sobre a positividade defiida estrita de úceos positivos defiidos sobre M d. Etre ees, apresetamos uma formuação aterativa para ta coceito e agumas codições suficietes para a positividade defiida estrita obtidas com a ajuda da aáise matricia. Os resutados que serão apresetados aqui ão carregam ehuma restrição sobre o espaço M d. Começamos reembrado um formuação aterativa para a positividade defiida estrita o setido usua. Uma demostração pode ser ecotrada em [2]. Lema 2.2.1. Seja F : M d M d! R um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido. Cosidere a represetação em série para F descrita o Teorema 1.2.1 e defia As seguites afirmações são equivaetes: (i) F é estritamete positivo defiido. J 1 F = { : a d,b > 0}.

32 Capítuo 2. Núceos estritamete positivos defiidos sobre espaços 2-homogêeos (ii) Se é um iteiro positivo e x 1,x 2,...,x são potos distitos de M d, etão o sistema i=1 c i P ((d 2)/2,b) (cos( x i x /2)) = 0, 2 JF, 1 x 2 M d, tem uma úica soução, isto é, c 1 = c 2 = = c = 0. O segudo ema descreve o fato de que uma matriz defiida ão egativa pode ser vista como uma matriz de Gram ([26, Capítuo 7]). Lema 2.2.2. Uma matriz A em M (R) é defiida ão egativa de posto r se, e somete se, existe um cojuto {a 1,a 2,...,a } de vetores de R, cotedo um subcojuto iearmete idepedete com r vetores, tais que a etrada µ de A é a µ a, ode é o produto itero usua de R. Se A 2 M (R) tem uma represetação de Gram, como descrita o ema acima, etão o cojuto ordeado {a 1,a 2,...,a } será chamado um cojuto de Gram para A. Escreveremos A > 0 para idicar que a matriz (simétrica) A de M (R) é positiva defiida. O ema aterior é a chave para demostrarmos o resutado técico seguite. Lema 2.2.3. Sejam A uma matriz (simétrica) defiida ão egativa de M (R), x 1,x 2,...,x potos distitos de M d e B 1,B 2,...,B vetores em R. Supoha que {a 1,a 2,...,a } é um cojuto Gram de A. Se é um iteiro ão egativo e etão i, j=1 µ,=1 µ=1" i=1 B µ i P((d Em particuar, se A > 0, tem-se B µ i P((d i=1 2)/2,b) B µ i B j A µ P ((d 2)/2,b) (cos( x i x j /2)) = 0, 2)/2,b) (cos( x i x /2)) # a µ = 0, x 2 M d. (cos( x i x /2)) = 0, µ = 1,2,...,, x 2 M d. Demostração. Itroduzido a represetação de Gram de A a primeira iguadade do euciado do teorema e usado a Fórmua da Adição, obtemos ou seja, 0 = i, j=1 µ,=1 = 1 c d,b d(,d) a=1 d(,d) a=1 B µ i B j (a µ a )P ((d 2)/2,b) (cos( x i x j /2)) i, j=1 µ,=1 B µ i B j (a µ a )S d,a (x i)s d,a (x j), 2 B µ=1" µ i Sd,a (x i) #a µ = 0, i=1

2.2. Positividade defiida estrita: codições suficietes 33 ode é a orma usua em C. Logo, # B µ=1" µ i Sd,a (x i) i=1 a µ = 0, a = 1,2,...,d(,d). Fixado x 2 M d, mutipicado a equação acima por S,a d (x), a = 1,2,...,d(,d), e usado ovamete a Fórmua da Adição, cocuímos que µ=1" i=1 B µ i P((d 2)/2,b) (cos( x i x )/2)) # a µ = 0, x 2 M d. Se A é positiva defiida, etão o cojuto {a µ : µ = 1,2,...,} é iearmete idepedete. Portato, a útima afirmação do ema também vae. A seguir, utiizamos o ema aterior e outras ferrametas matriciais para descrever codições suficietes para a positividade defiida estrita de úceos cotíuos e isotrópicos sobre M d. O primeiro resutado desta atureza tem sua motivação em caracterização simiar para úceos positivos defiidos usuais, evado-se em cota a preseça de matrizes positivas defiidas a represetação em série do úceo, coforme descrição o Teorema 2.1.3. Teorema 2.2.4. Seja F : M d M d! M (R) um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido. Cosidere a represetação de F coforme o Teorema 2.1.3. Para que F seja estritamete positivo defiido é suficiete que: (i) M d = S 1 : o cojuto { : A > 0} itersecta toda progressão aritmética em Z. (ii) M d = S d,d 2: o cojuto { : A > 0} coteha ifiitos pares e ifiitos ímpares. (iii) Demais casos: o cojuto { : A > 0} coteha ifiitos iteiros. Demostração. Sejam x 1,x 2,...,x potos distitos de M d e B 1,B 2,...,B vetores em R. Vamos demostrar que a codição B t if(x i,x j )B j = 0 i, j=1 impica em B i = 0, para todo i. Segue da equação aterior que µ,=1 i, j=1 B µ i B j A µ ((d 2)/2,b) P (cos( x i x j /2)) = 0, 2 J F, ode J F = { : A 6= 0}. Devido ao Lema 2.2.3, podemos cocuir que B µ i P((d i=1 2)/2,b) (cos( x i x /2)) = 0, (2.1) para µ = 1,2,...,, x 2 M d e 2 { : A > 0}. Sabemos que, se a matriz A é positiva defiida, etão todos os eemetos da diagoa pricipa A µµ são maiores que zero. Defia o úceo f : M d M d! R pea fórmua f (x,y)= a d,b =0 ((d 2)/2,b) P (cos( xy /2)),

34 Capítuo 2. Núceos estritamete positivos defiidos sobre espaços 2-homogêeos ode a d,b = A 11, se A é positiva defiida e a d,b = 0, caso cotrário. A fução f está bem defiida e J 1 f = { : A > 0}. Levado-se em cota a hipótese em cada um dos ites (i), (ii) e (iii), bem como o Teorema 1.2.3, temos que f é um úceo estritamete positivo defiido sobre M d. Como a iguadade (2.1) vae para todo 2 J 1 f, cocuímos via o Lema 2.2.1, que B 1 i = B 2 i = = B i = 0, i = 1,...,, o que fiaiza a demostração. Abaixo escrevemos A ão egativa e A 0 para idicar que A 0 para idicar que uma matriz (simétrica) A de M (R) é defiida 0, mas A ão é positiva defiida. Se A 2 M (R) e I é um subcojuto próprio ordeado de {1,2,...,}, escrevemos A(I) para deotar a submatriz pricipa de A, defiida peas ihas e couas idexadas peos eemetos do compemetar do cojuto I. Teorema 2.2.5. Seja F : M d M d! M (R) um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido e cosidere a represetação de F coforme o Teorema 2.1.3. Seja I um subcojuto próprio de {1,2,...,}. Para que F seja estritamete positivo defiido é suficiete que: (i) M d = S 1 : os cojutos { : A (I) > 0} e { : A 0;A µµ > 0;A µ = A = 0, µ 6= }, µ 62 I, itersectem toda progressão aritmética em Z. (ii) M d = S d, d 2: os cojutos { : A (I) > 0} e { : A 0;A µµ > 0;A µ = A = 0, µ 6= }, µ 62 I, coteham ifiitos pares e ifiitos ímpares. (iii) Demais casos: os cojutos { : A (I) > 0} e { : A 0;A µµ > 0;A µ = A = 0, µ 6= }, µ 62 I, coteham ifiitos iteiros. Demostração. Vamos demostrar primeiramete os ites (ii) e (iii). Sejam x 1,x 2,...,x potos distitos de M d e B 1,B 2,...,B vetores em R tais que O Lema 2.2.3 justifica a equação chave abaixo µ=1" i=1 B µ i P((d 2)/2,b) B t if(x i,x j )B j = 0. i, j=1 (cos( x i x /2)) # a µ = 0, x 2 M d, 2 J F, ode {a 1,a2,...,a } é um cojuto de Gram para A. Se é um ídice pertecete ao cojuto { : A (I) > 0} e { : A 0;A µµ > 0;A µ = A = 0, µ 6= }, para agum µ 62 I, temos que a µ 6= 0ea = 0, sempre que 6= µ. Em particuar, a equação chave pode ser reduzida a B µ i P((d i=1 2)/2,b) (cos( x i x /2)) = 0, x 2 M d, µ 62 I e 2 { : A (I) > 0} \ { : A 0;A µµ > 0;A µ = A = 0, µ 6= }. Cosiderado as hipóteses em cada item, (ii) e (iii), e procededo como a demostração do teorema aterior, cocuímos que B µ i = 0, i = 1,2,...,, µ 62 I.

2.3. Positividade defiida estrita: codições ecessárias 35 Logo, a equação chave pode ser reescrita a forma # µ2i " i=1 B µ i P((d 2)/2,b) (cos( x i x /2)) a µ = 0, x 2 M d, 2 J F. Se é um ídice ta que A (I) > 0 etão o cojuto {a µ Daí, cocuímos que : µ 2 I} é iearmete idepedete. B µ i P((d i=1 2)/2,b) (cos( x i x /2)=0, x 2 M d, 2 S, µ 2 I. Usado ovamete o raciocíio empregado a demostração do Teorema 2.2.4, vem que B µ i = 0, i = 1,2,...,, µ 2 I. Portato, B i = 0, i = 1,2,...,. A demostração do item (i) segue de forma aáoga ao que foi feito acima. Para competar esta seção, euciamos a seguir um caso degeerado do teorema aterior. Sua demostração é feita de forma aáoga ao que foi feito acima e por isso será omitida. Teorema 2.2.6. Seja F : M d M d! M (R) um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido e cosidere a represetação de F coforme o Teorema 2.1.3. Para que F seja estritamete positivo defiido é suficiete que: (i) M d = S 1 : os cojutos { : A 0;A µµ > 0;A µ = A = 0, µ 6= }, µ = 1,2,...,, itersectem toda progressão aritmética em Z. (ii) M d = S d, d 2: os cojutos { : A 0;A µµ > 0;A µ = A = 0, µ 6= }, µ = 1,2,...,, coteham ifiitos iteiros pares e ifiitos iteiros ímpares. (iii) Demais casos: os cojutos { : A 0;A µµ > 0;A µ = A = 0, µ 6= }, µ = 1,2,...,, coteham ifiitos iteiros. 2.3 Positividade defiida estrita: codições ecessárias Segudo o Teorema 2.1.3, a parte isotrópica F d r de um úceo cotíuo e positivo defiido F sobre M d possui a represetação: F d r (t)= =0 A P ((d 2)/2,b) (t), t 2 [ 1,1] ode b está de acordo com a cassificação de Wag, cada A =[A µ ] é uma matriz simétrica e defiida ão egativa de M (R) e A µ =0 ((d 2)/2,b) P (1) <, µ, = 1,2,...,.

36 Capítuo 2. Núceos estritamete positivos defiidos sobre espaços 2-homogêeos Nesta seção, apresetamos uma codição ecessária sobre o cojuto JF, de modo que o úceo seja estritamete positivo defiido. Isto por si só, já permite uma comparação com os resutados da seção aterior e também os dá uma idéia de quão oge estamos de uma codição que seja ecessária e suficiete, para garatir a positividade defiida estrita do úceo. Os resutados desta seção se baseiam fortemete em resutados simiares obtidos em [34] para úceos cotíuous, isotrópicos e positivos defiidos usuais sobre esferas. A idéia é combiar a defiição de positividade defiida, estimativas para o posto de matrizes e merguhos isométricos. Começamos com uma proposição que vae para todos os espaços compactos 2-homogêeos. Proposição 2.3.1. Seja F : M d M d! M (R) um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido. Cosidere a represetação de F coforme o Teorema 2.1.3. Para que F seja estritamete positivo defiido é ecessário que JF seja ifiito. Demostração. Supodo que JF seja fiito, digamos de cardiaidade N, demostraremos que se > 2( N + 2J 2 +1 ), etão é possíve escoher potos distitos x 1,x 2,...,x em M d f de modo que a matrix [F(x i,x j )] i, j=1 seja ão siguar. Cosidere um merguho isométrico f : S 1! M d como garatido o Lema 1.1.2. Tome potos distitos x 1,x 2,...,x em M d, de modo que os potos {f 1 (x i ) : i = 1,2,...,} sejam iguamete espaçados em S 1. Fazedo trocas coveietes de ihas e couas, podemos reescrever a matriz [F(x i,x j )] i, j=1, de modo que, para cada µ, 2 {1,2,...,}, o boco µ da ova matriz é da forma " A µ =0 ((d 2)/2,b) P (cos( x i x j /2)) Observe que o posto dessa ova matriz é igua ao posto de [F(x i,x j )] i, j=1. Como P((d 2)/2,b) um poiômio de grau, podemos escrever P ((d 2)/2,b) ode b,0,b,1,...,b, são úmeros reais. Logo, P ((d 2)/2,b) (t)= ((d 2)/2,b) b,r t r, r=0 # i, j=1 (cos( x i x j /2)) = P (cos( f 1 (x i )f 1 (x j ) /2)) ((d 2)/2,b) = P (f 1 (x i ) f 1 (x j )) = b,r (f 1 (x i ) f 1 (x j )) r. r=0. Como {f 1 (x 1 ),f 1 (x 2 ),...,f 1 (x )} é um subcojuto de R 2, a matriz de Gram com etradas f 1 (x i ) f 1 (x j ) tem posto ão superior a 2. Logo, como o posto do produto de Schur de duas matrizes de mesma ordem é o máximo o produto dos postos das matrizes, cada matriz ((f 1 (x i ) f 1 (x j )) r ),0apperappe, tem posto o máximo 2 r. Cosequetemete, cada matriz h i A µ ((d 2)/2,b) P (cos( x i x j /2)) i, j=1 é

2.3. Positividade defiida estrita: codições ecessárias 37 tem posto o máximo r=0 2r = 2 +1 µ,, é o máximo 1. Portato, para cada µ, = 1,2,...,, o posto do boco 2 +1 1 = N + 2 +1. 2JF 2JF Por fim, segue que o posto de [F(x i,x j )] i, j=1 é o máximo 0 @ µ,=1 N + 2J F 2 +1 1 0 A = 2 @ N + 2J F 2 +1 1 A. Agora ote que se > 2( máximo N + 2J f 2 +1 ), etão, boco µ da matriz F(x i,x j ) tem posto o 2 0 @ N + 2J f 2 +1 1 A < 2 e, cosequetemete, F(x i,x j ) ão tem posto. No caso esférico, a proposição acima pode ser cosideravemete mehorada. Proposição 2.3.2. Seja F : S d S d! M (R) um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido e cosidere a represetação de F coforme o Teorema 2.1.3. Para que F seja estritamete positivo defiido é ecessário que JF coteha ifiitos pares e ifiitos ímpares. Demostração. A demostração cosiste em uma extesão da demostração aterior. Suporemos que JF cotém tão somete um úmero fiito de pares e exibiremos, bem como uma quatidade fiita de potos, x 1,x 2,...,x em S d, de modo que F(x i,x j ) seja siguar. Podemos escrever J F = J 0 [ J 1, ode cada eemeto de J 1 é ímpar e J 0 \ J 1 = /0. O caso em que J F cotém tão somete um úmero fiito de ímpares pode ser aaisado de maeira simiar. Esta decomposição permite escrevermos F d r Fr,1 d é o somado de Fd r = Fr,0 d + Fd r,1, ode Fd r,0 é o somado de Fd r idexado por J 0 e idexado por J 1. Escreva F 0 para deotar o úceo sobre S d com parte isotrópica F d r,0 e F 1 o úceo sobre S d com parte isotrópica F d r,1. Iiciamete ohemos para F 1. Se x 1,x 2,...,x 2 são potos distitos sobre S d, mas dois a dois atipodais, etão a matriz F 1 (x i,x j ) tem posto o máximo. De fato, para ratificar isso, defia S = {(i, j) :1appe i < j appe 2 e x i = x j } e observe que ta cojuto tem cardiaidade. Para cada µ = 1,2,...,, deote por e µ o µ- ésimo vetor a base caôica de R. Dado um par (i, j) de S, defia v ij µ como sedo o vetor (v ij µ (1),v ij µ (2),...,v ij µ (2)), ode v ij µ (i)=e µ, v ij µ ( j)=e µ e os demais são vetores uos de R. Temos etão um cojuto iearmete idepedete {v ij µ : (i, j) 2 S} de vetores de R 2. Por outro ado, como cada P ((d 2)/2,b) 2+1, 2 J 1, é uma fução ímpar, é fáci ver que cada um dos vetores acima pertece ao úceo de F 1 (x i,x j ). No etato, se é suficietemete grade, o teorema aterior impica que o posto de F 0 (x i,x j ) é iferior a. Assim, o posto de F(x i,x j ) é meor do que 2.

38 Capítuo 2. Núceos estritamete positivos defiidos sobre espaços 2-homogêeos O eitor ateto já deve ter observado que a dificudade em aaisar a positividade defiida estrita o caso 2, reside esseciamete a seguite difereça: para = 1, a positividade defiida estrita do úceo F depede tão somete do cojuto JF 1 e ão dos vaores assumidos peos coeficietes a d,b. No caso 2, ão é possíve demostrar que a positividade defiida estrita depede somete do cojuto JF. Afia, temos mais possibiidades para as matrizes coeficietes A : podem ser uas, e se ão uas podem ser positivas defiidas ou ão. Não sedo positivas defiidas, eas podem ter postos variados. 2.4 Positividade defiida estrita o caso de espaços ão esféricos Nesta seção, cosiderado apeas o caso em que M d ão é uma esfera, apresetamos uma codição ecessária e suficiete para que um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido sobre M d seja estritamete positivo defiido. O ema abaixo é uma cosequêcia da Proposição 2.1.1 e forece uma descrição aterativa para positividade defiida estrita. Lema 2.4.1. Seja F : M d M d! M (R) um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido e cosidere a represetação de F coforme o Teorema 2.1.3. Se x 1,x 2,...,x são potos distitos em M d eb 1,B 2,...,B são vetores em R, etão as seguites afirmações são equivaetes: (i) i, j=1 Bt i F(x i,x j )B j = 0; (ii) i, j=1 Bt i A B j P ((d 2)/2,b) (cos( x i y i /2)) = 0, 2 JF. Demostração. Se (i) vae, etão 0 = B t if(x i,x j )B j = i, j=1 = i, j=1 µ,=1 =0 i, j=1 =0 B µ i Aµ ((d 2)/2,b) B j P (cos( x i x j /2)) B t ia B j P ((d 2)/2,b) (cos( x i x j /2)). Como, para cada, o úceo é positivo defiido, segue que i, j=1 A P ((d 2)/2,b) (cos( xy /2)), x,y 2 M d B t ia B j P ((d 2)/2,b) (cos( x i x j /2)) = 0, 2 JF. Logo, (ii) vae. A outra impicação é aida mais óbvia.

2.4. Positividade defiida estrita o caso de espaços ão esféricos 39 O pricipa resutado dessa seção é uma geeraização do Teorema 1.2.3, o caso em que M d ão é a esfera. A partir de agora, vamos usar os poiômios de Jacobi em sua forma ormaizada, ou seja, usaremos R ((d 2)/2,b) := P((d 2)/2,b) P ((d 2)/2,b) (1), = 0,1,... Teorema 2.4.2. Seja F : M d M d! M (R) um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido e cosidere a represetação de F coforme o Teorema 2.1.3. Supoha que M d ão é uma esfera. As seguites afirmações são equivaetes: (i) F é estritamete positivo defiido; (ii) Para todo vetor B 2 R \{0}, o cojuto { 2 JF : Bt A B > 0} é ifiito. Demostração. Fixado B 2 R \{0}, o Lema 2.1.2 impica que a fórmua F B := B t FB defie um úceo usua que é cotíuo, isotrópico e positivo defiido sobre M d. É caro que se F é estritamete positivo defiido, etão o mesmo ocorre com F B. Neste caso, devido ao Teorema 1.2.3, o cojuto JF 1 B é ifiito. Agora, observe que! F B (x,y) = B t A P ((d =0 2)/2,b) (cos( xy /2)) B = =0 B t A BP ((d 2)/2,b) (cos( xy /2)), x,y 2 M d. Segue que a represetação em série acima é a represetação em série para F B, como descrito o Teorema 1.2.1. Em particuar, temos que J 1 F B = { 2 J F : Bt A B > 0}. Logo, (i) impica (ii). Para demostrarmos a outra impicação, supohamos que (ii) vae e que F ão é estritamete positivo defiido, e produziremos uma cotradição. Existem potos distitos x 1,x 2,...,x em M d e vetores B 1,B 2,...,B em R, ão todos uos, tais que B t if(x i,x j )B j = 0. i, j=1 Sem perda de geeraidade, podemos supor que B 1 6= 0. Segue, etão, do Lema 2.4.1 que i, j=1 B t ia B j P ((d 2)/2,b) (cos( x i x j /2)) = 0, 2 JF. (2.2) Como B 1 6= 0, o cojuto K 1 := { 2 J F : Bt 1 A B 1 > 0} é ifiito por hipótese. Etão existe i 0 2 {1,2,...,} ta que o cojuto K 2 = { 2 K 1 : B t i 0 A B i0 B t ja B j, j = 1,2,...,} é ifiito. De fato, se para cada i 2 {1,2,...,} o cojuto S i = { 2 K 1 : B t i A B i B t j A B j, j = 1,2,...,} fosse fiito, teríamos K 1 = [ i=1 S i, ou seja, K 1 seria fiito, o que é um absurdo.

40 Capítuo 2. Núceos estritamete positivos defiidos sobre espaços 2-homogêeos Observe que B t i 0 A B i0 B t i 0 A B i0, obtemos B t 1 A B 1 > 0, para todo 2 K 2. Portato, dividido a expressão (2.2) por É fáci ver que B 0 = t i A B j P ((d 2)/2,b) i, j=1 B t (cos( x i x j /2)) i 0 A B i0 P ((d 2)/2,b) = (1) B t i = 1 + A B j B t B t i + A B j i 0 A B i0 B t R ((d 2)/2,b) i 0 A B (cos( x i x j /2)) i0 i=1 i6=i 0 +( 1) P(b,(d 2)/2) i6= j x i x j 6=2p (1) P ((d 2)/2,b) (1) i6= j x i x j =2p 0 < Bt j A B j B t i 0 A B i0 appe 1 j = 1,2,...,, 2 K 2. B t i A B j B t i 0 A B i0, 2 K 2. (2.3) No caso i 6= j, pea desiguadade de Cauchy-Schwarz, temos que q q B t ia B j appe qb t i A B i B t j A B j appe qb t A i0 B i0 B t i 0 A B i0 = B t i 0 A B i0 ou seja, B t i A B j B t i 0 A B i0 appe 1, j = 1,2,...,, 2 K 2. Usado o fato de K 2 ser ifiito e o Lema 1.2.2-(ii),(iii), podemos escoher 2 K 2 suficietemete grade de forma que e i6= j x i x j 6=2p ( 1) B t i A B j B t R ((d 2)/2,b) i 0 A B (cos( x i x j /2)) < 1 i0 4 P(b,(d 2)/2) (1) P ((d 2)/2,b) (1) Assim, para esse, obtemos da equação (2.3) que i6= j x i x j =2p B t i A B j B t i 0 A B i0 < 1 4. 0 > 1 + i=1 i6=i 0 B t i A B j 1 B t i 0 A B i0 4 1 4 = 1 2 + B t i A vb i 1 i=1 B t i 0 A B i0 2, i6=i 0 uma cotradição. No caso = 1, a caracterização para positividade defiida estrita apresetada o Teorema acima reduz-se àquea mecioada o Teorema 1.2.3. Uma questão pode ser evatada: por que

2.5. Positividade defiida estrita o caso = 2 41 a demostração acima ão fucioa quado M d é uma esfera? A resposta reside o simpes (b,(d 2)/2) fato de que o caso esférico, P (1)=P equação chave a demostração, isto é, ( 1) P(b,(d 2)/2) (1) P ((d 2)/2,b) (1) ão pode mais ser cotroada quado!. ((d 2)/2,b) i6= j x i x j =2p (1), = 0,1,..., e a útima soma da B t i A B j B t i 0 A B i0 Recetemete, o caso esférico foi devidamete resovido em [23]. Como uma apicação óbvia do Teorema, é fáci ver que os úceos positivos defiidos descritos a Proposição 2.1.1 uca serão estritamete positivos defiidos. A costrução de exempos cocretos de casses de fuções que possuem a represetação oriuda do teorema aterior ão foi possíve este mometo, em mesmo o caso em que = 1. Vae observar que o Teorema 2.1.3 e o Teorema acima podem ser adaptados para a esfera de Hibert rea S. Optamos por ão coocar esses resutados, pois ees destoam do assuto gera. 2.5 Positividade defiida estrita o caso = 2 Nesta seção, forecemos uma caraterização aterativa para úceos cotíuos, isotrópicos e estritamete positivos defiidos sobre M d, aida o caso em que ta espaço ão é uma esfera, e com a restrição = 2. Já que os eemetos da diagoa pricipa, a represetação matricia de um úceo positivo defiido, são úceos positivos defiidos usuais, a idéia básica por trás desta seção está uma tetativa de cassificar os úceos estritamete positivos defiidos através de aguma codição evovedo estes eemetos da diagoa. A seguite casse de úceos surgiu aturamete durate ossa aáise. Defiição 2.5.1. ( = 2) Um úceo cotíuo, isotrópico e positivo defiido F sobre M d é dito ser Schoeberg-siguar se a sua parte isotrópica possui uma represetação a forma! Fr 2 (t)= A + A a P ((d 2)/2,b) (t), t 2 [ 1,1] 2K 1 =0 ode K 1 é um cojuto fiito, A é uma matriz (simétrica) defiida ão egativa de M 2 (R), A 0, cada a é um úmero rea ão egativo e =0 a P ((d 2)/2,b) (1) <. Sejam x 1,x 2,...,x potos distitos de M d. Como a matriz A a represetação de um úceo Schoeberg-siguar é defiida ão egativa, mas ão é positiva defiida, ea ão tem posto máximo, ou seja, suas ihas são iearmete depedetes. Logo, é fáci ver que a matriz em bocos, de ordem 2, " A =0 a P (d 2)/2,b (cos( x i x j /2)) # i, j=1