Sociedade Brasileira de Matemática

!" $##$% & '()*(*-,.*/*0!" $##$% 45)*6 7.*/*0!89:.5, 6 4*, 9;0 <=!" $##$%>?A@ B?#$CBD$EF G '()*(*-,.*/*04%4*5)6 7.*/0%89;.*H, 6 4, 9:0 <= *> %"?#$ D>?D$B DI#!>%@>? B J*K '()*(*-,.*/*04%4*5)6 7.*/0%89;.*H, 6 4, 9:0 L M=N$O:PQR SE#ET?D$U V.9:6 0XW*)*Y-0AZ[*, (4? \D%* E#?] \F$##$^`_!$#$!" $#$ *a.b.*46dch.feg9:.!h0*(*7 4*6 4* ijk?%j '/)*.*9;/*0cl4(*m.*( >!" #?$?]#? #C!FD$# ao >Fp?q`E#E`_?>!$E`*` KJ _r!$$`* Ks \D$#>" %jb o J*G &*a B#$D$?#$\ D? J

t uwv y z u É com grade satisfação que iformamos a ecelete participação do Brasil a IMO. Pela primeira vez, os seis aluos da equipe gaharam medalhas, sedo 4 de prata e de broze. Na soma dos potos, o Brasil ficou à frete de mais de 80% das ações represetadas, icluido muitos países de grade tradição olímpica. Veja a prova esta edição e mais detalhes sobre a IMO o site http://imo.wolfram.com/ Isso só os estimula aida mais a fazer uma Eureka cada vez melhor e que atija um público cada vez maior. Gostaríamos de agradecer mais uma vez o evio de grade úmero de problemas e soluções pelos leitores, o que é importate para a Eureka!, e os aima a cotiuar o trabalho de proporcioar diversão e material de treiameto à ossa comuidade olímpica. Gostaríamos aida de dizer que cotiuamos cotado com o evio de artigos pelos leitores. Artigos para iiciates são prioritários. São também prioritários artigos sobre temas olímpicos que até hoje ão apareceram a Eureka!, como Cotagem, Grafos (ível avaçado), Fuções (ível itermediário), Trigoometria aplicada à Geometria (pode ser uma compilação de problemas). Traduções (devidamete autorizadas, é claro) de artigos de boas revistas (com o mesmo perfil, é claro) serão muito bem recebidas. Fialmete agradecemos a valiosa ajuda dos professores Eduardo Tega e Carlos Shie e dos estudates Ale Cardoso Lopes, Guilherme I. C. Fujiwara e Rodrigo K. Yamashita a revisão da revista. { }>~ ƒ }> EUREKA! N, 00

ŷ y vaŷ ŠŒ t t w t ŷ $Ž g $ Ž { ` $ _r! Sara escreveu o quadro egro um úmero iteiro de meos de trita algarismos e que termia em. Célia apaga o do fim e escreve-o o iício. O úmero que fica é igual ao dobro do úmero que tiha escrito Sara. Qual é o úmero que Sara escreveu? _r! Vamos pegar um retâgulo ABCD de papel; o lado AB mede 5 cm e o lado BC mede 9 cm. Fazemos três dobras: - Levamos o lado AB sobre o lado BC e chamamos de P o poto do lado BC que coicide com A. Forma-se etão um trapézio retâgulo BCDQ. - Dobramos de forma que B e Q coicidam. Forma-se um polígoo de 5 lados RPCDQ. - Dobramos de ovo fazedo coicidir D com C e Q com P. Forma-se um ovo trapézio retâgulo RPCS. Após fazer estas dobras, fazemos um corte perpedicular a SC pelo seu poto médio T, obtedo o trapézio retâgulo RUTS. Calcule a área da figura que aparece ao desdobrarmos o último trapézio RUTS. _r! Temos três caias, uma azul, uma braca e uma vermelha, e 8 bolihas. Cada boliha tem um úmero de a 8, sem repetições. Distribuímos as 8 bolihas as caias, de maeira que há pelo meos duas bolihas em cada caia. Logo, em cada caia, somam-se todos os úmeros escritos as bolihas cotidas a caia. Os três resultados deomiam-se soma azul, soma braca e soma vermelha, segudo a cor da caia correspodete. Ecotre todas as possíveis distribuições das bolihas tais que a soma vermelha seja igual ao dobro da soma azul, e a soma vermelha meos a soma braca seja igual à soma braca meos a soma azul. _r! Utilizado eclusivamete úmeros primos forma-se um cojuto com as seguites codições: - Qualquer úmero primo de um algarismo pode estar o cojuto. - Para que um úmero primo de mais de um algarismo esteja o cojuto, devem estar o cojuto o úmero que se obtém ao suprimir-lhe só o EUREKA! N, 00

primeiro algarismo e também o úmero que se obtém ao suprimir-lhe só o último algarismo. Determie, etre cojutos que cumpram estas codições, aquele que tem maior quatidade de elemetos. Justifique por que ão pode haver um com mais elemetos. Lembre-se de que o úmero ão é primo. _r!š Num tabuleiro de 8 casas, como a figura abaio, há iicialmete uma ficha em cada casa. Uma jogada cosiste em escolher duas fichas e mover uma delas uma casa à direita e a outra, uma casa à esquerda. Se depois de 4 jogadas as 8 fichas estão distribuídas somete em casas, determie quais podem ser estas casas e quatas fichas há em cada uma delas. _r! $œ `ž`{ ` $ Na miha calculadora, uma das teclas de a 9 está com defeito: ao pressioá-la aparece a tela um dígito etre e 9 que ão é o correspodete. Quado tetei escrever o úmero 987654, apareceu a tela um úmero divisível por e que deia resto ao ser dividido por 9. Qual é a tecla defeituosa? Qual é o úmero que apareceu a tela? _r! No trapézio ABCD, o lado DA é perpedicular às bases AB e CD. A base AB mede 45, a base CD mede 0 e o lado BC mede 65. Seja P o lado BC tal que BP mede 45 e seja M o poto médio de DA. Calcule a medida do segmeto PM. _r! Num tabuleiro de fileiras e 555 coluas, pitam-se de vermelho casas, uma em cada uma das fileiras. Se escrevemos as casas, ordeadamete por fileiras, da esquerda para a direita, os úmeros de a 665 (a primeira fileira de a 555, a seguda de 556 a 0 EUREKA! N, 00 4

e a terceira de a 665) há úmeros que ficam escritos as casas vermelhas. Escrevemos as casas, ordeadamete por coluas, de cima para baio, os úmeros de a 665 (a primeira colua de a, a seguda de 4 a 6, a terceira de 7 a 9,, e a última de 66 a 665) há úmeros que ficam escritos as casas vermelhas. Chamamos úmeros vermelhos aos que em alguma das duas distribuições ficam escritos as casas vermelhas. Diga quais são as casas que devemos pitar de vermelho para que eistam só úmeros vermelhos. Mostre todas as possibilidades. _r! Em volta de um círculo situam-se dez moedas de cm de raio como idicado a figura abaio. Cada moeda é tagete ao círculo e às duas moedas vizihas. Demostre que a soma das áreas das dez moedas é o dobro da área do círculo. _r!š No quadro egro estão escritos os úmeros aturais desde até 00, iclusive. Temos que apagar algus úmeros de modo que etre os que ficam sem apagar seja impossível escolher dois úmeros distitos tais que o resultado de sua multiplicação seja igual a algum dos úmeros que ficam sem apagar. Qual é a quatidade míima de úmeros que devem ser apagados? Para esta quatidade, apresete um eemplo que mostre quais úmeros são apagados. Justifique por que ão obtemos a propriedade desejada se apagarmos meos úmeros. EUREKA! N, 00 5

yÿy vaŷ ŠŒ t t t ŷ ] > l : ª>«d $ ƒª * > ƒ $Ž` $ gž { ` $ ± ²-³* :µ %µ %? * 5 ¹*µ* %º *» 5³ ¼% µ*³*½ ¾³%µ %»* ; À *± Á¹*± ³!Â>À µ* ;± Ã*!Ä*Å*²-± %µ %ƳǟÈÉ ; ¼% µ*³*½ ¾³%µ %Ê ;³fÈɳ À *± Á¹*± ³!Â>À Ë?¾*± ³Ã*!µ*!ʳ*»*½ ³!À³ :²5± ³!Ƴ̱ÍÎ fèé³ ¼% µ*³*½ ¾³%µ %Ê ;³fÈɳ Æ? *½ ³fȃ± ¹*³!Â>Ϻ»µ*Ð!¼% : ± :³!µ*!Ä*± Ñ!³%!º± ½Òd³ ¼! *µ*³½ ¾*³!µ*!Ó : ¹* 5 Ô?¹*³*ÕÂ>¼!À Ë? *½ Ñ! %Ä»*± ÇÆ * ; : *± ³!Ö5Ź*± * ¼! *µ*³½ ¾*³!µ*!Ó : ¹* 5 º³¹fÈÉ $ =¹*µ :Ø!Â>ºÊ ³Ù*¾³* *½- *µ :± Ã*» *Ǽ%³ÚÈɳ ¼! *µ*³½ ¾*³!µ*!Ó : ¹* 5 º³½Òd³*µ * Â>ÓÌ Ë?¾* Ñ%ÐÇÛ±Üd Ç5¾*±Hº³Ç5³*Ý-±5Û ÌÇ5¾± ¹*³ ¼! *µ*³½ ¾*³!µ*!Ó : ¹* 5?± %µ %Ö5³¹* ± :!Â> Ö µ* ½ÞÉ %º³¹fÈÉ Ç`Æ ÇŸÈɳ!¼%³ß5³* ;³*¹*µ»*à³ ¼% ¹*ß5á %Û? *¹* ; *Ç5³ À *± Á¹*± ³!Â>À ij*± ÇÔÜd *µ³â ±Òd³ 5 *ý fò ¼! *¹*ß-á*!Û *¹ : *Ç-³ ºá %Ö- *Ç5Ø!µ* Ç`Ƴ*Ñ!Ù* ÇÂºÊ ã *½ ± Ù %À *¹*ß-³*½Òd Çä =Ç5Ç5± Ç ¼% ¹*ß5á %Û ¹* ; *Ç5³ Æ?³*Ñ!Ù*± ¹*³!À ;³*¹µ*!Â>ÊÓ $œ `ž`{ ` $ =½ ÚÍXÆ : :å³â =à :» ¼% µ*³*½ ¾³%µ %»* ; æ?±èé * ;ç*±5â Ö Ä³* :± Ç-Ç5³%Æ?³fÒd³½ ²5³*¹ÚÈÉ %èé*µ %Ä̱ Ñ!³ ¼% µ*³*½ ¾³%µ %Ê ;³fÈɳ ã * Èɳ*½ 5³!Â>ÆÏ À»*± ½ ¾* :Ñ! %? *µ* ;± Ã*» *Ǻ³½ * ;Ñ% ¼% µ*³*½ ¾³%µ %Ê ;³fÈɳ À *± Á¹*± ³!Â>À Èɳ*²5Õ ½ ± âë? * ; : *Çê± ½ ³*Ç`Ó ³*Ç ¼! *µ*³½ ¾*³!µ*!Ó : ¹* 5 º³½Òd³*µ * Â>ÓÌ ë Ç- :³* ½5ã :³*¹Ý5½ ± Ñíì *» :³µ* ¼! *µ*³½ ¾*³!µ*!Ó : ¹* 5 ã * Èɳ*½ 5³!Â>ÆÏ Ä»*± Çϵ»*³ :µ*!µ*!à µ* ± ¼! *µ*³½ ¾*³!µ*!Ó : ¹* 5 ºá %Ö- *Ç5Ø!µ* Ç`Ƴ*Ñ!Ù* ÇÂºÊ ãð*à± %ì± ³Ç¼! * ; *± :³ ¼! *µ*³½ ¾*³!µ*!Ó : ¹* 5?± %µ %Ö5³¹* ± :!Â> Ö =¹µ* :ر ³%ÄÅ*²5±!µ*!ƳǟÈÉ : ¼% ¹*ß5á %Û ¹* ; *Ç5³ À *± Á¹*± ³!Â>À Û ¹* Üîï ±5ƾ* ¹*Ã%ÛÇ5» ¼! *¹*ß-á*!Û *¹ : *Ç-³ ºá %ʳ»*½!ÂrºÊ ì³úþé¹*!µ* $ =½ à*»ð*» * :ð»* %º± Ñ%á ¼! *¹*ß-á*!Û *¹ : *Ç-³ ã * Èɳ*½ 5³!Â>ÆÏ EUREKA! N, 00 6

ñ ŷ y v%yÿ Š Œ t t w t E ò Eŷ t ó uô v Euciados e Resultado Brasileiro A XII Olimpíada de Matemática do Coe Sul foi realizada a cidade de Satiago do Chile o período de a 6 de julho de 00. Dela participaram aluos de até 5 aos dos seguites países: Argetia, Brasil, Chile, Equador, Peru e Uruguai. A equipe brasileira foi selecioada através de provas realizadas em março e maio deste ao e foi liderada pelos professores Élio Mega e Carlos Yuzo Shie de São Paulo - SP. { Ž } õ]ö ƒ ~ ~ $ø õ ù}ú` û > ög}d ú Žü ý þ > ƒ} þ ~ ÿ ` ÿ}þ ƒ ú Žü œ õ ö }> ÿ}õj $Ž`ü]ü ú Žü > ` >ö d >þ ƒ}aõ}> ~} ÿ $Ž`ü]ü ú Žü Ž ƒ }>öž` ` { Ž { $Ž` $ gž { ž ü ìô? r! " # & ¾* :³Ç!Ñ% ± ³*é _r! Em cada casa de um tabuleiro quadriculado 000 000 deve-se escrever um dos três úmeros:, 0 ou. Se, em seguida, somam-se os úmeros escritos em cada liha e cada colua, obtêm-se 4000 resultados. Mostre que é possível preecher o tabuleiro de modo que os 4000 resultados assim obtidos sejam todos distitos. _r! Tem-se uma sucessão a, a, a,..., a,... de úmeros iteiros positivos, com as seguites propriedades: i) Todo úmero iteiro positivo aparece uma ou mais vezes a sucessão. ii) a = iii) a = a iv) a a v) a 00 = 00 Calcule o valor de a 000. Obs. O euciado deste problema está icorreto, pois a verdade ão eiste tal sequêcia (tete demostrar isto!). Etretato, se suprimirmos a codição i) é possível resolver o problema (tete fazer isto também!). EUREKA! N, 00 7

_r! Sociedade Brasileira de Matemática Três triâgulos acutâgulos estão iscritos em uma mesma circuferêcia, de modo que seus vértices são ove potos distitos. Demostre que se pode escolher um vértice de cada triâgulo de maeira que os três potos escolhidos determiem um triâgulo cujos âgulos sejam meores que ou iguais a 90 o. $œ ž`{ ž ü ìô r!" $# & ¾* :³*Ç %Ñ! *± ³é _r! Um polígoo de área S está cotido o iterior de um quadrado de lado a. Demostre que há pelo meos dois potos do polígoo que estão separados por uma distâcia maior que ou igual a as. _r!š Ache todos os úmeros iteiros positivos m tais que m 00 S(m) = m ode S(m) represeta a soma dos algarismos de m. _r!&% Seja g uma fução defiida para todo iteiro positivo, que satisfaz i) g() = ii) g( ) = g() ou g( ) = g() para todo iii) g() = g() para todo iv) g(k) = 00 para algum iteiro positivo k. Ache o meor valor possível de k etre todas as fuções g que cumprem as codições ateriores e demostre que é o meor. EUREKA! N, 00 8

>Fp('$ #`_! Sociedade Brasileira de Matemática Ates de procurarmos uma maeira de preecher um tabuleiro 000 000, vamos preecher um tabuleiro meor, digamos,. Uma maeira de preechê-lo é: soma: 0 0 soma: soma: soma: Vamos tetar preecher agora um tabuleiro 4 4. Para isso, aproveitamos o tabuleiro. Para que as somas obtidos cotiuem iguais, colocamos 's e 's desta forma: soma: 0 0 soma: soma: soma: Para completar o trabalho, basta preecher o subtabuleiro do cato iferior direito: soma: 0 0 soma: 0 soma: soma: soma: soma: 4 soma: soma: EUREKA! N, 00 9

Observe que podemos preecher um tabuleiro (k ) (k ) a partir de um tabuleiro k k. Digamos que o tabuleiro k k as somas sejam iguais a (k ), (k ), k. Para preecher um tabuleiro (k ) (k ), colocamos o tabuleiro k k o cato superior esquerdo, preechemos as k primerias casas da k -ésima liha e da k -ésima colua co 's e as k primeiras casas da k -ésima liha e da k -ésima colua com 's. No cato iterior direito preechemos da mesma forma que ateriormete: k k ) ) soma: k 0 (A) soma:k Nas lihas e coluas em (A) e (B) temos as somas de (k ) a k (B) soma soma k (k ) Assim, temos todas as somas de (k ) a k. Logo é possível preecher um tabuleiro para todo atural ão ulo; em particular, o tabuleiro 000 000. >Fp('$ #`_! O euciado do problema está icorreto: Vamos mostrar que ão eiste uma tal sucessão. Temos que a = a ou a = a (observe que, se a a, o úmero iteiro positivo a ão apareceria a sucessão). O úmero da forma mais próimo de 00 é 00 = 667. Além disso, a = a 00 ou a = a 0. 00 00 = 00 = a 667 00 00 = Sedo a, temos que a 00 é ímpar, logo a 00 = 0. Assim, a 667 = 0 a 667 = 00. Mas 667 =, e temos a = 00 a = 99, que ão é iteiro. Cotradição. Três aluos da delegação brasileira deram uma solução equivalete à aterior. Algus aluos argetios resolveram o problema igorado a codição (i). Mostremos que é possível calcular a 000 sem utilizar a codição (i). EUREKA! N, 00 0

De (iv), idutivamete mostra-se que Aplicado (iii) temos: a a para m. m a a a a a a 4 = a = a = = = a 4 = a = = 7 40 = a = a = 7 = 5 = a 40 = a 40 = 5 = 64 = a = a = = 09 = a 64 = a 64 = 6 = 6 7 Logo a a a 7 000 09 000 (I) Agora estudemos a. Seja a = k. Temos: a a = a = k a a a a a 0 = = a 0 = a 0 = (k ) = 4k 94 = a = a = (4k ) = 8k 7 0 = a 94 = a 94 = (9k 7) = 6k 5 650 = a 8 = a 8 = (6k 5) = k 56 = a 850 = a 850 = (k ) = 64k Como a55 a 00, temos 64k 6 00 k. Mas a a4 k. Logo k = e, portato, a 850 = = 7. Desta forma a 000 a850 a00 7(II). De (I) e (II), temos a 000 = 7. >Fp('$ #`_! Sejam A A A, B B B e C C C os triâgulos. Tome o poto A e trace o diâmetro AA que passa por A. Podemos supor, sem perda de geeralidade, que, detre os potos B, B, B, C, C e C, o mais próimo de A é B e que, detre os potos C, C e C, o mais próimo de A, cotido o arco AA que cotém B é C. 6 EUREKA! N, 00

C B A O A C O diâmetro C C que passa por C divide a circuferêcia em dois arcos. Se C, C e C estivessem o arco que cotém A, teríamos que o maior âgulo do 80 triâgulo C C C seria maior ou igual a = 90, o que ão é possível. Logo eiste um poto, C i o arco que cotém B. Sedo C o mais próimo de A, e como AC que cotém B, temos que C i pertece ao arco CA. Temos etão que o triâgulo A B C i satisfaz as codições do euciado, pois m A ma Ci B = ( B A ) m ( AA ) a m( Ci A ) m( A A) < = 90, m( A B Ci ) = = 90 m( Ci B ) m( CC) e m( Ci A B ) = < = 90. Observe que o triâgulo é retâgulo se, e somete se, C i = A. Obs. Como o úmero total de potos é 9, que é ímpar, podemos escolher um deles (que será o A ) cujo atípoda ão é ehum dos outros potos. Nossa solução mostra etão que é possível obter um triâgulo acutâgulo A i B j C k. >Fp('$ #`_! Supoha, por absurdo, que quaisquer dois potos do polígoo estejam separados por uma distâcia meor que S/a. EUREKA! N, 00

Sociedade Brasileira de Matemática a y b Cosideramos o poto mais à esquerda e mais à direita e y do osso polígoo. Se b é a difereça de suas abscissas, o polígoo está cotido um retâgulo de lados b e a. Temos claramete S ab, dode b S/a. Como claramete y b, temos um absurdo e o resultado está provado. >Fp('$ #`_!š Temos m 00 S(m) = m 00 S(m) = m. Assim, m é divisível por e coseqüetemete S(m) também o é. Logo S(m) = k, para algum k iteiro, e m = 00 k = 9 667k é divisível por 9. Desta forma, 9 divide S(m). Seja o úmero de algarismos de m. temos que S(m) 9 (cada algarismo é meor ou igual a 9), assim 00S(m) 8009 m 8009. Mas m 00...0, = 0, logo 0 8009. zeros * Esta última desigualdade só é válida para 6. Assim, S(m) 9 6. Como S(m) é divisível por 9, temos S(m) = 9, 8, 7, 6, 45 ou 54. Temos S(m) = 9 m = 9 00 = 8009, o que ão é possível pois 8009 = 8. S(m) = 8 = 8 00 = 608. S(m) = 7 m = 7 00 = 5407, o que ão é possível pois 5 407 = 8 S(m) = 6 m = 6 00 = 706, o que ão é possível pois 706=8 S(m) = 45 m = 45 00 = 90045, o que ão é possível pois 900045=8 S(m) = 54 m = 54 00 = 08054, o que ão é possível pois 08054=8 Logo a úica solução é = 608. EUREKA! N, 00

>Fp('$ #`_!&% Sociedade Brasileira de Matemática Queremos ecotrar o meor valor de k tal que g(k) = 00. Assim, seja a k o meor valor tal que g(a k ) =. Desta forma, devemos calcular a 00. Temos g() =, logo a =. Podemos tomar g() =, logo a =. Observe que esse caso g() = g() = e g(6) = g() =. Podemos tomar g(4) = e g(5) =, logo a = 5. Cosidere g(k) e g(k ). Temos g(k) = g(k) e g(k ) = g(k ). Assim, g(k ) = g(k) ou g(k ) = g(k). Desta forma, g(k ) e g(k ) são o máimo iguais a g(k) ou g(k ). Por eemplo, se g(4) = e g(5) =, temos g() = e g(5) =. Tomado g() = e g(4) = 4, temos que a 4 = 4. Note que, como g(k) para k 4, temos g(k) para k. Assim, podemos ecotrar a em fução de a. Temos que g(a ) = pois g(a ) < (se g(a ) >, eistiria k < a tal que g(k) =, o que cotradiz a hipótese de a ser míimo. Assim, g((a ) = e g(a ) =. Para k a, temos g(k), logo g(k) para k (a ). Podemos tomar g(a ) = e g(a ) =. Logo a = a. Note que temos "quase" uma progressão geométrica. Se somarmos um úmero de cada lado da igual dado, temos a = a = a. Se fizermos = =, temos a = a. Sedo b = a, temos b = b, ou seja, b é uma progressão geométrica de razão. Logo b = b. Como b = a =, temos 000 b = a = a =. Para = 00, temos a =. Obs. A fução g que costruímos é tal que g(k) é o maior possível, para todo k, e é obtida da seguite forma: Primeiro observamos que todo atural pode ser k k k escrito de maeira úica como ε ε... ε ε, com = k k k ε j {,0,} para 0 j < k (ode k é tal que < ). Temos etão k g( ) = ε i,ou seja, g() é o úmero de termos ão ulos a represetação j= 0 acima. k EUREKA! N, 00 4

ñ vyéỳ vaŷ ŠŒ t t yÿ z t yÿ t v w t E ò ŷ t Euciados e Resultado Brasileiro A XLII Olimpíada Iteracioal de Matemática foi realizada a cidade de Washigto DC, USA o período de a 4 de julho de 00 e teve a participação de 85 países. A equipe brasileira foi selecioada através de provas realizadas em março e maio deste ao e foi liderada pelos professores Nicolau C. Saldaha (Rio de Jaeiro RJ) e Atoio Camiha Muiz Neto (Fortaleza - CE). { Ž } õ]ö ƒ ~ ~ $ø õ ù}ú` û > ög}d ú Žü ý ü ö }-` /.> ü0 }>õ ƒ ú Žü ` ö $ ƒ} þ ` }> ~]} ú` ƒ ƒ ú Žü ÿú` > û Ž ~ õ]} ] ƒ ú` û ]þ} ú Žü `õ 0 }> ƒ ÿ $ ö > ` } ƒ ú Žü ž` - ü ö }-> þ~] ûgþ ÿ ` õ]} ƒ ú Žü 4 ž` þ }>ö þ5} $ 0 } ú` û ]þ} $Ž` $ gž { ž ü ìô? r! " # a ¾* :³Ç!Ñ% ± ³*é _r! Seja ABC um triâgulo acutâgulo com circucetro O. Seja PA uma altura do triâgulo com P o lado BC. Cosidere que B CA ˆ ABˆ C 0. Prove que C AB ˆ COˆ P < 90. _r! Prove que a a b c 8bc b 8ca c 8ab para quaisquer úmeros reais positivos a, b, e c. EUREKA! N, 00 5

_r! Sociedade Brasileira de Matemática Vite e uma meias e vite e um meios participaram uma competição matemática. Cada participate resolveu o máimo seis problemas. Para cada meia e cada meio, eiste pelo meos um problema que foi resolvido por ambos. Prove que eiste um problema que foi resolvido por pelo meos três meias e pelo meos três meios. _r! $œ ž`{ ž ü ìô r!" $# a ¾* :³*Ç %Ñ! *± ³é Seja um iteiro ímpar maior do que e sejam iteiros dados. Para cada uma das! permutações a = }, defia k, k,..., k ( a, a,..., a ) de {,,..., S( a) = i= k i a i. Prove que eistem duas permutações b e c, b c, tais que! é um divisor de S( b) S( c). _r!š Num triâgulo ABC, seja AP a bissectriz de bissectriz de AB ˆ C com Q o lado CA. Sabemos que BA ˆC = 60 e que AB BP = AQ QB. Quais são os possíveis valores dos âgulos do triâgulo ABC? _r!&% Sejam a, b, c, d iteiros com a > b > c > d > 0. Cosidere que Prove que ab cd é um úmero primo. ac bd = ( b d a c)( b d a c). BA ˆ C com P o lado BC, e seja BQ a EUREKA! N, 00 6

t E z z 76 t 8 y 9 ª> ƒ > ;:$ =<?>A@ B?C 9 > D E?F$ ªG>ª H$ f E> I>ªd * ª«> I J ª 5 ªJI B ƒª>«ªkb>ªml/no>r JªPBª?Q= SRJGd T*ªU(>rª SVfªd«> $CÌ WH XZY[]\ ^`_abcdbepa f \(g A Torre de Haói é um dos quebra-cabeças matemáticos mais populares. Ele foi ivetado por Edouard Lucas em 88. ý }h> As peças são discos de tamahos diferetes e todos com um furo em seu cetro e três pios ode são colocados os discos. Certamete podem ser ecotrados em qualquer loja de briquedos. Ž } } 0 }> ƒ ~ g Iicialmete os discos formam uma torre ode todos são colocados em um dos pios em ordem decrescete de tamaho. Devemos trasferir toda a torre para um dos outros pios de modo que cada movimeto é feito somete com um disco, uca havedo um disco maior sobre um disco meor. ü } õþ] ƒ ø õ]} >} > dö >~ Queremos saber qual é o meor úmero de movimetos ecessários para resolver uma torre de Haói com discos. Há uma história (imagiada pelo próprio Edouard Lucas) sobre a torre de Haói: No começo dos tempos, Deus criou a Torre de Brahma, que cotém três pios de diamate e colocou o primeiro pio 64 discos de ouro maciço. Deus etão chamou seus saserdotes e ordeou-lhes que trasferissem todos os discos para o terceiro pio, seguido as regras acima. Os sacerdotes etão obedeceram e começaram o seu trabalho, dia e oite. Quado eles termiarem, a Torre de Brahma irá ruir e o mudo acabará. EUREKA! N, 00 7

ƒõ~] þ~ ÿù 0 ö } Sociedade Brasileira de Matemática Para resolver um problema (ão só este, mas vários outros problemas a matemática) que evolve coisas, ajuda ver o que acotece para valores pequeos de. Vejamos algus casos. =. Fazemos movimeto foi suficiete. =. Fazemos movimetos deram. =. Fazemos 7 movimetos deram. Mas é claro que ão podemos fazer só isso. Não podemos ficar observado o que acotece para todos os valores de! Etão temos que começar a tirar algumas coclusões. EUREKA! N, 00 8

k k k ` ÿ û}> ö} $ ù 0 ö } i ~ j Sociedade Brasileira de Matemática Vamos olhar o caso = mais perto. Observe os três primeiros movimetos: Note que o que fizemos foi mesmo para resolver o caso =. O próimo movimeto foi Isto é, passamos o disco maior para o pio sem discos. Agora, veja os três últimos movimetos: Novamete fizemos o mesmo que foi feito para o caso =, só que trasferido agora a "subtorre" para o pio ode estava o disco maior. Agora, imagiemos uma torre com discos. Imagie também que sabemos resolver o problema com discos. discos Podemos trasferir os discos de cima para um pio vazio: vários movimetos discos EUREKA! N, 00 9

o m l o m Sociedade Brasileira de Matemática Depois passamos o disco maior para o outro pio vazio: Por fim, colocamos os discos meores sobre o disco maior: vários movimetos discos Assim, podemos resolver o problema com discos. Por eemplo, para resolver o problema com 4 discos, trasferimos os 4 = discos de cima para um pio vazio (já sabemos fazer isso!), depois passamos o disco maior para o outro pio vazio e por fim colocamos os discos sobre o disco maior. Para resolver o problema com 5 discos, trasferimos os 5 = 4 discos de cima para um pio vazio (acabamos de apreder a fazer isso!), e assim por diate. 4 ž` þ~ þ } > 0 ] Voltemos à perguta que será calada: queremos saber o úmero míimo de movimetos ecessários para resolver uma torre de Haói com discos. Vamos dar um ome para este úmero, digamos T. Assim, o úmero míimo de movimetos ecessários para resolver um problema com disco é T, com discos é T, com 00 discos é T 00, com discos é T, e, em especial, com discos é T. $ ö ƒ >þ~ ÿ > ÿù 0 ö } Já vimos que podemos resolver o problema da seguite forma: vários movimetos discos EUREKA! N, 00 0

p p p Sociedade Brasileira de Matemática vários movimetos discos Vamos ver quatos movimetos são ecessários este modo de resolver o problema. Precisamos de T movimetos para movimetar os primeiros discos, mais um para movimetar o disco maior e mais T para colocar os discos sobre o disco maior. Assim, precisamos de T T = T movimetos. Mas ão sabemos se este modo de resolver o problema usa o meor úmero de movimetos; poderia haver outro modo que use meos movimetos. Como o meor úmero de movimetos é T, temos: T T (I) Provemos que a verdade T = T. Para isso, mostraremos que T T (lembre-se de que se a b e a b etão a = b). Esta aparetemete estraha maeira de se demostrar que uma coisa é igual a outra é a verdade bem comum em vários problemas. Muitas igualdades podem ser obtidas a partir de desigualdades. Cosidere agora, etão, o disco maior. Ele vai ter que sair da torre iicial uma hora. Mas para ele sair, é preciso que os outros discos saiam de cima dele! E mais, se quisermos mudá-lo de lugar ele vai ter que ir para um pio vazio, pois ele ão pode ficar sobre ehum dos outros discos por ser o maior (que trabalho esse disco dá!)! Logo precisamos trasferir os discos para um pio só, o que requer o míimo T movimetos. Para mudarmos ele de lugar, precisamos, é claro, de mais um movimeto. E depois, para colocarmos os discos sobre o disco maior precisamos o míimo mais T movimetos. Assim, para resolver o problema precisamos a verdade de o míimo T T = T movimetos. Logo EUREKA! N, 00

Assim, de (I) e (II), Sociedade Brasileira de Matemática T (II) T T (*) = T Assim, como T (é só ver o caso = ), podemos, fazedo =, cocluir que = T = T = = (eatamete como achamos ates!!) e, fazedo =, descobriríamos que T = T = 7 (que coisa!). Para = 4, acharíamos = 4 = T = 7 = 5. T Se quiséssemos etão T para um valor qualquer de, devemos ter todos os valores de T k para k =,,,, mas com certeza é possível calcular. Uma seqüêcia deste tipo (isto é, tal que para calcular um dos valores usamos os valores ateriores) é chamada recorrete e a equação que relacioa os termos da seqüêcia é chamada de relação de recorrêcia (o caso, temos que (*) é uma equação de recorrêcia). Poderíamos parar por aqui (pois já sabemos como calcular os valores de T ), mas ecotraremos uma fórmula para T que ão depede de seus valores ateriores (tal fórmula é costumeiramete chamada fórmula fechada). Nem sempre se pode (e quado se pode, pode ser bem difícil) fazer isso com uma relação de recorrêcia, mas com esta em particular pode ser feita. Observe que temos "quase" T = T. Vamos ver se podemos acertar isso. Se somarmos um úmero aos dois lados da equação (*), temos T = T T = T Se fizermos = ( ) / = e sedo A T, temos A = = A = A = A = A =... = = A A Como A = T =, temos A =. Assim, A = = T = T T = Assim, precisamos de movimetos para resolver o problema da torre de Haói com discos. Ou seja, os sacerdotes precisarão de 64 movimetos. Mesmo se eles fizessem um movimeto por segudo, eles precisariam de mais de 500 bilhões de aos!! Podemos ficar traqüilos por equato. Para outros cometários e resultados sobre recorrêcia veja o artigo "Equações de Recorrêcia", de Héctor Soza Pollma, publicado a revista Eureka! N o. 9 EUREKA! N, 00

q { 0 }> /> h rd ÿ ù ƒ þ] ƒ} Sociedade Brasileira de Matemática T = Os aluos mais observadores devem ter otado de atemão que bem ates, quado calculamos T para valores pequeos de. Ter essa percepção = é bom, mas só perceber que T ão é suficiete. É preciso provar que esta relação realmete é verdadeira. As aparêcias podem egaar!! Por eemplo, cosidere a seqüêcia ( )( )...( 000) a = 00! (lembre-se : 00! = 00) Temos a =, a =,..., a 000. Isto poderia os levar a crer que a =, 000 = ão? Pois veja quato vale a 00 e você terá uma bela surpresa! -}> / s g 0. Ecotre uma fórmula fechada para cada uma das relações de recorrêcia a seguir: a) a = a 4, a 0 = b) b = b, b 5 = 0. (Prova de Seleção para a IMO e Olimpíada Iberoamericaa 00, adaptada) Seja f uma fução de t em t tal que, para todos, y, z reais, f ( y) f ( y z) f ( z ) f ( y z) a) Mostre que f ( a ) f (0) para todo a real. uv Mostre que f ( a) f (0) para todo a real e coclua que as fuções f ode f ( a) = f (0) são as úicas soluções do problema. { 0 }> /> h rd $w A grosso modo, uma fução f de um cojuto A em um outro cojuto B, é uma relação que toma cada elemeto de A e o trasforma em um elemeto f() de B. As equações de recorrêcia que acabamos de estudar são eemplos de fuções de N em R. 0. Na torre de Haói, supoha que em vez de trasferir a torre para um dos pios, você teha que trasferir a torre para cada um dos outros pios uma vez. Ecotre o úmero míimo de movimetos para resolver esse problema. EUREKA! N, 00

z y! z y t w u yz ô t v t u Šz {v t u w vyÿ ŠŒ t t u äª( ª> ~}̪ ªM Ì B? XZY[]\ ^`_af \ Sƒ\ b b (g O que desejamos mostrar com esse teto é o potecial sigificativo da trigoometria para resolver problemas de olimpíadas de matemática, pricipalmete quado combiada com algumas desigualdades. Esse teto, após a resolução de cada eemplo, apreseta um esquema da mesma, um Guia de Resolução, o qual busca facilitar o etedimeto geral do que foi feito. Caso o leitor queira tetar resolver tais eemplos ates de cohecer a resolução descrita aqui, poderá recorrer a este guia, como istrumeto auiliar. Vamos aos eemplos. *<!>C : (Seleção para IMO 99 Brasil ) Para reais positivos satisfazedo a b c = abc, mostre que, e determie a b c quado a igualdade ocorre. >Fp('$ A idéia básica para resolver esse problema é fazer uso da trasformação de um úmero real em tagete de outro. Isso vem do simples fato de que qualquer úmero real a pode ser represetado pela tagete de outro úmero real α pertecete ao itervalo ( π/, π/), sedo tal α úico isso é eplicado pelo fato da fução tagete, esse itervalo, ser bijetora e ter como imagem todo o cojuto dos úmeros reais. E sedo aida a um real positivo, podemos fazer a = tg α, α (0, π/). Agora, podemos pergutar: por que essa trasformação os seria útil? Isso é respodido se percebermos que a partir da cohecida idetidade trigoométrica tg²α = sec²α, obtemos o seguite resultado: / tg α = cosα, α ˆ, π α kπ, com o qual podemos simplificar a desigualdade a ser provada. É claro que se o estudate ão tem o devido costume com essas fórmulas, ele, provavelmete, ão as recoheceria e em pesaria em utilizar a trasformação EUREKA! N, 00 4

para tagete. Mas é aí que etra a relevâcia da trigoometria. Agora podemos prosseguir com a resolução. Façamos a = tg α, b = tg β e c = tg γ, ode α, β, γ (0, π/). Temos etão que tg α tg β tg γ = tg α.tg β.tg γ (). Como / tg α = cosα, α, π α kπ, etão o que devemos mostrar agora é que cos α cos β cos γ / para quaisquer α, β, γ (0, π/) que satisfaçam a codição (). Mas de () vem que tg (α β γ ) = 0 (verifique! Dica: use a fórmula da tagete da soma de três termos). Logo, como α, β, γ (0, π/), temos que α β γ = π. Para fializarmos a demostração, usaremos a seguite forma especial da desigualdade de Jese (ver [4]): se uma fução f é estritamete côcava (ver observação abaio) um dado itervalo (a,b), etão a... a f ( a)... f ( a ) f, para quaisquer a i (a, b), ocorredo a igualdade se e somete se os a i ' s forem todos iguais. E caso a fução seja estritamete covea (ver observação abaio) em um determiado itervalo a desigualdade muda de sial. Cotiuado, como a fução cosseo é estritamete côcava o itervalo (0,π/), temos que: cosα cos β cosγ α β γ π cos = cos = cosα cos β cosγ para quaisquer α, β, γ (0,π/), ocorredo a igualdade se e somete se α = β = γ = π/ a = b = c = tg π/ =, cocluido a demostração. \F #$$F$pŠ' A trasformação de um úmero real em tagete de outro e o uso da fórmula tg²α =sec²α. Uso da propriedade dada o euciado, para ecotrar outra de melhor proveito. Uso de uma forma especial da desigualdade de Jese., EUREKA! N, 00 5

{ 0 z Formalmete, uma fução f : I Œ, ode I Œ é um itervalo, é y f ( ) f ( y) estritamete côcava se f >, para quaisquer, y distitos y f ( ) f ( y) em I. E é estritamete covea se f <, para quaisquer, y distitos em I. Uma maeira geométrica de idetificar fuções estritamete côcavas ou coveas é observar a forma do gráfico das mesmas: se o gráfico for uma curva com cocavidade voltada para baio, a fução é estritamete côcava, e se a cocavidade for voltada para cima, é estritamete covea. Como eemplos de fuções estritamete côcavas, temos a fução f() = cos o domíio (0,π/) e as fuções logarítmicas cujas bases são maiores do que. E de fuções estritamete coveas temos a fução f() = tg o domíio (0,π/) e a fução f()=/se, com em (0,π). (Como eercício, classifique outras fuções cohecidas em estritamete coveas ou côcavas). É importate o leitor ver as referêcias [] e [4], ode ecotram-se defiições e resultados mais precisos e geéricos, além das demostrações. O próimo eemplo, da IMO de 996, é tido por algus matemáticos iteressados em olimpíadas (ver []), como o problema mais difícil já proposto em IMO s. É um problema de geometria associado a desigualdade (algo bastate eplorado em olimpíadas). *<!> : (IMO 96) Seja ABCDEF um heágoo coveo tal que AB é paralelo a DE, BC é paralelo a EF e CD é paralelo a FA. Sejam R A, R C, R E os raios das circuferêcias circuscritas aos triâgulos FAB, BCD, DEF respectivamete, e seja p o perímetro do heágoo. Prove que p RA RC RE. >Fp('$ Algo esse problema já os isiua a usar a trigoometria, você percebe? O fato dele relacioar raio de circuferêcia circuscrita com lado (que tem a ver com o perímetro) faz-os lembrar da cohecida lei dos seos, que afirma: dado um BC AC AB triâgulo ABC, temos que = = = R, ode R é o raio da sea seb sec circuferêcia circuscrita ao triâgulo dado (como eercício, prove-a). Daí, portato, podemos agora ão mais trabalhar com os raios dos triâgulos citados, mas sim com algumas diagoais do heágoo. Isso porque, pela lei dos seos, EUREKA! N, 00 6

obtemos que BF = R A.se F A B, BD = R C.se B C D, FD = R E.se E F (ou seja, ecotramos uma relação etre os raios citados o problema e algumas diagoais do heágoo, o que facilitará o osso trabalho). A próima parte da resolução do problema é a que eige uma maior dose de criatividade por parte do estudate. Vejamos. Prologuemos os lados paralelos BC e EF do heágoo (vide figura ). Por A e D tracemos perpediculares aos lados prologados, obtedo o retâgulo de vértices M, N, P e Q, ilustrados a figura. Como MN e PQ são as meores distâcias etre potos das retas paralelas BC e EF (pois esses segmetos são perpediculares às mesmas), temos que BF MN e BF PQ BF MN PQ BF AM NA DP DQ BF AB.seB AF.seF CD.seC DE.seE (), ode se X deota o seo do âgulo itero de vértice X do heágoo, o qual é igual ao seo do respectivo âgulo etero, pois os mesmos são suplemetares. M B C P D A D N F E Q figura Pela lei dos seos, ós já sabemos que BF/seA = R A. Etão dividido ambos os lados da desigualdade () por sea, obtemos: seb sef sec see 4 R A AB. AF. CD. DE. (I) sea sea sea sea E de forma aáloga, seguido os mesmos passos com as diagoais BD e DF do heágoo, obtemos: EUREKA! N, 00 7

seb sed sea see 4 R C BC. CD. AF. EF. (ii) sec sec sec sec sea sec sed sef 4 R E AB. BC. DE. EF. (iii) see see see see E agora, somado (I), (ii) e (iii), obtemos sea 4( R A RC RE ) AB. see see sed DE. EF. sea see seb sec BC. sea see see sec sef see FA. sea sec seb sec sec sed CD. sea sec sef. sea Agora observe que como os lados opostos do heágoo coveo são paralelos, ós temos que os âgulos opostos do mesmo são cogruetes. Assim, ós obtemos: sea = sed; seb = see; sec = sef. Por coseguite, ós temos que os fatores que estão multiplicado os lados do heágoo a última desigualdade acima são da forma (z /z), sedo z positivo (pois o seo de um âgulo maior que 0º e meor que 80º é sempre positivo). E é fácil verificar que z /z, para todo z positivo. Assim ós obtemos: 4( R A R C R ) ( AB BC CD DE EF FA) 4( R E p RA RC RE, cocluido a demostração. $ŽŠ & W W ~ ~ ŽW Š Š A R C R ) p Uso da Lei dos Seos. Uso das costruções: prologameto de dois lados opostos e traçado de perpediculares pelos dois vértices restates. Cogruêcia dos âgulos opostos do heágoo coveo. Uso da desigualdade: z /z, z > 0. d $ ~šœ ~ ž Ÿ (IMO 9) Seja ABC um triâgulo e X um poto iterior do mesmo. Prove que pelo meos um dos âgulos XAB, XBC, XCA é meor ou igual a 0º. E EUREKA! N, 00 8

Š ~ $ ŽŠ ( W Ÿ Sociedade Brasileira de Matemática Geralmete, em questões que evolvem um poto um iterior de um triâgulo, é útil traçarmos perpediculares a partir desse poto aos lados do triâgulo. Vamos utilizar isso. Sejam P, Q, R os pés das perpediculares traçadas por X aos lados BC, CA e AB, respectivamete. Para facilitar, deotaremos por α, β, γ os âgulos do triâgulo ( BAC, CBA, ACB) e por α, β, γ os âgulos XAB, XBC, XCA. A R Q B X P figura C Nós temos que PX = BX.seβ = CX.se(γ γ ); QX = CX.seγ = AX.se(α α ); RX = AX.seα = BX.se(β β ). Multiplicado essas três igualdades, ós obtemos: se( α α' ). se( β β'). se( γ γ ') = seα'. seβ'. seγ ' se( α α' ) se( β β ') se( γ γ ') seα' seβ seγ ' =. se( A ) Agora observe que a fução f ( ) = = sea.cot cos A é se estritamete decrescete o itervalo (0, π), visto que a fução cotagete é estritamete decrescete esse itervalo. Assim, se α, β, γ forem todos maiores que 0º, teremos que: se( α α' ) se( β β' ) se( γ γ ') se( α 0º ) se( β 0º ) se( γ 0º ) = < seα ' seβ seγ ' se0º se0º se0º se( α 0º ) se( β 0º ) se( γ 0º ) > se0º se0º se0º = () 8 EUREKA! N, 00 9

Mas, ós temos que: se( α 0º ). se( β 0º ) = = ( se( γ 0º )) ( cos( α β) cos( α β 60º )) ( cos( α β 60º )) Observe que essa última igualdade decorre do fato de (γ 0º) ser complemetar a (α β 60º). Cotiuado, ós temos que: se( α 0º ) se( β 0º ) se( γ 0º ) = se( γ 0º ) 4. 8 ( se( γ 0º )). se( γ 0º ) = Mas esta última desigualdade obtida cotradiz (), logo α, β, γ ão podem ser todos maiores do que 0º, o que ecerra a ossa demostração. $ŽŠ & W W ~ ~ ŽW Š Š Ÿ Costrução das perpediculares a partir de X aos lados do triâgulo e obteção da igualdade: se ( α α'). se( β β'). se( γ γ ') = seα'. seβ'. seγ '. Esses âgulos são idetificados o iício da resolução. se( A ) Observar que a fução f ( ) = é estritamete decrescete. se Supor, por absurdo, que todos os três âgulos são maiores do que 0º, e chegar a uma cotradição. d $ ~šœ ~ dÿ Prove que, detre quaisquer cico reais y, y, y, y 4, y 5, eistem dois, que satisfazem: yi y j 0. y y i j = EUREKA! N, 00 0

Š ~ $ ŽŠ ( W Ÿ Sociedade Brasileira de Matemática Olhado para o termo do meio da desigualdade acima, o que ele os faz lembrar? Sem muita dificuldade, associamo-lo logo à formula da tagete da difereça. Etão mais uma vez façamos uso da trasformação para tagete. Isto é, façamos y i = tg i, i =,,, 4, 5, i ( π/, π/). Como tg 0 = 0 e tg π/4 =, devemos ter agora: tgi tg j π π tg0 tg tg0 tg( i j ) tg. tg. tg 4 4 i j E aida, como o itervalo ( π/, π/) a fução tagete é sempre crescete, π obtemos 0 i j. Agora o que temos que provar é que eistem dois 4 detre os cico i s que satisfazem esta última desigualdade. Para isso, usamos o cohecido Pricípio da Casa dos Pombos. Dividamos o itervalo ( π/, π/) de tamaho π em outros quatro itervalos de tamaho π/4. Assim, pelo pricípio citado, dois detro os cico i s estarão o mesmo itervalo, os quais vão satisfazer a desigualdade pedida. $ŽŠ & W W ~ ~ ŽW Š Š Ÿ Uso da trasformação para tagete. Aplicação da tagete da difereça. Uso do Pricípio da Casa dos Pombos. Fializamos esse teto com algus problemas para o leitor eercitar o que foi mostrado. É lógico que eiste mais de uma solução para cada problema, mas pede-se que o leitor tete resolvê-los utilizado a trigoometria e as desigualdades mostradas ou outras cohecidas. d $ ~ Š Š ( ~Ÿ. (IMO 6) Prove que, para qualquer triâgulo de lados a, b, c e área A, temos que: a b c 4 A. EUREKA! N, 00

d Prove que, detre úmeros reais, eistem dois, e y, tais que: ( ). y y. (OBM 85) Um quadrilátero coveo está iscrito em uma circuferêcia de raio uitário. Demostre que a difereça etre seu perímetro e a soma de suas diagoais é maior do que zero e meor do que. (Ibero-Americaa 88) As medidas dos âgulos de um triâgulo estão em progressão aritmética e as medidas das alturas do mesmo também. Prove que o triâgulo é equilátero. ªd (Putam 78) Ecotre a área de um octógoo coveo que está iscrito em uma circuferêcia e que tem que quatro lados cosecutivos medido uidades e os lados restates medido uidades. Dê a resposta a forma r s t, com r, s e t iteiros positivos. «d (Grã-Bretaha 84) O quadrilátero ABCD tem uma circuferêcia iscrita. Para o lado AB ós associamos a epressão f(ab) = p.(se (se D A B ) p. A B C ), ode p e p são as medidas das perpediculares traçadas de A e B, respectivamete, até o lado oposto CD. Defiimos f(bc), f(cd) e f(da) similarmete, usado para cada um as perpediculares ao lado oposto. Mostre que f(ab) = f(bc) = f(cd) = f(da). d (IMO 9) Em um triâgulo ABC, as bissetrizes AD, BE, CF ecotram-se o poto I. Mostre que: 4 IA AD. IB BE d Mostre que se um quadrilátero de lados a, b, c, e d é iscritível e circuscritível etão sua área é abcd.. IC CF 8 7. EUREKA! N, 00

d Uma fução d(, y) de dois reais, y é chamada distâcia se d(, y) = d(y, ); d(, ) = 0 ; e d(, y) d(y, z) d(, z), para quaisquer reais, y, z. Prove que a seguite fução é uma distâcia: d(, y) = y y. d Sejam, y, z reais positivos tais que y yz z =. Prove que: ( ) y( y ) z( z ) ( ) ( y ) ( z ) y y z z Rafael Tajra Foteles cursa a ª. Série do Esio Médio o Istituto Dom Barreto de Teresia PI. O Prof. José Nazareo Cardeal Foteles da Uiversidade Federal do Piauí e coordeador de matemática do Istituto Dom Barreto colaborou com o artigo, fazedo a revisão do mesmo. ( Š± ŠŸ [] ENGEL, Arthur. Problem-Solvig Strategies. Spriger-Verlag, New York, 998. [] LARSON, Lore C. Problem-Solvig Through Problems. Spriger-Verlag, New York, 98. [] MEGA, Élio & WATANABE, Reate. Olimpíadas Brasileiras de Matemática ª a 8ª. Comissão de Olimpíadas da SBM. Núcleo, São Paulo, 988. [4] MUNIZ NETO, Atôio Camiha. Desigualdade Elemetares. Eureka! Nº 5. OBM, 999. [5] Págia da Web matida por Joh Scholes: www.kalva.demo.co.uk/ EUREKA! N, 00

ÑZÒÓ]Ô Õ ÖWÓd PØ Ù ÚPÛ(Ü ²O³O &µz O² º¹ Ḿ»½¼¾µy² AÀ(Á=Âà À ÄMÅÇÆ ÈPÉ ÈMÊ5Ë5Ä ÌÍÉ ÎÄ? WÏÂРSociedade Brasileira de Matemática Um poliômio é uma epressão da forma p ( ) = a0 a a... a. Uma série formal é uma epressão aida mais simples - basta apagar o último termo: p( ) = a0 a a... Somas e produtos são defiidos de maeira aáloga às operações correspodetes com poliômios. Assim, por eemplo, (...)( ) =...... = de modo que podemos escrever... = /( ). De maeira geral, podemos "compactar" uma série formal a a a forma /( a), que certamete ocupa bem meos espaço que uma série ifiita Vejamos uma primeira aplicação das séries formais. Vamos determiar uma "formula fechada" para a seqüêcia defiida por a 0, a e 0 = = = 5a a para 0. A idéia é cosiderar a série formal a 6 f ( ) = a0 a a... e tetar "compactá-la" e depois "descompactá-la". Para alcaçar o primeiro objetivo, observe que f ( ) = a a a a... 0 5f ( ) = 5a0 5a 5a... 6 f ( ) = 6a 6a 0... Somado as equações acima, os coeficietes de,, aulam-se e ficamos com ( 5 6 ) f ( ) = a0 ( a 5a0 ) f ( ) = 5 6 Agora, como descompactar f()? O truque aqui é "quebrá-lo" em pedaços que sabemos como descompactar. Observe que 5 6 = ( )( ) e que é razoável procurar costates a e b tais que EUREKA! N, 00 4

a b = Sociedade Brasileira de Matemática ( a b) (a b) = 5 6 ( )( ) 5 6 a b = 0 a = e b = a b = Logo f ( ) = = = (...) (...) 5 6 Assim, o coeficiete de [ ] f ) = a 0 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) em f() (deotado por [ ] )) (, pela defiição de f(), logo a =. ~ Š A ~šœ... f ( é. Mas Utilizado séries formais, ecotre "formulas fechadas" para as seguites seqüêcias: a) F 0 = 0, F =, F = F F para 0 (esta é a famosa seqüêcia de Fiboacci) b) t0 = t =, t = t 4t para 0 c) p0 = p =, p = 0, p = 7 p 6 p para todo 0 ~ Š A ~šœ Calcule (As outras seqüêcias ão tem ome. Alguma sugestão?) F 0 0 0 F 0 F 0 F 0... em que F deota a seqüêcia de Fiboacci. Outra aplicação das séries formais é ajudar a cotar. Neste coteto, as séries formais recebem o ome de fuções geratrizes. O esquema geral é o seguite: o epoete de quatifica alguma propriedade em que estamos iteressados, EUREKA! N, 00 5

EUREKA! N, 00 6 como o comprimeto de uma seqüêcia, o úmero de cojutos em uma partição, a quatidade de duedes verdes em um jardim, etc. Se para cada objeto associarmos tal potêcia de e somarmos estas potêcias, o coeficiete de será, respectivamete, o úmero de objetos com comprimeto, o úmero de partições com cojutos, o úmero de jardis com duedes verdes, etc. Por eemplo, cosidere o problema de determiar o úmero de maeiras de se escrever como soma de termos,,, sem levar em cota a ordem dos termos. A idéia aqui ão é tetar obter este úmero para um valor particular de. Somos mais ousados: vamos obter todos estes úmeros de uma só vez. Para isto, escrevemos a fução geratriz f() que é a soma das potêcias s para cada soma s:...... ) ( 0 = = f ( 0 correspode à soma sem ehum termo), de modo que, por eemplo, o coeficiete de é o úmero de maeiras de escrever como soma ão ordeada de termos,,. Aparetemete, obter ) ( f é uma tarefa mais difícil do que a iicial. Mas observe que cada termo de ) ( f é o produto de um termo da forma somas de 's, um termo da forma somas de 's e um termo da forma somas de 's, logo...)...)(...)( ( ) ( 0 0 0 = f...)...)(...)( ( ) ( 9 6 6 4 = f ) ( f = O problema agora é ecotrar [ ] ), ( f o que pode ser feito utilizado-se as técicas já vistas. ~ Š A ~šœ & Mostre que o úmero de partições ão ordeadas de com eatamete k termos distitos é [ ] ) ( j j j k y y

~ Š A ~šœ & Sociedade Brasileira de Matemática a) Ecotre costates a, b, c, d, e, f tais que a b ( ) = = ( ) ( ) c d e f ω ω f em que ω = ( i ) /. ( ) 7 ( ) ω ω ( ) b) Mostre que [ ] ( ) = = f em que deota o maior iteiro meor ou igual a. ~ Š A ~šœ ª 7 a) Determie a fução geratriz do úmero de soluções da equação... k =, em que i são iteiros positivos, i k. b) Determie a fução geratriz do úmero de partições ordeadas de. (por eemplo, 4 = = = = = = =, de modo que há 8 partições ordeadas de 4) c) Determie o úmero de partições ordeadas de. Os próimos problemas mostram uma técica muito importate chamada covolução. Ela se baseia o seguite fato: se f ( ) = f f f f... 0 0 g ( ) = g g g g etão h ( ) = f ( ) g ( ) é a série formal associada à seqüêcia h 0 = f 0 g 0, h = f 0 g fg 0, h = f 0 g fg f g 0,..., hk = f i g j,... ~ Š A ~šœ «8 9... i j = k a) Mostre que se f() é a fução geratriz da seqüêcia ( a ) 0, etão f ( ) /( ) é a fução geratriz da seqüêcia b = a 0 a... a. b) Prove que F 0 F... F = F, em que F deota a seqüêcia de Fiboacci. (Este resultado pode também ser provado facilmete sem o uso de séries formais. Tete!) EUREKA! N, 00 7

~ Š A ~šœ Prove que F 0 Sociedade Brasileira de Matemática F F... F = F 0 em que, adivihe, F deota a seqüêcia de Fiboacci! ~ Š A ~šœ a) Mostre que o úmero de triagulações T (por diagoais que ão se iterceptam fora dos vértices) de um polígoo coveo de vértices satisfaz T = TT TT... TT em que T =. b) Prove que T ( ) = T T T c) Mostre que T =. 4 ( 4)... = / ( T é o assim chamado -ésimo úmero de Catala). Para isto, lembre-se da fórmula do biômio de Newto geeralizada: r r ( ) = k 0 k k, r r( r )( r )...( r k ) =, k k k! Þ Ý Muitas vezes, as fuções geratrizes são utilizadas ão para calcular o úmero eato de maeiras de se fazer isto ou aquilo, mas para mostrar que duas quatidade são iguais. Vamos mostrar que o úmero de partições (ão ordeadas) de em aturais distitos é igual ao úmero de partições (também ão ordeadas) de em aturais ímpares. Por eemplo, 7 = 5 = = = e 7 = 6 = 5 = 4 = 4, de modo que em ambos os casos o úmero de partições em aturais distitos é: ( )( )( )( equato que o úmero de partições em aturais ímpares é dado por 4 )... e r EUREKA! N, 00 8

(...)( Sociedade Brasileira de Matemática...)...( 5 = (...)(...)...( 6 9 = 5... 5 0 5 5 5 5 5 5...)......)... Observe que as epressões acima são iguais! De fato, para se covecer disto, basta multiplicar as igualdades Isto completa a demostração. ~ Š A ~šœ 4 =, =, =,... a) Escreva a fução geratriz do úmero de maeiras de escrever um úmero como soma de potêcias distitas de. b) Verifique que a fução acima é igual a /( ). c) Utilizado os resultados acima, mostre que todo úmero pode ser escrito de maeira úica em base. ~ Š A ~šœ Prove que o úmero de partições de em que apeas as partes ímpares podem ser repetidas é igual ao úmero de partições de em que ehuma parte aparece mais do que três vezes. ~ Š A ~šœ Prove que o úmero de partições de com uma úica parte meor (ela ocorre uma úica vez) e parte maior o máimo duas vezes a parte meor é igual ao úmero de partições de em que a maior parte é ímpar e a meor parte é maior do que metade da parte maior. ~ Š A ~šœ Mostre que o úmero total de 's as partições de é igual à soma dos úmeros de partes distitas em cada partição de. 6 EUREKA! N, 00 9

ê Sociedade Brasileira de Matemática ¹ ßàµá»žâOã ¼¾ä¼ ²å¼¾¹æḾ OäM¹ çäm¹æ»žèmé&äm¹ ë O comitê editorial de ìaízîìaï Ö! agradece aos admiradores da seção Olimpíadas ao redor do Mudo o evio de críticas, soluções e possíveis erros os euciados dos problemas. Diversos leitores apotaram um possível erro o euciado de: ðšœñ òóôöõ` ødù d d dú Seja um úmero atural tal que possui 8 divisores distitos e o úmero possui 0 divisores distitos. Qual o úmero de divisores do úmero 6? Na realidade o problema está errado mesmo, apesar de correspoder à versão publicada em : http://www.olsedim.com/olympiad/99.html De fato, se tem 8 divisores, só pode ter 4, 4 ou 54 divisores (prove!). O problema é parecido com a 9ª. questão da ûpü ý þ7ÿ ode os úmeros que possuíam 8 e 0 divisores eram respectivamete e, e pedese o úmero de divisores de 6 (Esse tem solução!). Cotiuamos salietado que estamos à disposição a OBM para aqueles que estiverem iteressados a solução de algum problema particular. Para tato, basta cotactar a OBM, através de carta ou e-mail. ÿ5ý 5ý Primeiramete vamos aos problemas propostos deste úmero d ø ù d d ú! #"$%$ Os coeficietes a e b da equação a b = 0 e suas raízes são quatro úmeros distitos. É possível determiar a equação usado estes quatro úmeros? d ø ù d d ú! #"$%$ Um iteiro positivo é chamado perfeito se a soma de todos os seus divisores, ecluido, é igual a. Prove que se um úmero perfeito maior do que 8 é divisível por 7 etão ele é divisível por 49. ø ù d d ú! #"$%$ Prove a eistêcia de úmeros reais distitos a, a,..., a 0 tais que a equação: a a... a0 = a a... a possua eatamete 5 raízes reais distitas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 EUREKA! N, 00 40

! #"$%$'& (%) d d %* Sociedade Brasileira de Matemática O círculo iscrito o triâgulo ABC possui cetro O e tagecia o lado AC o poto K. Um segudo círculo S com cetro o mesmo poto O itersecta todos os lados do triâgulo ABC. Sejam E e F os potos de iterseção de S com os lados AB e BC que estão mais próimos do vértice B; B e B são os potos de iterseção de S com o lado AC com B mais próimo de A. Se P é o poto de iterseção dos segmetos B E e B F, mostre que os potos B, K e P são colieares. ªd!,#-.%. & (%) d d %* A seqüêcia de úmeros reais (, a a ) codição: ( ) a satisfaz a,..., a a a = a a a para todo, 000. Mostre que todo elemeto da seqüêcia é um úmero iteiro. «d!,#-.%. & (%) d d %* Cada um dos úmeros 000,,,..., N é preto ou braco. É permitido mudar simultaeamete as cores de quaisquer três dos úmeros se um deles é a média aritmética dos outros dois. Determie os valores de N para os quais é possível fazer com que todos os úmeros fiquem bracos. d!/0.45 & (') d d '* Determie todos os restos possíveis da divisão do quadrado de um úmero primo com 0 por 0. d!/0.45 & (') d d '* Em um iteiro positivo M, de três algarismos, o algarismo das ceteas é meor do que o algarismo das dezeas e o algarismo das dezeas é meor que o algarismo da uidades simples. A média aritmética de M com todos os úmeros de três algarismos obtidos pela reordeação dos algarismos de M termia em 5. Determie tais úmeros M. d!/0.45 & (') d d '* Gustavo covidou um úmero ímpar de pessoas para a festa de seu aiversário e os dispôs em toro de uma mesa circular de modo que os vizihos de cada meia fossem meios, os vizihos de cada meio, eceto Gustavo cujos vizihos eram ambas meias, fossem uma meia e um meio. Mostre que : a) o úmero de meios covidados para a festa é divisível por 4. b) a direção diametralmete oposta a Gustavo está setada uma meia. d d!/0.'6 7980:%5 & (%) d d %* Seja H o ortocetro de um triâgulo acutâgulo ABC com AC BC. A reta que passa pelos potos médios de AB e HC itersecta a bissetriz do âgulo ACB o poto D. A reta HD passa pelo circucetro do triâgulo ABC. Determie a medida do âgulo ACB. EUREKA! N, 00 4

d d!/0.'6 7980:%5 & (%) d d %* Sociedade Brasileira de Matemática Sobre uma mesa eistem pilhas de moedas. Um movimeto cosiste em escolher uma das pilhas com pelo meos três moedas, pegar uma moeda desta pilha, retirá-la da mesa e fialmete dividir as moedas restates desta pilha em duas outras pilhas (ão ecessariamete do mesmo tamaho). É possível obtermos somete pilhas com três moedas após vários movimetos se começarmos com uma úica pilha com 000 moedas? d d!/0.'6 7980:%5 & (%) d d %* Determie todas as fuções f : ; ; que satisfazem a f y = para todos, y ;. codição f ( ( ) y d d %*!/0.'6 7980:%5 & (%) Sobre uma mesa estão três caias com pelo meos uma bola em cada uma delas. Um movimeto cosiste em duplicar o úmero de bolas de uma das caias de modo que o úmero de bolas ecessário para tal seja retirado de uma das outras duas caias. É possível que após vários movimetos uma das caias esteja vazia? & < 6 7=>-.'. & (') d '* Determie todos os pares de úmeros iteiros (, y) que y 6 y 6 y y = satisfazem a equação: ( ) ( ) ( ) 0 dªd & < 6 7=>-.'. & (') d '* Seja M o poto de iterseção das diagoais AC e BD de um quadrilátero coveo ABCD. Seja K o poto de iterseção do prologameto do lado AB, o setido de B para A, com a bissetriz do âgulo ACD. Sabedo que MA MC MA CD = MB MD, prove que BKC = CDB. d«d š 76?@8 & (') d '* Para cada subcojuto ão vazio X do cojuto M = {,,...,000}, seja a X a soma do meor com o maior elemeto de X. Determie a média aritmética de todos tais úmeros a X assim obtidos. d d š 76?@8 & (') d '* Determie o valor máimo do produto y se os úmeros reais e y satisfazem a relação: y ( ) = 4y. d d š 76?@8 & (') d '* Dois círculos se itersectam os potos M e N. A reta que passa por M itersecta os círculos os potos A e B de modo que M ( AB). Os potos C e D são os potos médios dos arcos AN e BN respectivamete e que ão cotém o poto M e os potos K e L são os potos médios dos segmetos AB e CD respectivamete. Prove que CL = KL. EUREKA! N, 00 4

d d!a0bc D (') d d '* Sociedade Brasileira de Matemática Seja q() a soma dos algarismos de. Qual o valor de q q q 000 000? ( ( ( ) d d!ef>g'h & (') d d '* Determie o úmero primo p para o qual o úmero 4 p p p p é um quadrado perfeito. d d!,#i'j-k6 & H (.MLNH'OI'H ( IP/0.%6 7Q8 ( H (') d '* Sejam P ( ) e ( ) quadráticos tais que três das raízes da equação ( Q( ) = 0 Q dois triômios P são os úmeros, 7 e. Determie a quarta raiz desta equação. d d!,#i'j-k6 & H (.RLNH'OI'H ( IS/0.%6 7Q8 ( H (') d '* Sabedo que a, b e c são úmeros reais positivos, resolva o sistema o cojuto dos úmeros reais positivos : y z = a yz y y = b z zy z = c Uma seqüêcia ( p, p,..., p ) de úmeros primos satisfaz à seguite codição: para, p é o maior divisor primo de p 000. p é limitada. ( 76 5 & (') d d '* p Mostre que a seqüêcia ( )!T.'F ( I%6 ) d '* ABC é um triâgulo do Plao Cartesiao cujos vértices são potos de coordeadas iteiras. As medidas de dois dos lados AB, BC e CA 7, 999, 000. Qual o valor máimo possível pertecem ao cojuto { } da área de ABC? dªd!t 5U6 ( 4I'F>F (') d d '* Sejam P e Q os potos de tagêcia da tagete comum a dois círculos C e C que se itersectam os potos M e N sedo N mais próimo de PQ do que M. Mostre que os triâgulos MNP e MNQ possuem áreas iguais. d«d!t 5U6 ( 4I'F>F (') d d '* d d!v#6 I'W ( 5O (') d d '* Quais os iteiros positivos a e b tais que ( b ) = 49 0 a 6. Determie os úmeros reais tais que: 5 7 9 = 48 EUREKA! N, 00 4

Y X X d d!v#6 I'W ( 5O (') d d '* Sociedade Brasileira de Matemática Um quadrilátero coveo ABCD está iscrito em um semicírculo de diâmetro AB. Sejam S o poto de iterseção de AC e BD e T o pé da perpedicular baiada de S a AB. Mostre que ST divide o âgulo CTD ao meio. d d!t 5U6 ( 4I'F>F (') d d '* As medidas dos âgulos B e C de um triâgulo isósceles ABC são iguais a 50 º. Sejam D e E potos sobre os lados BC e AC respectivamete de modo que BAD = 50º e ABE = 0º. Determie a medida do âgulo BED. d d 76 5 & (') d d ) Seja X o cojuto de todos os iteiros positivos. Prove ou disprove a seguite afirmação : Eiste uma fução : verdadeira para todo. f tal que a igualdade f ( f ( ) Z[Z\Z = é Agora vamos aos cometários e soluções dos leitores para algus dos problemas apresetados em ossa seção os úmeros ateriores da ] ^ _ ]a`cbed f B6 Ug%F & (') d '* Seja ( ) e distitas da equação f ( f ( ) = 0. f = h ijklmioqportsjivu ortjwiy{zwicr h mivu skji}h u ~ A resposta é 7. Utilizado cálculo, a derivada de ( ) potos críticos ocorrem em (,) e (, ) Mas f ( ) =, f ( 0 ) = e ( ) = itervalos (, ), ( 0,) e (,). Determie o úmero de soluções reais f é, e etão seus, respectivamete máimo e míimo. f assim, as raízes de f pertecem aos. Se cotarmos o úmero de vezes que f atravessa completamete cada itervalo obteremos a ossa resposta. Com efeito, f atravessa (, ) uma vez (quado < ), atravessa o itervalo ( 0,) três vezes (quado < <, 0 < < e <, três vezes < ); atravessa o itervalo ( ) também e portato a equação f ( f ( ) = 0 possui 7 raízes. EUREKA! N, 00 44

Sociedade Brasileira de Matemática!,#I'J-K6 & H (. L#H%OI%H ( IR/0.%6 798 ( H (') d d ) Determie todos os úmeros reais tais que 88 =. ƒ ˆŠ tœ { tœž Ž cƒ tœ Œ t Œ t Œ 'Œ š œ A resposta é = ) Se 0. Com efeito, 7 88 88 é da forma com k. k pois, se < teríamos < 4 = etão 8 88 = 9 tem-se que 9 7 Como e daí : 88 = 7 = (ão serve) 7 88 = 8 = = 8 7 88 = 9 = (ão serve) 9 ) Se 0 etão < 4 4 > 88 por outro lado, e portato, ão há soluções egativas. 4 = 8 d! 076 5 & (') d d ) Prove ou disprove a seguite afirmativa : a b Todo úmero racioal positivo pode ser escrito sob a forma 5 7 c d c e d são iteiros positivos. ode a, b, ƒ ž Ÿ t Š vž tœž 0Œ Œ t Œ Š v ŽcŒ ˆŠ œ A afirmativa é verdadeira. Fazedo a = y, b = 5 y, c = y e d = y para quaisquer iteiros positivos e y, temos: EUREKA! N, 00 45

a c 5 b d 7 = Sociedade Brasileira de Matemática 5 6 4 5 6 ( y ) ( y ) y y = = 5 7 5 5 4 7 ( y) ( y) y y y Como todo úmero racioal pode ser obtido pelo quociete de dois úmeros iteiros positivos, a afirmação está provada. %! #ª«%«' % %±'± ) Um úmero de 0 algarismos é dito iteressate se todos os seus algarismos são distitos e ele é um múltiplo de. Quatos úmeros iteressates eistem? ƒ ž Œ t²š vž tœ{ž cœ Œ t Œ v c t ŽŒq c ˆ œ A resposta é 456. Seja I um úmero iteressate etão I 0 9 0( mod 9) = = Logo, I 99999 N ( 0 ) N Digamos, N = aaaa4a5 logo, 9 5 I = 0 a 0 a 0 a 0a a 9 6 5 5 4 5 para algum úmero atural N de 5 algarismos. 4 5 4 ( a ) 0 ( 9 a ) 0( 9 a ) 0 a. I = 0 a 0 a4 0 5 4 5 Sejam d, d,..., d9, d0 os dígitos de I, esta ordem, etão d d6 = 9, d d7 = 9, d d8 = 9, d 4 d9 = 9 e d 5 d0 = 9. Como os úicos pares de dígitos cuja soma é 9 são (0,9), (,8), (,7), (,6) e (4,5) o úmero de possibilidades para d, d,..., d9, d0 é 9 8 6 4 = 456 '!³# >µ ' '! '±'±%±'¹ Resolva a equação = ( 4 ) º»¼½¾»ÀÁqÂÁÃtļÀ»v ÁÃt¼ÅƻǺ»v #Ľ¼»vÈcº ÉÊ As soluções da equação são ( cos80º )., ( cos 0º ), ( cos 40º ) e EUREKA! N, 00 46

y Com efeito fazedo-se 4 = y temos que = para 0 e 4. Fazedo as devidas substituições e simplificado chegamos a ( y y 8) = 0 y o que implica em y = 0 = e y y 8 = 0. Aplicado-se a fórmula da equação do terceiro grau esta última temos: ou y = y = 8 4 π ode θ = k π. Daí, outras raízes. 8 i i = 8 4 8 θ cis cis θ π y = 4 cos ( 6k) 9 para k = 0,, e assim obtemos as Obs: Também é possível chegar às soluções fazedo = cosθ, = seθ 4 cos = 4 θ seθ se θ cosθ = seθ cosθ se( θ 0 ) = se( θ ). Podemos fazer θ = 0, θ = 50, θ =70 ou θ = 90, e obtemos as mesmas soluções (aida que escritas uma outra forma: =, ( cos 40 ) = =, cos0 cos 90 cos70 ( cos0 ) = = e ( cos80 ) = cos70 cos0 cos50 ). EUREKA! N, 00 47

ß Ë%Ì' Sociedade Brasileira de Matemática Ë'Ì%Ì'Ì!Í0«'Î ' Ï % ¹ Mostre que eiste uma seqüêcia de iteiros positivos ( a, a,..., a,...) tal que a a... a é um quadrado perfeito para todo iteiro positivo. º»¼½¾»ÀÁ Ð ÄÃtѲŠ¼Å»vÐ ÅÃtÄ{ÆÀcÄ ÀÁ Ò ÄÃtÓļ Ô»vÇÕcÁÃtÁÖÅÆÄqÈc ØÉÊ Cosideremos a seguite seqüêcia: Desta forma teremos : k = a = e = k= a = = k ( a ) k, {,,4,... } ( a ) ( a ) ( a ) = ( a ) ( a ) = ( a ) k k o que coclui a demostração. (ote que a é sempre par, e também é igual a a ( a ), para todo ). Ë%Ù' Ë'Ì%Ì'Ì!Í0«'Î ' Ï % ¹ Determie o maior úmero iteiro N que satisfaz as seguites codições : N (a) possui seus três algarismos iguais. (b) N é igual à soma de úmeros aturais cosecutivos a partir de. º»¼½¾»ÀÁ ÚÛļ¼ ÄÑÁ Ü»cÀÃtÅݽÁÖqÀÁ Þ»¼ÄÆcÀÄqÐ ÅÃtÄÆÀcÄ ÇÕ0Áà ÁÖÅÆcÄ È ØŠÉÊ De acordo com as codições (a) e (b), tem-se que ou seja, N ( ) = =, k k ; k 9 8 k = EUREKA! N, 00 48

Como é atural, o radicado deve ser um quadrado perfeito o que ocorre somete para k = 6 que substituído a epressão aterior os forece = 6 e N N daí, = 6 = 666 667 > 666 00 > 998 N e portato o maior N que satisfaz às codições dadas é 000. Atededo a um pedido especial do leitor José Reato Careiro e Careiro atecipamos a solução de: Ù%Ù'!Í0«'à á9â0 % % %±'±'±%¹ Determie todos os iteiros e y que satisfazem à equação 9y 7 = y. º»¼½¾»ÀÁ ã ÄÆÅÁ¼ ÅÆÔÁÅÃt»vº»äÃtÁÅÃtÄ Çå»cà æä¼á{ç'ä ÈcÒè ÉÊ As soluções da equação são (,7) e ( 7, ) Fazedo-se. y = a, substituido-se e simplificado a equação proposta chegamos a: ( 9 ) ( 9 ) 7 0 a a a a = (*) Esta equação deve possuir soluções reais para possuir raízes iteiras. Seu discrimiate é: ( 9 a) 4 ( 9 a)( 7 a ) = ( 9 a)( a 9 508) D = a 9 Se a 6 etão a a 540 e D < 0. Para a temos 9 a > 0 e a 9a = a ( a 9) 4 < 508. Para 8 a, a ( a 9) 64 6 < 508, e para a 9, a ( a 9) 0 < 508. Assim, 0 D somete para a {,4,5}. Para a = obtemos uma cotradição em (*). Para a = 4, a equação 4 = 0 é satisfeita com = e = 7. Para a = 5 a equação 5 = 0 ão tem ehuma solução iteira. As úicas soluções da equação proposta são portato,7 7,. ( ) e ( ) ééé EUREKA! N, 00 49

Eviaram soluções de problemas os seguites leitores da êìë íêìî ï! ðcñòôó%õöø úùû ýü4 #öþ ÿþó ò ö ó ó ù ñ!ö ö ÿ 'ó 0 ÿ! " ðcò>ö ñ ò$#ý ñšñ % ü4 &tó øõ '% ñ () *, * -*. / ñ0øò> #ö % ó ó ó%õ òþ ù ñ (. * " *,*. " *. *(. ó%ñõ ð45 ÿýó ó'õ 6 ÿ ñ (. * *.*. ) ýó ò õ ö 4% 7 ó ó #ö ù4ó ò ñ ù ñ ( *, * *. ) *.8 *(!" 94ö ò ö ðò ö ñ ó4ö 4%: õ;ûó <ô ñ ó%õ ôó 9 ñ () * * * " *, *(. *. 8*. *! " <ôó=ýñ?> A@ ó ó <ô ñ ó%õ ôó 9 ñ (.. 5 ñ ó%õöø A ñõ ò % ü4 &tó øõ '% ñ BC. * " 5 ñ ó%õöø A ñõ ò Nù=Døò {ñ % ü4 &tó øõ '% ñ!ö ö ÿ = ó 0 ÿ (!" 5 øñ ó òe@ ö ñ ö % ó ÿýó ó'õ 6 ÿ ñ () * - F òøñ HG ó % ó ò ó ò ó % ó%õ;ûó4öø {ñ /þð ñ (, * - *!* " * *(. *. "*.=*. ) *.8 *.. I õ @ ój {ññ K4óù=Døò ñ % ó%õ;ûó4öø {ñ /þð ñ (8) * ) *=J* - * *(. ùû L5E õ M ñ @' {ñ ñ ón ò ù ö < ñ ó @5 ñ (- @ ó%ñ õ ö % ó #ö ù4ó ò ñ ù ñ ( *, @ ó%ñ õ O òô Nö P õ ; ñ ó / õ Q ûð ñ ( * ) *,* - *8 *( *. )*. - *.. *.! @ ó%ñ > õ A@ ñ ó%ò>öýóö ó%ñ;ûó'õmô # ñ òôó =I ñ () *! * *! *." *(.) @6R%ñ &@ ñ ó ò öýóö ó%ñ;4ó%õ M # ñ òôó =I ñ () * - *.* ) @ ó=øñ &< õ 0ö 4% 6ôó #ö ù4ó ò ñ ù ñ ( * - @øñ õ ESQó {ò õ ðcò>ö{ñ ó4ö @ ó TE ð G ñ () *, P$ JU ó%õöý &@ õ õ %$V {ò7 óûöý P õ > EV ó % ñ BC) *) 8 *, )*-, *) *(. * "* 8 *. ) *., 4ó=øõ #ðcõ 4ó òôö ñ ðcñ ó=dw % 6 ó # ñ òôó =I ñ (,, *- *- *8=*8) *(8 þö{ñ ø Nð6 ó%ñ= òm ñ <ô ñ ó%õ ôó 9 ñ ( * *.* " *, *(.) *. òx ó%ñšõ % 6 óh ó <ô ñ ó%õ ôó 9 ñ () *. * - Y ó%õ õó J Z ö @4 @ ñ ó òôöþó # ñ òôó =I ñ ( * ) *,* - *. *(! * )* *. *." *. )*. [&\$]_^a`beczd bfe gih$jlk me m_ko:p_qemlrsout vw_jym$vzjr : Lˆ _ :Š_ _ŒŽ $ ˆ LŒŒ _ : :ŒL {4 Z &}~jlp_k$m:p$y o4r m$v oe 4h$rƒo_v f f f f Q Zš_ f f f Z œÿž : $ Eª :«f f f f Z f & Q Ž fš_ f Z f f f œ žbœÿ : $ Žœ $ uª $«f f f f Z f f & ²± ³f _µzµfµfµfµ µfµzµ Ÿ J ¹:º»¼$½ º¾ ½$ºuÀ ½$Á f f f f Z f f f f Q± ³Z _µfµfµ µfµzµfµfµfµfµe J ¹_º»¼$½ º 'ī½$ºuà ½:Á ÂuÃÃ$Ä:à ÅLÆ_ÇÈÄÉÊ$ÃÌË ÊLÇÍÇÈÎÏ ÐÊ$ÃÌÑ ÃÒ:ÊÓÐÊ_ÔEÊ ÃÓÕ_É_Ï Ç Ê$Ã_Ö følù ØÌÚ$ÛÜÝÌÞLß:ÛŽÛ_ÚÚàÓÚ$Û:Þ4á â_ãäå à ä$ø$ã:æ_å ãlßà_ç EUREKA! N, 00 50

û Sociedade Brasileira de Matemática èèéiêìëóíóîiïèèñð ïóòèôìéiõ êìï ö ø èóòèôóéiò éièqùúéiè ülýþ ÿ ý ÿ ý Ḧÿ 48) Doze pitores vivem em doze casas costruídas ao logo de uma rua circular e são pitadas ou de braco ou de azul. Cada mês um dos pitores, pegado cosigo bastate tita braca e azul, deia sua casa e camiha ao logo da rua o setido ati-horário. Desta forma, ele repita cada casa (iiciado a sua) com a cor oposta. Fializa o trabalho tão logo repite alguma casa braca de azul. Em um ao, cada casa estará pitada com a sua cor origial sabedo que, o começo do ao, ao meos uma casa estava pitada de azul. º»¼½¾»ÀÁ c»ãt»äöæã»"! ç Ä#ä½%$Ä'& Áæ»ÇÜÅŠ» ÀÁ'(ÄÆcÁ{ÅÃt»vÈÜ)(ÉÊ Dizemos que uma pitura de uma casa é iduzida se ão é feita pelo doo da casa. Isso só acotece quado o pitor acabou de mudar a cor da casa imediatamete aterior de azul para braca. Vamos mostrar que cada casa muda de cor eatamete duas vezes, sedo uma iduzida e outra ão, o que claramete implica o resultado. Primeiro vamos ver que uma casa ão pode mudar de cor três vezes. Para isso, supomos por absurdo que alguma casa muda de cor pelo meos vezes, e cosideramos o primeiro mometo em que uma casa muda de cor pela terceira vez. Nesse caso, pelo meos duas das pituras são iduzidas, e portato a casa imediatamete aterior muda duas vezes de azul para braca ates disso, e portato muda de cor pelo meos vezes ates desse mometo, o que é uma cotradição. Para termiar, vamos agora ver que cada casa muda de cor duas vezes, o que equivale a dizer que muda (pelo meos) uma vez de forma iduzida. Para isso, basta ver que toda casa muda alguma vez de azul para braca (pois uma casa muda de forma iduzida quado a casa aterior muda de azul para braca ela muda de forma iduzida). Isso é obvio para casas azuis. Vamos provar isso por idução o úmero de casas imediatamete ateriores que são iicialmete bracas. Para a casa imediatamete aterior esse úmero é meor (lembre que há pelo meos uma casa azul o iício), e portato em algum mometo ela muda de azul para braca, e ossa casa muda de forma iduzida, dode muda de cor pelo meos duas vezes, e portato em algum mometo muda de azul para braca EUREKA! N, 00 5

Obs. Note que essa solução ão depede da ordem em que os pitores eecutam seu trabalho (depois de um pitor acabar de pitar, o próimo ão precisa ser seu viziho, mas é importate que cada pitor faça o processo uma vez). 5) Quatro retas se iterceptam formado quatro triâgulos coforme a figura abaio. A D E F B C a) Prove que as circuferêcias circuscritas aos quatro triâgulos possuem um poto em comum. b) Prove que os cetros dessas quatro circuferêcias são cocíclicos (i.e. eiste uma circuferêcia que passa por todos eles). º»¼½¾»ÀÁ * ÃtÆļÀ»(»0»À»& ÄÖÑÅ-,ÁÆæ»Çã½/.½Á À0Á Ò Ä0ÅÄÖ ÈÜ)(ÉÊ A P D E F B C Seja P o outro poto de iterseção dos circucírculos aos triâgulos AED e FEB. Temos que #FBEP é iscritível (# deota quadrilátero esta solução), logo EFB ˆ = BPE ˆ. Da mesma forma EPD ˆ A ˆ EUREKA! N, 00 5

(#ADEP é iscritível) e APD ˆ AED ˆ FEˆ B, mas o triâgulo FBE temos FBE ˆ Aˆ Cˆ e F EB ˆ 80 ( Aˆ Cˆ EFB ˆ ) FEB ˆ EFB ˆ 80 ( Aˆ Cˆ ), mas como BPA ˆ APD ˆ EPD ˆ BPE ˆ FEB ˆ EFB ˆ Aˆ 80 Aˆ Cˆ Aˆ 80 Cˆ, portato #APBC é iscritível o que implica que o circucírculo ao triâgulo ABC passa por P. Temos aida que F PB ˆ FEB ˆ (# FBEP é iscritível), logo FPD ˆ BPA ˆ 80 Cˆ, o que os dá que o #FPDC também é iscritível, com isso os circucírculos aos triâgulos ABC, FDC, FEB e AED possuem o poto P comum. b) P A O O I I E O D F B C Sejam: O : Cetro do circucírculo a BEF; O : cetro do circucírculo a ADE; O : cetro do circucírculo a ABC; O 4 : cetro do circucírculo a CDF; O 4 Lema: O segmeto determiado pelos potos de itersecção de dois círculos é perpedicular ao segmeto determiado pelos cetros dos círculos: M C C N EUREKA! N, 00 5

CMC CNC (L.L.L), logo MCˆ ˆ C NCC o que sigifica que C C é bissetriz de MC N, mas como este triâgulo é isósceles etão C C também é altura e C C MN (c.q.d). Do lema acima temos PB O O e PE O O, e portato B P E = O O O e BPE ˆ BFE ˆ (subetedem o mesmo arco BE o círculo de cetro O ). Aalogamete DPC ˆ O ˆ O4O, mas DPC ˆ DFˆ C (subtedem o mesmo arco DC o círculo de cetro O 4 ). Como DFC ˆ BFˆ E temos DPC ˆ BFE ˆ BPE ˆ O ˆ ˆ ˆ OO OO4O OOO. Com isso provamos que #O O O O 4 é iscritível. 5) Prove que um círculo coveo dado e para o mesmo úmero de lados, o polígoo regular iscrito é aquele cuja superfície é máima. º»¼½¾»ÀÁ Ò Äà ¼Š»Ö * ¼äcÁÃtæ»vÀÄ º żÓÄ ÅÑæ»Ã Ç Å5456%7/8%4 ÅÖ ÈÜ)9ÉÊ a) Observe iicialmete o polígoo coveo A A A A o círculo de cetro O. B A B A A B B A O : ; A 4 Tracemos os segmetos OA, OA, OA,..., OA que ecotram a circuferêcia os potos B, B, B,,B ; respectivamete. Observe que o polígoo B B B B tem superfície maior que o polígoo A A A ; isto os garate que o polígoo de área máima deve ser iscrito a circuferêcia. EUREKA! N, 00 54

b) Cosidere agora, o polígoo coveo iscrito de lados como a figura abaio: B B B B θ θ θ θ O < = B 4 A área S do polígoo é dado por S = ( seθ seθ... seθ ) ode θ i = π. S será máimo quado seθ i for máimo. i= R Para este problema, vamos utilizar a "desigualdade de Jese" que diz: supoha que f com cocavidade para baio (côcava) o itervalo I; etão para todo,,..., I teremos: f ( ) f ( )... f ( )... f e a igualdade ocorrerá se e somete se = =... =. Para o osso problema temos f ) = se I = 0,π ode θ, θ,..., θ ; portato ( e ] [ i= I seθ seθ... seθ θ θ... θ π se = se π e para o caso máimo: θ = θ = θ =... = θ = ; ou seja, o polígoo é regular iscrito. EUREKA! N, 00 55

54) Sejam ( ) a seqüêcia defiida por =, =,, e ( y ) a ( ) seqüêcia defiida por y = 00, y = 00 y,. Prove que eiste c atural tal que y c para todo > e determie o meor c com essa propriedade.?@8%45a%bdc8"e%f *)45FD0 Ò)8%GHGHIJ'* ä%ghfa"klšæfgh6%lmcü9dnpo Provaremos ão que pois é fácil ver que só com o fato c y mas sim Escolheremos c de tal modo que desigualdade para um certo k etão mas 00 00 00 c 440 y = 00 y c y ão se pode fazer idução. 00 00 y. Supoha válida a c 00 00 c 00 k 00 k y k c yk k c = >, 00 y 00 00 00 00 k c k k k 00 00 00 = 00 yk 00 > 00 k c yk k mas 00 (00 ) = y = y y, y 00 o que completa a idução. Vemos que c = 4 satisfaz a codição pois 00 6556 00 5 = < y = 00 6556 00 5 = > 00 mas já que 6556 < 00 00 < < 00, portato c > e para c = 4 fucioa c = 4 é o meor valor. 55) Seja S o cojuto de potos iteriores de uma esfera de raio e C o cojuto de potos iteriores de um círculo também de raio. Eiste alguma fução f : S C tal que d( A, B) d( f ( A), f ( B)) para quaisquer potos A, B S? (d (A, B) deota a distâcia euclidiaa etre A e B).?@8%45A%BDC8"E%FRQSA%L54UT%FGH,F'V%AXW5LUYZJDGHJ K?@CD8\[@JA%4U8M%?@[@NPO Seja O o cetro da esfera e C o da circuferêcia. Tome A, B S tal que A, B e O sejam colieares, EUREKA! N, 00 56

d( A; O) = d( B; O), d( A; B) = ε, ε 0, ε > 0. Tome também P, Q S tal que P, Q e O sejam colieares, d( P; O) = d( Q; O), PQ AB e d( P; Q) = ε. Agora ote que d( f ( A); f ( B)) ε f ( A) C f ( B) 0, aalogamete Como d( f ( P); f ( Q)) ε f ( P) C f ( Q) 0. ε d( A; P) = d( B; P) = etão ε d( f ( A); f ( P)), d( f ( B); f ( P)) f ( P) C f ( A) 90. Agora vamos tomar P' e Q' do mesmo modo que tomamos P e Q, porém em um plao perpedicular ao plao de A, B e P. Temos que ε d( P'; P) = d( P'; Q) =. Mas como vimos ates, f ( P' ) C f ( Q' ) 0 e f ( P' ) C f ( A) 90, logo f ( P' ) f ( P) ou f ( P' ) f ( Q) d( f ( P' ); f ( P)) 0 ou d ( f ( P' ); f ( Q)) 0, o que é um absurdo, pois ε d( f ( P' ); f ( P)), d( f ( P' ); f ( Q)) *)]%^H_`%aDba,"8%c'd_,eXfD,g8"ah%iDj-8`%_Dc c8%45k%ldm%ac a _'b8%4-_de%8%^h_ld8"`xapo q rstu vwyzd{ } z ~y{dv { z ƒx y ˆ u vuš u {zdtz wœ{ ƒx y v usz Ž zš rz Du Durvz rs Dz ys Xu } zr } r u wœz ŽX w v r z r}pw ƒ z v r Dz rss v rz Du Durvz EUREKA! N, 00 57

š Sociedade Brasileira de Matemática òèô éiõ êìï ö ø èóòèôóéiò éièqùúéiè Ÿ œ % X œ \ Ÿ µ yœ Ÿž œ "œ œ ¹ œ ª Xž œ ª œ «" œ X œ Ÿ œp Ÿœ œ ± «² ³ œxžœ. 56) Para cada úmero, seja f() a quatidade de maeiras que se pode epressar como a soma de úmeros iguais a, ou 4. Por eemplo, f(4) = 4, pois todas as maeiras possíveis são 4 =, 4 =, 4 =, 4 = 4. Demostrar que se é par, f() é um quadrado perfeito. 57) Dado úmeros reais,,, satisfazedo as codições... = 0 e... =, prove que eistem i e j tais que i j. p 58) Determie todos os primos p para os quais o úmero é o quadrado p de um iteiro. 59) Um pedestal de altura a susteta uma colua de altura b (b > a). A que distâcia do moumeto se deve colocar um observador para ver o pedestal e a colua sob âgulos iguais? 60) Se um triâgulo ABC, A = B, provar que a = b( b c). Obs.: a, b e c são, respectivamete, os lados opostos aos âgulos A, B e C. 6) Na figura abaio um quadrado EFGH foi colocado o iterior do quadrado ABCD, determiado 4 quadriláteros. Se a, b, c, e d deotam os medidas das áreas dos quadriláteros, mostre que a b = c d. a c d b EUREKA! N, 00 58

6) Se ABCD é um quadrilátero coveo tal que os lados AB, BC, CD e DA medem respectivamete a, b, c e d e que α, β, σ e γ são as medidas dos seus âgulos iteros, mostre que a medida da área desse quadrilátero, deotada por (ABCD), é dada por: D d γ c A d α σ C a b β B (ABCD) = ( p a)( p b)( p c)( p d) abcd cos δ ode: a b c d p = α σ β γ δ = (a fórmula também vale se fizermos δ = ) ½vzD½zD} wœz±½dzv vztdsu }\º»\u\º ¼\½v z½zd} wœz}½zv¾~y uvzáàp{r v u sz z s{dâu }ÃÄzv-w suš ~yƒxåæ ½vzDtsu º Ç É }P s z u ssz Ž ½Dz DÏr ÈŒr Dz± Du"Ésr Xu rv à usê Ë yåæ)½dvztdsu }̺ÍÌuÌ»Î̽Dvz½Dz}ŒwŒz}̽Dzv q zd u } à w s yå zðãés ½r ŽX ÅǢ ½DvztDsu }Ñ» ÒÑuÑ»ÓѽDvz½Dz}PwHzD}ѽ zv'~ vszd}ñ EUREKA! N, 00 59

øõôiï ÖÓð ø é êsøö ò Ù Ú ø Û@Û@ÜUÜ5ÜÝSÞ%Ü5ß [@à5*)á)*ñâ)ã*)ä Ü5Þ/å@Ü ã)*ñá å±ß *)æ å@ß'ç æ Ü5è * )à5 å@ü ä édêë'a ì [@^Hj5,aDj5^H_ V/_ca í'î@ï ðñdòópôöõròd ªøùDúûDó ä@ad]%k%h%`/_ V%_Dca í î@ïdðñòdóüôý ò þ Dÿ5 'ð ó æ%a^hbadj5^h_ V/_ca í î@ïdðñdòóüô 'ò RóDùÿ5ùDð ó ú þáýô ó ú Dópô yýªòd RóùDÿ5ùð ó ú þ R /þ DùúDò ó ò ñ ò ó ñ )à5 å@þ Ü å ã)ä Üæ ç ã Ü5Ý [@^Hj5,aDj5^H_ V/_ca í'î@ï ðñdòópôdý¾òd þ ÿ5 Rð ó ä@a]/k%h%`%_'v%_cda í'î@ïðdñòópô ' ó ú óyô pýªò 'óùdÿ5ù ð ó Ü5ÜDÝSÞ%Ü5ß [@à5*)á*ñá å ß * Ü5Ý î@ïðñdòóyôý ò Rñ ó Û@Ü5ÜDÝZÞ/Ü5ß [@àu*á)*ñá å ß *)æ å@ß ç æ ÜUè *Ñá Ý è)ý å ä )Þ ñ 'ò ¾ø ù û ó î@ñúdÿ ñópô )û Û@Þ%Ü5ÜÝSÞ%ÜUß [@à5*)á)* Ü)æ å ã))* èüuý )* Þ á å ß *)æ å@ß'ç æ Ü5è * ýªñ ý!'ò ªøù ûó " ñþ û ú ÿ5ódúpô # þÿ5ñòdó þ$)ú òdó þ Û ÜÝSÞ%Ü5ß [@à5*)á)* Üâ å ã Ý * ß'å ã Ü5è *)*Ñá å ß *)æ å@ß ç æ ÜUè * 'ñ ò þ ÿ- ð ó % údñþ ô $& ù ùdñ Ü ÝZÞ/Ü5ß [@àu*á)* Üâ å ã Ý * ß å ã Ü5è *))*Ñá å±ß *)æ å@ß'ç æ Ü5è * Ü å ã)ä Üæ ç ã Ü* î@ïðñdòóyô'ò ódùÿ5ùð ó EUREKA! N, 00 60

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