34 ISSN 188-3765 SISTEMAS DE VIABILIDADE AGRÍCOLA SUSTENTÁVEIS ITALO GUIMARÃES DO VALE 1 ; ANGEL RAMON SANCHEZ DELGADO E SÉRGIO DRUMOND VENTURA 3 1 Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemátca e Computaconal do Departamento de Matemátca do Insttuto de Cêncas Exatas da Unversdade Federal Rural do Ro de Janero, BR 465, Km 7, Seropédca, RJ, 389-.talovale@ufrrj.br Professor Assocado do Departamento de Matemátca do Insttuto de Cêncas Exatas da Unversdade Federal Rural do Ro de Janero, BR 465, Km 7, Seropédca, RJ, 389-. a.sanchez@ufrrj.br. 3 Professor Adjunto do Departamento de Matemátca do Insttuto de Cêncas Exatas da Unversdade Federal Rural do Ro de Janero, BR 465, Km 7, Seropédca, RJ, 389-. ventura@ufrrj.br. 1 RESUMO O segunte trabalho defne um sstema de vabldade agrícola sustentável (SVAS), através de um conjunto fnto de desgualdades lneares e não lneares no espaço dos nsumos necessáros para o desenvolvmento de m culturas agrícolas que tenham produção, receta líquda e recursos lmtados nferor e/ou superormente (sustentabldade). O problema aqu tratado é determnar se SVAS é não vazo, sto é, se exste um vetor de nsumos ou recursos que satsfaz todas as desgualdades no SVAS. Apresentamos uma heurístca para resolver o problema e resultados numércos para SVAS em função da água e ntrogêno, junto a funções de produção em formas quadrátcas de algumas culturas conhecdas na lteratura. Palavras-chave: Produção, Receta líquda, Insumos, Heurístca. VALE, I.G.; DELGADO, A. R. S. e VENTURA, S.V. VIABILITY SYSTEMS FOR SUSTAINABLE AGRICULTURE ABSTRACT The followng work mathematcally defnes a vablty system for sustanable agrculture (VSSA), through a fnte set of lnear and non-lnear nequaltes n R^n, representng the space of requred nputs for the development of m crops, and where producton, net-ncome and resources (or nputs), have upper and/or lower bounds (sustanablty). The problem addressed here s to determne whether VSSA s not empty,.e., f there s a vector of nputs or resources satsfyng all nequaltes n VSSA. We present a heurstc to solve the problem and numercal results for VSSA dependng on water and ntrogen, together wth producton functons n quadratc forms for some cultures, as known n the lterature. Keywords: producton, net-ncome, nputs, heurstc Recebdo em 18/11/13 e aprovado para publcação em 14/3/16
Sstemas de vabldade... 343 3 INTRODUÇÃO Um dos prncpas problemas que ocorre no planejamento dos cultvos de culturas agrícolas é a baxa efcênca com que são utlzados os recursos, assm como o desconhecmento de níves confáves de produção e receta líquda. A dstrbução rregular de recursos e escassez de captal justfca a procura de modelos matemátcos que representem uma vabldade agrícola sustentável para o pequeno e médo produtor, através de um equaconamento das condções de produção e receta líquda esperada com recursos lmtados. Análses podem ser realzadas utlzando técncas de programação matemátca para a otmzação das atvdades, possbltando quantfcar, de forma otmzada, o uso dos recursos para satsfazer determnado objetvo, seja a maxmzação da receta líquda ou a mnmzação dos custos, sob restrções na dsponbldade dos recursos (SANTOS JÚNIOR et al., 14). Entendemos por função de produção agrícola ou resposta, como aquela que expressa a relação físca entre as quantdades utlzadas de certo conjunto de nsumos e as quantdades físcas máxmas que se podem obter do produto, para uma dada tecnologa usada. O emprego das funções resposta à produção e receta líquda na análse dos resultados de experêncas agrícolas é bastante dfunddo (MOUSINHO et al., 3; MONTEIRO et al., 6; DE CASTRO et al., 7; SILVA et al., 8; CARVALHO et al., 9; DELGADO et al., 1 e TEODORO et al., 13). Consderando que o comportamento de uma cultura depende da quantdade de recursos que sejam admnstrados, a função resposta, representa uma ferramenta básca na modelagem de um sstema de vabldade agrícola sustentável. A função resposta de uma cultura não é conhecda com precsão devdo as varáves clmátcas, atrbutos físcos e mutos outros fatores. Mesmo assm, exstem técncas matemátcas como regressão lnear que permtem obter aproxmações confáves das funções de produção. A nível econômco, segundo FRIZZONE et al. (5) exstem duas maneras ou formas nternaconas de calcular o benefco de uma produção agrícola; pelo aumento bruto de produção, ou seja, a soma dos aumentos de produção por produto, multplcada pelos respectvos preços ao produtor; e pelo aumento do benefco líqudo parcelar, ou seja, o ncremento do valor bruto da produção menos o aumento dos custos dessa produção. Vamos supor que o benefco é proporconal ao preço da cultura vezes a produção em função dos nsumos. Nesse caso, a receta líquda é o benefco menos custo de nsumos e o problema a ser tratado é a maxmzação da receta líquda com nsumos lmtados. De acordo com CAVALCANTE et al. (11) sem dúvda que os ncrementos populaconas nos últmos anos têm levado a altas taxas de crescmento da população agrícola e almentar. Por outra parte, a degradação dos solos, os manejos nadequados de recursos e defensvos, têm nvablzado o aumento da produção de almentos compatível com a população presente e futura (sustentabldade). A Organzação para a Almentação e a Agrcultura (FAO/ONU) alerta que até o ano 5, a produção de almentos deverá crescer aproxmadamente 4%. É claro que para vencer sso, se faz necessáro conhecer se em determnadas stuações exste vabldade no que respeta à produção e renda agrícola, assm como assegurar uma produção dentro dos lmtes da natureza (nferor e superormente), o que sgnfca converter os recursos lmtados em produção útes e váves economcamente (produções e recetas líqudas acma de determnados valores pré-fxados), porém dmnundo as repercussões sobre o meo ambente durante a produção, manuseo e comercalzação. Neste trabalho defnmos um sstema de vabldade agrícola sustentável (SVAS) como um conjunto fnto de desgualdades lneares e não lneares no espaço dos recursos necessáros para o desenvolvmento de m culturas agrícolas e onde as funções respostas das
344 Vale e Ventura culturas e receta líquda são lmtadas nferormente, enquanto os recursos são lmtados superor e nferormente. O problema tratado é determnar se exste um vetor de recursos que satsfaz todas as desgualdades mpostas, trata-se de um problema de vabldade. Ao resolver o problema, obtemos (ou não) um vetor de recursos que garante a vabldade agrícola sustentável dessas culturas. É bom ressaltar que para o produtor, o problema da vabldade agrícola (PVA) sgnfca conhecer se é possível achar n recursos ou nsumos, tal que a produtvdade de cada cultura se encontre superor à produção conhecda e/ou estmada, com receta líquda superor a determnados valores esperados ou conhecdos, mas com lmtações em relação aos recursos utlzados (SANDRI et al., 14; PEREIRA et al., 15). Apresentamos uma heurístca para resolver o PVA, baseada no conceto de centro analítco de uma regão dada. Na lteratura (HUARD & LIEU 1966; FEIJOO et al., 1997 e DRUMOND et al., 15), o centro analítco defne-se como o ponto ou vetor mas afastado da frontera da regão (no nosso caso do SVAS). Resultados numércos para SVAS em função da água e ntrogêno junto a funções de produção em formas quadrátcas de algumas culturas conhecdas na lteratura são mostrados. 4 MATERIAL Esta seção será ncada com o conceto de SVAS. Dadas m -cultura e n -nsumo (ou recurso) necessáros para o desenvolvmento das culturas, defne-se um sstema de vabldade agrícola sustentável (SVAS) como o conjunto de nsumos que satsfazem um número fnto de desgualdades lneares e não lneares assocadas à produção, receta líquda e lmtações dos nsumos das m -culturas. Formalmente. SVAS Em que: x j x x x : x ; RL x n ; l x u ; 1,..., m; j 1,..., n (1) 1,,..., j j j j - Representa a quantdade real do nsumo j em Kg j 1,...,n.. - Representa a função não lnear de produção da cultura 1,...m em função dos nsumos. (kg/ha -1 ). - Representa um lmtante nferor da produção de cada cultura 1,... m. RL m x x j c x () 1 j j. RL - Representa a receta líquda gerada pela cultura Onde: em função dos nsumos (R$. ha -1 ). - Preço da cultura (R$. ha -1 ). c - Custo da aplcação do recurso j na cultura (R$. ha -1 ). j
Sstemas de vabldade... 345 l j u j - Representa a mínma receta líquda esperada da cultura (R$. ha -1 ). - Representa o lmtante nferor do nsumo - Representa o lmtante superor do nsumo restrções lneares e não lneares respectvamente. No que segue, nosso problema é achar (se exste) um vetor de n -nsumos que satsfaz um número fnto de desgualdades lneares e não lneares e que representam a produção, receta líquda e restrções de nsumos das m culturas dadas. Note que em um SVAS, temos n m j. j. 5 MÉTODOS A heurístca utlzada na procura está baseada na geração teratva de pontos próxmos ao centro analítco das regões obtdas, logo do acréscmo de novas desgualdades. Incalmente é conhecdo um ponto próxmo do centro analítco da regão ncal, defnda através das desgualdades lneares do SVAS. Em seguda determnamos uma desgualdade não lnear do SVAS que não seja satsfeta pelo ponto ncal e acrescentamos esta ao SVAS ncal. Logo, utlzando um procedmento denomnado recuperação do centro analítco (DRUMOND et al., 15), obtemos um ponto próxmo do centro analítco do SVAS perturbado. Isso é repetdo teratvamente, gerando pontos ou vetores estaconáros até que todas as desgualdades que defnem o SVAS sejam satsfetas. Ao fnal, se exste, encontramos o ponto ou vetor de recursos, próxmo do centro analítco do SVAS. A mplementação da heurístca fo realzada para algumas culturas agrícolas conhecdas na lteratura (FRIZZONE et al., 1995; BERTONHA et al., 1999; BARROS et al., ; MONTEIRO et al., 6 e MARQUES et al., 8) e cujas respostas de produção são formas quadrátcas em função dos nsumos: lâmna de água w (mm) e ntrogêno n (kg/ha -1 ) dadas por: w, n aw b n cwn dw en f (3) RL w n w, n w, n c w c n Em que: (4) RL w, n -Representa a receta líquda gerada pela cultura 1 ). a, b, c, d, e, f - Representam números reas dados. w c - Representa o custo da lâmna de água para a cultura (R$. mm -1 ha -1). n c - Representa o custo de uma dose de ntrogêno para a cultura em função dos nsumos (R$. ha - (R$. mm -1 ha -1). Nesta aplcação da heurístca, o problema é achar (se exste) um vetor de nsumos w, n ; RL w, n ; w w w ; n n n. w, n tal que: l u l u Onde:
346 Vale e Ventura w l w u n l n u - Representa o lmtante nferor da lâmna de água w (mm). - Representa o lmtante superor da lâmna de água w (mm). - Representa o lmtante nferor da dose de ntrogêno n (kg/ha -1 ). - Representa o lmtante superor da dose de ntrogêno n (kg/ha -1 ). O manejo adequado da água é fundamental, consderando que o setor agrícola é o maor consumdor de água e que os recursos hídrcos são essencas e estratégcos no desenvolvmento da agrcultura. Segundo FIGUEIREDO et al. (8), uma mudança fundamental deverá ocorrer nas prátcas da rrgação nos próxmos anos, em decorrênca das pressões econômcas sobre os agrcultores, da crescente competção pelo uso dos recursos e dos mpactos ambentas da rrgação. Eles acham que tas fatores deverão motvar uma mudança de paradgma da rrgação, enfocando-se mas a efcênca econômca do que a demanda de água da cultura. Consderando que na atualdade os custos de adubação ntrogenada, especfcamente, ntrogêno, são cada vez mas varáves e que a demanda no Brasl cresce a cada da, é necessáro que sejam respetadas as questões ambentas e de preservação dos solos como peça fundamental para uma agrcultura sustentável. Foram realzados alguns ensaos numércos utlzando o materal descrto nas Tabelas 1 e. Na Tabela 1, temos para cada cultura as representações analítcas das funções de produção e na Tabela, os preços, custos e lmtantes nferores da receta líquda para as culturas: avea e melanca. As funções repostas das culturas em função de w e n na Tabela 1 são formas quadrátcas. Geralmente os coefcentes são obtdos utlzando regressão lnear. w n Tabela 1. Funções respostas ou de produção em formas quadrátcas nas varáves w e n, para as culturas: Alface Amercana, Avea, Laranja, Melanca e Melão (kg.ha -1 ou g.ha -1 ). Culturas Funções de produção Alface Amercana w, n 149 388,1 w 6,n 1,4w,4563n, 1564wn Avea 5 5 w, n 3,575x1 w 1,554x1 n 5,6x1 w 5,1 x1 n Laranja 5 4 8 w, n,36 1,1x1 n 1,46x1 n 4,35x1 w 4,47x1 w Melanca w, n 39,845 w 153,5n,871 w,3446 n Melão ( w, n) 37,914 591,3988 w 6,6n 1,391 w,676n Tabela. Preços dos custos da lâmna de água w (mm), custos da dose de ntrogêno n ( kg.ha -1 ) e mínma receta líquda esperada para as culturas: Avea e Melanca. Culturas (R$ kg -1 ) c w (R$ mm -1 ) c (R$ kg -1 ) (R$ ha -1 ) Avea 15,,5 8 Melanca,8, 3884 1,15 3.6 De acordo com os dados fornecdos pelas fontes bblográfcas, para cada cultura (alface amercana, avea, laranja, melanca e melão) é possível determnar lmtantes nferores e superores da lâmna de água, fcando os nferores entre 1 (mm) e 3 (mm) e n
Sstemas de vabldade... 347 os superores entre 4 (mm) e 6 (mm). Já para o nsumo ntrogêno, fxou-se um teto de 3 kg.ha -1 e consderando que o mas comum na lteratura para estas culturas é uma dose mínma de 75 kg.ha-1, foram realzados quatro (4) ensaos numércos defndos pelas caxas bdmensonas: [1, 5] x [, 3]; [, 4] x [75, 3]; [3, 6] x [75, 3] e [3, 5] x [75, 3]. 6 RESULTADOS E DISCUSSÃO Os resultados são mostrados nas Tabelas 3, 4, 5 e 6 ao consderar cada cenáro. Na Tabela 3 o ponto vável encontrado pela heurístca fo uma lâmna de água de 61, (mm) e uma dose de ntrogêno de 47,8. Note que a produção de alface amercana e receta líquda da melanca, são sgnfcatvas ante os lmtantes nferores. Na Tabela 4 a solução vável achada pela heurístca fo uma lâmna de água 313,3 (mm) e uma dose de ntrogêno de 48,71. Note que a receta líquda da cultura da melanca passa de 3.6 (R$ ha -1 ) para 6.99. (R$ ha -1 ) em relação à produtvdade fo observado um crescmento de 5,584 para a alface amercana. Tabela 3. Lmtantes nferores da produção e receta líquda, assm como as produções 1,5 x,3. alcançadas pelas culturas, na caxa bdmensonal Culturas RL (R$ ha -1 ) (R$ha -1 ) Alface 17.584 1. ---------- ----------- Amercana Avea 6.43 5. 83.99 8 Laranja.4. ---------- ----------- Melanca 6.99 6.95. 3.6 Melão 6.494 --------- ---------- Tabela 4. Lmtantes nferores da produção e receta líquda, assm como as produções alcançadas pelas culturas, na caxa bdmensonal [,4] x [75,3]. Culturas Alface Amercana (kg ha- 1 ) RL (R$ ha -1 ) (R$ha -1 ) 17.484 1. --------- ----------- Avea 6.46 5. 833,47 8 Laranja.4. ---------- ----------- Melanca 6.133 6.99, 3.6 Melão 6.395 --------- ----------
348 Vale e Ventura Na Tabela 5 o ponto vável encontrado fo uma lâmna de água de 98,8 (mm) e uma dose de ntrogêno de 5,1. Além dsso, há uma pequena varação tanto na produtvdade quanto na receta lquda quando comparado com a Tabela 4. Na Tabela 6 a alface amercana sofre uma queda de,8 (kg.ha -1 ) e de melão de 3,3 (kg.ha -1 ). É possível observar que neste cenáro se obtém a maor lâmna de água em relação ao ntrogêno com 313,18 (mm) de lâmna de água e 51,6 de ntrogêno, todos os cenáros mostram poucas varações nos valores encontrados pela heurístca. Tabela 5. Lmtantes nferores da produção e receta líquda, assm como as produções alcançadas pelas culturas, na caxa bdmensonal [3,6] x [75,3]. Culturas (R$ ha -1 ) RL (R$ ha -1 ) Alface 17.97 1. --------- ----------- Amercana Avea 6.388 5. 86,3 8 Laranja.5. ---------- ----------- Melanca 6.7 6.876,3 3.6 Melão 6.755 --------- ---------- Tabela 6. Lmtantes nferores da produção e receta líquda, assm como as produções alcançadas pelas culturas, na caxa bdmensonal [3,5] x [75,3]. Culturas (R$ ha-1) RL (R$ ha -1 ) Alface 14.764 1. --------- ----------- Amercana Avea 6.4 5. 831,39 8 Laranja.54. ---------- ----------- Melanca 6.358 6.969,9 3.6 Melão 57.464 --------- ---------- Fnalmente na Fgura 1 é demonstrado grafcamente o SVAS consderado em função da lâmna da água w (mm) e dose de ntrogêno n. Note a regão vável em verde, enquanto que a área nvável está em vermelho. Fo possível observar com clareza o problema de vabldade agrícola. (PVA). Na Fgura temos a trajetóra que seguem os pontos gerados teratvamente pelo procedmento mplantado no SVAS. Os pontos estaconáros, em vermelho seguem em dreção à área de vabldade, até que a heurístca mplantada encontra um ponto muto próxmo ao centro analítco do SVAS em azul.
Sstemas de vabldade... 349 Fgura 1. Representação gráfca do SVAS em função da lâmna de água e dose de ntrogêno. Fgura. Trajetóra dos pontos gerados pelo procedmento mplantado no SVAS. 7 CONCLUSÕES Fo desenvolvda uma aplcação para área agrícola da heurístca apresentada por DRUMOND et al. (15) para a resolução do problema de vabldade não lnear. Através do conceto de SVAS mostramos resultados numércos de cnco culturas em quatro cenáros dferentes. Em cada caso tvemos compatbldade com os apresentados na lteratura. A dea central do trabalho apresentado fo contrbur com a construção de programas computaconas, que permtam ao pequeno e médo produtor conhecer de forma smples a vabldade sustentável da produção e receta líquda em um determnado cenáro agrícola. Um exemplo que é sufcente para o produtor é nformar ao programa computaconal: cultvos a serem desenvolvdos, nsumos de nteresse, produção mínma conhecda de cada cultvo,
35 Vale e Ventura preços, custos e mínma receta líquda já alcançada; como também máxmos e mínmos dos nsumos utlzados. 8 REFERÊNCIAS BARROS, V.; COSTA, R. N. T.; AGUIAR, J. V. Função de produção da cultura do melão para níves de água e adubação ntrogenada no Vale do Curu-Ce. Irrga, Botucatu, v. 7, n, p. 98-15,. BERTONHA, A.; FRIZZONE J. A.; MARTINS, E. N. Irrgação e adubação ntrogenada na produção de laranja-pera. Acta Scentarum. Agronomy, Marngá, v.1,vn.3, p. 537-54, 1999. CAVALCANTE, J. A. C.; DELGADO, A. R. S.; CARVALHO, D.F.; MEDEIROS, J.A.C.C. Usos de recursos na dose certa: uma ferramenta computaconal para otmzação agrícola. Rev. Sstemas & Gestão, Ro de Janero, v. 4, n. 6, p. 398-413, 11. CARVALHO, D.F.; DELGADO, A. R. S.; OLIVEIRA, R. F.; SILVA, W. A.; FORTE, V. L. Maxmzação da produção e da receta agrícola com lmtações de água e ntrogêno utlzando método de pontos nterores. Engenhara Agrícola, Jabotcabal, v.9, n., p.31-37, 9. DELGADO, A. R. S.; DUARTE, S. W.; LIMAS, N.V.; FONSECA, D.; Modelagem matemátca para otmzação da produção e renda de melão e melanca em função de lâmnas de água e doses de ntrogêno. Irrga, Botucatu; v.15, n. 1, p.1-9, 1. DRUMOND, S. V.; DELGADO, A. R.S.; GONZAGA, C. C. A nonlnear feasblty problem heurstc. Pesqusa Operaconal, Ro de Janero, 35(1): 17-11, 15. FEIJOO, B.; SANCHEZ, A.; GONZAGA, C.C. Mantanng closeness to the analytc center of a polytope by perturbng added hyperplanes. Ample Mathematcs and Optmzaton, Nova York, v. 35, p.139-144, 1997. FIGUEIREDO, M.G.; FRIZZONE, J. A.; PITELLI, M. M.; REZENDE, R.; Lâmna ótma de rrgação do fejoero, com restrção de água, em função do nível de aversão ao rsco do produtor. Acta Scentarum. Agronomy, Marngá, v. 3, n.1; p. 81-87, 8. FRIZZONE, J. A.; ANDRADE JÚNIOR, A. S. Planejamento de rrgação: análse de decsão de nvestmento. Brasíla: Embrapa Informação Tecnológca. 66 p. 5. FRIZZONE, J. A.; TEODORO, R. E. F.; PEREIRA A. S.; BOTREL, T. A. Lâmna de água e doses de ntrogêno na produção de avea (Avena satva L.) para forragem. ScentaAgrcola, Praccaba, v.5, n.3, p.578-586, 1995. HUARD, P.; LIEU, T.; La Methode des Centres dansun Espace Topologque, Numersche Mathematk, Nova York, v.8. n1, p.56 67 1966.
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