26 3 Meodologia Nese capíulo enconram-se dealhadas as fones uilizadas para obenção da amosra de dados da pesquisa, os criérios de filragem e raameno dos dados originais e a descrição dos méodos e procedimenos aplicados para avaliar esaísica e economicamene o modelo em dois eságios para esimação da superfície de volailidade implícia. A primeira seção descreve as fones e os dados uilizados, bem como os criérios de raameno da amosra; a segunda apresena as esimaivas de volailidade implícia nos conraos e a erceira seção apresena os modelos esimados e resulados obidos, inclusive dos eses que susenam suas aplicações. Enquano a quara descreve os procedimenos de análise. 3.1. Dados e procedimenos de amosragem O conjuno inicial de dados foi obido aravés da base de coações hisóricas disponibilizada pela BM&F Bovespa e coném preços diários de fechameno das ações de Perobrás (PETR4), Vale (VALE5), OGX Peróleo (OGPX3) e IauUnibanco (ITUB4); as respecivas séries de opções americanas de compra auorizadas para eses aivos; os preços de exercício e os dias de vencimeno de cada conrao negociado no inervalo de Janeiro de 2000 a Maio de 2012. Período que compreende imporanes ciclos de mercado, alernando momenos de inensa e moderada volailidades enre endências de ala e baixa proporcionadas por evenos com grande influência sobre os preços e movimenos dos aivos, como a crise de 2008. Como proxy para axa livre de risco foram uilizadas as axas dos vérices de 30, 60, 90, 120, 180 e 360 dias do Swap DIxPré igualmene divulgadas pela BM&F Bovespa e a axa DI de 1 dia divulgada pela CETIP S.A. para o vérice mais curo. Todas coleadas diariamene no mesmo inervalo e, quando necessário, exponencialmene inerpoladas nos períodos em dias úeis aé os vencimenos das séries - calculados como fração de um ano com 252 dias úeis (DU/252).
27 No mercado brasileiro, as opções negociadas em bolsa êm vencimeno sempre na erceira segunda-feira de cada mês calendário e os preços de exercícios são ajusados por provenos sempre que há divulgação de disribuição após a realização de no mínimo um negócio para o respecivo preço de exercício. O que alivia a necessidade de ajuses adicionais nos preços coados, conforme Meron (1973). As séries de opções selecionadas para a pesquisa são hoje as que apresenam maior liquidez na Bolsa local, podendo ser observadas negociações sobre diferenes preços de exercício e vencimenos. Todavia, em número ainda limiado se comparado aos observados em mercados mais desenvolvidos, nos quais a uilização de derivaivos ocorre em maior escala e com coberura sobre períodos mais longos. Onde ainda assim criérios para filragem dos dados são necessários a fim de excluir aqueles que poencialmene podem compromeer a análise. Jorion (1995) desaca que aé enão pouca aenção havia sido dispensada aos efeios que erros de medição nos dados observados poderiam gerar às análises sobre a volailidade implícia em opções. Nesa linha, Henschel (2003) demonsra que, em decorrência de erros como coações discreas, bid-ask spreads e fala de sincronismo enre as coações dos aivos subjacenes e dos prêmios das opções, os resulados das inversões da fórmula de BS para obenção da volailidade implícia recaem em esimaivas, lançando quesões sobre sua eficiência. Principalmene em opções longe do dinheiro. Alguns dos ponos ciados são enfrenados nese rabalho, para os quais criérios de filro são adoados a fim de miigá-los. Desa forma, sobre o conjuno inicial foram aplicados see criérios de exclusão, resulando um oal de 32843 observações de coações de fechameno e um máximo de 1400 pregões no período de Janeiro de 2004 a Maio de 2012. A Tabela 1 sumariza esaísicas descriivas para os subconjunos de cada ação analisada. Os criérios de filro são: 1. Mínimo de 100 negócios no dia. 2. Moneyness (M) enre [0,80 e 1,20]. Onde, = ç í çã ( ) 3. Tempo aé o vencimeno mínimo de dois dias úeis. 4. Prêmios de fechameno maiores que R$ 0,05. 5. Saisfazer a condição de não arbiragem: Prêmio=> Máximo (0; S-K).
28 6. Número de conraos negociados no dia maior que cinco. 7. Número de vencimenos negociados no dia maior que dois. Tabela 1 - Esaísicas descriivas por pregão na amosra. ITUB4 OGXP3 VALE5 PETR4 Toal Pregões 121 370 1185 1400 1400 Observações 938 3004 14118 14783 32843 Mínimo 08/09/11 13/01/10 09/08/05 14/01/04 14/01/04 Máximo 31/05/12 31/05/12 31/05/12 31/05/12 31/05/12 # Conraos/ Dia média 7,75 8,12 11,91 10,56 10,68 máximo 12 16 26 27 27 moda 6 6 11 10 10 desvio padrão 1,56 1,89 3,23 3,13 3,27 # Vencimenos/ Dia média 2,1 2,1 2,2 2,2 2,18 máximo 3 3 3 4 4 moda 2 2 2 2 2 Dias aé o Vencimeno média 23,28 20,20 20,55 20,92 20,76 máximo 59 53 78 74 78 moda 18 10 7 8 7 desvio padrão 11,95 11,29 12,03 12,47 12,17 Tipicamene, além do vencimeno imediao, negociam-se opções de aé um vencimeno à frene, sendo baixa a represenaividade dos pregões em que são negociados mais de dois vencimenos no oal das observações, ocorrências ipicamene próximas ao vencimeno do conrao mais curo. Segundo Jorion (1995), iso alivia o viés posiivo sobre a volailidade implícia esimada em BS com opções americanas. A definição do inervalo geral de moneyness enre mais ou menos 20% do preço à visa do aivo é uma enaiva de não resringir de modo definiivo o amanho da amosra de conraos. Quano ao prazo aé o vencimeno, as observações foram caegorizadas em opções de curo, médio e longo prazo, com limie para o prazo aé o vencimeno definido em 21 dias úeis inclusive para a primeira caegoria e 42 para segunda - números represenaivos de um e dois meses calendário, respecivamene.
29 Tabela 2 - Vencimenos das opções negociadas por aivo objeo. ITUB4 OGXP3 VALE5 PETR4 Toal Dois ou mais vencimenos 14 28 197 299 - % Toal 11,6% 7,6% 16,6% 21,4% - Curo Prazo: [2, 21] 48,3% 54,7% 54,1% 53,1% 53,5% Médio Prazo: (21, 42] 45,6% 43,3% 41,9% 41,9% 42,1% Longo Prazo: (42, 78] 6,1% 2,1% 4,0% 5,0% 4,3% Quano ao moneyness, os conraos foram caegorizados em denro do dinheiro, no dinheiro e fora do dinheiro de acordo com a seguine classificação: no dinheiro (ATM) aqueles com moneyness no inervalo [0,98, 1,02], denro do dinheiro (ITM) [0,95, 0,98), muio denro do dinheiro (DITM) (0,95, 0,80], fora do dinheiro (OTM) (1,02, 1,05] e muio fora do dinheiro (DOTM) (1,05, 1,20]. Tabela 3 - Moneyness e vencimeno das opções negociadas por aivo. ngo ITUB4 OGXP3 VALE5 PETR4 Toal DITM 16,7% 28,0% 27,0% 26,2% 26,5% ITM 20,0% 10,3% 11,8% 11,0% 11,5% ATM 30,4% 18,4% 17,9% 16,7% 17,8% OTM 18,3% 12,0% 12,6% 12,0% 12,4% DOTM 14,5% 31,4% 30,6% 34,1% 31,8% 3.2. Esimaivas de Volailidade Implícia A não linearidade da fórmula de BS impõe a uilização de um méodo numérico ieraivo que seja capaz de solucionar a equação em ermos da volailidade. A opção pelo méodo de Newon-Raphson, conforme descrio em Manaser e Koehler (1982), reside na vanagem comparaiva oferecida por um menor número de ierações e, por conseguine, menor demanda de empo de processameno. Os resulados obidos raificam imporanes evidências empíricas de esruura na volailidade implícia em diferenes níveis de moneyness e empo aé o vencimeno de cada conrao, raificando evidências descrias aneriormene na revisão da lieraura. Para cada ação analisada, pode ser observado um sorriso assimérico nas opções de curo prazo: com valores maiores nas séries DITM e o decaimeno monoônico dos valores esimados para volailidade implícia a parir das opções de curo prazo, independenemene do moneyness (exceção à OGXP3).
30 Tabela 4 - Volailidade Implícia média por Moneyness e vencimeno para opções de PETR4. PETR4 Curo Medio Longo Toal DITM Obs (%oal) 16,7% 9,0% 0,4% 26,2% Vol Imp. Média 50,8% 35,9% 29,7% 45,3% ITM Obs (%oal) 6,1% 4,5% 0,5% 11,0% Vol Imp. Média 38,6% 34,1% 29,1% 36,3% ATM Obs (%oal) 8,7% 7,0% 1,0% 16,7% Vol Imp. Média 35,8% 33,5% 28,2% 34,4% OTM Obs (%oal) 6,0% 5,1% 0,8% 12,0% Vol Imp. Média 36,3% 33,0% 28,2% 34,4% DOTM Obs (%oal) 15,5% 16,3% 2,3% 34,1% Vol Imp. Média 42,4% 34,7% 29,4% 37,9% Toal Obs (%oal) 53,1% 41,9% 5,0% 100,0% Vol Imp. Média 42,9% 34,5% 29,0% 38,7% Tabela 5 - Volailidade Implícia média por Moneyness e vencimeno para opções de VALE5. VALE5 Curo Medio Longo Toal DITM Obs (%oal) 17,1% 9,4% 0,5% 27,0% Vol Imp. Média 48,7% 34,7% 30,6% 43,5% ITM Obs (%oal) 6,3% 5,0% 0,5% 11,8% Vol Imp. Média 36,0% 31,9% 28,0% 33,9% ATM Obs (%oal) 9,4% 7,5% 1,0% 17,9% Vol Imp. Média 33,5% 31,6% 25,9% 32,3% OTM Obs (%oal) 6,3% 5,6% 0,7% 12,6% Vol Imp. Média 33,2% 31,0% 25,4% 31,8% DOTM Obs (%oal) 15,0% 14,4% 1,3% 30,6% Vol Imp. Média 39,5% 33,3% 26,6% 36,1% Toal Obs (%oal) 54,1% 41,9% 4,0% 100,0% Vol Imp. Média 40,2% 32,9% 26,8% 36,6%
31 Tabela 6 - Volailidade Implícia média por Moneyness e vencimeno para opções de OGXP3. OGXP3 Curo Medio Longo Toal DITM Obs (%oal) 18,0% 9,5% 0,4% 28,0% Vol Imp. Média 55,2% 44,1% 46,6% 51,3% ITM Obs (%oal) 5,5% 4,4% 0,4% 10,3% Vol Imp. Média 43,9% 41,1% 42,1% 42,6% ATM Obs (%oal) 9,9% 8,1% 0,5% 18,4% Vol Imp. Média 42,1% 40,6% 42,3% 41,4% OTM Obs (%oal) 6,0% 5,6% 0,4% 12,0% Vol Imp. Média 41,8% 39,6% 41,9% 40,8% DOTM Obs (%oal) 15,2% 15,7% 0,4% 31,4% Vol Imp. Média 43,4% 40,8% 40,3% 42,0% Toal Obs (%oal) 54,7% 43,3% 2,1% 100,0% Vol Imp. Média 46,9% 41,3% 42,6% 44,4% Tabela 7 - Volailidade Implícia média por Moneyness e vencimeno para opções de ITUB4. ITUB4 Curo Medio Longo Toal DITM Obs (%oal) 6,4% 8,6% 1,7% 16,7% Vol Imp. Média 33,4% 29,8% 27,5% 31,0% ITM Obs (%oal) 9,8% 9,4% 0,9% 20,0% Vol Imp. Média 31,6% 29,7% 28,7% 30,6% ATM Obs (%oal) 14,7% 13,8% 1,9% 30,4% Vol Imp. Média 29,2% 27,9% 27,6% 28,5% OTM Obs (%oal) 10,0% 7,5% 0,9% 18,3% Vol Imp. Média 28,1% 26,6% 27,4% 27,4% DOTM Obs (%oal) 7,4% 6,4% 0,7% 14,5% Vol Imp. Média 28,7% 27,0% 25,7% 27,8% Toal Obs (%oal) 48,3% 45,6% 6,1% 100,0% Vol Imp. Média 30,0% 28,3% 27,5% 29,1% O primeiro eságio da abordagem proposa consise no ajuse, aravés de mínimos quadrados ordinários (MQO), de um modelo por pregão para a volailidade implícia nas opções de cada ação analisada a parir das esimaivas por conrao após os criérios de filro. A uilização do moneyness (M) e do empo aé o vencimeno (T) como faores de previsão nese eságio ampara-se na revisão da lieraura e na própria evidência empírica da amosra demonsrada acima. Da observação de insabilidade e variação no empo dos coeficienes esimados nesa eapa decorre o segundo eságio, em que há enaiva de capurar a dinâmica dos coeficienes aravés de modelos auoregressivos nas respecivas séries emporais. O racional por rás desa abordagem susena que se as variáveis que conrolam esa dinâmica ao longo do empo são persisenes, enão um modelo do ipo VAR
32 pode ser uma forma razoável de capurar previsibilidade de aleração nos coeficienes da superfície de volailidade implícia. 3.3. O Modelo para Superfície de Volailidade Implícia Tomando como a volailidade implícia em Black e Scholes para o conrao i, com moneyness e empo aé o vencimeno, a equação: 2 i = β o + β1 i + β 2 i + β 3 i + β 4 ( M iti ) ε i lnσ M M T + (1) Na qual i = 1,...,n (seja n o número de opções negociadas no pregão) e é um ermo de erro aleaório. É definida em GG como a forma que melhor descreve a superfície de volailidade implícia diária do índice de opções S&P 500 enre Janeiro de 1992 e Junho de 1996, quando comparada a ouras conidas na lieraura. A mesma forma foi uilizada na pesquisa. A uilização do logarimo naural da volailidade implícia carrega algumas vanagens, como o esreiameno do inervalo de valores (que orna as esimaivas menos sensíveis a valores exremos) e resulados somene em valores posiivos. Para aplicação na amosra, impôs-se o criério seis a fim de aender a uma resrição funcional relacionada aos graus de liberdade dos resíduos da regressão, que impõem n-k-1>0, seja k o número de variáveis independenes. Enquano o séimo criério em como objeivo permiir a exploração da dimensão empo na análise. Conforme Bernales e Guidolin (2012),! na equação (1) é o coeficiene de inercepo que, no mundo de volailidade consane de Black e Scholes (1973), deve ser igual ao logarimo da volailidade em odos os conraos de opções observados para uma mesma ação (iso é,! = ln = = ln % enquano =0 para '=1,,4);,, relacionado ao moneyness, é o coeficiene de inclinação da superfície de volailidade implícia (capurando o sorriso da volailidade implícia); enquano - capura a curvaura na mesma dimensão.. reflee a inclinação na esruura a ermo e /descreve possíveis inerações enre as dimensões de moneyness e empo aé o vencimeno.
33 Os resulados obidos nesa eapa aravés do programa esaísico SPSS e descrios na seção 3.3.1, a despeio de evidenciarem a variabilidade dos coeficienes esimados dos modelos, represenados por veores 0 = ( 0!, 0,, 0 -, 0., 0 / ) diários, do poder explicaivo ao longo do empo (medido por R 2 ) e da significância geral dos próprios modelos em si (medida por F), demonsram que, quando formada a parir das médias das esimaivas, esa forma funcional consegue replicar várias formas da dinâmica da volailidade implícia. Tano em moneyness, quano na esruura a ermo. Da análise dos coeficienes esimados, a observação de insabilidade ao longo do empo associada à deecção de auocorrelação, aravés da esaísica de Ljung-Box 1 (LB) aplicada aos coeficienes e seus quadrados; e correlação cruzada enre os mesmos sugere a uilização de um modelo do ipo VAR 2 (Vecor Auo- Regressive) baseado no componene auo-regressivo das séries. O modelo para os coeficienes esimados em (1), aravés de { 0 }, para =1,..., T; sendo T o oal de dias da amosra e p o número máximo de defasagens, obido aravés do criério de informação Bayesiano de Schwarz (1978) 3, segue a forma: ˆ β p = µ + φ ˆ jβ j j= 1 + u (2) Onde 4 ~ i.i.d. N(0,Ω). As equações (1) e (2) represenam o modelo em dois eságios para dinâmica da superfície de volailidade implícia. 1 O ese de Ljung-Box (1978) avalia a hipóese nula de auocorrelação serial igual a zero (ρ=0), conjunamene, aé um número de defasagens em uma amosra de comprimeno N.? 5 =6(6+2)9 : ; - - ~ χ < >? ;@, 2 Desde Sims (1980), os modelos do ipo veor auoregressivo (VAR) de ordem p são largamene uilizados em economeria para previsão e análise esruural. Descrios como uma generalização naural dos modelos univaridados, são aceios como uma alernaiva aos modelos econômicos de equações esruurais. Denre suas vanagens, raa odas as variáveis analisadas como endógenas, encarregando-se de examinar as relações lineares exisenes enre cada uma delas e seus valores passados aé uma defasagem p. Como resrições, a escolha do conjuno de variáveis e o número máximo de defasagens usualmene definido aravés criérios esaísicos de informação. Uma discussão em orno dos modelos VAR esá em Canova (1995a, b). 3 Ver Schwarz (1978)
34 3.3.1. Resulados das Esimaivas Esa seção apresena as principais esaísicas descriivas e de ese obidas na esimação do modelo em dois eságios aravés de (1) e (2). As Tabelas 8 a 11 conêm os momenos dos coeficienes esimados nas regressões diárias em (1) pelo méodo de mínimos quadrados ordinários, as esaísicas de Ljung-Box para os coeficienes, esadas ao nível de significância de 5% em uma e aé dez defasagens e as esaísicas das regressões R 2, RMSE e p- valor nos oais das amosras por aivo subjacene. A despeio de nem odos os coeficienes diariamene esimados em (1) serem esaisicamene significaivos, qualiaivamene as exibições gráficas desa forma funcional em muio se aproximam das volailidades implícias esimadas direamene pela inversão de BS. Sobre os subconjunos de ações analisadas, uma vez que o aendimeno dos criérios descrios na seção 3.1. implica na irregularidade das séries, com a observação de inervalos maiores que 1 (um) dia úil em ceras ocasiões, a hipóese nula de não auocorrelação dos veores { 0 } esimados foi esada denro das amosras nos maiores inervalos conínuos, ou seja, sem salos enre os pregões observados. Desa forma, as esaísicas de Ljung-Box seguem descrias para os inervalos e número de observações indicados. A definição do número máximo de defasagens, p=10, objeiva analisar a persisência da influência de informações recenes, aproximadamene duas semanas por cona do viés de curo prazo para ese mercado no Brasil, sobre os dados auais. As Figuras 1 e 2 exibem as correlações cruzadas enre os coeficienes de cada série.
35 Figura 1 - Correlação cruzada dos coeficienes esimados em (1) para PETR4. Figura 2 - Correlação cruzada dos coeficienes esimados em (1) para VALE5. Tabela 8 - Esaísicas de coeficienes esimados em (1) para PETR4. PETR4 β0 β1 β2 β3 β4 R 2 Ajus. RMSE p - valor Média 3,5539-0,1003 0,3238-0,5582-0,4056 0,7894 0,0500 0,0607 Mediana 3,4963-0,0948 0,2953-0,4718-0,4953 0,9009 0,0409 0,0031 Desvio Padrão 0,3614 0,3787 0,5627 1,2377 3,7546 0,2754 0,0364 0,1434 Assimeria 0,8517 1,3672-1,0639-0,7231-0,2304 - - - Curose 3,9837 14,4166 20,5323 7,8889 10,5111 - - - Ljung Box (1)* 268.83** 32,357** 12,001** 106,53** 15,910** - - - Ljung Box (10)* 1128.6** 69,110** 52,249** 334.65** 43,618** - - - * Esaísicas de Ljung-Box(p ) sob a H0 de não auocorrelação aé a defasagem p, no inervalo de 16/07/2010 a 31/05/2012; 468 observações. ** Significaivamene diferene de zero ao nível de 5%.
36 Tabela 9 - Esaísicas de coeficienes esimados em (1) para VALE5. VALE5 β0 β1 β2 β3 β4 R 2 Ajus. RMSE p - valor Média 3,5384-0,1733 0,3456-0,5064-0,6440 0,7962 0,0538 0,0464 Mediana 3,4671-0,1510 0,2930-0,3790-0,8549 0,8955 0,0451 0,0008 Desvio Padrão 0,3845 0,2978 0,4916 1,2123 3,7353 0,2474 0,0354 0,1195 Assimeria 0,7007-0,0815 0,8006-0,7531 0,4396 - - - Curose 3,3419 5,0794 1,1089 5,3924 3,6325 - - - Ljung Box (1)* 290.57** 16,834** 49,937** 53,591** 12,533** - - - Ljung Box (10)* 1437.3** 47,264** 191,12** 94,757** 38,045** - - - * Esaísicas de Ljung-Box(p ) sob a H 0 de não auocorrelação aé a defasagem p, no inervalo de 17/05/2010 a 15/03/2012; 457 observações. ** Significaivamene diferene de zero ao nível de 5%. Tabela 10 - Esaísicas de coeficienes esimados em (1) para OGXP3. OGXP3 β0 β1 β2 β3 β4 R 2 Ajus. RMSE p - valor Média 3,7482-0,0520 0,2294-0,4038-1,1526 0,7567 0,0463 0,1199 Mediana 3,7260-0,0598 0,2141-0,2458-1,0410 0,8854 0,0354 0,0395 Desvio Padrão 0,2198 0,3191 0,3973 1,2394 3,4551 0,3352 0,0459 0,1807 Assimeria 0,4575 0,6353-0,0858-1,1104-0,0978 - - - Curose 3,7012 5,2746 4,8969 6,2730 4,4081 - - - Ljung-Box (1)* 16,057** 0,0006 0,0545 2,5763 0,6566 - - - Ljung-Box (10)* 26,125** 5,7262 8,1132 18,2470 5,2580 - - - * Esaísicas de Ljung-Box(p ) sob a H0 de não auocorrelação aé a defasagem p, no inervalo de 01/09/2011 a 16/11/2011; 51 observações. ** Significaivamene diferene de zero ao nível de 5%. Tabela 11 - Esaísicas de coeficienes esimados em (1) para ITUB4. ITUB4 β0 β1 β2 β3 β4 R 2 Ajus. RMSE p - valor Média 3,3655-0,3580 0,2448-0,3006-1,3357 0,7790 0,0371 0,1185 Mediana 3,3729-0,3157 0,0606-0,3276-1,0678 0,8957 0,0251 0,0390 Desvio Padrão 0,2472 0,6767 1,9779 1,0669 6,6209 0,3335 0,0386 0,1799 Assimeria -0,2505-0,3408 2,1818-0,2885 1,0195 - - - Curose 3,1337 8,0519 1,7840 5,7310 1,5971 - - - Ljung-Box (1)* 0,0181 5,6396** 0.1974 0.0577 0.6601 - - - Ljung-Box (10)* 10,8350 10,1460 6,6264 5,7958 4,6571 - - - * Esaísicas de Ljung-Box(p ) sob a H0 de não auocorrelação aé a defasagem p, no inervalo de 18/10/11 a 09/11/11; 16 observações. ** Significaivamene diferene de zero ao nível de 5%. Para esimação do VAR em (2), a premissa de esacionariedade (fraca) foi esada nas séries dos coeficienes esimados em (1) para cada ação analisada aravés da esaísica de ese ADF (Augmened Dickey-Fuller) 4 sob a hipóese nula de não esacionariedade. Os eses nesa eapa foram realizados aravés do programa EViews. E, uma vez que não se êm definidos, anes da realização dos eses, os números óimos de defasagens p para cada série, o programa uiliza o méodo SIC para avaliar e indicar a melhor alernaiva. 4 Ver Dickey e Fuller (1979)
37 Tabela 12 - Resulados do ese ADF para esacionariedade das séries de coeficienes esimados. β0 β1 β2 β3 β4 Tese valor esa- p-valor esa- p-valor esa- p-valor esa- p-valor esa- p-valor ADF críico PETR4-2,8634-5,7530 0,0000-13,3468 0,0000-19,9922 0,0000-17,0728 0,0000-21,8275 0,0000 VALE5-2,8638-4,3533 0,0004-12,7365 0,0000-13,1634 0,0000-10,8603 0,0000-16,6088 0,0000 OGXP3-2,8692-4,6082 0,0001-8,4128 0,0000-19,1966 0,0000-15,9250 0,0000-20,2404 0,0000 ITUB4-2,8857-3,4032 0,0127-8,5088 0,0000-11,1427 0,0000-10,8589 0,0000-10,0289 0,0000 Os resulados descrios na Tabela 12, quando analisados aravés do p- valor, ou seja, da probabilidade da série apresenar uma raiz uniária ao nível de significância de 5%, indicam a rejeição da hipóese nula (H 0 ) de não esacionariedade em favor da hipóese alernaiva (H 1 ) de séries esacionárias. A parir deses resulados, fundamenalmene a não rejeição da hipóese nula de não auocorrelação para os coeficienes esimados nas séries desacadas de ITUB4 e OGXP3 aravés da esaísica de Ljung-Box, os coeficienes de correlação cruzada e o baixo número de observações conínuas (16 e 51, respecivamene) como base para esimação dos modelos relacionados a eses papéis, pelos criérios adoados as opções desas séries foram preeridas na eapa seguine de esimação dos veores auoregressivos, seguindo-se com as séries referenes a opções de PETR4 e VALE5. 3.3.2. Modelos Esimados Nesa seção são apresenadas as esimaivas do modelo no eságio dois, obidas aravés do EViews, para as séries de coeficienes esimados em (1). Assim como na realização dos eses aneriores, para PETR4 segue o inervalo de 16/07/2010 a 31/05/2012 e para VALE5: de 17/05/2010 a 15/03/2012 - ambos conidos nas respecivas amosras iniciais, perfazendo respecivamene 468 e 457 observações. A definição do número óimo de defasagens p seguiu dos resulados fornecidos pelos criérios de informação de Akaike (AIC) 5 e bayesiano de Schwarz (SIC) a parir de um máximo de 10 arasos (pelo mesmo princípio adoado aneriormene nas análises de auocorrelação). Uma vez obidos 5 Ver Akaike (1974)
38 resulados divergenes enre os dois méodos, a escolha do melhor seguiu da análise conjuna dos criérios de log verossimilhança, SIC e da comparação enre os erros padrões das esimaivas das equações (s e ). Mais uma vez com indicações díspares pelos resulados. Conudo, como por definição, o criério bayesiano penaliza mais a inclusão de ermos adicionais, há inerenemene expecaiva de que ese indique modelos no mínimo ão pequenos quano AIC. Prevalecendo na seleção os modelos com exensões de defasagens definidas pelo criério de Akaike (AIC), de maior log verossimilhança e menores erros padrões das esimaivas. Sendo que para PETR4 p=3 e para VALE5, p=2. Tabela 13 - Seleção de Modelo para VALE5 e PETR4. Série Criério p Log Erro Padrão da Esimaiva (s e ) Verossimilhança SIC β 0 β 1 β 2 β 3 β 4 VALE5 AIC 2-1151,416 5,800986 0,134580 0,330250 0,488451 0,804787 3,139041 SIC 1-1180,035 5,578387 0,134348 0,330261 0,489120 0,805972 3,140788 PETR4 AIC 3-1375,402 6,972402 0,149887 0,429417 0,556692 0,787447 3,641929 SIC 1-1454,282 6,623029 0,153225 0,438661 0,559919 0,822701 3,702601 A Figura 3 em ploadas as comparações enre as superfícies formadas pelas médias das volailidades implícias esimadas direamene da inversão de BS e as esimadas denro das amosras aravés do modelo em dois eságios (1) e (2). A forma gráfica evidencia aravés da coincidência enre as formas o ajuse do modelo - ao menos em esruuras esáicas.
39 Figura 3 - Superfícies Real e Esimada para PETR4 (21/07/2010 a 31/05/2012) e VALE5 (19/05/2010 a 15/03/2012). 3.4. Medidas esaísicas e econômicas de análise A seção 4 conempla a avaliação esaísica e econômica do modelo proposo para superfície de volailidade implícia. Sendo o ineresse maior desa pesquisa avaliar em ambiene de negociação a capacidade do modelo em explorar previsibilidade na dinâmica desas esruuras, os eses e análises que seguem ocupam-se essencialmene das previsões geradas fora da amosra na comparação com as volailidades implícias e prêmios observados em pregão. Um meio de confronar as esimaivas e previsões com a realidade de resrição informacional, assim adequado à uilização que se propõe de ganho de informação sobre a volailidade implícia fuura, ainda que eoricamene conrária às premissas assumidas em Black e Scholes. A parir das séries de coeficienes { 0 } diariamene esimados via MQO nos períodos mencionados na seção 3.3.2 sobre os conraos de opções negociados para ambas as ações em (1), foram esimados - em diferenes janelas e de forma independene (inclusive na definição do número de defasagens p), os parâmeros (resumidos em BC) de diferenes modelos mulivariados (2), cujos resulados ambém manidos consanes em períodos pré-deerminados foram empregados na
40 geração de previsões um passo à frene de { 0 D, }. Com isso, em obiveram-se n previsões de volailidades implícias e prêmios para +1 - cada uma associada a um conrao disponível na daa. Eses modelos serão chamados modelo 1. As janelas para esimaiva dos modelos foram definidas denro das respecivas séries parindo de um período mínimo de doze meses, sucessivamene acrescido de dois meses nas janelas subsequenes. Com os modelos sequencialmene incorporando mais informação sobre o passado na comparação com o anerior, esendendo-os. Como referência, sempre considerando um mês de 21 dias úeis (252/12). Para previsão, foram esabelecidos períodos de dois meses ou 42 pregões a parir do pregão seguine ao encerrameno da janela de esimação imediaamene anerior. Sem sobreposição das janelas de esimação e previsão. Tabela 14 Janelas de esimaiva e previsão para VALE5 e PETR4. VALE5 Esimaivas de VAR Previsão de {β} Inervalos Meses Inicio Fim Pregões Incremeno Inervalos Início Fim Pregões (A) 12 17/05/10 20/05/11 252-1 23/05/11 20/07/11 42 (B) 14 17/05/10 20/07/11 294 42 2 21/07/11 19/09/11 42 (C) 16 17/05/10 19/09/11 336 42 3 20/09/11 21/11/11 42 (D) 18 17/05/10 21/11/11 378 42 4 22/11/11 19/01/12 42 Inervalos Meses Inicio Fim Pregões Incremeno Inervalos Início Fim Pregões (A) 12 16/07/10 20/07/11 252-1 21/07/11 19/09/11 42 (B) 14 16/07/10 19/09/11 294 42 2 20/09/11 21/11/11 42 (C) 16 16/07/10 21/11/11 336 42 3 22/11/11 19/01/12 42 (D) 18 16/07/10 19/01/12 378 42 4 20/01/12 22/03/12 42 (E) 20 16/07/10 22/03/12 420 42 5 23/03/12 23/05/12 42 Esimaivas de VAR PETR4 Previsão de {β} As medidas uilizadas para análise esaísica dos modelos de previsão foram: raiz quadrada do erro quadráico médio (RMSE roo mean squared error), erro absoluo médio da previsão (MAE mean absolue error) - calculado ano sobre as volailidades implícias direamene obidas pela inversão de BS quano sobre os prêmios observados, e o percenual de previsões correas sobre a direção da mudança (MCPDC mean correc predicion of direcion of change), ambém sobre as volailidades implícias e prêmios. Sobre ese úlimo, considerado apenas para conraos negociados por no mínimo dois pregões consecuivos, aribui-se valor 1 (um) quando a mudança previsa for do mesmo sinal da realizada e zero quando iso não se verificar.
41 Com objeivo de comparação, seguindo parcialmene GG, um modelo de passeio aleaório nos coeficienes de (1), proposo por DFW, foi incluído. Consise em uma forma menos dinâmica que o modelo 1 na qual as melhores previsões para amanhã dos coeficienes da equação (1) são seus valores de hoje, iso é 0 = 0 E,. Ese benchmark, denominado modelo 2, foi sujeio às mesmas medidas de análise. Desa forma, a comparação dos resulados apresenados na seção 4 seguem inra (diferenes janelas para o modelo 1) e enre modelos. Com as previsões de volailidade implícia de cada modelo, foram obidos os prêmios eóricos em Black-Scholes para cada conrao negociado. Sobre a indisponibilidade de informação relaiva ao valor fuuro dos ouros parâmeros necessários à fórmula: preço do aivo subjacene e axa de juros livre de risco, são ambém assumidos os valores de hoje como melhores previsões para os valores do insane seguine. A enaiva de incorporar um modelo de previsão para eses parâmeros, conforme jusificado em Bernales e Guidolin (2012), poderia compromeer a análise isolada da capacidade dos modelos para superfície. Além do que as esraégias empregadas para avaliação econômica dos mesmos são imunes a pequenas variações nos preços do aivo base. A análise econômica em como objeivo avaliar a capacidade do modelo em suporar de forma sisemáica a realização de operações consisenemene renáveis, em ambiene real de Mercado. Para cumprir esa proposa, foram esabelecidos parâmeros para negociação de porfólios composos por ações e opções com base nas previsões diárias de volailidade implícia para o pregão imediaamene seguine. Em cada dia denro das janelas de previsão descrias aneriormene foram monadas esraégias do ipo dela neuro, comprando ou vendendo opções, simulaneamene à realização do inverso com o aivo subjacene, conforme a previsão fosse de aumeno ou queda para σ i respecivamene. Sendo fundamenal nese caso a percepção da relação posiiva enre o poencial de ganho das esraégias e a medida MCPDC. As quanidades de opções em cada posição, definidas pela razão do dela de Black-Scholes: 5/Δ, onde 5 represena a quanidade do aivo; na medida em que igualam os delas negociados à quanidade da ação originam um porfólio dela neuro, insensível a variações de pequena magniude no preço. Pequenas
42 dado o caráer insanâneo e de primeira ordem do dela, que se alera em função de mudanças no preço do aivo objeo. Por isso, a manuenção de um porfólio dela neuro ao longo do empo requer conínuo rebalanceameno das quanidades pelo quociene do dela neuro. Na inenção de eviar ese exercício, cada esraégia foi manida por um único pregão, refleindo puramene a compra ou venda de volailidade implícia. As operações individuais foram enão agrupadas em um porfólio de valor H, al que: V = C 100 S *100 m Q, + m Q, C 100 S *100 (3) Onde m represena um conrao no subconjuno dos conraos comprados I5,D J ou vendidos I5,E J em ; K o preço do aivo subjacene e Δ?, o dela da opção m ambém no insane. Devido às disorções enre as coações dos loes padrão definidos pela Bolsa e às observadas no mercado fracionário, como regra geral de negociação, foi disponibilizado no insane 1 capial necessário para invesimeno em 100 (cem) quanidades da ação em cada operação isolada, obendo-se do dela neuro a quanidade de opções correspondene, e adicionalmene os recursos necessários para coberura das operações seguines (L ). Desa forma, se H <0, iso é, se o somaório do cuso das posições individuais compradas denro do porfólio for maior que o das vendidas, enão o monane reflee o cuso oal da compra, caso conrário o crédio recebido na posição global vendida. Os resulados nominais diários são apurados aravés da equação abaixo, seguindo Bernales e Guidolin (2012): G + 1 = m Q, m Q, + C C + 1 + 1 100 S 100 S + 1 + 1 *100 C *100 + C 100 S 100 S *100 + *100 (4) Adicionalmene, nos casos de posição global vendida, o crédio recebido igual a (H ), foi aplicado por um dia à axa livre risco. Por conseguine, o ganho oal passa a ser conabilizado como N D, + H (expr S -T- U 1).
43 Com objeivo de aproximar as esraégias da realidade operacional, foram esimados (e levados conra os resulados) cusos de ransação sobre cada operação realizada pelas Tabelas de cusos e emolumenos disponibilizadas pela BM&F Bovespa, bem como faixas de correagem sugeridas pela mesma insiuição (aribuindo sobre esas arbirariamene um descono de 70%). Três regras específicas de negociação foram empregadas: em A, somene operações sobre conraos de médio prazo OTM (região da superfície em que são obidos os menores erros de previsão do modelo) sem resrição de número de posições diárias; em B, posições aberas nos dois conraos com maiores poenciais de ganho na venda e na compra e em C, um único conrao negociado por dia, equivalene à operação idenificada como a de maior poencial de ganho independene da naureza (venda ou compra). Não foram consideradas resrições para a venda de aivos. Para cada uma desas, o reorno acumulado sobre o parimônio em um pregão foi enão calculado acumulando-se os ganhos nominais obidos aé ese insane sobre o oal de apores realizados aé o mesmo momeno (com ganho zero nos pregões em que não houve gailho para monagem). Os resulados de cada esraégia foram comparados com os reornos obidos por um invesimeno à axa livre de risco pelo mesmo período nese caso acumulado, sem apores adicionais.