4 Construção do modelo integrado e o exercício de previsão

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1 4 Consrução do modelo inegrado e o exercício de previsão O exercício de previsão realizado no presene rabalho será apresenado pelos passos de implemenação, referenes aos modelos descrios no capíulo de meodologia. Devemos aenar que o nosso modelo foi consruído a parir do modelo proposo por Diebold e Li, para axas de juros calculadas a parir dos preços dos corporae bonds, ambém com frequência mensal, e esendido segundo premissas discuidas por Diebold, Li e Yue para diferenes mercados, aravés de curvas de rendimenos heerogêneas. Buscando saisfazer o princípio KISS (Keep i sophisicaedly simple) seguido e defendido por esses auores, opamos pela esimação do modelo por mínimos quadrados ordinários lineares, manendo o parâmero fixo, mesmo diane da possibilidade da esimação conjuna dos parâmeros via mínimos quadrados ordinários não lineares. Desaca-se que o uso do fixo é comum na lieraura, uma vez que eleva a eficiência dos esimadores, melhorando as previsões, segundo Diebold e Li (2006). A principal diferença do nosso esudo em relação aos arigos base é a nossa amosra ser composa por íulos corporaivos indusriais, ransacionados no mercado secundário americano e, que por sua vez, apresenam risco de inadimplência. Trabalhamos com íulos de 4 níveis de raings 0 e 5 mauridades. No enano, desaca-se que o nosso modelo foi consruído sobre o mesmo referencial de idenificação de forças/faores que são capazes de governar a dinâmica da ETTJ. Ouras inovações presenes nese rabalho são: a esimação de dois super faores que conduzem a rajeória dos faores nível e inclinação, enquano DLY esimam apenas um, e observar a performance prediiva do modelo hierárquico, enquano esses auores esão cenrados na consrução e eficiência do modelo para explicar o movimeno das curvas de juros dos diferenes países. O esquema abaixo mosra as eapas realizadas e que serão descrias em cada ópico desse capíulo. 0 Os raings são AAA, AA, A+, A, A-, BBB+, BBB, BBB-, BB+, BB, BB-, B+, B e B-. As mauridades são mauridades 3M, 6M, A, 2A, 3A, 4A, 5A, 7A, 8A, 9A, 0A, 5A, 20A, 25A e 30A.

2 30 Figura 4. Esquema da esruura do exercício a ser realizado nesse rabalho. 4. Esimação dos faores comuns a parir da esruura a ermo da axa de juros para cada raing O primeiro passo consise na esimação dos faores comuns presenes na função proposa do Modelo de Nelson e Siegel para descrever a esruura a ermo da axa de juros. Nese rabalho, assim como proposo por Diebold, Li e Yue (2008), consideramos apenas os faores, e 2, represenando a curva de juros para as operações com mauridade igual a períodos, descria pela seguine função: y ( ) = - e -, + 2, [4.] e De al forma que a função é denominada F( ) e refere-se ao componene idiossincráico. Essa equação modelará a esruura a ermo para cada nível de raing, assim como realizado por DLY para diferenes países. A decisão da descrição por apenas dois faores que explicam a dinâmica da curva de juros é baseada na decomposição por componenes principais da ETTJ, para cada nível de risco. Aravés dessa écnica conseguimos mosrar que grande pare do comporameno da variável em análise, iso é a sua variabilidade, pode ser explicada por poucos componenes que guiam a sua dinâmica, eliminando os

3 3 demais sem perda de generalidade, o que reduz os cálculos necessários para previsões. Conforme demonsrado na Tabela 4., nas colunas do acumulado proporcional, em média, 99% do movimeno dos juros de íulos corporaivos nore-americanos é explicado por dois faores apenas: nível e inclinação. Tabela 4. Decomposição das ETTJ por análise de componenes principais para cada raing. Nosso argumeno é reforçado uma vez que, essa hipóese foi assumida por Diebold, Li e Yue como descrio no ópico 2.3. Para a esimação desses faores nível e inclinação, indicados pela Análise de Componenes Principais como os mais relevanes ( e ), foi uilizado o méodo de Mínimos Quadrados Ordinários, como sugerido por Diebold e Li (2006), da seguine forma: Y ( ) AX E y (3) y (6) y (30) X A' A A' Y ˆ, F(3) F(6), 2, F(20) 2, (3) (6) (30) [4.2] Conforme descrio na meodologia, associamos esses loadings aos faores nível e inclinação, idenificados nos rabalhos de Lierman e Scheinkman (99) e Knez, Lierman e Scheinkman (994). Desa forma, em nosso modelo nos referiremos a, como nível e 2, como inclinação. No processo de esimação,

4 para a consrução da função F( ), usamos , invariane com o empo, ambém conforme uilizado por DL e a variável assumindo os valores das mauridades 3M, 6M, A, 2A, 3A, 4A, 5A, 7A, 8A, 9A, 0A, 5A, 20A, 25A e 30A em meses 2. Como a base de dados é composa por esruuras a ermo de 4 níveis de raing diferenes, esimamos os faores nível e inclinação associados a cada classificação. Desaca-se que esses faores são varianes no empo. Como ciado no ópico 2.2, relacionaremos as recomendações dos auores com as premissas uilizadas em nosso modelo: Modelo com rês faores comuns sendo uilizado para ajusar a curva de juros, opamos por apenas dois faores, como descrio em [4.] devido, a boa capacidade de explicação conforme indicado aneriormene. O parâmero 32 é considerado consane e calibrado de al forma que a função G( ) do loading 3, ainja seu máximo na mauridade média. Em nosso caso, uilizamos o lambda calibrado por DL, para ajusarmos a curva de juros a apenas dois faores, assim como Diebold, Li e Yue (2008), sem perda de generalidade. Os faores,, 2, e 3, sejam esimados por mínimos quadrados ordinários (opção facível porque é igual a um número definido a priori, o que faz com que a função F( ) seja perfeiamene conhecida). Também uilizamos esse méodo de esimação, no enano nos deivemos à esimação de,, 2, apenas, como descrio aneriormene. As séries emporais correspondenes aos faores sejam modeladas por processos esocásicos univariados. Supusemos que a lei de movimeno de seja a de um processo A() convencional, ou seja: i, ci i i, i,, i,2,..., I A forma proposa por DL e descria pela equação 2.3, pode ser visa como uma maneira mais livre de gerar as previsões. A suposição dos loadings seguirem um processo A() será uilizada mais adiane, já que no presene rabalho assumimos a presença de super faores que coordenam o movimeno dos faores globais, nível e inclinação. i, 2 Os valores assumidos pela variável T são 3, 6, 2, 24, 36, 48, 60, 84, 96, 08, 20, 80, 240, 300 e 360.

5 Para faciliar o enendimeno, nos referiremos aos faores nível e inclinação para a descrição do exercício e das equações não mais como como L e S., e 2, 33 e sim, Podemos observar o comporameno dos faores L e S esimados conforme descrição anerior, nos Gráficos 4. e 4.2. Noamos nas séries de nível esimadas que em períodos de maior esabilidade econômica, há um fechameno enre as curvas de diferenes níveis de risco, enquano em períodos caracerizados por crises, ocorrem afasamenos. Desaca-se, ambém, que a ampliude da variável nível é maior para as curvas mais arriscadas, apresenando maior volailidade, iso é, uma medida governamenal que afee uma variável de nível, iso é, aquela que afea odas as mauridades da curva simulaneamene, possuem um impaco maior nas curvas com classificações piores. No que se refere às séries de inclinação esimadas, essas se apresenam mais voláeis, fao esse por caracerísica inerene ao faor, que represena os choques que afeam diferenemene a pona longa (mauridades mais longas) e a pona cura (mauridades mais curas). Observamos que diane de períodos de crise como a Bolha da Inerne em 200 e a crise econômica de 2008/2009, a diferença enre as mauridades mais longas e mais curas, que deerminam a inclinação, ficaram maiores em módulo, resulando em faores cada vez mais negaivos, enquano que em períodos de maior esabilidade econômica, possuem um comporameno mais regular diferenciando-se pelo nível de risco. Podemos perceber, em nossa amosra, que diane de choques, a resposa do faor inclinação, em períodos de crise, se revela em movimenos conjunos de odos os raings, e em período mais esáveis a diferença deve se concenrar principalmene no diferencial de risco a ser assumido pelos agenes.

6 34 Gráfico 4. Faor nível esimado para cada raing. Gráfico 4.2 Faor inclinação esimado para cada raing. Aravés da análise das esaísicas descriivas dos faores nível e inclinação, podemos perceber que uma maior variabilidade no caso do nível, esá associada aos piores raings, podendo ser jusificada pela maior fuga dos íulos de pior classificação que diane de choques que afeam odas as mauridades. Enquano para o faor inclinação, se concenra nas melhores classificações, uma vez que essa componene represena, realmene, a variabilidade dos íulos menos arriscados. A curva média é crescene, no senido dos íulos mais arriscados, para

7 o nível, e para a inclinação é decrescene no mesmo senido, se ornando mais negaiva. Quano às medidas de assimeria, o faor inclinação apresena-se assimérico a esquerda para odos os níveis de risco se diferenciando pouco enre eles, o coeficiene esá, em orno, de -0,2, com exceção dos íulos classificados como B+,B e B-. Para o nível, as séries são assiméricas a direia, com os valores variando enre si, sendo que a série relaiva ao raing B+ possui maior coeficiene, igual a,3. Em relação a curose, para o faor denoado por L, essa medida é menor do que 3 para os íulos melhor classificados, e para os íulos a parir do BB+, decrescendo na classificação, esse coeficiene é maior que 3. Para o faor S, essa medida esá em orno de,5 para quase odos os raings e a parir da classificação BB+ vai aumenando, aingindo o máximo igual a 3 para o raing B quando vola a cair. Para a análise da normalidade das séries realizamos o Tese Jarque-Bera, onde percebemos que para odas as classificações de risco, com exceção dos íulos B+,B e B-, rejeiamos a hipóese de normalidade no inervalo de 95% de confiança para o faor inclinação. Enquano que para o nível a normalidade é rejeiada para odos os raings no inervalo de confiança de 90%, como pode ser observado nas Tabelas 4.2 e Tabela 4.2 Esaísicas descriivas do faor nível. Tabela 4.3 Esaísicas descriivas do faor inclinação.

8 Pela análise da mariz de auocorrelação, ano do nível quano da inclinação, nas Tabelas 4.4 e 4.5, noamos que os raings vizinhos são mais correlacionados. Desaca-se que para o faor S, a correlação é basane persisene enre os diferenes níveis de risco, o que não é válido para o L. 36 Tabela 4.4 Mariz de auocorrelação faor nível. Tabela 4.5 Mariz de auocorrelação faor inclinação. No ópico seguine, nos concenraremos na descrição do procedimeno realizado para a esimação dos super faores que conduzem a rajeória dos faores de nível e inclinação esimados nessa eapa. 4.2 Esimação dos super faores referenes aos faores globais O segundo passo consisiu na esimação dos super faores, referenes aos faores que governam o movimeno da curva de juros. Essa eapa é baseada no rabalho de Diebold, Li e Yue, em que, assim como os auores, definiremos leis de

9 movimeno específicas 3 para os faores que conduzem a dinâmica da esruura a ermo. No enano, os úlimos, como descrio na seção 2.3, esimam um componene comum (um super faor) e um componene idiossincráico como responsáveis pelas rajeórias dos faores nível e inclinação ( L e S respecivamene), enquano que em nosso modelo esimamos dois super faores, além do componene idiossincráico que não nos deivemos na esimação como um processo definido, mas descreve ambém cada faor. A esimação será explicada nese ópico e consise em uma inovação inroduzida pelo nosso rabalho, aé onde esamos cienes. A esses denominaremos: L, L2, Se S 2 onde os super faores de L se referem ao nível, e os de S se referem à inclinação. Os loadings com índice são responsáveis pelos movimenos em nível, iso é, faores que afeam simulaneamene odas as mauridades da ETTJ, a grosso modo, chamados de nível do nível e nível da inclinação. Enquano os loadings com índice 2 indicam os movimenos que aconecem de forma diferenciada dependendo da mauridade. São normalmene mais voláeis e afeam majoriariamene a pona cura, são a grosso modo denominados: inclinação do nível e inclinação da inclinação. Para a esimação ambém uilizamos a função proposa no modelo de Nelson e Siegel. No enano, com uma diferença, enquano para a descrição da curva de juros emos como variável dependene a mauridade, denoada pela variável, para os faores nível e inclinação emos como variável dependene o raing, denoado pela variável. Desa forma, o modelo proposo por Nelson e Siegel passa a ser descrio por: L ( ), 2, 37 e l L L [4.3] S e s S S [4.4] ( ), 2, Onde a função F() é denoada por e e a variável assume uma escala de números em ordem crescene de a 4, associada aos raings, onde se refere ao AAA e consequenemene, 4 se refere a B- (a variável assumia os valores 3 As equações que descrevem as leis de movimeno dos faores definidas por Diebold, Li e Yue são [2.6] e [2.7].

10 38 referenes às mauridades). Nesa eapa, consideramos como a base de dados, duas marizes consruídas a parir do nível esimado e da inclinação esimada, de modo que os loadings L e 2 L são obidos por mínimos quadrados da mariz de nível e os loadings S e 2 S obidos por mínimos quadrados da mariz de inclinação. A decisão da descrição por apenas dois faores que explicam a dinâmica de cada faor é baseada na decomposição por componenes principais de cada mariz, e susenada pelo argumeno de DLY, ciado aneriormene na seção 2.3. Conforme mosrado nas Tabelas 4.6 e 4.7, ano para o nível quano para a inclinação, apenas dois faores respondem em média por 98% da dinâmica das curvas. Tabela 4.6 Decomposição por análise de componenes principais do faor nível. Tabela 4.7 Decomposição por análise de componenes principais do faor inclinação. O méodo de Mínimos Quadrados Ordinários foi uilizado da seguine forma: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2,, B AA AAA L L B F A F AAA F L L L E AM L l l l B AA AAA l [4.5] L A A A M ' ' ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2,, B AA AAA S S B F A F AAA F S S S E AM S s s s B AA AAA s [4.6]

11 39 M A' A A' S ˆ Para a consrução da função F(), o valor assumido pela variável é a escala de números em ordem crescene de a 4, como descrio aneriormene. Essa ordena os raings em ermos da possibilidade de defaul, de modo que é o AAA com a menor probabilidade de defaul, enquano 4 é o íulo classificado como B-, mais arriscado enre nossos dados. Essa escolha foi arbirária, de modo que ouras esruuras poderiam ser definidas para a variável. Não nos deivemos na elaboração mais complexa por acrediarmos que não seria um faor de fore impaco no objeivo cenral dese rabalho, a projeção das ETTJ. A escolha do, raa-se de um processo complexo devido à presença de mulicolinearidade, que foi deecada nas séries dos super faores, ao enar selecionar esse parâmero buscando a minimização do erro enre o faor esimado e o realizado. O comporameno de L,, L, 2 e o formao da função F() podem ser observados na Figura 4.2. Os s menores que geram erros reduzidos ambém geram super faores do nível esimado alamene correlacionados - série em que foram esados os diferenes - em orno de 99%, como pode ser verificado na Tabela 4.8. Desa forma, o parâmero foi selecionado buscando maior aderência às medidas de mercado e menor auocorrelação enre os super faores, sendo assim, diferenes na esimação dos loadings referenes ao nível e à inclinação. As medidas de mercado são: a média dos níveis que foi comparada ao L,, a média das inclinações que foi comparada ao S, e a medida consruída a parir da diferença enre a axa mais arriscada e a menos arriscada, ano para o nível, quano para a inclinação, que foram comparadas respecivamene com L 2, e S, 2. Essas foram consruídas a parir das marizes geradas pela esimação dos faores L e S : a mariz de nível e a mariz de inclinação, cada uma com 4 colunas, e em cada coluna o faor referene a cada raing, as mesmas marizes a parir dos quais os super faores foram esimados.

12 40 Figura 4.2. Comporameno dos super faores do nível esimados para diferenes s e o formao da função F. Tabela 4.8 Auocorrelação das medidas de nível esimadas para diferenes s. Para o cálculo dos super faores, referene ao nível, foi selecionado o 5, que possui uma aderência com as medidas de mercado de 97% individualmene, e auocorrelação negaiva de 75%, como pode ser observado na Tabela 4.9. As medidas esimadas e de mercado podem ser observadas nos gráficos que compõem a Figura 4.3. Tabela 4.9 Auocorrelação das medidas esimadas e medidas de mercado para os super faores do nível.

13 4 Figura 4.3 Medidas esimadas e medidas de mercado para os super faores do nível. No caso da esimação dos super faores relaivos à inclinação foi selecionado o, que possui uma aderência com as medidas de mercado de 98% para S, e 94% para S 2,, enquano auocorrelação enre S, e S, 2 é de 56%, como pode ser observado na Tabela 4.0. As medidas esimadas e de mercado podem ser observadas nos gráficos que compõem a Figura 4.4. Tabela 4.0 Auocorrelação das medidas esimadas e medidas de mercado para os super faores da inclinação.

14 42 Figura 4.4 Medidas esimadas e medidas de mercado para os super faores da inclinação O comporameno dos super faores esimados pode ser observado na Figura Figura 4.5 Comporameno dos Super Faores Esimados Pela análise das esaísicas descriivas apresenadas na Tabela 4., podemos perceber maior variabilidade em L 2,, enquano as demais séries possuem a mesma variação. Para as medidas de assimeria, a série L 2, é a que apresena menor simeria, com coeficiene igual a -2,08, enquano os loadings S, e S 2, são -0,8 e -0,47, respecivamene, levemene assiméricas a esquerda. A

15 43 série de L, apresena leve assimeria à direia, com coeficiene igual a 0,76. No que refere-se à curose, essa medida é menor do que 3 para que para L, e L, S, e S, 2, enquano 2 é maior que 3, principalmene para L 2,, onde é igual a 8,83. ealizamos o Tese Jarque-Bera para a análise da normalidade das séries, onde percebemos que para odos os super faores rejeiamos a hipóese de normalidade no nível de 5%. Desacamos que o comporameno mais discrepane da variável L 2,, pode ser explicado pela própria definição da variável: inclinação do nível. O nível é o faor que afea conjunamene odas as mauridades da esruura a ermo, e pode ser decomposo em duas forças: sendo uma represena os movimenos mais regulares (em nível) e oura os mais voláeis (na inclinação). A úlima deve apresenar um comporameno mais variane, uma vez que o objeivo é que capure odas as variações de L. O mesmo não aconece com S, e S, 2, porque são medidas de inclinação, um faor que em menor represenaividade 4 dinâmica dos juros. na Tabela 4. Esaísicas descriivas dos super faores. 4.3 Previsão dos super faores Esa eapa consise na modelagem dos super faores como processos auoregressivos univariados e, sob esse enfoque, a realização da previsão desses processos um, seis e doze passos à frene (h=,6 e 2), conforme sugerido por 4 O faor inclinação responde, em média, por 8% da rajeória da curva de juros como pode ser observado na Tabela 4..

16 44 Diebold e Li (2006). A diferença do nosso esudo em relação à base eórica referencial é que esaremos projeando os super faores que conduzem a rajeória dos faores globais, que por sua vez guiam o movimeno da axa de juros. epeiremos algumas equações descrias aneriormene para que seja mais clara a visualização. O arigo de Diebold, Li (2006), modela a curva de juros pela seguine equação: e - e - y ( ) =, + 2, + 3, ( e ) [2.2] Onde,, 2, e 3, são os faores comuns que descrevem a rajeória da curva de juros. Esses faores são modelados como processos auo-regressivos univariados, para o qual se realiza a projeção. Em nosso modelo descrevemos a curva de juros como: - e y ( ) = Observa-se que não realizaremos a projeções de -, + 2, [4.], e 2, como os faores nível e inclinação, mas sim, a projeção dos super faores L, L2,, S,, es 2,, ciados no ópico 4.2 5, que governam o movimeno desses ( L e S ). Para a projeção de L, L2,, S,, e S 2, modelamos esses como meros processos A(), que é uma simplificação do modelo auo-regressivo univariado descrio em [2.3], esando de acordo com o desejo dos auores de... inenionally impose subsanial a priori srucure, moivaed by simpliciy, parsimony, and heory. A esruura desse passo será descria pelas equações: L L S S, 2,, 2, l a b L [4.7], l2 a b L [4.8] 2 2 2, s c ds, [4.9] s2 c2 d 2S 2, [4.0] A parir dessas equações esimaremos os coeficienes a, b, c e d por mínimos quadrados ordinários para cada super faor, uilizando a subamosra referene ao 5 As leis de movimeno dos faores esão descrias pelas equações [4.3] e [4.4].

17 45 período de janeiro de 997 a dezembro de Assim, de posse dos coeficienes referenes a oda a subamosra, em dezembro de 2003, realizamos a previsão um, seis e doze passos à frene. As daas de previsão são janeiro, junho e dezembro de 2004 respecivamene, desacando que a projeção é calculada individualmene para L, L2,, S,, e S 2,. A consrução da série emporal desses faores projeados é dinâmica, realizando um looping, iso é, a cada nova informação inserida são reesimados os coeficienes do modelo auo-regressivo e calculados os faores projeados para h=,6 e 2, de forma que a amosra é consanemene aualizada. A esimação dos coeficienes e a projeção incluem a úlima informação disponível. Para a previsão de um modelo auo-regressivo de ordem 6, dado na forma geral por: y a a y [4.] 0 A equação de previsão para j passos a frene é dada por: 2 j j E y j a0 ( a a... a ) a y [4.2] Em nosso modelo, as equações para a previsão um, seis e doze passos à frene, são dadas no formao geral, como: h= E y a0 a y [4.3] h=6 E y 6 a0 ( a a a a a ) a y [4.4] 2 h=2 E y 2 a0 ( a a... a ) a y [4.5] Noa-se que para a previsão um passo à frene, a úlima observação compuada é novembro de 200, para h=6 a observação é junho de 200 e consequenemene para h=2 é dezembro de Os resulados das curvas esimadas podem ser observados nos Gráficos 4.3, 4.4 e 4.5, onde podemos perceber que nosso modelo em um bom poder prediivo para h=. No enano, para h=6 e 2 percebemos defasagem na projeção, com o disanciameno maior aconecendo quano maior o horizone de previsão, 6 Ver equações [4.] e [4.2] e suas derivações, no ópico 9: The Forecas Funcion, do capíulo 2: Saionay Time-Series Models em ENDES,W.. Applied Economeric Time Series.

18 46 como esperado. Figura 4.6 Previsão +: Super faores esimados pelo modelo inegrado x realizada no período de jan/2004 a dez/200. Figura 4.7 Previsão +6: Super faores esimados pelo modelo inegrado x realizada no período de jan/2004 a dez/200.

19 47 Figura 4.8 Previsão +2: Super faores esimados pelo modelo inegrado x realizada no período de jan/2004 a dez/200. As conclusões acima ambém podem ser verificadas aravés das esaísicas dos erros de previsão, nas Tabelas 4.2 a 4.5, onde percebemos que na esimação de odos os super faores a variabilidade, medida pelo desvio padrão, é maior quano maior o horizone de previsão (h), como esperado. As séries emporais dos erros associadas às projeções um, seis e doze passos a frene são composas por 84,79 e 73 observações respecivamene. Na seção 4.2, referene à esimação de L, L2,, S,, e S 2,, percebemos que o faor L 2, apresena maior variabilidade, curose e assimeria elevadas. Tal fao é refleido nos erros, devido à maior dificuldade em prever esse comporameno muio voláil. Desaca-se que os erros apresenam uma esruura de correlação crescene com h, sendo que os erros mais correlacionados são referenes às medidas de inclinação. Tabela 4.2 L: Esaísica dos erros de previsão.

20 48 Tabela 4.3 L2: Esaísica dos erros de previsão. Tabela 4.4 S: Esaísica dos erros de previsão. Tabela 4.5 S2: Esaísica dos erros de previsão. Abaixo pode-se observar um esquema que ilusra as eapas do exercício de forma a resumir o que foi realizado aé a presene seção. Figura 4.9 Esquema da esruura do exercício realizado nese rabalho aé esa seção.

21 49 Eapas: Modelagem da curva de juros segundo a formulação de Diebold e Li para a exração dos faores nível e inclinação. Os faores são obidos para cada raing. Após essa eapa, monamos uma mariz do nível e uma mariz da inclinação, onde as colunas são as classificações de risco e nas linhas são as daas. Exração conjuna dos super faores, aravés das marizes descrias aneriormene, modelando os faores nível e a inclinação de acordo com a formulação de Diebold, Li e Yue (2008). Previsão dos super faores que são modelados como processos auoregressivos de ordem. A projeção é realizada um, seis e doze passos a frene, a parir de janeiro de 2004 e a esimação dos coeficiene do A() é realizada aravés de mínimos quadrados ordinários. Na próxima eapa nos concenraremos na reconsrução dos faores a parir dos valores projeados nese ópico. 4.4 econsrução dos faores a parir da previsão dos super faores De posse dos super faores previsos que conduzem a dinâmica de L e conseguimos reconsruir as leis de movimeno, descrias na seção 4.2 pelas equações [4.3] a [4.4] e, assim, refizemos a esimação dos faores no senido da reconsrução da curva de juros previsa, que será descria no ópico seguine. elembrando a lei da dinâmica dos faores: S, L e l L L [4.3] ( ), 2, S e s S S [4.4] ( ), 2, Para a reesimação dos faores de nível e inclinação referene a cada raing, reescrevemos a equação acima pelas marizes descrias em [4.6] e [4.7], onde

22 50 aravés da muliplicação maricial, obivemos a série emporal desses faores previsos para janeiro de 2004 a dezembro de 200. Ao fim da esimação, obivemos rês séries para cada faor, referenes a cada horizone de previsão (h=,6 e 2). L L L S S S AAA AA B AAA AA B F( AAA) F( A) L L F( B) F( AAA) F( A) S S F( B), 2,, 2, [4.6] [4.7] Desaca-se que para o cálculo da função F(), assim como na esimação dos super faores, uilizamos a variável assumindo valores na escala de números em ordem crescene de a 4, associada aos raings, onde se refere ao AAA e consequenemene, 4 refere-se ao B-. O parâmero, foi manido o mesmo quano da esimação de L, L2,, S,, es 2,. Pela própria esruura do modelo, manivemos essas premissas já que consise na reconsrução dos faores. Sendo assim, para o faor nível foi uilizado 5 e para inclinação,. Desaca-se que a realização de cada passo nesse rabalho, se faz assumindo a eapa anerior como realizada. Por exemplo, para a decomposição dos faores L e S em, e S 2,, assumimos que os faores nível ( L ) e inclinação L, L2,, S, ( S ) fossem os realizados, obendo assim a série dos super faores. Esse fao nos permie a comparação dos faores previsos com os enão realizados. Para a apresenação dos resulados dessa eapa, selecionamos os níveis de risco: A, BBB e B-, de maneira arbirária, uma vez que a apresenação gráfica de odos os raings se ornaria exausiva e, não apresena diferenças consideráveis com relação aos selecionados. Desa forma, podemos perceber aravés da comparação dos faores previsos, a parir da projeção dos super faores, com os faores realizados que graficamene a projeção um passo à frene para o faor inclinação é mais precisa do que para o nível para as classificações de risco

23 5 analisadas. O disanciameno para ambos os faores se orna mais relevane conforme aumena o horizone de previsão. Opamos pela disponibilização dos gráficos referenes à previsão seis e doze passos à frene no Apêndice (Gráficos 7.2 e 7.22), capíulo 7 dese rabalho, para possibiliar maior dinamismo na leiura. Figura 4.0 Previsão +: Faores esimados pelo modelo inegrado x realizada no período de jan/2004 a dez/200 para os raings A,BBB E B-. Pela análise das esaísicas dos erros apresenadas nas Tabelas 4.6 a 4.8, percebemos que o desvio padrão aumena com o horizone de previsão para odos os níveis de risco, como o esperado, sendo levemene maior para o raing mais arriscado, B-. Noa-se ambém, que o valor médio dos erros do nível é maior que

24 52 do faor inclinação. O erro médio quadráico da previsão do íulo mais arriscado é maior do que os demais, possivelmene devido à variabilidade inerene a íulos mais arriscados, enquano que para os íulos A e BBB o EQM é o mesmo. Desaca-se ainda, que os erros apresenam uma esruura de correlação significaiva, ano de ordem um, seis, quano de ordem doze, indicando séries basane persisenes. Sendo que os erros na previsão do faor inclinação são mais correlacionados. Tabela 4.6 A: Esaísica dos erros de previsão dos faores. Tabela 4.7 BBB: Esaísica dos erros de previsão dos faores. Tabela 4.8 B-: Esaísica dos erros de previsão dos faores.

25 No próximo capíulo, será descrio processo de reesimação da curva de juros econsrução da curva de juros e análise da previsão Esse ópico raa do enfoque prediivo dado ao modelo hierárquico consruído baseado nas premissas de Diebold e Li (2006) e Diebold, Li e Yue (2008). Após a esimação dos super faores, onde ampliamos a modelagem de DLY, realizamos a previsão dos super faores por um modelo univariado e reconsruímos os faores, que por sua vez, guiam o movimeno da curva de juros. Assim, parimos enão, finalmene, para a obenção da esruura a ermo da axa de juros previsa para cada raing. A parir da obenção dos faores nível e inclinação, para cada nível de risco na secção 4.4, pela própria esruura do modelo passamos a deer as séries que compõem a modelagem da curva de juros, que é dada pela equação [4.], reescria abaixo. - - e y ( ) =, + 2, [4.] A equação esá compleamene definida uma vez que, consideramos, assim como em 4., o parâmero , invariane no empo e a variável assumindo os valores das mauridades 3M, 6M, A, 2A, 3A, 4A, 5A, 7A, 8A, 9A, 0A, 5A, 20A, 25A e 30A em meses. A curva de juros foi obida pela muliplicação maricial, para cada nível de risco, represenada na esruura abaixo: y (3) y (6) y (30) F(3) F(6) L S F(20) [4.8] Desaca-se que para cada classificação de risco obivemos a esruura a ermo previsa um, seis e doze passos à frene no período de janeiro de 2004 a dezembro de 200. Da mesma maneira que no ópico anerior, apresenaremos os resulados da esimação para os raings A, BBB e B-, sem perda de generalidade, já que o foco é a comparação do modelo com o passeio aleaório, a qual apresenaremos

26 54 para ouras classificações de risco na próxima secção. Os gráficos relaivos a previsões seis e doze passos à frene, enconram-se no Apêndice (Gráficos 7.23 e 7.24). Figura 4. Previsão +: Curva de juros esimada pelo modelo inegrado x realizada no período de jan/2004 a dez/200 para os raings A,BBB E B-. Analisaremos as esaísicas dos erros de previsão no próximo ópico, quando realizaremos a comparação com o passeio aleaório, modelo selecionado como benchmark.

27 Comparação da previsão do modelo inegrado com o passeio aleaório Essa eapa consise na comparação da esruura a ermo da axa de juros projeada pelo modelo inegrado com o modelo mais radicional e simples da lieraura de previsão: o passeio aleaório. A projeção pelo passeio aleaório é o úlimo valor realizado, seja para a previsão um, seis, doze ou h passos à frene, que pode ser descria pela equação: yˆ h ( ) y ( ) [4.9] onde represena a mauridade da esruura a ermo da axa de juros. ealizamos a comparação com o compeidor para odos os raings, no enano, nos resringimos em apresenar graficamene o erro quadráico e as esaísicas dos erros de previsão para cinco níveis de risco selecionados: AAA, A, BBB, BB, e B- e para duas mauridades: e 0 anos. Desacando que além de rabalharmos com 4 níveis de raing, a esruura a ermo de cada íulo é formada por 5 mauridades e a apresenação complea seria exausiva e sem grandes ganhos analíicos. Na subamosra relaiva à classificação dos íulos, conseguimos capar a variabilidade de risco assumido pelos agenes, já que as selecionadas são níveis médios da nossa amosra, represenando de form a significaiva a sua variabilidade, sem perda de generalidade. Quano à mauridade, preferimos as axas de e 0 anos por acrediar na boa represenaividade dessas, em ermos de negociação. Essa comparação ambém foi realizada por Diebold e Li (2006), no enano, esses auores não se resringiram ao passeio aleaório apenas, uma vez que obiveram ganhos em relação a esse. Analisaram a eficiência da previsão do seu modelo com ouros compeidores, como descrio na secção 2.2. Seguindo a mérica desses auores com relação à eficiência da previsão, calculamos as esaísicas dos erros ambém uilizadas por eles: média, desvio padrão, erro médio quadráico e as correlações de ordem um, seis e doze, referene ao período previso de janeiro de 2004 a dezembro de 200. Essas esaísicas e a comparação com o passeio aleaório podem ser verificadas nas Tabelas 4.9 a 4.2. Pela análise dessas, percebemos que o erro médio de previsão e o desvio padrão, em

28 56 nosso modelo, são maiores do que o erro do compeidor para ambas às mauridades, e em odos os níveis de risco apresenados, com desaque, para o BBB. O mesmo ocorre para o erro quadráico médio que será analisado graficamene, mais adiane. Tabela 4.9 A: Esaísica dos erros de previsão da curva de juros. No que ange a análise da esruura de correlação dos erros, percebemos que esses são basane correlacionados, não só para o compeidor, como era o esperado pela própria consrução do mesmo, mas ambém em nosso modelo. A correlação nos erros do nosso modelo são mais elevadas quano maior o horizone de previsão, indicando séries mais persisenes. Para os íulos de classificação de risco inermediária, essa análise é complemenada pelas Tabelas 7.6 e 7.7 enconradas no Apêndice, relaivas aos raings A e BB. Desaca-se que a presença de uma esruura de auocorrelação nos erros, foi deecada por Diebold e Li (2006), no enano, não foi capaz de compromeer a boa performance prediiva do modelo desses auores, no horizone de seis e doze passos. Desa forma, a deecção de uma esruura nos erros do nosso modelo não seria um indicaivo de ineficiência na previsão.

29 57 Tabela 4.20 BBB: Esaísica dos erros de previsão da curva de juros. Tabela 4.2 B-: Esaísica dos erros de previsão da curva de juros. O principal criério que uilizamos para a avaliação do desempenho prediivo foi o erro médio quadráico 7, o mesmo adoado por DL. Para faciliar a análise, consruímos gráfico do erro quadráico e, opamos arbirariamene pela apresenação do raing BBB, nessa secção. Os demais gráficos referenes à previsão um, seis e doze passos à frene para os íulos classificados como AAA, A, BB e B- sugerem as mesmas conclusões e, podem ser enconrados no Apêndice (Gráficos 7.0 a 7.2). Os resulados indicam que o nosso modelo não apresena ganhos de eficiência em relação ao passeio aleaório, principalmene, na previsão um passo a frene, DL verificaram performance ligeiramene melhor que esse benchmark na previsão nese horizone. Com efeio, nas palavras dos auores 7 O erro é definido como o quadrado da diferença enre o valor previso para o yield em um dado período e o valor efeivamene observado.

30 58 se referindo a projeção para um período, In relaive erms, MSE comparison a various mauriies reveals ha our forecass, alhough slighly beer han he random walk and slope regression forecass, are indeed only very slighly beer. Quano às projeções para seis e doze períodos, o nosso modelo não apresena ganhos muio significaivos, como pode ser observado graficamene, iso é, para esses horizones exisem pequenos períodos em que o nosso modelo é ligeiramene superior. Desacamos que nosso período prediivo, janeiro de 2004 a dezembro de 200, compreende uma fase de grande insabilidade na economia mundial, principalmene americana, cujos primeiros sinais da grande crise que viria se abaer sobre os mercados financeiros em 2008/2009 começaram a ser senidos em 2007 com a crise do subprime. Esse fao dificula exremamene a nossa previsão, como pode ser observado nos gráficos, principalmene em 2008/2009. Esses erros se devem a uma caracerísica inrínseca da consrução do modelo, a nossa esruura para o cálculo das previsões é realizada nos super faores, aravés de um modelo dinâmico, em que os coeficienes da equação desses loadings e as projeções são esimados a cada empo, aravés da inserção de uma nova informação, como descrio no ópico 4.3. Essa peculiaridade fez com que o modelo fosse capurando oda a variação das axas no período da crise, descria nos super faores e propagando-a em nossas previsões. Diane disso, apresenamos ambém o gráfico dos erros no período de 2004 a 2007, com o objeivo de reirar os efeios da crise sobre a previsão e com isso, percebemos maior eficiência relaiva do nosso modelo.

31 59 Figura 4.2 BBB: Erro quadráico da previsão + para curvas de e 0 anos nos períodos de jan/2004 a dez/200 e jan/2004 a dez/2007. Figura 4.3 BBB: Erro quadráico da previsão +6 para curvas de e 0 anos nos períodos de jan/2004 a dez/200 e jan/2004 a dez/2007.

32 60 Figura 4.4 BBB: Erro quadráico da previsão +2 para curvas de e 0 anos nos períodos de jan/2004 a dez/200 e jan/2004 a dez/2007. Diane dos resulados apresenados acima, buscamos uma alernaiva para melhorar o desempenho prediivo do nosso arcabouço de previsão. Essa se referiu a recalcular odo o modelo inegrado enando ajusar novos s para a esimação dos super faores referenes ao nível, onde acrediávamos, aé enão, que poderia esar a maior fone de erros. Esperávamos que o erro esivesse na componene referene ao nível porque esse faor explica cerca de 90% da rajeória da curva de juros e, pelas análises gráficas e de correlação, como apresenado na seção 4.2, o faor inclinação esá bem ajusado. Desa forma, reesimamos a curva de juros esando ouros s, fazendo-o assumir os valores: 0,5, e 5 e, comparando-as com a previsão realizada pelo passeio aleaório. Pela análise do gráfico 4.0, percebemos que a diferenciação desse parâmero não rouxe ganhos, uma vez que a esimaiva foi pouco afeada, a curva referene ao fica quase que sobreposa a do 0, 5 e para esse nível de risco erram mais do que assumir o parâmero igual a 5. Pela análise de odos os raings, cujos gráficos comparaivos esão no apêndice (Gráficos 7.22 a 7.25), opamos pela uilização do 5, uma vez que os ganhos de previsão dos demais valores não são significaivos.

33 6 Figura 4.5 BBB: Erro quadráico da previsão das curvas de juros de e 0 anos para diferenes `s no período de jan/2004 a dez/200. Acrediamos que a eficiência na previsão deecada por Diebold e Li (2006) e não verificada em nosso modelo, não se referem apenas a mudanças na esruura, podem ambém er relação como o fao de a amosra se composa de reasuries, séries mais esáveis, do que os íulos corporaivos. De qualquer forma, os resulados apresenados sugerem que mudanças na esruura do modelo devem ser realizadas, a fim de garanir melhor desempenho prediivo. As sugesões para rabalhos poseriores serão apresenadas no próximo capíulo.