Resoluções das atividades adicioais Capítulo Grupo A. a) a 9, a 7, a 8, a e a 79. b) a, a, a, a e a.. a) a, a, a, a 8 e a 6. 9 b) a, a 6, a, a 9 e a.. Se a 9 e a k são equidistates dos extremos, etão existe o mesmo úmero de termos etre a e a 9 e etre a k e a 0, isto é, 9 0 k k.. Sea k é o termo cetral de uma sequêcia, etão podemos dizer que há o mesmo úmero de termos etrea ea k e etrea k ea, em que é o úmero total de termos da sequêcia. Etão k k k. Para o exemplo do exercício, temos: 6.. Sea k é o termo cetral de uma sequêcia, etão podemos dizer que há o mesmo úmero de termos etrea ea k e etrea k ea, em que é o úmero total de termos da sequêcia. Etão k k k. Dessa forma, cocluímos que deve ser ímpar e, como 0 é par, etão essa sequêcia ão possui termo cetral. 6. I. Verdadeiro. Pois a 0 > 0 e + 8 > 0 N. 7 II. Verdadeiro. Sabe-se que os racioais são fechados quato à multiplicação, isto é, se tomarmos p e q racioais, teremos o produto p q também racioal. Etão temos que: a 0 e + 8 racioais para todo atural ão ulo, o que implica, 7 pela propriedade citada, que a é racioal para todo atural ão ulo. III. Verdadeiro. + 8 a > a a > a + 8 > 7 7 7 + 8 > 0
O gráfico de x 7x + 8 é uma parábola de cocavidade para cima com raízes em x ou x 0,, isto é, ela assume valores positivos quado tomamos x < 0, ou quado x > 8. Não temos ehum atural ão ulo meor que 0,; logo, temos 7 + 8 > 0 > 8. IV. Falso. + 8 a a a a + 8 7 7 8 ± N Logo N tal que a a. 7. a a + 0r 0r r 6 8. Sabemos que em uma PA a difereça etre termos deve ser, ecessariamete, um múltiplo da razão. Mas, 6 ( 7) que ão é múltiplo de. Logo, ão pode existir tal PA. 9. alterativa A a a + r a + 0. alterativa C O termo da PA pedido é o a 60 e temos a e r. Etão: a + 9 a 7 60 60. alterativa E Sabemos que em uma PA a difereça etre termos deve ser, ecessariamete, um múltiplo da razão. Etão, obrigatoriamete, 6, 76 e 76 6 0 devem ser múltiplos da razão. Para o maior valor possível de r, devemos ter r mdc (,, 0).. alterativa C a + 9 a e b + 9 b 60 0 0 0 0 + 0 0 + 0 0 c a b c a b. alterativa D 00 é o primeiro úmero a ser cosiderado e 9 996 é o último. Se pesarmos a PA dos múltiplos de 7 maiores que 000 e meores que 0 000, admitimos a 00 e a 9 996, em que é o úmero de termos pedido. Etão: 9 996 00 + 7( ) 86
. alterativa E..., x, log, log, log, log, y,... (..., x, 0,,,, y,...) Logo, temos uma PA de razão com x e y.. alterativa E Seja a PA (a, b, c) de razão r: a + b + c a b c 8 b r + b + b + r a b r ( b r)( b)( b + r) 8 c b + r r 0 r 0 b 8 b 8 6 r 8 r r 0 Etão, temos a PA (, 8,, 6) cujo º termo é 6. 6. alterativa E 9k a 0a + a a a a a + a a a + a a a + a 6k a k, k N a k, k N a k, k N Comoa é um úmero atural, etão k deve ser par; o úico valor etre 0 e 9 para a ocorre quado k e a 9. 7. alterativa D PA (b, b, b + ) b + 8 ( b + ) b + 8 b b Assim, temos a PA (7,, 7). Após aos: (0,, 0), cuja soma é. 8. alterativa A Temos a PA de º termo igual a 8 e razão r 8 Logo a6 a + r a6 +. 8 0 Na série origial temos S a S6. 0.
9. alterativa D Supodo degraus cosecutivos separados por uma distâcia costate, etão teremos uma PA de º termo 60 e º termo 0. a a a a + r r r. Etão seus termos são 60, 0,, 7, 0 cuja soma é, que é o comprimeto míimo requerido. 0. O º termo é o primeiro úmero maior ou igual a 00 que é divisível por. Logo: a 0 O último termo é o imediatamete meor ou igual a 00 que é divisível por. Logo: a 99 Agora, para calcular a soma, devemos ecotrar. 99 0 + ( ) 00 Basta aplicar a fórmula da soma: ( a + a ) S S00 0 ( 0 + 99) S 00 00. a 0 a + q a +. A partir das iformações dadas o euciado, motamos o sistema: a + a6 0 a q + q 0 ( ) a( q + q ) 0 a7 + a 6 8 9 960 a( q + q ) 960 q 8 a ( 8 + ) 0 q a q. Se vamos iterpolar meios etre e 6 devemos ter, ao fial, uma PG de º termo e 7º termo 6. 6 6 a7 a q 6 q q ± Etão, temos duas PGs (,,, 8, 6,, 6) e (,,, 8, 6,, 6).. Usado as propriedades da expressão do termo geral da PG, tem-se: 6 9 a a8 q a 9 6
. alterativa D Temos a PA (a, b, c) eapg(d, e, f ). Com as iformações do euciado, temos: a d c f > 0 b e + Assim, temos a PA (, e +, c) de razão r eapg(,e, c)derazão q. + c e + c e c 6 e c e e c 8 Logo, o º termo das progressões é 6. 6. alterativa A Se ( a, a,..., a ) é uma PA, etão k Rtal quea+ a k, N. Para que ( b, b,..., b ) seja uma PG, deve existir q R tal que b + q, N. b Para a sequêcia dada, temos a + a a + a r em que r é a razão da PA ( a, a,..., a ).Comor é costate, etão r também é costate. Logo (,,..., a ) é uma PG de razão r a a. 7. alterativa E De i pode-se afirmar que: b a + a + b b a Logo, de ii tem-se: a b 6 a a ( ) + 8 a a 8 8. alterativa C Sedo a r, a, a + r os úmeros, foi dado que: a r + a + a + r 0 a 0 Por outro lado, foi dado que r,6, + r estão em progressão geométrica. Logo: 6 ( r)( + r)
6 + r r r r + 0 r ou r A solução r ão covém, pois um dos termos será egativo. Portato r. Logo os úmeros dados são 8, 0 e. 9. alterativa D Sedo x esse úmero, etão ( x, 7 x, x) estão em progressão geométrica. Portato: ( 7 x) ( x)( x) 9 x + x 6 8x + x x 6 x Portato, a progressão geométrica é (9,, ), de razão. 0. alterativa B Como (x, y, z) é uma progressão geométrica de razão q, etão y xqe z xq. Logo, como (x,y,z) é progressão aritmética, etão: y x + z xq x + xq q + q q q + 0 q ou q A solução q ão covém, pois se teria x q. y. Portato. Observa-se que a progressão geométrica tem razão e termo iicial. Portato seu termo geral é a produto dos primeiros termos é dado por: P ( aa ) P ( aa ) 6 ( ) P 6 6.O 6
. () Verdadeira. A razão da PA é r b b log a log a a log log q. a () Falsa. Como b 0, etão log a 0, logo a 0 000. Mas a0 aq a 9. Assim a 000. () Verdadeira. Como foi visto a afirmação (), r log q.se q <, etão r < 0 e, portato, a PA é decrescete. Desta forma b < b para >. (8) Verdadeira. Tem-se que: b + b +... + b log a + log a +... + log a log ( aa... a ) log ( aa ) log aa Resposta: + + 8.. A PG tem razão e primeiro termo. Logo a soma S 0 dos dez primeiros termos é tal que: S 0 0 0 a( q ) q 0. As distâcias que o carro percorre a cada segudo formam uma PG de razão e primeiro termo 7. Logo a distâcia percorrida pelo carro os primeiros quatro segudos é igual à soma dos primeiros quatro termos dessa PG: S 7 7 80 8 7 0 7. a) Sedo ( t, t,..., t ) o tempo gasto em cada questão, que forma uma PG de razão. Sedo S k a soma dos k primeiros termos da PG, foi dado ques 6, es,, em que é o úmero de questões da prova. Mas, sabe-se que k Sk t( ), logo: t ( ) 6, t ( ), Dividido ambas: 0 7
7 8 6 b) Sabe-se que: 8 t ( ) 6, t 0, miutos Logo, o tempo ecessário para que o aluo resolva todas as questões da prova é: S 8 8 0, ( ) 7, miutos 6. a) O primeiro termo da progressão é: S b) Sabe-se que: a + a S Logo: + a 8 a 6 a 6 Portato a razão da progressão geométrica éq. a 7. alterativa C Os termos do lado esquerdo da equação formam uma PG covergete de razão e primeiro termo x. Portato sua x x soma vale. Logo: x x 0 8. alterativa A Sedo S + + +... e S + 9 7 +..., a soma pode ser reescrita como S + S. Mas, sabe-se que: S S + Portato a soma vale S S 7 8
9. alterativa A + + +... + log x log log log log x x x x + + + + +...... log x log log Grupo B x x 0. Para, N, temos: + t + ( + ) + 0 +. Primeiramete vamos fatorar a expressão dada: a a ( ) a ( + ) ( ) a ( ) ( + ) ( + ) I. Verdadeira., e + são três úmeros cosecutivos e, obrigatoriamete, um deles é múltiplo de. Logo, a é divisível por. II. Falsa. Se tomarmos 6, a6 6 7 7 a6 é múltiplo de 7. III. Verdadeira. a é múltiplo de úmeros distitos, logo ão é primo.. a) b a+ a b ( + ) + b) b b b 7 b 9 b. a) c a c ( ) + c + b) c a+ b+ c + ( 6 + ) c c) c a c a c b + 6 +. a) a a a 7 a a 9 b) a a 6 a a a 8 9
. a) a a a b c b) a + + ( )( + ) b ( + c) + b c ( )( + ) b + c 0 b c c) S + 6 6 +... + ( + ) ( + ) b c ( ) ( + ) 6. a) a a a a a a 6 8 a 7 b) Vejamos a demostração por idução fiita: Base de idução: a a Com a verificação da base de idução, veremos o passo idutivo: Seja k N tal que é válida a fórmula a + a +... + a k a k +. Vejamos agora a validade da fórmula para k + : a + a +... + ak + ak+ ak+ + ak+ a( k+ ) + Como a fórmula é válida para k +, cocluímos, pelo pricípio da idução fiita, que a + a +... + a a. + 7. a a6 + r a6 a6 + r a6 r Mas a a + r r a + r a 0. 6 8. Ser divisível por 7 e simultaeamete é equivalete a ser divisível por. Assim, tomamos uma PA de primeiro termo, último termo 998 e razão. a a + ( ) r 998 + 8 0
9. c a( b) c a( ) 8 N, c+ c 8 Assim, temos c+ c r, em que r é uma costate real, para todo atural. Logo, c é uma PA de razão 8. 0. Vamos pesar a razão como sedo um úmero atural, visto que há uma ifiidade de úmeros reais se ão houver essa restrição. Sabemos que em uma PA a difereça etre termos deve ser, ecessariamete, um múltiplo da razão. Etão a razão deve ser tal que 0,6 e 6 sejam seus múltiplos. Assim, os valores iteiros possíveis de r são os divisores simultâeos de 6, 0 e 6, que são,, e 8.. a) Seja o úmero total de emissoras em uma região. Etão: a a + ( ) r 07, 9 87, 9 + ( ) 0, 0 Se 00 é o º caal e temos 0 caais, etão o último caal é o 00. b) a a + 8 r a 87, 9 + 7 0, 9 MHz 8 00 8. a) a b a + ( r ) b + ( s ) 7 r r s 7s 6 Devemos ter r iteiro maior que : 7 s 6 > s > E s deve ser um múltiplo de para que r seja iteiro, assim basta ter s 6 para r. b) Tomamos a como º termo e a como º termo. r a a r ( a + 7 ) a r. a) Temos uma PA de º termo zero e razão. Logo: h h + ( ) r h ( ) b) h 0 98. Etão o décimo módulo musical começa às 9h8mi e, como há 0 miutos de música, os comerciais começam às 9h8mi. Etão a pessoa ouvirá música por 8 miutos.. Vamos calcular a soma de todos os úmeros de até 0, isto é, uma PA de 0 termos e de razão. Logo: S0 0 + 0 S0 7 Agora, calculamos a soma de todos os múltiplos de 7 etre e 0, ou seja, uma PA de razão 7, primeiro termo 7 e último termo 97: a a + r( ) 97 7 + 7( ) 7 S 7 7 97 + 7 7 89
A soma pedida é o resultado da subtração da primeira pela seguda. S 7 7 89 07 89. Seja S o valor da soma. Etão: S + +... + 99 00 S 00 + 99 98 + 97... + Somado as duas equações: S ( + 00)( 00) + ( 99 + )( 99 ) +... + ( + 00)( 00) S 0( 99 + 97 9 +... + + +... + 97 99) S 0( 99 + 97 9 +... + ) 0 + + ( 97 ) ( 99 ) 00 Outra maeira: ( + ) +, N Etão: + +... + 99 00 7... 99 99 0 00 6. a0 a + 9r 0 0 ( a + a0) 0 ( 00 + 0) S0 R$ 9. 00, 00 ( x ( a + ax )) 00x + 0x + 0x b) Sx x + 7x 86 0 x + 9x 0 0 x 0 ou x 69 (ão covém) Logo o úmero de pagametos é 0. 7. a) Observe que existe a seguite fórmula de recursividade: a a +,, N Abrido essa recursividade, temos: a a + ( ) + a a + + +... + ( ) + a ( + ) b) Para, temos: a + a+ ( + ) ( + )( + ) ( + )( + + ) + ( + ) Como + é maior que, coclui-se a demostração.
8. Se a sequêcia dada é uma PA, etão: x log + log 6x log ( x + 6) log 6x log ( x + 6) 6x 9x + 96x + 6 x 6 ou x 6 7 ( ão covém ) 8 9. log x + log x +... + log x (log x)( + +... + 8) 7 log x log x x 00 V { 00} 60. a) Coforme o euciado, temos: a a + a, N, Como a sequêcia ( a, a,..., a ) é uma PG, etão: a q a e a q a q a q a + a a ( q q ) 0 q q 0, pois a 0. Resolvedo a equação do segudo grau, temos: + q ou q b) Dos dois valores ecotrados, apeas + zero. Etão, temos: a + a q a a q a + Logo, S a + a + a. é maior que 6. a) a, a 6, a, a, a, a 6, a 7 8 e a 8 8 b) Observe que os termos ímpares obedecem uma PG de º termo e razão, e os pares, uma PG de º termo 6 e razão. Assim: Se é ímpar, a.. Se é par, a 6 6 7 8 8 9 Etão, a 7 e a 8 6.
6. a) a a ( q ) q b b q b q 0 0 7 b) a ( q ) e b q q q + + a b q q + c) a ( q ) m m+ e b q q q m a bm m + m Se os valores de m e satisfazem a equação aterior, etão a b. m 6. Como a PA tem razão, etão b a + e c a + 0. Com isso, foi dado que ( a +, a +, a + 9) é PG. Portato: ( a + ) ( a + )( a + 9) a + 0a + a + a + 8 a 7 Portato a PG é (9,, 6), cuja soma vale 7. 6. Tem-se que a, a a + r + r e a0 a + 9r + 9r, em que r é a razão da PA. Logo: ( + r) ( + 9r) + r + 9r + 8r 9r 6r 0 r 0 ou r A solução r 0 ão covém, pois a progressão aritmética é crescete. Logo r. 6 6. Como (, a, b) é uma PA, vale que a + b, e como (a, b,8)é uma PG, etão b 8a. Assim pode-se afirmar que a b 8 b + b + b b 8. Substituido: b b 0 b 6 ou b A solução b ão covém, pois a PA é crescete. Logo 6 b 6 e a,. 8
66. O produto P dos primeiros termos de uma PG é dado por P ( a a ). Como a PG dada tem primeiro termo igual a e razão, etão seu termo geral é a ( )( ) ( ). 9 9 Logo a 9 ( ). Portato: 9 9 90 P 9 [( )( )] ( ) ( ) 67. alterativa C O termo geral da PG é a a q. Portato: 9 P { a [( a q )]} a q P a ( a q ) a q P a ( a q ) a q Logo: P PP 9 a q a q a q q 6 68. alterativa B Pode-se afirmar que: log log b log Logo: log b log a b a a b b b 69. A sequêcia dos termos pares de uma PG (a, a,...) de razão 0 < q < é uma PG de termo iiciala e razãoq. Já a sequêcia dos termos ímpares é uma PG de termo iiciala e razãoq. Logo, sedo S p e S i a soma dos termos pares e dos termos ímpares, respectivamete: a a Sp e S i q q Foi dado que Si a a q q a a q S, logo: p
Foi dado que a, logo: a a 6 70. Sedo a a medida do lado do -ésimo quadrado formado e A sua área, foi dado que a a. Além disso, pode-se afirmar que o lado de um quadrado é igual ao lado do quadrado aterior multiplicado por (pelo Teorema de Pitágoras), portato sua área é multiplicada por. Logo A é uma PG de termo iicial A + Σ A i i a e razão. Logo sua soma vale: a 7. alterativa C Sabe-se que S S > 099, 099 >, < 00, a. Logo: < 00 > 00 O meor iteiro que satisfaz a codição é 7. 7. alterativa D Sedo o comprimeto do -ésimo segmeto da poligoal, pode-se afirmar que: x + 7 + 9 + x + + + ( + + + ) 9 7 6
Mas + + 9 + trata-se da soma de uma PG de termo iicial e razão p. Aalogamete + 7 + + éa soma de uma PG de termo iicial e razão p. Além disso, e p. Logo: 6 ( p ) p ( ( p ) ) p x ( p ) p p p 6 ( p )( p ) ( p )( + p ) p + p 6 7. O lado esquerdo da equação é a soma de uma PG de termo iicial e razão log x. Assim: log x log x log x x 0 7