Trabalho, Energia e Quantidade de Moiento. Nota: s fotografias assinaladas co ( fora retiradas do liro (. ello, C. Portela e H. Caldeira Ritos e Mudança, Porto editora. s restantes são retiradas de Sears e Zeansky Física I (ª ed. Pearson Education, São Paulo. tualizado e 0-0-08
TRLHO E ENERGI O trabalho realizado pela força constante F para deslocar o bloco de ua distância d é: Quando a força não te a direção do deslocaento (o que só acontece quando há ligações será: F t d Na fora etorial: F. P F t F cos(f d F cos(f F N Fsen(f Note que só a coponente que te a direção do oiento é que produz trabalho. coponente noral à superfície (F N é anulada pela reação da superfície. Produto interno do etor força pelo deslocaento do ponto O trabalho é positio quando f < 90º e negatio e caso contrário.
Quando se considera o atrito entre o corpo e a superfície introduz-se a força de atrito que, coo se sabe, te a direção da tangente à superfície e te sentido oposto ao oiento: f a F N Fsen(f Escrea ua equação aqui. E seguida calcula-se a resultante das forças que tê a direção do oiento (forças tangenciais R t F t f a R t = Fcos fa Finalente calcula-se o trabalho realizado R t d = (Fcos fa d
Unidades de trabalho equação de deriação é F=[LMT - ], logo =[L MT - ] a Sistea internacional Joule (J J= kgs - = N b Sistea CGS erg (erg erg= c gs - = dyn.c J kgs 0 c 3 0 g s kg s 0 7 c gs 0 7 erg c Sistea Técnico ou graitacional: Quilograetro (kg kg kgf 9,8N 9,8J
Ua partícula deora u tepo t, para passar da posição x para a posição x, ipulsionada por ua força constante F, resultante de todas as forças que atua na partícula, nas condições da figura: ( x x a ( ( ( ( x x F x x a Multiplicando abos os ebros desta últia equação pela assa Teorea do trabalho-energia Conhecidas as elocidades nos pontos x e x, a aceleração pode ser calculada por: ( ( x x a Multiplicando agora abos os ebros pelo espaço percorrido fica: x x
F ( x x ( F ( x x TEOREM DO TRLHO-ENERGI ou TEOREM D ENERGI CINÉTIC a K chaa-se Energia cinética O trabalho realizado pela resultante das forças que atua sobre ua partícula de assa, durante u certo interalo de tepo, é igual à ariação da energia cinética durante o eso interalo de tepo. Para u corpo rígido apenas co oiento de translação será: O trabalho realizado pela resultante das forças exteriores que atua sobre u corpo durante u certo interalo de tepo, é igual à ariação da energia cinética durante o eso interalo de tepo.
Este teorea ainda é álido para trajetórias não lineares. Estas trajetórias são proocadas por forças que aria ao longo do tepo, coo se iu no caso do oiento circular. Na figura seguinte apresenta-se ua trajetória parabólica Quando os interalos são uito pequenos pode considerar-se que, e cada interalo, a força é constante e o oiento é retilíneo. Então, pelo teorea do trabalho-energia, o trabalho realizado pela força para deslocar a partícula e cada interalo é igual à ariação da energia cinética obserada nos extreos desse interalo.... 3 4 3 n n n n n O trabalho realizado pela força F, de direção ariáel, para deslocar a partícula de até é a soa do trabalho realizado e cada interalos e que se pode diidir aquele percurso. Podendo assi deonstrar-se a alidade do enunciado anterior para qualquer trajetória e portanto para forças aplicadas ariáeis no tepo. y X y x
potência nu deterinado instante é o produto da intensidade da força pela elocidade (V nesse instante. Potência Potência édia P t Define-se para u interalo de tepo e representa o trabalho édio realizado por unidade de tepo. Potência instantânea potência está relacionada co a capacidade de produzir trabalho. U carro ais potente, percorre a esa distância que outro de enor potência, nu interalo de tepo enor. U aquecedor co 000 produz o dobro do calor do que u aquecedor de 000, no eso interalo de tepo.
Unidades de Potência equação de deriação é =[L MT - ] logo P=[L MT -3 ] P t a Sistea internacional watt ( = kgs -3 = J.s - b Sistea CGS erg por segundo erg.s - = c gs -3 =0 7 erg.s - c Sistea Técnico ou graitacional: Quilogrâetro por segundo kg.s 9,8J.s 9,8 Outra unidade uito usada, que não pertence ao SI é o horse power (hp, nos países anglo-saxónicos, ou o caalo apor (c nos restantes. correspondência é a seguinte: hp =,038 c = 745,7 c = 0,9863 hp = 735,5
Energia potencial. Energia potencial graitacional O trabalho realizado pela força da graidade (P=g sobre u corpo quando este cai de ua altura y para ua altura y é dado por: gra gra gra g( y y gy gy U gra gy U é a energia potencial graitacional da partícula situado a ua altura y do sistea de referência U gra. gra. gra ( U U gra. gra. gra U gra O sinal negatio é essencial. Perite considerar que quando a partícula sobe, o trabalho realizado pela força da graidade é negatio e a energia potencial graitacional auenta, erificando-se o inerso quando desce.
Pelo teorea da energia cinética pode-se escreer: gra K K K ( U gra U. gra. K Conjugando co a expressão que fornece o trabalho e função da diferença de energia potencial graitacional fica: K U K U gra. gra. E K U gra peranece constante E, representa a energia ecânica total, soa da energia cinética co a energia potencial graitacional. Pode então concluir-se que, durante o oiento de ua partícula apenas sujeita à ação da graidade, a energia total peranece constante. QUNDO UM PONTO DESCE ENERGI CINÉTIC UMENT E POTENCIL DIMINUI. QUNDO UM PONTO SOE GNH ENERGI POTENCIL E PERDE ENERGI CINÉTIC
. Energia potencial elástica Corpos elásticos são corpos que, terinada a deforação, olta a ter a esa fora e o eso taanho que possuía antes da deforação. força F aplicada a cada ua das extreidades da ola é ariáel, sendo tanto aior quanto aior o deslocaento (x que prooca F kx E que k=constante da ola. Nas olas ais siples, usadas nos brinquedos k= N -. Na suspensão de u autoóel k=0 5 N - Coo a força aria co o alor de x, para calcular o trabalho, diide-se o deslocaento e n deslocaentos eleentares e que, para cada u, se considera a F constante co o alor que te no início do interalo.
O trabalho e cada interalo pode ser calculado pela área do retângulo que te por base o copriento do interalo (x e por altura o alor da força (F dado que =F.x Depois soa-se todos estes trabalhos eleentares para obter o trabalho realizado pela força. área do triângulo representa então o trabalho realizado pela força ariáel F quando prooca u deslocaento x na ola x kx kx O trabalho realizado pela Força F sobre a ola entre x e x será a área do trapézio realçado na figura, que pode ser calculado subtraindo à área do triângulo de base Ox e altura kx, a área do triangulo de base Ox e altura kx kx kx
O trabalho realizado pela ola (F ola entre x e x será igual e de sinal contrário ao trabalho realizado pela força que prooca o deslocaento (F kx kx el kx kx Tal coo no caso do trabalho graitacional, podeos representar o trabalho da ola e teros de ua diferença de energia no início e no fi do oiento. Essa energia é a ENERGI POTENCIL ELÁSTIC (U el. U el kx el kx kx U el, U el, U el
3. Situações co energia potencial graitacional e elástica Dado que o trabalho realizado por ua forca elástica entre x e x é igual à diferença do potencial elástico entre os dois pontos, podeos agora generalizar o princípio da conseração da energia, escrito quando se consideraa apenas a força graitacional. K U U U U gra. el. gra. el. K Se houer outro tipo de forças a realizar o trabalho ( outras K U U U U gra. el. outras gra. el. Esta é a fora ais geral deste princípio, que se pode aplicar às situações onde exista atrito, sendo outras o trabalho realizado pelas forças de atrito (noralente energia que se transfora e calor, que é outra fora de energia. Se não houesse atrito ( resistência do ar e atrito interno nos elásticos haeria conseração de energia e o oiento representado na figura não paraa. K
4. Forças conseratias São forças capazes de conerter energia cinética e energia potencial e de fazer a conersão inersa Características do trabalho realizado apenas por forças conseratias: - É igual à diferença entre o alor inicial e final da função potencial - É reersíel - É independente da trajetória do corpo, depende apenas do ponto inicial e do ponto final - Quando o ponto final coincide co o ponto inicia, o trabalho realizado é igual a zero U( U( L= distância entre e sobre o plano inclinado: h= distância edida na ertical
Forças conseratias São forças capazes de conerter energia cinética e energia potencial e de fazer a conersão inersa Características do trabalho realizado apenas por forças conseratias: - É igual à diferença entre o alor inicial e final da função potencial - É reersíel - É independente da trajetória do corpo, depende apenas do ponto inicial e do ponto final Nua partícula siplesente pesada, o trabalho da graidade para a deslocar de até é: g sen( L U ( U ( g( y y ' 0 ' dado que g h h L sen( gh Se fizer o percurso até seguindo o cainho + te-se: g h O que perite concluir-se que o trabalho é igual se a partícula descer o pano inclinado se atrito ou, se seguir u outro cainho, sendo ua função apenas da diferença da função potencial. O que ostra a ª propriedade
QUNTIDDE DE MOVIMENTO ou MOMENTO LINER F a p F d dt F d dt ( é a quantidade de oiento ou oento linear taxa de ariação co o tepo da quantidade de oiento de ua partícula é igual à resultante das forças que sobre ela atua Coo a equação é etorial, na resolução dos probleas não utilizaos o etor as si as suas coponentes: p p x y x y No oiento retilíneo utiliza-se apenas ua das equações.
ª lei de Newton pode escreer-se, para u interalo de tepo, considerando nesse interalo a aceleração édia a ( t Consequenteente: ( F a Ft ( t t F a J fazendo J Ft ( e t t t chaa-se etor ipulso resulta, por substituição na equação anterior F( t t ( J p p J TEOREM DO IMPULSO ou D QUNTIDDE DE MOVIMENTO ariação da quantidade de oiento (oento linear de ua partícula durante u deterinado interalo de tepo é igual ao ipulso exercido pela resultante das forças atuantes durante o eso interalo de tepo.
SISTEMS MTERIS U sistea aterial pode ser considerado coo u conjunto de partículas co ua deterinada assa (pontos ateriais. O sistea pode ser discreto, coo por exeplo o sistea solar, aditindo que cada planeta é u ponto aterial, ou pode ser contínuo. Designa-se forças interiores, as forças exercidas entre si pelos ários pontos ateriais que constitue o sistea. Forças exteriores são as forças resultantes de interações exteriores ao sistea. U sistea isolado é u sistea aterial que está apenas sujeito à ação de forças interiores. O sistea ostrado na figura, constituído por dois pontos ateriais (astronautas é u sistea isolado, porque não está sujeito a ais nenhua interação a não ser a que exerce u co o outro.
Pela terceira lei de Newton a força que exerce sobre ( é igual e de sinal contrário à força que exerce sobre (. São u para ação reação. F d p dt / F / F / F / d p dt p p const. 0 d 0 dt p p 0 F F / Princípio da Conseração do Moento Linear : Quando a resultante das forças exteriores que atua sobre u sistea aterial é nula (sistea isolado o oento linear total do sistea peranece constante. F / d p d p / F / dt dt Note-se que este princípio é ais geral que o da conseração da energia, porque aquele é álido apenas quando as forças são conseratias.
Exeplo de aplicação: disparo de ua pistola p b ( b, f p, f bb, f b, i pp, i 0 p p, f p, f O recuo da pistola é função da relação entre a assa da pistola e da bala. Nota: Na resolução deste problea utilizou-se o ódulo do etor, ao qual se atribui u sinal, e ez do etor, porque os oientos acontece nua esa direção. Esta siplificação será sepre utilizada no oiento retilíneo COLISÕES b, f ( b p Utiliza-se o tero colisão quando existe ua interação igorosa entre dois corpos co ua duração curta. (
. Colisão nua linha reta Quando as forças entre os corpos fore uito aiores do que as forças externas, coo e geral acontece, podeos desprezar as forças exteriores e considerar o sistea isolado. Então existe conseração do oento linear na colisão,,,, Coo o oiento é retilíneo podeos utilizar a elocidade escalar, conencionando u sentido coo positio e o outro coo negatio (da esquerda para a direita os alores de considerase positios / s; / s; s /,,,,,,,, 0,4 / s
. Colisão nu plano horizontal O oento linear do sistea antes da colisão é igual ao oento linear do sistea depois da colisão.,,,, O problea resole-se atraés de u sistea de equações obtido pela igualdade das coponentes do oento linear ou:,x,y,x, y,x,y 0,x, y,x, y,x,x, y,x Conhecida a elocidade de depois da colisão podese calcular,x e,y pelo sistea de equações.
3. energia das colisões a Colisões elásticas Quando as forças entre os corpos fore conseratias, de odo que nenhua energia ecânica é perdida ou adquirida durante a colisão, ENERGI CINÉTIC TOTL DO SISTEM É MESM NTES E DEPOIS D COLISÃO ( Durante a colisão, parte da energia cinética inicial transfora-se e energia potencial elástica que, depois da colisão se transfora de noa e energia cinética, de odo que a quantidade de oiento do ponto quando olta à posição inicial é siétrica da que tinha quando partiu. E consequência a energia cinética é a esa.
b Colisões copletaente inelásticas Nestas colisões há conseração do oento linear as a energia cinética diinui após a colisão. O princípio da conseração da quantidade de oiento perite escreer,, (, Coo a colisão se dá nua reta te-se, antendo para a elocidade a regra de sinais referida:,, (,, (,, Para siplificar a deonstração considere- se que u corpo estaa parado (, 0. Pelo princípio da conseração da quantidade de oiento:, (, Os corpos fica unidos Os corpos oienta-se unidos
energia cinética do sistea antes da colisão era:, K energia cinética do sistea depois da colisão, considerando (,, ( ( ( K (, K K K,,,, ( ( O que ostra que, haendo portanto perda de energia cinética na colisão. K K é:
O coeficiente de restituição nua colisão frontal é o quociente entre a elocidade relatia de afastaento (após o choque e a elocidade relatia de aproxiação (antes do choque. Este coeficiente é adiensional e define-se coo: e rel. afastaento rel. aproxiação Nota: elocidade relatia é calculada coo a soa das elocidades quando tê sentidos opostos e a subtração delas quando tê o eso sentido. Este coeficiente aria entre 0 e. Colisões elástica: e=, porque a el. relatia de aproxiação iguala à de afastaento Colisões copletaente inelásticas: e=0, porque a el. relatia de afastaento é nula Choques Coeficiente de restituição (e Vidro co idro 0,93 Chubo co chubo 0,0 Ferro co chubo 0, Madeira co adeira 0,50 Marfi co arfi 0,90 Este coeficiente introduz ais ua equação relacionando as elocidades, o que perite resoler os probleas utilizando-a co a equação da conseração do oento linear.