1 INSPER 16/06/013 Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes 1. Nos plnos seguir, estão representds dus relções entre s vriáveis x e y: y = x e y = x, pr x 0.. Em um sequênci, o terceiro termo é igul o primeiro menos o segundo, o qurto é igul o segundo menos o terceiro, e ssim por dinte. Se o primeiro e o segundo termos dess sequênci são, respectivmente, 6 e 1, o primeiro termo negtivo será o ) sexto b) sétimo c) oitvo d) nono e) décimo A prtir ds informções do enuncido, temos seguinte ocorrênci: Se áre d região sombred n figur 1 corresponde numericmente à metde d áre sombred n figur, então o vlor d diferenç entre esss dus áres é igul ) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 FIGURA 01 As funções são inverss entre si, ssim, temos (0; 0) Î f e (0; 0) Î f 1, (3; 9) Î f e (9; 3) Î f 1, logo som ds áres ds regiões sombreds ds figurs 1 e é 7. Como áre d figur 1 (A F1 ) é metde d áre d figur (A F ): A F1 + A F = 7 A F1 = 9 FIGURA 0 Þ Þ A F A F1 = 9 A F1 = 1 A F A F = 18 Alterntiv D 1 = 6 e = 1 n = n n 1 n 3 Assim, os termos d sequênci são: 3 = 1 = 6 1 = 1 = 3 = 1 1 = 5 = 3 = 1 = 10 6 = 5 = 10 = 8 O primeiro termo negtivo é o sexto. Alterntiv A CPV INSPERJUN013
Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes INSPER 16/06/013 15 3. Pr o processo seletivo de um empres, form plicds dus provs pr selecionr os cndidtos que irim fzer dinâmics de grupo. As pontuções de cd pesso nesss dus provs, indicds por x e y, deverim tender certos critérios pr que ess pesso fosse convocd pr fse seguinte. Considerndo escls de resultdos de 0 100 pr mbs s provs, dois diretores propuserm critérios diferentes pr ess seleção: Diretor A: provr quem tiver s dus pontuções miores ou iguis 50. Diretor B: provr queles cuj som ds pontuções for estritmente mior do que 150. d) e) A figur cuj áre sombred cobre pens os pontos que representm s combinções de pontuções dqueles que serim provdos pelo critério do diretor A, ms não do diretor B, é: ) Pr ser ceito pelo diretor A, é necessário stisfzer s seguintes condições: x 50 y 50 b) Pr não ser ceito pelo diretor B, é necessário stisfzer seguinte condição: x + y 150 Representndo no plno crtesino s condições: y 100 c) 50 50 100 x Alterntiv D INSPERJUN013 CPV
16 INSPER 16/06/013 Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes. Um condicionl se A, então B somente é flso se proposição B for fls e proposição A for verddeir. Com bse ness informção, nlise os seguintes condicionis. I. Se o sistem sempre fic for do r os domingos, então nenhum operção pode ser feit nesses dis. II. Se lgum operção foi feit em um domingo, então há risco de frude eletrônic. Considerndo mbos os condicionis como flsos, conclui-se que: ) o sistem fic for do r os domingos e há risco de frude eletrônic. b) o sistem não fic for do r os domingos e lgum operção foi feit em lgum domingo. c) o sistem não fic for do r os domingos e não há risco de frude eletrônic. d) lgum operção foi feit em lgum domingo e há risco de frude eletrônic. e) o sistem fic for do r os domingos e não há risco de frude eletrônic. Como os dois condicionis são sbidmente flsos, temos s seguintes configurções: I. o sistem fic for do r os domingos nenhum operção é feit os domingos. II. lgum operção é feit em um domingo verddeiro flso verddeiro há risco de frude eletrônic. flso 5. f (x) e g (x) são dus funções do primeiro gru, tis que: f (1) = g (5) = 0. f () g () =. Se (h; k) são s coordends do vértice d prábol y = f (x)g (x), então necessrimente ) h = 3 e k < 0 b) h = 3 e k = c) h = 3 e k > 0 d) h = e k = e) h = e k < 0 Como 1 é riz de f (x), podemos dizer que: f (x) =. (x 1) Como 5 é riz de g (x), podemos dizer que: g (x) = b. (x 5) Assim, y = f (x). g (x) y =. (x 1). b. (x 5) y = b. (x 6x + 5) = bx 6 bx + 5 b A bsciss do vértice será: h = ( 6b). b = 3 A ordend do vértice será: x = 3 Þ k = b. (3 6. 3 + 5) k =. b Como f (). g () =, temos:. ( 1). b. ( 5) = 3b = Þ b = 3 Logo, k =. 3 = 8 3 > 0 Alterntiv C De onde se infere que (1) o sistem fic for de r os domingos, () lgum operção pode ser feit em um domingo e (3) não há risco de frude eletrônic. Alterntiv E CPV INSPERJUN013
Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes INSPER 16/06/013 17 6. A figur mostr o gráfico d função f (x) = (1, ) x. 7. Considere função f, definid no intervlo [1; 7[, dd pel lei x x +, se 1 x p f (x) = x 1x + 36, se p < x < 7 f (p) será o vlor mis lto de f (x) somente se Com bse nesss informçães, dos vlores seguir, quele que mis se proxim do vlor de log (5) log (3) :é ) 0,50 b) 0,75 c) 1,00 d) 1,5 e) 1,50 ) 1 p < b) 1 p < 3 c) p < 5 d) 3 p < 6 e) p < 7 Vmos observr os gráficos de y 1 = x x + e y = x 1x + 36 em [1;7[, sendo que o ponto de encontro é ddo por: x x + = x 1x + 36 Û x = A prtir d função f (x) = (1,) -x, temos: log y = log (1,) x Þ log y = x. log 6 5 log y = x. [ log + log 3 log 5] log y = x. [ 1 + log 5 log 3 ] Substituindo o ponto (3,8;0,5) do gráfico, temos: log 0,5 = 3,8. [ 1 + log 5 log 3 ] 1 = 3,8. [ 1 + log 5 log 3 ] log 5 log 3 = 1 3,8 + 1 0,73 Portnto, o vlor mis próximo é 0,75. Alterntiv B 5 1 1 7 Como f (p) é ddo pelo vlor de y 1 (p), então este será o mior vlor de f(x) qundo y 1 (p) y (p), ou sej, p < 7. y 1 y Alterntiv E INSPERJUN013 CPV
18 INSPER 16/06/013 Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes 8. 1 migos se reunirm pr um jntr de confrternizção, no qul 6 ingerirm bebids lcoólics. Apesr de todos já terem mis do que 18 nos, pens 8 deles já tinhm hbilitção pr dirigir. Eles form em 7 crros, que somente poderim ser guidos n volt por quem tivesse hbilitção e não tivesse ingerido bebid lcoólic. O número mínimo de pessos em condições de dirigir é: ) b) 3 c) d) 5 e) 6 Vmos tribuir identificções (nomes) os migos, fzendo referênci o fto de serem, ou não, hbilitdos: M 1 M M 3 M M 5 M 6 M 7 M 8 * S 1 S S 3 S A letr M indic um motorist hbilitdo, letr S indic um migo sem hbilitção. Como todos form em 7 crros, temos que M 8, pesr de hbilitdo, foi de cron. Os migos S 1, S, S 3 e S tmbém form de cron. Temos então, dois cenários extremos considerr (o trço indic lguém que ingeriu álcool): os 6 migos que ingerirm bebids lcóolics erm hbilitdos, por exemplo: M 1 M M 3 M M 5 M 6 M 7 M 8 * S 1 S S 3 S os 6 migos que ingerirm bebids lcóolics incluím todos os não-hbilitdos, mis dois dos motorists: M 1 M M 3 M M 5 M 6 M 7 M 8 * S 1 S S 3 S Desse modo, note que existe um mínimo de motorists hbilitdos (1 o cenário) e um máximo de 6 motorists hbilitdos ( o cenário). Alterntiv A CPV INSPERJUN013
Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes INSPER 16/06/013 19 Utilize s informções seguir pr s questões 9 e 30. Um fbricnte de cosméticos desenvolveu um nov emblgem pr um perfume que irá lnçr. O frsco será composto por um bse n form de cubo, sobre o qul se poi um cilindro reto, com um prism tringulr regulr copldo à prte superior desse cilindro. O esquem seguir mostr este recipiente visto de cim. Cd rest do cubo mede e, por um questão estétic, s três prtes que formm o frsco têm mesm ltur, de modo que ltur totl sej 3. 9. Pr que o volume totl do frsco sej proximdmente 90 cm 3, medid (em cm) deve ser igul : ) b) 3 c) d) 5 e) 6 ( Adote π 10 e 3 16 3 9 ) V cubo = 3 ( ) V cilindro = π V cilindro = π 3 l l l 3 h l l h l h = l 3 = 3 h l = 3 3 V prism = 33 3 8 90 = V cubo + V cilindro + V prism 90 = 3 + π 3 + 33 3 8 90 = 3 + 53 3 + 3 3 Þ 3 = 7 Þ = 3 INSPERJUN013 CPV
0 INSPER 16/06/013 Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes 30. Ness vist superior do frsco, um dos ldos do triângulo é prlelo dois ldos do qudrdo. Considere A o ponto médio de um dos ldos d bse inferior do cubo e B o ponto médio de um ldo do triângulo superior do prism, conforme indicdo n figur bixo. Um borrifdor será instldo sobre o prism e, pr que todo o perfume do frsco poss ser utilizdo, mesmo que estej cbndo, um cninho de sucção reto ligndo os pontos A e B irá limentr o borrifdor. O tmnho mínimo desse cninho, em função de, é ddo por. ) 75 + 16 b) 150 + 8 c) 150 + d) 75 + 8 e) 75 + 16 A O B Pr determinrmos o segmento AB, devemos clculr AB' e BB'. Temos que BB' = 3. Pr clculrmos AB' devemos clculr OB', onde O é o centro d circunferênci e o bricentro do triângulo, isto é, AO = e OB' = 1 R onde R é o rio d circunferênci e metde d digonl do qudrdo de ldo, isto é, OB' = 1 = Portnto, AB' = + Aplicndo Teorem de Pitágors no triângulo ABB' temos: AB = BB' + AB' B' B A AB = (3) + ( + ) AB = 9 + + AB = 150 + 16 AB = 150 + +. 16 Alterntiv C CPV INSPERJUN013
Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes INSPER 16/06/013 1 Utilize s informções seguir pr s questões 31 e 3. No início de cd mês, um posto recebe um entreg de combustível pr suprir su necessidde mensl. O nível de combustível estocdo (N) vri de cordo com o tempo (t), medido em dis decorridos desde entreg. Considere que, pr o último mês de bril, form entregues 5.000 litros de combustível. 31. Se o nível N(t) pode ser representdo por um modelo liner e o combustível cbou o finl do di 8 dquele mês, então o estoque o finl do 1 o di er: ) 3.15 b).500 c) 1.875 d) 1.50 e) 65 Pelo enuncido, temos o seguinte sistem: N (0) = 5000 5000 =. 0 + b Þ Þ = 5000 e b = 5000 N (8) = 0 0 =. 8 + b 8 Assim, N (1) = 5000. 1 + 5000 = 150 8 Portnto, o estoque o finl do 1 o di er 150. Alterntiv D 3. No mês seguinte foi entregue um quntidde mior de combustível, que foi consumido de cordo com função N(t) = 5t + 6.15 Dividindo o mês em 5 períodos de 6 dis, o mior consumo foi no período que compreende os dis ) de 1 6 b) de 7 1 c) de 13 18 d) de 19 e) de 5 30 Se o mior consumo contece entre os dis x e y: N(x) N(y) = 5x + 615 ( 5y + 615) = 5x + 5y = 5 (y x ) = 5 (y x). (y + x) Como diferenç y x é sempre 5, o mior consumo ocorre pr mior som de y + x. Portnto, o período é de 5 30 dis. Alterntiv E INSPERJUN013 CPV
INSPER 16/06/013 Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes 33. Os.096 ingressos pr um grnde festivl de shows serão comercilizdos pel internet. Os nlists estimm que o totl de ingressos vendidos em função ds hors decorrids desde bertur ds vends será ddo por v(t) =.096 (t 1). De cordo com esse modelo, extmente 75% dos ingressos terão sido vendidos qundo se completr(em) (s) primeir(s) ) 16 hors de vends berts. b) 8 hors de vends berts. c) hors de vends berts. d) hors de vends berts. e) 1 hor de vends berts. 0,75. 096 = 096 (t 1) 0,5. 096 = (t 1) 1. 096 = (t 1) 10 = (t 1) 10 = t + 1 10 = t + 1 t = 3. N vend de um m quin devem incidir dois impostos: I 1 = 0% do vlor d not fiscl do produto. I = 15% do vlor obtido subtrindo-se I 1 do vlor d not fiscl do produto. Se o vlor totl d not fiscl d máquin é R$10.000,00, som dos vlores correspondentes I 1 e I é igul : ) R$.00,00 b) R$.800,00 c) R$3.00,00 d) R$3.600,00 e) R$.000,00 I 1 = 0% de 10.000 =.000 I = 15% de (10.000 I 1 ) = 15% de 8000 = 100 Assim, som dos dois impostos é.000 + 1.00 = R$3.00,00 Alterntiv C Portnto, terão sido vendidos extmente 75% dos ingressos qundo se completr hors de vends berts. Alterntiv D CPV INSPERJUN013
Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes INSPER 16/06/013 3 35. Dois filmes estão sendo exibidos num complexo de sls de cinem. O filme A tem exibições inicindo cd três hors e o filme B tem exibições inicindo cd dus hors, sem que hj relção entre os horários de início de um e de outro. Um pesso vi esse complexo, desconhece progrmção de horários, ms gostri de ssistir qulquer um dos filmes A ou B, quele que tiver sessão inicindo primeiro. A probbilidde de ess pesso esperr té 30 minutos pr ssisir um dos filmes é um vlor entre ) 0% e 30% b) 30% e 0% c) 0% e 50% d) 50% e 60% e) 60% e 70% COMENTÁRIO DO CPV A prov de Mtemátic do processo seletivo Insper (junho/013) mnteve o seu formto trdicionl, presentndo questões com enuncidos extensos e contextulizdos. Embor ind mostre critividde, prov deste semestre presentou sinis de sturção e cnsço, com questões impreciss e té mesmo erros de digitção. Tlvez sej necessário que Bnc Exmindor primore su clibrgem qunto o nível e o estilo d prov pr que consig selecionr cndidtos melhor preprdos. Como o filme A tem exibição cd 180 minutos, probbilidde de ssistir este filmes em té 30 minutos: P (A) = 30 180 = 1 6 Anlogmente, probbilidde de ssistir o filme B é: P (B) = 30 10 = 1 Assim, probbilidde de ssistir o filme A ou o filme B é: P (A È B) = P (A) + P (B) P (A Ç B) P (A È B) = 1 6 + 1 1 6. 1 = 3 8 = 0,375 P (A È B) = 37,5% Alterntiv B INSPERJUN013 CPV