Universidade de Brasília. Instituto de Ciências Exatas. Departamento de Estatística. Dissertação de Mestrado

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1 Universidade de Brasília Insiuo de Ciências Exaas Deparameno de Esaísica Disseração de Mesrado Um Esudo sobre Modelos para Volailidade Esocásica por André Silva de Queiroz Orienadora: Prof. a Dr. a Cibele Queiroz da Silva Dezembro de 215

2 André Silva de Queiroz Um Esudo sobre Modelos para Volailidade Esocásica Disseração apresenada ao Deparameno de Esaísica do Insiuo de Ciências Exaas da Universidade de Brasília como requisio parcial à obenção do íulo de Mesre em Esaísica. Universidade de Brasília Brasília, Dezembro de 215

3 Termo de Aprovação André Silva de Queiroz Um Esudo sobre Modelos para Volailidade Esocásica Disseração apresenada ao Deparameno de Esaísica do Insiuo de Ciências Exaas da Universidade de de Brasília como requisio parcial à obenção do íulo de Mesre em Esaísica. Daa da defesa: 1 de Dezembro de 215 Orienadora: Comissão Examinadora: Prof. a Dr. a Cibele Queiroz da Silva Deparameno de Esaísica, UnB Prof. Dr. Raul Yukihiro Masushia Deparameno de Esaísica, UnB Prof. Dr. Jorge Albero Achcar Deparameno de Medicina Social, FMRP-USP Brasília, Dezembro de 215

4 Ficha Caalográfica DE QUEIROZ, ANDRÉ SILVA Um Esudo sobre Modelos para Volailidade Esocásica, (UnB - IE, Mesre em Esaísica, 215). Disseração de Mesrado - Universidade de Brasília. Deparameno de Esaísica - Insiuo de Ciências Exaas. 1. Esaísica Bayesiana 2. Modelo de Volailidade Esocásica 3. Modelos Lineares Dinâmicos 4. Ancillariy-Sufficiency Inerweaving Sraegy 5. JAGS É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desa disseração de mesrado e para empresar ou vender ais cópias somene para propósios acadêmicos e cieníficos. O auor reserva ouros direios de publicação e nenhuma pare desa disseração de mesrado pode ser reproduzida sem a auorização por escrio do auor. André Silva de Queiroz

5 i À efêmera jornada humana no Universo.

6 Agradecimenos Agradeço a Deus, o Criador de odas as coisas e deenor de oda ciência, pelo dom da vida. Agradeço aos meus pais, Manoel e Sandra, meus principais exemplos, por cuidar de mim, me amar e me ensinar o caminho a ser seguido. Agradeço à Sarah, meu amor, por ser minha companheira e melhor amiga, a razão de eu levanar odas as manhãs. Agradeço aos meus amigos, Bernardo, Leonardo e Tomaz, por, além de odas as alegrias comparilhadas, preencherem, ambém, a lacuna desinada aos meus irmãos. Agradeço ao Billy e a Geneviève, por passar em minha vida, e me mosrar que os anseios humanos não são ão imporane como pensamos. Por fim, agradeço à Cibele, minha orienadora, por me mosrar pacienemene como é produzido o conhecimeno, e me moivar a sempre querer saber hoje, algo a mais do que onem. Todos vocês, esarão sempre em minhas memórias, enquano durar a minha jornada. ii

7 Sumário Lisa de Figuras 4 Lisa de Tabelas 5 Lisa de Códigos 6 Resumo 7 Absrac 8 Inrodução 9 1 Modelo Linear Dinâmico Definição do Modelo Breve Resumo do Teorema de Bayes Equações de Aualização Previsões Modelo de Volailidade Esocásica Definição do Modelo Canônico Um Modelo de Espaço-Esado Equação das Observações Equação do Sisema Modelo Compleo Modelo Parcialmene Não Cenralizado Modelo Não Cenralizado

8 3 Proposa de Esimação dos Parâmeros do MVE Definição do Modelo Bayesiano Esimando µ, ϕ e ση Amosrando ση Amosrando ϕ Amosrando µ Reamosrando ση Reamosrando µ Esimando h 1:N O Méodo de McCormick e al. (212) Adapação do Méodo de McCormick e al. (212) ao MVE Aplicação da Meodologia Proposa Definição dos Dados Simulados Esimação dos Parâmeros para os Dados Simulados Comparação dos Resulados Obidos com o JAGS Um Exemplo com Dados Reais Conclusão 73 A Códigos-Fone 79 2

9 Lisa de Figuras 1.1 Exemplo simulado de 1 observações geradas a parir de um modelo polinomial de primeira ordem Comparação das disribuições de ln δ 2, ε e ξ Conjuno de dados simulados a parir do modelo canônico em (2.3), µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =, Valores médios esimados de h do modelo (2.3) quando os parâmeros µ, ϕ e ση 2 são conhecidos (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,5 2 ) Valores médios esimados de h do modelo (2.3) quando apenas o parâmero ϕ é conhecido (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,5 2 ) Valores médios esimados de h do modelo (2.3) quando o valor inicial de ϕ é igual ao valor verdadeiro do parâmero (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,5 2 ) Valores médios esimados de h do modelo (2.3) quando λ =,5 (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,5 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,99 e ση 2 =,5 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,99 e ση 2 =,3 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,99 e ση 2 =,1 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,5 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,3 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,1 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,8 e ση 2 =,5 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,8 e ση 2 =,3 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,8 e ση 2 =,1 2 )

10 4.15 Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,5 e ση 2 =,5 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,5 e ση 2 =,3 2 ) Valores esimados (µ = 5,4, ϕ =,5 e ση 2 =,1 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,99 e ση 2 =,5 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,99 e ση 2 =,3 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,99 e ση 2 =,1 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,5 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,3 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,9 e ση 2 =,1 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,8 e ση 2 =,5 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,8 e ση 2 =,3 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,8 e ση 2 =,1 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,5 e ση 2 =,5 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,5 e ση 2 =,3 2 ) Valores esimados via JAGS vs méodo proposo (µ = 5,4, ϕ =,5 e ση 2 =,1 2 ) Valores esimados do MVE aplicado aos dados reais Valores esimados via JAGS vs méodo proposo aplicados aos dados reais. 72 4

11 Lisa de Tabelas 2.1 Parâmeros da disribuição de ξ em (2.9), (Omori e al., 27) Méodos de esimação dos parâmeros do modelo de volailidade esocásica e principais referências, (Bos, 212) Esaísicas dos valores esimados dos parâmeros Esaísicas dos valores esimados dos parâmeros do MVE aplicado aos dados reais

12 Lisa de Códigos A.1 Função Responsável por Gerar os Dados Simulados A.2 Implemenação da Proposa de Esimação dos Parâmeros do Modelo de Volailidade Esocásica A.3 Modelo Canônico de Volailidade Esocásica em JAGS definido em (2.3)

13 Resumo O modelo de volailidade esocásica (Kim e al., 1998) consiui uma classe de modelos basane imporane, pois visa ajusar séries de dados emporais cuja variabilidade é aleaória. Tal modelo em sido abordado ano do pono de visa clássico, quano Bayesiano. Porém, várias de suas especificações ainda carecem de uma solução mais adequada. O recene rabalho de Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) apresenou desenvolvimenos imporanes quano ao méodo Bayesiano de esimação dos parâmeros do modelo. Os auores apresenam uma ideia basane inovadora denominada, em inglês, de Ancillariy-Sufficiency Inerweaving Sraegy, que consise em alernar as paramerizações do modelo durane o processo de esimação. Enreano, a proposa de esimação da variável laene, que rege o modelo, é um pouco complicada. Com o presene rabalho de disseração propõe-se uma forma alernaiva, e mais simples, de se esimar a variável laene do processo baseada no rabalho de McCormick e al. (212). Nesa disseração, foram adapadas as meodologias proposas pelos dois úlimos auores de modo a sugerir uma forma alernaiva de esimar os parâmeros do modelo de volailidade esocásica. Uilizando dados simulados, foi avaliada a efeividade da nova proposa. Ao final desse rabalho foram desacados os problemas emergenes do procedimeno proposo e sugeridas algumas novas alernaivas para resolve-los. Palavras Chave: Esaísica Bayesiana, Modelo de Volailidade Esocásica, Modelos Lineares Dinâmicos, Ancillariy-Sufficiency Inerweaving Sraegy, JAGS 7

14 Absrac The sochasic volailiy model (Kim e al., 1998) is a very imporan class of models, because i fis ime series daa wih random variabiliy. This model has been sudied hrough he classical poin of view as hrough he Bayesian one. Neverheless, is many specificaions sill needs an adequaed soluion. The recen work of Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) presened imporan developmens of he Bayesian approach for he esimaion of he model parameers. The auhors inroduce a very innovaive idea called Ancillariy-Sufficiency Inerweaving Sraegy, which consiss in swiching he model s paramerizaion during he esimaion process. However, he proposed esimaion of he laen variable, which governs he model, is a bi ricky. So, he presen work proposes an alernaive way, also simpler, o esimae he laen variable of he process based on he work of McCormick e al. (212). The mehodologies proposed by he las wo auhors were adaped in his disseraion o sugges an alernaive way o esimae he parameers of he sochasic volailiy model. The effeciveness of he new proposal was evaluaed by using simulaed daa. The emerging issues of he proposed procedure were highlighed and some new alernaives o solve hem were suggesed a he end of his work. Key Words: Bayesian Saisics, Sochasic Volailiy Models, Dynamic Linear Models, Ancillariy-Sufficiency Inerweaving Sraegy, JAGS 8

15 Inrodução Modelos de dados emporais são de exrema imporância para a sociedade, seja para enender um processo naural ou um fenômeno econômico. Sua aplicação adequada é fundamenal para gerar boas esimaivas do comporameno do sisema. Afinal, predição de valores fuuros é um dos principais objeivos de um modelo desse ipo (Brockwell e Davis, 22). Evenualmene, o conjuno de dados de ineresse pode apresenar uma variância disina ao longo do empo. Os modelos ARCH e GARCH são as soluções radicionais para esse ipo de siuação. Porém, raam a variância de forma deerminísica. Em um panorama mais geral, a variância ou volailidade dos dados pode ser considerada de naureza esocásica. Assim, surgem os modelos de volailidade esocásica, que é o objeo principal de esudo nesse rabalho. A inferência Bayesiana em se mosrado uma excelene ferramena para análise de dados. Como cia Pearl (29), ela se coneca perfeiamene com a maneira humana de raciocínio diane da incereza. Pensar em problemas sob essa perspeciva num conexo de séries emporais é possível aravés dos modelos dinâmicos. No Capíulo 1, é inroduzida uma pequena apresenação dos modelos lineares dinâmicos com seus conceios básicos, como em Wes e Harrison (1997). No Capíulo 2, o modelo de volailidade esocásica (MVE) é definido em sua paramerização canônica, e ambém são mosradas algumas paramerizações alernaivas. No Capíulo 3 é apresenada uma proposa de esimação dos parâmeros do MVE que busca simplificar a proposa de Kasner e Frühwirh-Schnaer (214). Para ano, os esados laenes do MVE são esimados aravés de uma adapação às ideias proposas por McCormick e al. (212), desenvolvida ambém no Capíulo 3. No Capíulo 4, a proposa é avaliada aravés de um 9

16 conjuno de dados simulados e, poseriormene, comparada com um processo de esimação baseado no amosrador de Gibbs. Por fim, apresena-se uma aplicação, com dados reais, inspirada em Achcar e al. (211). São idenificados os desafios e problemas que evenualmene surgiram no árduo processo de esimação dos parâmeros do modelo de volailidade esocásica. 1

17 Capíulo 1 Modelo Linear Dinâmico O uso de modelos lineares dinâmicos (MLD) cresceu basane nas úlimas décadas. Sua aplicabilidade em se esendido nos campos da biologia, genéica, geofísica, economia enre ouros, (Peris e al., 29). O desenvolvimeno compuacional das écnicas Bayesianas de esimação dos parâmeros é um dos faores que impulsionou esse crescimeno recene. Os MLD consiuem uma família muio imporane, pois, além de razerem os modelos radicionais de séries de empo para a abordagem Bayesiana, expandem a gama de possibilidades de aplicações aravés da sua esruura flexível e do próprio paradigma Bayesiano em si. São, ainda, um caso paricular linear e Gaussiano dos modelos mais gerais de espaço-esado. 1.1 Definição do Modelo O modelo linear dinâmico mais geral é definido em relação a um veor de observações Y. Porém, para efeios de simplificação, será considerado o caso univariado Y como em Wes e Harrison (1997). Porano, sejam, para os empos = 1,..., N: Y uma variável observada de ineresse; θ um veor laene de variáveis que represenam o sisema gerador de Y ; e D oda informação disponível a respeio do sisema. 11

18 Desse modo, para odo empo, o modelo linear dinâmico é descrio por: Equação das Observações: Y = F θ + ν, ν N(, V ), (1.1) Equação do Sisema: θ = G θ 1 + ω, ω N(, W ). (1.2) A quádrupla {F, G, V, W } é composa pelas marizes que caracerizam o modelo. F é a mariz de design, ou o veor de regressão, no caso univariado. G é a mariz de evolução do sisema e aravés dela é possível a especificação de alguns efeios nos esados laenes, ais como nível, endência e sazonalidade. V é a variância observacional e W é a mariz de variância da evolução do sisema. Quando esses elemenos são invarianes no empo, o modelo {F, G, V, W } é chamado de consane, e engloba, essencialmene, odos os modelos lineares radicionais de séries emporais. Os ermos ν e ω são os erros associados às equações (1.1) e (1.2). São denominados erro observacional e erro do sisema, respecivamene. Por definição, eles são independenes, no empo e enre si, e assumem disribuição normal com média zero. Modelos ainda mais gerais podem ser definidos com ν e ω auocorrelacionados e correlacionados enre si. Enreano, Wes e Harrison (1997) desaca que ais modelos sempre podem ser reescrios em ermos mais simples, saisfazendo as condições de independência. A informação inicial sobre θ é represenada por: Informação Inicial: (θ D ) N(m, C ), (1.3) em que m e C são o veor de médias e a mariz de variâncias e covariâncias da disribuição proposa, respecivamene. A Figura 1.1 ilusra um exemplo de 1 observações simuladas a parir de um modelo linear dinâmico consane definido pela quádrupla: 1 {F, G, V, W } =,,15,8, 1, 1,3. (1.4) π,8,15,3 1 12

19 A série pariu da disribuição inicial: (θ D ) N, 1. (1.5) y Figura 1.1: Exemplo simulado de 1 observações geradas a parir de um modelo polinomial de primeira ordem. Os valores dos parâmeros nesse exemplo foram selecionados arbirariamene, apenas omando-se o cuidado para que não fossem muio grandes de modo a gerar observações numa escala elevada. Denre as finalidades de um modelo de dados emporais esá a previsão de observações fuuras. Sob esse aspeco, o objeivo a ser alcançado agora é definir as disribuições de probabilidade da previsão de Y no empo dado odo o conhecimeno anerior a esse empo (Y D 1 ) e da disribuição do veor θ no empo dado odo conhecimeno disponível aé enão (θ D ). No enano, ais desenvolvimenos demandam o uso da Inferência Bayesiana e, dessa forma, serão apresenadas algumas noções fundamenais sobre esse ipo de inferência a seguir. 13

20 1.2 Breve Resumo do Teorema de Bayes Sejam dois evenos disinos A e B. A probabilidade de ocorrência conjuna deles é dada pela regra do produo: P (A B) = P (A B)P (B). (1.6) Nauralmene, a ordem dos evenos pode ser mudada, iso é, P (B A) = P (B A)P (A). A parir dessa equação e (1.6) surge a relação: P (A B) = P (B A)P (A). (1.7) P (B) O resulado em (1.7) em sua origem nas ideias do Reverendo Thomas Bayes no século XVIII, porém Pierre Simon de Laplace é o auor dessa equação conhecida nos dias auais como Teorema de Bayes, (Sivia e Skilling, 26). No conexo dos modelos lineares dinâmicos, f(θ y, D 1 ) = g(y θ, D 1 )π(θ D 1 ). (1.8) h(y D 1 ) O processo laene definido por θ é esimado aravés da realização y de Y e do conjuno de informações relevanes, D 1. Porém, a incereza (ou cereza) inicial exisene sobre θ deve ser expressa aravés de uma disribuição de probabilidade adequada (Jaynes, 23), no caso, π(θ D 1 ), que é denoada por disribuição a priori de (θ D 1 ). Conforme surjam novos dados, o conhecimeno sobre o processo laene deve ser aualizado. Isso é feio pela função g(y θ, D 1 ), denominada de verossimilhança. A função h(y D 1 ) é chamada de disribuição prediiva a priori de y. Ela é muio úil quando é desejável fazer inferências a respeio de uma observação ainda desconhecida, (Gelman e al., 214). No caso, quando o ineresse é esimar o valor y de Y, aé enão não observado. Por fim, f(θ y, D 1 ) é a disribuição resulane da composição das rês aneriores. Ela permie fazer inferências sobre o processo laene e recebe o nome de disribuição a poseriori de (θ D ), uma vez que o conhecimeno de y e D 1 dá origem a D. 14

21 Recursivamene, uilizando a disribuição a poseriori de (θ D ) obem-se a disribuição a priori de (θ +1 D ). Assim, o Teorema de Bayes flui nauralmene no conexo dos modelos lineares dinâmicos, como é viso aravés das equações de aualização a seguir. 1.3 Equações de Aualização O modelo linear dinâmico oferece um conjuno de equações que são aualizadas ao longo do empo, e que permiem esimar observações fuuras. O raciocínio a seguir se baseia em Wes e Harrison (1997). Apenas para simplificar a álgebra a ser apresenada, será considerado o modelo linear dinâmico consane. Seja, para algum m e C, a poseriori de θ : (θ D ) N(m, C ). (1.9) As equações (1.2) e (1.9) permiem calcular a disribuição a priori de θ +1 dada a informação em, que é: θ +1 = Gθ + ω +1, (θ +1 D ) GN (θ D )(m, C ) + N ω+1 (, W ), (θ +1 D ) N(a +1, R +1 ), (1.1) em que a +1 = Gm e R +1 = GC G + W. A disribuição da previsão da observação de Y +1 dada a informação em, ou (Y +1 D ), pode ser calculada por meio das equações (1.1) e (1.1): Y +1 = F θ +1 + ν +1, (Y +1 D ) F N (θ+1 D )(a +1, R +1 ) + N ν+1 (, V ), (Y +1 D ) N(f +1, Q +1 ), (1.11) em que f +1 = F a +1 e Q +1 = F R +1 F + V. 15

22 A disribuição a poseriori de θ +1 dada a informação em + 1, que será a priori na próxima ieração, é obida via o Teorema de Bayes, onde: p(θ +1 D +1 ) p(y +1 θ +1, D )p(θ +1 D ) (1.12) e obem-se: (θ +1 D +1 ) N(m +1, C +1 ), (1.13) onde, m +1 = a +1 + A +1 e +1 e C +1 = R +1 A +1 Q +1 A +1, com A +1 = R +1 F Q 1 +1 e e +1 = Y +1 f Previsões A previsão para um passo a frene é dada pela disribuição (1.11), descria aneriormene. Para definir a predição k passos a frene é necessário, anes, enconrar a disribuição de (θ +k D ). Isso é feio por inermédio da disribuição a priori (1.1), aplicada na equação do sisema (1.2), sucessivamene. Assim, dado D que é ainda a úlima informação disponível sobre o sisema, e para k = 2: θ +2 = Gθ +1 + ω +2, (θ +2 D ) GN (θ+1 D )(a +1, R +1 ) + N ω+2 (, W ), (θ +2 D ) N(a +2, R +2 ), (1.14) em que a +2 = Ga +1 e R +2 = GR +1 G + W. Para um valor de k 2, Pole e al. (1994) mosra que: (θ +k D ) N(a +k, R +k ), (1.15) ( onde a +k = G k 1 a +1 e R +k = G k 1 R ) +1 G k 1 k + G k j W ( G k j). E, com isso, j=2 16

23 a disribuição da k-ésima predição dada a informação D será: (Y +k D ) N(f +k, Q +k ), (1.16) em que f +k = F a +k e Q +k = F R +k F + V. 17

24 Capíulo 2 Modelo de Volailidade Esocásica O modelo de volailidade esocásica (MVE) surgiu como uma alernaiva aos radicionais modelos ARCH (Engle, 1982) e GARCH (Bollerslev, 1986). Nesse modelo, a variabilidade dos dados deixa de er um padrão deerminísico e passa, ambém, a ser inerpreada como uma variação aleaória. 2.1 Definição do Modelo Canônico A definição do modelo canônico de volailidade esocásica foi inicialmene proposa por Taylor (1982). Seja uma variável observada, Y, que segue a seguine formulação: Y = ρ δ, (2.1) em que ρ é a volailidade no empo e δ é um ruído com disribuição normal padrão. Seja o logarimo do quadrado da volailidade no empo modelado por um processo laene auo-regressivo de primeira ordem. Dessa maneira, ln ρ 2 = h (2.2) é descrio por um modelo AR(1), ver equação (2.3). Kim e al. (1998) apresena o modelo canônico para dados igualmene espaçados. O modelo é basicamene composo pela equação que descreve a variável observada Y em 18

25 função de uma variável laene que capa a variabilidade dos dados no decorrer do empo, e pelo processo auo-regressivo de primeira ordem que modela a esruura da volailidade. Assim, para = 1,..., N, o modelo canônico é expresso por: Y = e h 2 δ, Modelo Canônico : h = µ + ϕ(h 1 µ) + η, ( ) ση h N µ, 2. 1 ϕ 2 (2.3) Os ermos δ e η são ruídos Gaussianos, independenes no empo e enre si, com disribuições: δ N(, 1) e η N (, σ 2 η). (2.4) Observe que, Y N (, e h ), ou como requerido pelo modelo, a variância das observações é oalmene descria no empo em função da variável laene h. O conjuno de parâmeros do modelo a serem esimados é definido pelo veor: ψ = (µ, ϕ, σ 2 η). (2.5) 2.2 Um Modelo de Espaço-Esado O modelo de volailidade esocásica pode ser reescrio uilizando a noação de um modelo de espaço-esado proposa por Wes e Harrison (1997), descria no Capíulo 1. Uma das vanagens disso é poder uilizar o aparao ferramenal e meodológico já implemenado compuacionalmene, (Peris e al., 29 e Peris, 21). Tal formulação será úil nas subseções 3.2.4, e Equação das Observações A redefinição do modelo canônico, como um modelo de espaço-esado, pode ser feia pela exensão da proposa em Zivo e Yollin (212) descria a seguir. 19

26 Pela definição em (2.3): Y = e h 2 δ. (2.6) Enão, Ainda, pode-se fazer ε = ln δ 2 E(ln δ 2 ) e escrever: ln Y 2 = h + ln δ 2. (2.7) ln Y 2 = h + E(ln δ 2 ) + ε. (2.8) de modo que ε (, Var(ln δ 2 )) seja um ruído em orno de zero. Apesar dessa ransformação linearizar o problema, o pressuposo Gaussiano de δ não pode mais ser manido. Durbin e Koopman (212) afirma que isso não impede a uilização das écnicas associadas aos modelos Gaussianos, uma vez que se assuma que a disribuição de ε seja aproximadamene normal com média zero. Enreano, Omori e al. (27) sugere o uso de uma misura de r = 1 normais, que se aproxima da disribuição do erro ln δ 2 na equação (2.7), iso é: ln δ 2 ξ 1 j=1 w j N ( m j, s 2 j ). (2.9) Os pesos, as médias e as variâncias, w j, m j e s 2 j, respecivamene para j = 1,..., 1, das 1 disribuições sugeridas por Omori e al. (27) são dealhados na Tabela 2.1. Tabela 2.1: Parâmeros da disribuição de ξ em (2.9), (Omori e al., 27). j w j,6,48,131,27,227,188,12,56,16,1 m j 1,927 1,347,735,23 -,852-1,973-3,468-5,552-8,684-14,65 s 2 j,113,178,268,46,627,986 1,575 2,545 4,166 7,333 A Figura 2.1 mosra a comparação enre as disribuições de ln δ 2, que é o verdadeiro erro do modelo, de ε, que corresponde à aproximação Gaussiana ingênua, e de ξ, que é a misura de 1 normais sugerida por Omori e al. (27). Pode-se observar que a aproximação Gaussiana ingênua é basane insaisfaória quando comparada à aproximação proposa por Omori e al. (27). 2

27 .25 f(ϵ) ln δ 2 ε ξ ϵ Figura 2.1: Comparação das disribuições de ln δ 2, ε e ξ Equação do Sisema A equação que define a evolução da variável laene, h, em (2.3) pode ser reescria: h = µ + ϕ(h 1 µ) + η, (2.1) enão, h = (1 ϕ)µ + ϕh 1 + η. (2.11) Como essa ransformação é um mero rearranjo dos ermos, a disribuição Gaussiana dos erros em η não foi perdida, como ocorre no caso da equação das observações em (2.7) Modelo Compleo Uilizando a noação de espaço-esado para os modelos lineares dinâmicos em Wes e Harrison (1997), descria no capíulo anerior, a equação das observações (2.7) pode ser escria na forma da equação (1.1): Z = ln Y 2 = h + E(ln δ 2 ) + ε, (2.12) 21

28 logo, Z = ln Y 2 = [ 1 1 ] h µ E(ln δ 2 ) + ε = F θ + ν. (2.13) Já a equação do sisema (2.11) pode ser escria na forma da equação (1.2): h = ϕh 1 + (1 ϕ)µ + η, (2.14) enão, θ = h µ E(ln δ 2 ) = ϕ 1 ϕ 1 1 h 1 µ E(ln δ 2 ) + η = G θ 1 + ω. (2.15) O modelo de volailidade esocásica é definido, enão, como um modelo de espaçoesado consane aravés das marizes: θ = h µ E(ln δ 2 ), F = F = 1 1 e G = G = ϕ 1 ϕ 1 1. (2.16) Os ermos que represenam os erros nas equações das observações e do sisema são: ν = ε e ω = η. (2.17) Consequenemene, as variâncias de ν e ω são definidas, respecivamene, por: V = V = Var(ε ) e W = W = σ 2 η. (2.18) 22

29 A variância V é obida direamene aravés da disribuição de ε. A mariz W, por sua vez, é deerminada a parir da mariz ω em (2.17) e da disribuição de η em (2.4). Há de se desacar que, apesar de h ser a variável que expressa a evolução do sisema pela definição do próprio modelo em (2.3), o veor θ, que capa essa caracerísica, só pôde ser escrio em função de h, que é dinâmico, e dos dois ermos esáicos, o parâmero a ser esimado µ e a consane E(ln δ 2 ). A disribuição a priori de θ é definida por θ N(m, C ), onde: µ m = µ E(ln δ 2 ) ση 2 1 ϕ 2 e C =. (2.19) Em suma, o modelo de volailidade esocásica de acordo com a noação de Wes e Harrison (1997) é escrio como: ln Y 2 = F θ + ε, Modelo de θ = Gθ 1 + ω, Espaço-Esado : θ N(m, C ), (2.2) em que a quádrupla {F, G, V, W } é dada por: 1 ϕ 1 ϕ ση 2 {F, G, V, W } =, 1, Var(ε ),. (2.21) Modelo Parcialmene Não Cenralizado O modelo canônico em (2.3) ambém é conhecido como modelo cenralizado. Uma forma equivalene de redefinir esse modelo é levando o parâmero µ, da equação do sisema, para a equação das observações. Seja, h = h µ, (2.22) 23

30 uma nova variável laene, que é uma mera ransformação linear da variável laene h em (2.3). Enão pode-se reescrever a equação do sisema na forma alernaiva: h = µ + ϕ(h 1 µ) + η, h µ = ϕ(h 1 µ) + η, h = ϕh 1 + η. (2.23) De maneira semelhane, a equação das observações será reescria como: Y = e h 2 δ, Y = e h +µ 2 δ, Y = e µ h 2 e 2 δ. (2.24) E a disribuição inicial da variável laene passa a ser: h N (, ση 2 ). (2.25) 1 ϕ 2 O conjuno das equações (2.23), (2.24) e (2.25), resumidas em (2.26), define o modelo parcialmene não cenralizado (Prado e Wes, 21): Y = e µ 2 e h 2 δ, Modelo Parcialmene h = ϕh 1 + η, Não Cenralizado : ( ) h ση N, 2. 1 ϕ 2 (2.26) 2.4 Modelo Não Cenralizado A úlima reparamerização do modelo canônico em (2.3), a ser apresenada, é proposa em Kasner e Frühwirh-Schnaer (214). Ele recebe o nome de modelo compleamene não cenralizado. Para efeios de simplificação, ese será referido apenas como modelo não cenralizado. A ransformação linear na variável laene, que conduz ao 24

31 modelo não cenralizado é definida por: h = h µ σ η. (2.27) A parir de (2.27) é possível reescrever a equação do sisema, que passa a ser: h = µ + ϕ(h 1 µ) + η, h µ = ϕ(h 1 µ) + η, ( ) ( ) h µ h 1 µ = ϕ + η, σ η σ η σ η h = ϕ h 1 + η. (2.28) Diferenemene da ransformação (2.22) no caso parcialmene não cenralizado, a ransformação (2.27) para o caso não cenralizado alera a disribuição do erro η. Anes, Gaussiano com média zero e variância σ 2 η, conforme definido em (2.4), o novo erro, η, passa a er disribuição normal padrão: η N(, 1). (2.29) A equação das observações é reescria como: Y = e h 2 δ, Y = e ση h +µ 2 δ, Y = e µ 2 e σ η h 2 δ. (2.3) E, por fim, a disribuição inicial de h é dada por: h N (, ) 1. (2.31) 1 ϕ 2 De forma sineizada, o modelo de volailidade esocásica canônico reparameri- 25

32 zado para a forma compleamene não cenralizada é expresso por: Y = e µ 2 e σ h η 2 δ, Modelo h = ϕ h 1 + η, Não Cenralizado : h N ( ) 1, 1 ϕ. 2 (2.32) 26

33 Capíulo 3 Proposa de Esimação dos Parâmeros do MVE Exise uma grande desvanagem do modelo de volailidade esocásica em relação aos modelos ARCH e GARCH em ermos de aplicações, como cia Bos (212). Isso ocorre pois os modelos ARCH e GARCH possuem muias variações, porém, basicamene apenas uma maneira de se esimar os parâmeros, que esá presene em grande pare dos sofwares esaísicos. Já o modelo de volailidade esocásica apresena poucas variações, porém diversos auores sugerem maneiras disinas de se esimar os parâmeros. No enano, quase nenhuma desas esá disponível facilmene aravés de algum pacoe compuacional. A Tabela 3.1 foi exraída de Bos (212) e apresena, de forma sineizada, as principais referências sobre os diversos méodos de esimação publicados. Tabela 3.1: Méodos de esimação dos parâmeros do modelo de volailidade esocásica e principais referências, (Bos, 212). Méodo Referência Paradigma Quasi-Maximum Likelihood (QML) Harvey e al. (1994) Clássico Gaussian Mixure Sampling (GMS) Kim e al. (1998) Bayesiano Simulaed Mehod of Momens (SMM) Gallan e Tauchen (1996) Clássico Imporance Sampling (IS) Durbin e Koopman (1997) Clássico Efficien Imporance Sampling (EIS) Richard e Zhang (27) Clássico Improved Imporance Sampling (IIS) Nguyen (27) Clássico Single Sie Sampler (SSS) Carer e Kohn (1994) Bayesiano MuliMove Sampler (MMS) Shephard e Pi (1997) Bayesiano Como pode ser percebido, a esimação dos parâmeros do modelo de volailidade 27

34 esocásica é um problema aacado de diversas maneiras disinas. O foco desa disseração é apresenar um méodo Bayesiano, alernaivo àqueles da Tabela 3.1, que combina as écnicas proposas em Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) e McCormick e al. (212). O primeiro arigo sugere uma meodologia inovadora que envolve, basicamene, a alernância da especificação do modelo no processo de esimação dos parâmeros. O segundo arigo, por sua vez, inspirou uma proposa para modelar a variável laene, h, do modelo de volailidade esocásica. Ambos os processos serão dealhados nas próximas seções. 3.1 Definição do Modelo Bayesiano A esimação Bayesiana dos parâmeros do modelo canônico (ou cenralizado) de volailidade esocásica em (2.3) consise em deerminar a disribuição a poseriori conjuna de: ψ = (µ, ϕ, ση). 2 (3.1) Apesar de ψ ser um veor com rês elemenos, é ecnicamene conveniene supor que as componenes de ψ sejam independenes a priori. Porano, foram omadas rês disribuições, uma para cada elemeno de ψ, independenes enre si: p ψ (ψ) = p µ (µ)p ϕ (ϕ)p σ 2 η (σ 2 η). (3.2) Como o paradigma Bayesiano sugere, deve-se definir as disribuições a priori dos parâmeros, que, aualizadas pela função de verossimilhança, irão gerar a disribuição a poseriori de (ψ D), que é o pono principal no processo de inferência esaísica. Nese rabalho foram uilizadas as mesmas disribuições a priori descrias em Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) e Kim e al. (1998) para os parâmeros em ψ. O nível µ da volailidade em seu supore em R, e será aribuída uma disribuição a priori, π(µ), com densidade Gaussiana para esse parâmero: µ N(a µ, B µ ). (3.3) 28

35 O parâmero ϕ deermina a persisência da volailidade, e ϕ < 1. A disribuição bea é basane flexível, sendo, dessa forma, a escolha mais comum quando se deseja modelar alguma variável conínua cujo valor eseja descrio num inervalo (a, b). Com a finalidade de aproveiar essa vanagem da disribuição bea, seja uma nova variável ϕ com disribuição a priori é B(a ϕ, b ϕ ). A persisência, enão, é descria por ϕ = 2ϕ 1 e sua disribuição a priori será: π(ϕ) = Γ(a ϕ + b ϕ ) 2Γ(a ϕ )Γ(b ϕ ) ( ) aϕ 1 ( 1 + ϕ 1 ϕ 2 2 ) bϕ 1. (3.4) O erceiro e úlimo parâmero do modelo é σ 2 η, a variância da volailidade, e seus possíveis valores esão em R +. Sua disribuição a priori será: ( ) 1 ση 2 G 2, 1. (3.5) 2B σ 3.2 Esimando µ, ϕ e σ 2 η Dada a complexidade do problema, as formas fechadas das disribuições condicionais compleas a poseriori dos parâmeros em ψ serão esimadas por meio de algorimos via méodos de Mone Carlo em cadeias de Markov (do inglês, Markov chain Mone Carlo, MCMC). Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) propõe uma esraégia que é chamada de Ancillariy-Sufficiency Inerweaving Sraegy (ASIS). Em radução livre para o poruguês seria Esraégia de Enrelaçameno Ancilar-Suficiene. Apesar de não convencional, a ideia é basane simples. Dados os valores da série da variável laene, h, os parâmeros µ, ϕ e σ 2 η devem ser esimados a parir do modelo canônico (ambém conhecido como cenralizado). Enão, a série de h deve ser ransformada para a paramerização não cenralizada e os valores dos parâmeros devem ser novamene amosrados via MCMC. Os passos do algorimo são resumidos da seguine forma: 29

36 Algoríimo Proposo por Kasner e Frühwirh-Schnaer (214). 1. Iniciar os valores de µ, ϕ e σ 2 η; 2. Esimar a série de h (modelo canônico); 3. A parir dos valores de h, esimar os valores de µ, ϕ e σ 2 η; 4. Transformar a série de h para o modelo não cenralizado, h ; 5. A parir dos valores de h, esimar novamene os valores de µ, ϕ e σ 2 η. O porquê dessa alernância de especificações do modelo vem do fao que a variável laene h, no modelo cenralizado, forma uma esaísica suficiene para µ e ση, 2 ao passo que h, ransformada para o modelo não cenralizado, forma uma esaísica ancilar para esses parâmeros. Enão, alernar enre essas especificações do modelo aumena a eficiência do amosrador via MCMC. Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) sugere essa melhora no processo do esimação com base em Yu e Meng (211), que apresena a ASIS, relacionando-a com o eorema de Basu (Basu, 1955), como uma forma de aprimorar a eficiência de algorimos baseados em MCMC. No caso do modelo de volailidade esocásica, Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) mosra que o modelo cenralizado, sozinho, apresena melhores resulados quando os valores da persisência, ϕ, e da variância da volailidade, ση, 2 são alos. Enquano que o modelo não cenralizado, ambém sozinho, apresena melhor performance quando o valor de ϕ é menor. Enão, a esraégia, na média, apresena bons resulados num maior especro de possíveis valores dos parâmeros. A ideia mais inuiiva é descenralizar o modelo canônico (2.3), no passo 4 do algorimo, aravés da ransformação (2.22): h = h µ, (3.6) o que leva ao modelo parcialmene não cenralizado (2.26). Porém Kim e al. (1998) 3

37 e Prado e Wes (21) adverem que esse modelo é ineficiene para se esimar µ. Desse modo, o modelo compleamene não cenralizado (2.32) é proposo por Kasner e Frühwirh- Schnaer (214), para complear o processo de esimação. Nese modelo, h = h µ σ η. (3.7) Os passos dealhados do algorimo de esimação, conforme Kasner e Frühwirh- Schnaer (214), são descrios nas subseções que seguem Amosrando σ 2 η A variância da volailidade, σ 2 η, é esimada com base no algorimo de Meropolis- Hasings (Meropolis e al. (1953); Hasings (197)). Esse algorimo pare de uma função geradora de candidaos a valores do parâmero em quesão. Enão, gerado um provável valor, ele é aceio como observação a poseriori com probabilidade dada por min(1, R). Caso o valor proposo seja rejeiado, o valor da ieração anerior é repeido na ieração aual. A parir do modelo canônico (2.3) e, consequenemene, dos valores de h, a disribuição geradora de candidaos de σ 2 η foi consruída considerando uma disribuição a priori auxiliar conjulgada p(ση) 2 ση 1, de modo que a disribuição condicional complea de σ 2 η enha uma disribuição geradora de candidaos al que: σ 2 η h 1:N, µ, ϕ G 1 (c N, C N ). (3.8) Assim, a disribuição geradora de candidaos é Gama-Inversa com parâmeros c N e C N, em que N é a quanidade de observações, c N = N 2, (3.9) e C N = 1 ( N ((h µ) ϕ (h 1 µ)) 2 + (h µ) 2 ( 1 ϕ 2)). (3.1) 2 =1 31

38 O valor gerado é aceio com probabilidade min(1, R), onde: { σ 2 R = exp η; ση; 2 }, (3.11) 2B σ σ 2 η; é o candidao gerado, σ 2 η; é o valor gerado na ieração anerior e B σ é o hiperparâmero da disribuição a priori de σ 2 η em (3.5). Se o valor σ 2 η; não for aceio, o valor σ 2 η; é repeido Amosrando ϕ De maneira semelhane, a persisência, ϕ, do modelo de volailidade esocásica é esimada, sob o modelo canônico, aravés do algorimo de Meropolis-Hasings uilizado na esimação de σ 2 η. Uilizando uma disribuição a priori hierárquica para ϕ al que, a priori (ϕ σ 2 η) N(, σ 2 ηb 22 ) com B 22 sendo uma consane a ser definida, Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) conroi a seguine disribuição geradora de candidaos para ϕ: N ϕ h 1:N, γ, ση 2 =1 N h 1 h γ N 1 N 1 = h B 22 h =, N 1 = σ 2 η h B 22 I ( 1,1)(ϕ), (3.12) onde, N é a quanidade de observações, B 22 é a consane definida aneriormene, e γ = (1 ϕ)µ é uma ransformação a ser dealhada na próxima subseção. A densidade de probabilidade proposa em (3.12) é muliplicada pela função indicadora, I ( 1,1) (ϕ), pois ϕ < 1. Dessa maneira, a disribuição Gaussiana é runcada nos possíveis valores do parâmero. O candidao a valor do parâmero gerado é aceio como observação a poseriori de ϕ com probabilidade min(1, R), onde: R = p(h o µ, ϕ o, σ 2 η)π(ϕ ) p aux (ϕ σ 2 η) p aux (ϕ σ 2 η) p(h o µ, ϕ, σ 2 η)π(ϕ ), (3.13) ϕ é o candidao gerado, ϕ é a observação a poseriori do parâmero ϕ amosrada na 32

39 ieração anerior, p(h...) é a disribuição a priori de h sob o modelo canônico dada em (2.3), π(ϕ) é a disribuição a priori de ϕ definida em (3.4) e p aux (ϕ σ 2 η) é a disribuição hierárquica a priori definida em Kasner e Frühwirh-Schnaer (214): p aux (ϕ σ 2 η) N(, σ 2 ηb 22 ). (3.14) Assim como (3.12), a disribuição anerior depende da consane B 22 a ser definida. Se o candidao ϕ não for aceio, o valor de ϕ é repeido como valor da disribuição a poseriori de ϕ Amosrando µ A esimação de µ descria em Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) é feia por inermédio da ransformação: γ = (1 ϕ)µ. (3.15) A nova variável γ, que aparece pela primeira vez na disribuição geradora de candidaos de ϕ na subseção anerior, é proposa por Kasner e Frühwirh-Schnaer (214) como uma via indirea de se esimar µ. A disribuição a priori de (γ ϕ) é dada por: (γ ϕ) N((1 ϕ)a µ, (1 ϕ) 2 B µ ). (3.16) O algorimo de Meropolis-Hasings ambém é uilizado como nas eapas aneriores. Uilizando uma disribuição a priori hierárquica para γ al que, (γ σ 2 η) N(, σ 2 ηb 11 ), sendo B 11 uma consane a ser definida, é possível consruir a disribuição geradora de candidaos de γ dada por: N γ h 1:N, ϕ, ση 2 =1 N h ϕ N 1 N + 1 B 11 h =, σ 2 η N + 1 B 11, (3.17) onde N é o número de observações. 33

40 O valor gerado enão é aceio com probabilidade min(1, R), onde: R = p(h o γ, ϕ, σ 2 η)π(γ ϕ) p aux (γ σ 2 η) p aux (γ σ 2 η) p(h o γ, ϕ, σ 2 η)π(γ ϕ), (3.18) γ é o candidao gerado, γ é o valor gerado a parir da ransformação (3.15) de µ da ieração anerior e p(h...) é a disribuição a priori de h sob o modelo canônico dada em (2.3) e modificada para γ: h N ( γ 1 ϕ, ση 2 ). (3.19) 1 ϕ 2 π(γ ϕ) é a disribuição a priori de γ definida em (3.16) e p aux (γ σ 2 η) é a disribuição a priori hierárquica definida em Kasner e Frühwirh-Schnaer (214): p aux (γ σ 2 η) N(, σ 2 ηb 11 ). (3.2) Se o valor γ for rejeiado, o valor de µ resulane da ieração anerior é repeido. A parir do valor amosral de γ, a observação a poseriori de µ é definida resolvendo (3.15): µ = γ 1 ϕ. (3.21) Reamosrando σ 2 η Após a seleção das amosras como descrio nas subseções a 3.2.3, os parâmeros µ, ϕ e ση 2 foram esimados sob o modelo cenralizado, ou canônico. Na sequência, os valores auais da variável h devem ser ransformados para o modelo não cenralizado (2.32), para que façam-se novas amosragens dos parâmeros. Isso é feio por inermédio da ransformação: h = h µ σ η. (3.22) O novo valor de σ 2 η é gerado direamene da disribuição condicional complea do 34

41 parâmero sob o modelo não cenralizado: σ η ỹ 1:N, h 1:N, µ N ( a N,ση, B N,ση ), (3.23) onde, N h (ỹ m r µ) a N,ση = B N,ση, (3.24) =1 s 2 r e B N,ση = N h 2 s =1 2 r B σ. (3.25) Os ermos em ỹ são os valores observados ransformados de acordo com a proposa de linearização (2.8) no modelo de espaço-esado: ỹ = ln y 2. (3.26) Os valores m r e s 2 r correspondem aos parâmeros da misura de 1 normais sugeridas (Tabela 2.1) para modelar o erro que surge na linearização do modelo de volailidade esocásica. B σ é o hiperparâmero da disribuição a priori de σ 2 η em (3.5) Reamosrando µ De maneira análoga, o valor de µ é reamosrado direamene aravés da disribuição condicional complea de µ: µ ỹ 1:N, h 1:N, σ η N (a N,µ, B N,µ ), (3.27) onde, a N,µ = B N,µ N =1 ỹ m r σ η h s 2 r + a µ B µ, (3.28) e B N,µ = N =1 1 s 2 r B µ. (3.29) 35

42 Novamene, ỹ represena os valores observados ransformados conforme a proposa de linearização do problema em (2.8). Os ermos m r e s 2 r são os parâmeros da misura de 1 normais que modela o erro referene à mesma ransformação, e os valores a µ e B µ são os hiperparâmeros da disribuição a priori de µ em (3.3). O valor de ϕ não precisa ser reamosrado, pois esse parâmero não é expliciamene envolvido na ransformação (3.22) da variável laene. Como cia Kasner e Frühwirh- Schnaer (214), apenas os valores de µ e σ 2 η precisam ser reesimados segundo essa esraégia. 3.3 Esimando h 1:N Na seção anerior apresenou-se a esraégia de esimação dos parâmeros do modelo de volailidade esocásica, conforme a sugesão em Kasner e Frühwirh-Schnaer (214). Desa feia, o procedimeno consise em alernar a paramerização do modelo ao longo das ierações, sendo conhecidos (ou esimados) os valores da série h. Os auores apresenam uma maneira de esimar a variável laene, h, aravés de uma disribuição normal N-variada (onde N é a quanidade de observações) basane específica. Além disso a implemenação compuacional do processo de esimação não é rivial. O objeivo aqui é sugerir uma oura maneira de se esimar h em subsiuição àquela presene no arigo original. A proposa a ser apresenada nessa seção é inspirada em McCormick e al. (212). No rabalho ciado, os auores uilizam aproximações Gaussianas para esimar os esados laenes de um modelo de regressão dinâmica de Bernoulli. A grande vanagem dessa abordagem é que se raa de um processo de esimação mais simples do que o proposo em Kasner e Frühwirh-Schnaer (214). A adapação da écnica de McCormick e al. (212) ao modelo de volailidade esocásica é desenvolvida a seguir. Anes, porém, o méodo de McCormick e al. (212) será sumarizado de uma forma geral. 36

43 3.3.1 O Méodo de McCormick e al. (212) Nesa seção será descrio o méodo proposo por McCormick e al. (212), originalmene para raa de regressão dinâmica para dados binários, de uma forma mais geral, a ser usada poseriormene no modelo de volailidade esocásica. Seja = 1,..., N, os empos discreos em que uma série emporal, y é moniorada e o seguine modelo dinâmico: Equação das Observações: y f(. µ ), Função de Ligação: µ = ηθ = x T θ, Equação do Sisema: θ = Gθ 1 + ω, (3.3) onde x = (x 1,,..., x d, ) é um veor de prediores, θ é um veor d-dimensional de variáveis laenes, η(θ ) é uma função de ligação, G é uma mariz como definida na Seção 1.1 e os ω s são veores aleaórios independenes e idenicamene disribuídos ais que ω N(, W ). Para os dados observados D 1 = (y 1,..., y 1 ) e considerando ponos de parida razoáveis, a esimação recursiva começa supondo que (McCormick e al., 212): (θ 1 D 1 ) N( ˆθ 1, ˆΣ 1 ). (3.31) O processo de esimação é, enão, feio em dois passos: predição e aualização. Baseado em (3.3) e (3.31), a equação de predição é descria por: (θ D 1 ) N(G ˆθ 1, R ), (3.32) em que R = G ˆΣ 1 G T λ, (3.33) onde λ é um faor de descono, com < λ < 1 especificado aravés da equação (3.42) e ˆΣ 1 é obido pela equação (3.37). 37

44 Após o passo da predição, a aualização é feia ao ober a disribuição a poseriori de (θ D ), que é aproximada, usando-se (3.32) e o Teorema de Bayes, por: p(θ D ) p(y θ )N(G ˆθ 1, R ). (3.34) O lado direio de (3.34) não possui forma fechada. Enão, θ é esimado uilizandose um procedimeno de Newon-Raphson. Seja, l(θ ) = ln p(θ D ) ln p(y θ ) 1 2 [ θ T R 1 2 ˆθ T 1G T R 1 θ ], (3.35) e a esimaiva de θ dada por: ˆθ = ˆθ 1 [ D 2 l( ˆθ 1 ) ] 1 Dl( ˆθ 1 ), (3.36) onde Dl(θ ) e D 2 l(θ ) são a primeira e a segunda derivadas de l(θ ), respecivamene. Para aualizar a mariz de covariância Σ, uiliza-se: ˆΣ = [ D 2 l( ˆθ 1 ) ] 1. (3.37) A disribuição prediiva p(y D 1 ) é obida aravés de: p(y D 1 ) = p(y θ, D 1 )p(θ D 1 )dθ. (3.38) No enano, a expressão em (3.38) não possui forma fechada, mas é possível calcular o seu valor por aproximações de Laplace (Tierney e Kadane, 1986): f(y D 1 ) (2π) d 2 ( D 2 l( ˆθ ) ) 1 p(y ˆθ )p( ˆθ D 1 ), (3.39) em que, p( ˆθ D 1 ) N ( G ˆθ, R ( ˆθ ) ), (3.4) 38

45 onde R ( ˆθ ) = G [ D 2 l( ˆθ ) ] 1 G T λ, (3.41) e p(y ˆθ ) = f(y η( ˆθ)). Na esimação do faor de descono, λ, é escolhido o valor de λ que maximiza a expressão (3.39), iso é, λ = argmax p(y D 1, λ ). (3.42) λ Agora esa écnica é uilizada na esimação da variável laene, h, do modelo de volailidade esocásica Adapação do Méodo de McCormick e al. (212) ao MVE A parir da equação do sisema em (2.3), a disribuição (h D 1, µ, ϕ) é enconrada: h = µ + ϕ(h 1 µ) + η, (h D 1, µ, ϕ) = (µ D 1 ) + ϕ(h 1 D 1 ) + (ϕµ D 1 ) + (η D 1 ), (h D 1, µ, ϕ) = µ + ϕ(h 1 D 1 ) + ϕµ + η, (h D 1, µ, ϕ) = µ(1 ϕ) + ϕ(h 1 D 1 ) + η. (3.43) Seja, por hipóese: (h 1 D 1 ) N( ˆm 1, Ĉ 1). (3.44) Como nas equações de aualização dos modelos lineares dinâmicos descrias na Seção 1.3 do Capíulo 1, a disribuição de (h D 1, µ, ϕ), aravés de (3.43) e (3.44), será: (h D 1, µ, ϕ) N(µ(1 ϕ) + ϕ ˆm 1, ϕ 2 Ĉ 1 + σ 2 η). (3.45) Porém, seja a variância da disribuição em (3.45) aproximada por: R = ϕ2 Ĉ 1 λ. (3.46) 39

46 Nesse passo, o acréscimo adiivo naural na variância que surge das equações de aualização foi subsiuido por um faor de descono λ a ser deerminado. Pelo Teorema de Bayes, a disribuição a poseriori, (h D ), é proporcional à disribuição a priori, (h D 1 ), aualizada pela verossimilhança: p(h D ) p(y h )p(h D 1 ). (3.47) Dessa maneira, a disribuição a poseriori no lado esquerdo de (3.47) será aproximada por uma disribuição normal cuja média será a moda (ou o máximo) do produo no lado direio. As disribuições no lado direio de (3.47) são dadas por (2.3) e (3.45). Enão, seja L(h µ, ϕ) dada por: L(h µ, ϕ) p(y h )p(h D 1 ), e h 2 exp { 1 2 e h y 2 } { R 1 2 exp 1 } 2 R 1 [h (µ(1 ϕ) + ϕ ˆm 1 )] 2. (3.48) Toma-se o logarimo de (3.48), de modo que, ln L(h µ, ϕ) = l(h µ, ϕ). Assim, l(h µ, ϕ) h 2 y2 2e h 1 2 ln R 1 2R [h (µ(1 ϕ) + ϕ ˆm 1 )] 2. (3.49) Com isso, ieraivamene ao longo das N observações, o esimador, ĥ, da variável laene, h, será: ĥ = ˆm = ˆm 1 l ( ˆm 1 ) l ( ˆm 1 ). (3.5) Para complear o processo de esimação de h é preciso calcular as derivadas de (3.49). A algebra é muio simples e a primeira derivada é: dl(h µ, ϕ) dh = l (h µ, ϕ) = y2 2e h 1 R [h (µ(1 ϕ) + ϕ ˆm 1 )]. (3.51) 4

47 A segunda derivada, por sua vez, é: d 2 l(h µ, ϕ) dh 2 = l (h µ, ϕ) = y2 2e h 1 R. (3.52) A variância da disribuição de h ao longo do processo é aualizada por: 1 Ĉ = l ( ˆm 1 ). (3.53) O valor do faor de descono, λ, é calculado de modo a maximizar a disribuição prediiva (y D 1 ): p(y D 1, λ ) = p(y h, D 1 )p(h D 1, λ )dh. (3.54) h Mas como não exise forma fechada para a inegral em (3.54), é omada uma aproximação de Laplace (Tierney e Kadane, 1986) para essa disribuição prediiva: 1 p(y D 1, λ ) (2π) l p(y ĥ, D ( ˆm ) 1 )p(ĥ D 1, λ ). (3.55) Onde, p(y ĥ, D 1 ) é a disribuição das observações dada em (2.3) e p(ĥ D 1, λ ) é dada em (3.45). Assim, a meodologia proposa para se esimar os parâmeros do modelo de volailidade esocásica a parir da adapação inspirada em McCormick e al. (212) acrescida à esraégia ASIS (Kasner e Frühwirh-Schnaer, 214) esá concluída. As próximas eapas consisem em avaliar a consisência desse méodo alernaivo uilizando dados simulados e esar ambém em dados reais. 41

48 Capíulo 4 Aplicação da Meodologia Proposa A proposa de esimação dos parâmeros do modelo de volailidade esocásica foi esada inicialmene num conjuno de dados arificiais e, poseriormene, num conjuno de dados reais. Os relaos que seguem nesse capíulo mosram como o processo foi implemenado e avaliado. 4.1 Definição dos Dados Simulados Foram geradas algumas séries de dados com parâmeros conhecidos segundo o modelo canônico em (2.3). As populações se caracerizam pelo produo cruzado dos possíveis valores predeerminados para µ, ϕ e σ 2 η a seguir: µ = 5,4, ϕ {,5;,8;,9;,99}, σ 2 η {,1 2 ;,3 2 ;,5 2 }. No caso de µ, a opção de se rabalhar com um único valor fixado é devido ao conhecimeno prévio de que al parâmero não apresena maiores dificuldades écnicas em sua esimação, como cia (Kasner, 215). A geração dos dados foi implemenada em R (Ihaka e Genleman, 1996). O Código A.1 no apêndice A apresena a função sv_daa que é responsável por gerar os dados 42

49 simulados do modelo de volailidade esocásica definido em (2.3). Essa função possui quaro parâmeros: o amanho da amosra desejada n, o valor mu do nível µ, o valor phi da persisência ϕ e o valor sigma do desvio padrão σ η. O resulado da função é um objeo do ipo daa.frame, que na verdade é um conjuno de dados com os valores simulados y da variável observada Y e h da variável laene h. Foram gerados alguns conjunos de dados para os 12 possíveis valores disinos de ψ = (µ, ϕ, ση). 2 Todas as populações inham o mesmo amanho de n = 4 365,25 = elemenos, o que corresponde a quaro anos de observações diárias. A Figura 4.1 mosra um exemplo de um conjuno de dados simulados com a persisência ϕ =,9, e a volailidade ση 2 =, y h Figura 4.1: Conjuno de dados simulados a parir do modelo canônico em (2.3), µ = 5,4, ϕ =,9 e σ 2 η =, Esimação dos Parâmeros para os Dados Simulados Inicialmene, a meodologia proposa ambém foi implemenada em R. Porém, devido ao processo ser exremamene demorado, o projeo final foi oalmene programado em C (Kernighan e Richie, 1988). O Código A.2 no apêndice A mosra o código-fone da implemenação do algorimo de esimação dos parâmeros. Nessa e em odas as demais execuções do algorimo, foram omadas 15. ierações, sendo as 5. iniciais descaradas (burn-in), além de 9 a cada 1 ierações consecui- 43