EFEITO DE REPARAMETRIZAÇÃO EM INFERÊNCIA BAYESIANA PARA UM MODELO DE REGRESSÃO EXPONENCIAL

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1 EFEITO DE REPARAMETRIZAÇÃO EM INFERÊNCIA BAYESIANA PARA UM MODELO DE REGRESSÃO EXPONENCIAL Vera Lucia D. TOMAZELLA José Carlos FOGO RESUMO: Em rabalhos práicos muias vezes nos deparamos com populações heerogêneas onde é imporane considerar a relação dos empos médio de sobrevivência com ouros faores, ambém chamados covariáveis. Esas siuações podem ser abordadas aravés de modelos de regressão, onde a dependência do empo médio de sobrevivência com a covariável é expliciamene idenificada. Nese rabalho, consideramos o modelo de regressão exponencial para dados de empo de vida, com uma covariável x, proposo por (Feigl & Zelen,965). Considerando densidades a priori informaiva e não informaiva, apresenamos uma reparamerização apropriada para a função de sobrevivência, num dado empo 0, que melhora a aproximação normal da densidade a poseriori marginal, e uilizamos o méodo de Laplace (Tierney & Kadane, 986) como auxilio nos cálculos das densidades a poseriori marginais de ineresse. PALAVRAS-CHAVE: Reparamerização, Inferência Bayesiana, Função de Sobrevivência, Modelo de Regressão. Inrodução A análise esaísica para dados de sobrevivência em sido uilizada em muias áreas de aplicação, especialmene em medicina, onde o pesquisador esá usualmene ineressado em analisar dados relacio- Deparameno de Esaísica Universidade Federal de São Carlos UFSCar, CEP São Carlos SP. vera@power.ufscar.br. Deparameno de Esaísica Universidade Federal de São Carlos UFSCar, CEP São Carlos SP. fogo@power.ufscar.br. Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00 45

2 nados ao empo de vida de pacienes submeidos a um cero raameno, sendo que podemos assumir que o modelo exponencial descreve adequadamene a disribuição dos empos de vida (Feigl & Zelen, 965). Neses casos é comum a presença de faores que influenciam o empo de sobrevivência, chamados de covariáveis, o que requer o uso de modelos de regressão, ver Lawless (98). Soluções clássicas nesas siuações são de difícil obenção principalmene para modelos muio complexos, Assim, uma alernaiva viável é a uilização de méodos Bayesianos. Enreano, um problema usual na análise Bayesiana desses modelos de regressão é enconrar densidades a poseriori marginais, o que geralmene requer a deerminação numérica de inegrais. Uma alernaiva seria o uso de méodos de aproximação para inegrais. Nese rabalho uilizamos o méodo de Laplace (Tierney & Kadane 986) que nos auxilia no cálculo da densidade a poseriori marginal da função de sobrevivência e apresenamos uma reparamerização apropriada para a função de sobrevivência, que melhora a aproximação normal da densidade a poseriori marginal (Kass & Slae, 99), obendo assim inferências mais precisas (Achcar & Fogo, 997). No conexo Bayesiano é imporane verificar se a uilização de diferenes paramerizações proporciona alguma vanagem compuacional ou se melhora a normalidade assinóica da densidade a poseriori do parâmero de ineresse, ou ambas as coisas. Na seção apresenamos uma reparamerização para a função de sobrevivência R (Guerrero & Jonhson, 98). Na seção 3, apresenamos o modelo de regressão proposo por Feigl e Zelen, 965; na seção 4 apresenamos a análise Bayesiana do modelo e na seção 5 ilusramos a écnica proposa com os dados de sobrevivência de pacienes com leucemia inroduzidos por Feigl e Zelen, 965. Uma Reparamerização para a Função de Sobrevivência Se o parâmero de ineresse é dado pela função de sobrevivência R num dado empo, algumas famílias de ransformações paraméricas para proporções (ver por exemplo Achcar, 989) podem ser exploradas para melhorar a aproximação normal da função de verossimilhança de R. Nesa seção exploramos uma reparamerização inroduzida por Guerrero e Johnson (98). 46 Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00

3 Para obermos uma família inversível de ransformações a qual inclui a ransformação logio, Guerrero e Johnson (98) sugeriram uma aplicação da ransformação poência de Box e Cox (964) para a R R, dada por: odds raio, φ R R λ ( λ) = λ, φ ( λ) < onde R, < λ < (.) R =. Para um λ fixado, podemos considerar uma forma modificada da ransformação de Guerrero e Johnson, ver Akinson (985), dada por: λ R φ ( λ) =, (.) R que não deve produzir resulados diferenes como considerado em (.). A vanagem da ransformação (.) é ser facilmene inversível. φ φ λ, obemos, Com = λ ( φ + ) λ + ( φ + ) R =, (.3) e, desa forma, a ransformação pode ser facilmene usada para obermos esimaivas e inervalos de confiança, com os dados na escala original. Para considerar a reparamerização (.3), devemos ober um valor apropriado de λ, que forneça uma melhor aproximação normal da função de verossimilhança para φ = φ ( λ). Um caminho é considerar a derivada erceira padronizada dada por: STD [ ˆ φ( λ) ] ˆ φ( λ) [ ] onde φˆ ( λ) e φˆ ( λ) 3 [ ] { [ φ( λ) ] } = ˆ, (.4) [ ] são, respecivamene, a segunda e a erceira derivadas do logarimo da função de verossimilhança, avaliadas no esimador de máxima verossimilhança φˆ ( λ), ver por exemplo (Kass & Slae, 99); Spro (973) ou Achcar (993). Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00 47

4 Se a função de verossimilhança apresenar boa aproximação normal, esperamos enconrar STD [ φˆ ( λ) ], dado em (.4), igual ou aproximadamene zero. 3 Formulação do Modelo Seja T uma variável aleaória não-negaiva denoando o empo de sobrevivência, com função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por: f (, λ) = exp, (3.) λ λ θ e x θ onde > 0, λ = e x é uma covariável associada a. Assim, f θ = exp x x, > 0 (3.) θ θ θ e e θ (,, θ ) é o modelo proposo por Feigel e Zelen. A função de sobrevivência num dado empo 0 é dada por: = [ > ] = 0 R 0 P T 0 exp θ x, (3.3) 0 θe onde 0 é fixado e x 0 é um valor especificado para a covariável. Com esse modelo a função de verossimilhança para θ e θ é dada por: n n θ xi L( θ, θ ) = θ exp nxθ ie, (3.4) θ i= Considere a ransformação ( θ, θ ) em ( R,φ ), onde R = R( 0 ) num dado valor x 0 da covariável, dada por: = 0 R exp θ x0 θ e. (3.5) φ = θ 48 Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00

5 L ( R, ) A função de verossimilhança para R e φ é dada por: n ( ln R) n φ ( x x ) 0 i 0 φ = exp nxφ x ie.(3.6) φ 0 ( ln R) e 0 i= 4 Uma Análise Bayesiana do modelo Nesa seção é apresenada uma análise Bayesiana para o modelo (3.). Aravés de densidades a priori não-informaiva e informaiva são obidas as densidades a poseriori para os parâmeros de ineresse. 4. Disribuição a Priori Não-Informaiva Assumindo que o pesquisador não enha nenhuma informação a respeio dos parâmeros, consideramos uma disribuição a priori nãoinformaiva de Jeffreys (Box & Tiao, 973) para os parâmeros θ e θ dada por : ( θ θ ) { de I ( θ )} π,,, (4.) onde ( θ, ) θ I θ é a mariz de informação de Fisher Considerando o modelo de Feigl e Zelen dado em (3.) a densidade a poseriori de Jeffreys para θ e θ é dada por: π,, (4.) θ ( θ θ ), θ e θ Θ onde Θ {( θ θ ) θ > 0, - < < } = θ ;. Considerando a ransformação (3.5) a disribuição a priori para R (função de sobrevivência ) e φ é dada por: π( R, φ ), 0 R e < φ <. (4.3) R [ ln( R) ] Com essa disribuição a priori a poseriori conjuna para R e φ é dada por: Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00 49

6 n n R φ exp nx0 xiφ (4.4) i= A ( φ ), D R [ ln( R) ] π A φ onde ( i ) n x x0 φ = e, 0 R e < φ < i 0 i= Inegrando a densidade (4.4) em relação ao parâmero φ obemos a densidade a poseriori marginal para R, { 0 } φ n A ( ) ( φ R D R ln R R ) exp nφ ( x x) π d. (4.5) Como exise dificuldade para resolvermos analiicamene a inegral em (4.5), usamos como alernaiva uma aproximação obida pelo méodo de Laplace, (ver Apêndice A.). Considerando a reparamerização (.) a densidade conjuna para φ e φ é dada por: (, φ D) π φ B φ ( φ ) A ln B φ n A densidade a poseriori marginal para exp n { φ ( x x) } 0 φ é dada por: ( + φ ) B( φ ) λ (4.6) n [ ( )] λ A [ ] [ ] ( φ φ φ φ φ φ ) D ln B + B B exp{ nφ ( 0 )} x x φ (4.7) π d onde ( xi x0 ) φ λ = e A φ n e i 0 i= B φ + φ +. = A inegral em (4.7) será ambém aproximada pelo méodo de Laplace, (ver Apêndice A.). 4. Disribuição a Priori Informaiva 50 Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00

7 Considerando densidades a priori informaivas Log-Gama Negaiva para R e N(0,) para φ e assumindo independência enre R e φ, a densidade a priori conjuna é dada por: π a ( R, ) R [ ln( R) ] φ b φ e, (4.8) A densidade a poseriori conjuna de R e φ é dada por: π φ 0 x n onde ( xi x0 ) φ A φ = ie. A ( φ ) a n+ b R, φ D R [ ln( R) ] exp [ n( x )] 0 i= +, (4.9) Inegrando a densidade (4.9) em relação ao parâmero φ obemos a densidade a poseriori marginal para R, a n+ b A ( ) ( φ ) π R D R ln R R exp ( φ n( x0 x) ) d φ (4.0) Considerando a reparamerização (.) a densidade marginal para φ é dada por: a + exp ( φ n( x0 x )) φ, n b A [ ( )] [ ] [ ] ( φ φ D ln B φ + φ Bφ B φ ) π d (4.) sendo que a inegral (4.) pode ser resolvida uilizando-se o méodo de aproximação de Laplace. Com eses resulado é possível fazer inferências sobre a função de sobrevivência, como por exemplo consruir inervalo HPD para R (ver Apêndice A.), ou ober a moda a poseriori. 5 Um Exemplo Considere os dados de sobrevivência de pacienes com leucemia apresenados por Feigl e Zellen (965), com a variável concomiane relacionada à conagem de glóbulos brancos (WBC). Considerando o Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00 5

8 modelo inroduzido na Seção 3, onde x é o logarimo, na base 0, da conagem de glóbulos branco (por 0000), θ represena o empo médio de sobrevida em pacienes com a conagem de glóbulos brancos igual a 0000 unidades e θ represena o ganho no empo médio de sobrevivência correspondendo a um acréscimo no percenual da conagem de glóbulos brancos. As amosras consisem de pacienes classificados em dois grupos de acordo com a presença de uma caracerísica morfológica dos glóbulos brancos. Pacienes que apresenam esa caracerísica, foram idenificados como AG posiivos e os pacienes sem esa caracerísica, como AG negaivos. Para ese rabalho iremos considerar apenas os dados de pacienes AG posiivos, dados na Tabela. Tabela Dados de Feigl e Zelen (965) (AG posiivo). WBC/ Tempo de Sobrevivência (em semanas) Nese rabalho emos ineresse em fazer inferência para a função de sobrevivência de dois anos ( = 96 semanas) em pacienes cuja 5 Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00

9 conagem de glóbulos é de (x = log 0 5). Para = 96 e x = log 0 5, emos: 96 R = g( θ, θ ) = exp θ. (5.) θ5 A função de verossimilhança para R e φ é dada por: L A ( φ ) n R, φ R [ ln( R) ] exp{ }, (5.) φ Os esimadores de máxima verossimilhança para R e φ são dados por: Rˆ = e ˆ φ = Considerando os dados da Tabela, as densidades a poseriori conjunas para R e φ com as prioris (4.8) e (4.3) são dadas por: A ( φ ) + + a n b π R, φ D R ( ln( R) ) exp ( φ ),(5.3) n x φ i onde A( φ ) = i 5e, e 96 i= A ( φ ) n R, φ D R [ ln( R) ] exp{ } π. φ, respecivamene. (5.4) Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00 53

10 0,3 Densidade a poseriori marginal na paramerização R 0,4 0,6 0,08 0,00 0,00 0,04 0,08 0, 0,6 Informaiva Não Informaiva FIGURA Densidades marginais a poseriori para R. Na Figura emos os gráficos das densidades a poseriori marginais, obidas pelo méodo de Laplace aravés das expressões (4.5) e (4.0), considerando as densidades a priori não informaiva e informaiva, onde as modas são dadas por R ~ n ~ inf = e R~ inf = , respecivamene. Observamos que as densidades marginais poseriori dadas pela Figura são compleamene assiméricas, não endo uma boa aproximação normal. Nesa siuação podemos er a precisão das inferências assinóicas compromeida. Assim a procura de uma reparamerização adequada orna-se ineressane. Considerando a ransformação Guerrero e Johnson (.3), para deerminar o valor de λ que forneça uma boa aproximação normal da função de verossimilhança, uilizamos a derivada erceira padronizada do logarimo da função de verossimilhança (.4), al que a derivada erceira padronizada em que ser aproximadamene zero. Com o valor λ = consruímos os gráficos das densidades marginais a poseriori para φ ( λ), obidas pelo méodo de Laplace, aravés de (4.6) e (4.). 54 Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00

11 0.4 Densidade a poseriori marginal na paramerização φ Informaiva FIGURA Densidades marginais a poserior para φ ( λ). Não Informaiva Na Figura emos os gráficos das densidades marginais a poseriori considerando as priori (4.3) e (4.8) onde as modas são ~ ~ φ n ~ inf = e φ inf = , respecivamene. Observamos que as densidades êm uma forma bem próxima da normal e podemos, porano, concluir que usando a ransformação Guerrero e Johnson, emos boas aproximações considerando as duas prioris. Inervalos HPD aproximados de 95% para R são dados por ( ; ) e ( ; ) para as prioris informaiva e não-informaiva, respecivamene. 6 Conclusão Observamos que o uso de uma reparamerização apropriada para a função de sobrevivência num dado empo pode melhorar de forma acenuada a normalidade da poseriori marginal. Nese rabalho, usamos modelo de regressão assumindo a disribuição exponencial mas ese resulado pode ser generalizados para ouros modelos de regressão considerando ouras disribuições para dados de sobrevivência (ver por exemplo Achcar e Damasceno, 996) e ouras densidades a priori. Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00 55

12 TOMAZELLA, V. L. D. & FOGO, J. C. Reparamerizaion effec in Bayesian inference for exponenial regression models. Rev. Ma. Esa. (São Paulo), v.9, p.45-58, 00. ABSTRACT: In pracical work we ofen find heerogeneous populaions where is imporan o consider a relaionship beween survival imes and oher facors, called covariaes. This siuaion can be reaed using regression models, where he dependency of survival mean ime wih he covariae is expliciily idenified. In his aricle we consider he exponenial regression model for life ime daa wih one covariae x, as proposed by Feigl & Zelen (965). The Guerreiro & Johnson (98) reparamerizaion is used in order o improve he normal approximaion o he poserior marginal densiy for he survival funcion in a give ime 0, considering informaive and noninformaive prior densiies. The poserior marginal densiies are deermined via Laplace approximaion (Tierney & Kadane, 986). KEYWORDS: Reparamerizaion, Bayesian Inference, Survival Funcion, Regression Model. 7 Referências bibliográficas ACHCAR, J. A. Reparamerizaion and laplace ransformaions for poserior momens in binomial models. Rev. Ma. Esa., n.7, p.73-86, 989. ACHCAR, J. A. Some aspecs of reparamerizaion for saisical models. São Carlos: ICMSC, 993 (Noas ICMSC, Série Esaísica, n.). ACHCAR, J. A., DAMASCENO, V. L. Exreme value regression models: an uselful reparamerizaion for he survival funcion. J. Appl. Sa., v.3, n., p.59-68, 996. ACHCAR, J. A.; FOGO, J. C. A Useful Reparameerizaion for he Reliabiliy in he Weibull Case. Compu. Sa. Daa Anal., v.4, p ,997. ATKINSON, A. C. Plos, ransformaions and regression. Oxford: Claredon press, p. 56 Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00

13 BOX, G. E. P., COX, D. R. An analysis of ranformaions, JRSS, B, v.6, p.-5, 964. BOX, G. E. P., TIAO, G. C. Bayesian inference in saisical analysis. New York: Addison-Wesley, p FEIGL, P.; ZELEN, M. Esimaion of exponenial survival probabiliies wih concomian informaion. Biomerics, v.,p.86-37, 965. GUERRERO, V. M., JOHNSON, R. A Use of he Box-Cox ransformaion wih binary response models. Biomerika, v.69, p.309-4, 98. KASS, R. E., SLATE, E. H. Reparamerizaion and diagnosics of poserior nonnormaliy. In: BERNARDO, J.M. e al. (Ed), Bayesian saisics, 4., Oxford: Oxford Universiy Press, 99. p LAWLESS, J. F. Saisical model and mehods for lifeime Daa. New York: John Wiley & Sons, p. LOUZADA NETO, F. Teses de sobrevivência acelerados: uma análise bayesiana do modelo de eyring, 99. Disseração (Mesrado em Ciências de Compuação e Maemáica Compuacional) Insiuo de Ciências Maemáica, Universidade de São Paulo, São Carlos, 99. SPROTT, D. A. Normal likelihoods and heir relaion o large sample heory of esimaion, Biomerika, v.60, n.3, p , 973. TIERNEY, L.; KADANE, J. B.). Accurae aproximaions for poserior momens and marginal densiie. J. Am. Sa. Assoc., v. 8, p.8-6,986 TIERNEY, L., KASS R. E. & KADANE, J. B. Aproximae marginal densiies for nnlinear funcion. Biomerika, v.76, n.3, p.45-33, 989. Recebido em Apêndice A. O Méodo de Laplace O méodo de Laplace para aproximação de inegrais é usado para resolver inegrais da forma: Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00 57

14 ( θ) exp[ nh( θ) ] d ( θ) I = f (A..) onde nh( θ) é uma função com um máximo θˆ e saisfaz algumas condições usuais de regularidade. Para aproximar inegrais da forma (.), o méodo de Laplace assume um desenvolvimeno de h e f em série de Taylor, em orno de θˆ (Tierney & Kadane, 986); (Tierney a all, 989). Assim para θ uniparamérico, a aproximação de Laplace para I é dada por: ( ˆ θ) exp{ nh( ˆ θ) } π Î σf, (A..) n onde { ( ˆ = h θ) } σ. Com m θ R, a aproximação de Laplace para I é dada por: m ( π ) { [ ( ˆ Î de md h θ) ]} f ( ˆ θ) exp{ nh( ˆ θ) } onde D h( θˆ ) é a mariz Hessiana de h calculada em θˆ. A. Obenção de Inervalo HPD, (A..3) Em inferência Bayesiana, em geral emos ineresse em deerminar uma região R (do espaço paramérico) para o qual a probabilidade de coner a densidade a poseriori para um deerminado parâmero θ é ( α ), ver Louzada, (99). Como discuido em (Box & Tiao, 973), al região é chamada de α % se, região a poseriori de maior probabilidade (HPD) 00 π ( θ dados ) dθ = α R, (A..) onde ( θ dados) ( θ dados) π( dados) π é a densidade a poseriori para θ, e π para odo θ R e θ R (A..) θ ver (Marz & Waller, 98). Podemos definir a densidade a poseriori relaiva para θ dada por: 58 Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00

15 ( θ ) π R = R( θ dados) = ~ dados, (A..3) π θ onde ( θ dados) ( dados) ~ π é a densidade a poseriori para θ e ( θ dados) π é o valor da densidade a poseriori para θ calculada na moda a poseriori R θ dados = R dados = R, enão o ~ θ. Sejam θ <θ ais que ( ) ( θ ) 0 conjuno de valores de θ ais que R R0 é chamado de inervalo HPD para θ. Considerando a aproximação χ, iso é, ln R ~ χ ( ), α P χ ( ) ln R0. (A..4) [ ] Porano, se R 0 = 0.465, χ (.907) P. Assim, um inervalo HPD aproximado de 95% para θ é obido resolvendo a equação [ ] [ ( θ dados) ] ln π( ~ θ dados) ln π = (A..5) Rev. Ma. Esa., São Paulo, 9: 45-58, 00 59