Estatística em conabilidade de sistemas - uma abordagem Bayesiana paramétrica. Agatha Sacramento Rodrigues

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1 Esaísica em conabilidade de sisemas - uma abordagem Bayesiana paramérica Agaha Sacrameno Rodrigues Tese apresenada ao Insiuo de Maemáica e Esaísica da Universidade de São Paulo para obenção do íulo de Douor em Ciências Programa: Esaísica Orienador: Prof. Dr. Carlos Albero de Bragança Pereira Coorienador: Prof. Dr. Adriano Polpo de Campos Durane o desenvolvimeno dese rabalho o auor recebeu auxílio nanceiro da CAPES e do CNPq São Paulo, seembro de 2018

2 Esaísica em conabilidade de sisemas - uma abordagem Bayesiana paramérica Esa versão da ese coném as correções e alerações sugeridas pela Comissão Julgadora durane a defesa da versão original do rabalho, realizada em 17/08/2018. Uma cópia da versão original esá disponível no Insiuo de Maemáica e Esaísica da Universidade de São Paulo. Comissão Julgadora: Prof. Dr. Carlos Albero de Bragança Pereira (orienador) - IME-USP Prof. Dr. Enrico Anônio Colosimo - UFMG Prof. Dr. Rubens Sampaio Filho - PUC-Rio Prof. Dr. Jony Arrais Pino Junior - UFF Prof. Dr. Hediber Freias Lopes - Insper

3 Agradecimenos Nese momeno, o senimeno maior é de graidão por odas pessoas que passaram em meu caminho durane o desenvolvimeno desse rabalho. Gosaria de agradecer e dedicar esse rabalho a minha família. Sem os esforços e abdicações dos meus pais eu não esaria aqui, escrevendo os agradecimenos de uma ese de douorado. Em especial, gosaria de dedicar a minha mãe. É muio emocionane presenciar sua força e vonade de viver. Sou muio soruda por ser sua lha e por er você do meu lado nese momeno. Agradeço aos professores sensacionais Carlinhos e Polpo. Conviver com vocês é aprender a cada conversa e er o senimeno de não esar sozinha. Não conseguiria erminar essa ese sem er pessoas ão maravilhosas com quem pudesse conar ao meu lado. Muio obrigada, meus amigos! Meus agradecimenos aos professores e funcionários do IME, assim como aos colegas que ive o prazer de conviver e aprender no Insiuo. Gosaria de agradecer as bolsas de esudos do CNPq e da CAPES, e ambém o apoio nanceiro do Insiuo de Maemáica e Esaísica para a paricipação em congressos. Também gosaria de agradecer aos funcionários do Deparameno de Obserícia da Faculdade de Medicina da USP com os quais ive o imenso prazer de conviver nos úlimos anos. Em especial, à professora Rossana: uma mulher que admiro e me espelho. Agradeço a Deus por udo em minha vida. A odos que de algum modo conribuíram para ese momeno, muio obrigada! i

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5 Resumo RODRIGUES, A. S. Esaísica em conabilidade de sisemas - uma abordagem Bayesiana paramérica. Insiuo de Maemáica e Esaísica, Universidade de São Paulo, São Paulo, A conabilidade de um sisema de componenes depende da conabilidade de cada componene. Assim, a esimação da função de conabilidade de cada componene do sisema é de ineresse. No enano, esa não é uma arefa fácil, pois quando o sisema falha, o empo de falha de um dado componene pode não ser observado, iso é, um problema de dados censurados. Nese rabalho, propomos modelos Bayesianos paraméricos para esimação das funções de conabilidade de componenes e sisemas em quaro diferenes cenários. Inicialmene, um modelo Weibull é proposo para esimar a disribuição do empo de vida de um componene de ineresse envolvido em sisemas coerenes não reparáveis, quando esão disponíveis o empo de falha do sisema e o esado do componene no momeno da falha do sisema. Não é imposa a suposição de que os empos de vida dos componenes seam idenicamene disribuídos, mas a suposição de independência enre os empos aé a falha dos componenes é necessária, conforme eorema anunciado e devidamene demonsrado. Em siuações com causa de falha mascarada, os esados dos componenes no momeno da falha do sisema não são observados e, nese cenário, um modelo Weibull com variáveis laenes no processo de esimação é proposo. Os dois modelos aneriormene descrios propõem esimar marginalmene as funções de conabilidade dos componenes quando não são disponíveis ou necessárias as informações dos demais componenes e, por consequência, a suposição de independência enre os empos de vida dos componenes é necessária. Com o inuio de não impor esa suposição, o modelo Weibull mulivariado de Hougaard é proposo para a esimação das funções de conabilidade de componenes envolvidos em sisemas coerenes não reparáveis. Por m, um modelo Weibull para a esimação da função de conabilidade de componenes de um sisema em série reparável com causa de falha mascarada é proposo. Para cada cenário considerado, diferenes esudos de simulação são realizados para avaliar os modelos proposos, sempre comparando com a melhor solução enconrada na lieraura aé enão, em que, em geral, os modelos proposos apresenam melhores resulados. Com o inuio de demonsrar a aplicabilidade dos modelos, análises de dados são realizadas com problemas reais não só da área de conabilidade, mas ambém da área social. Palavras-chave: Análise de conabilidade, Causa de falha mascarada, Dados mascarados, Disribuição prediiva, Esimação paramérica, FBST, Funções de conabilidade dos componenes, Medidas de imporância dos componenes, Modelo de Hougaard, Modelo Weibull, Paradigma Bayesiano, Sisema coerene, Sisema de pone, Sisema em paralelo, Sisema em série, Sisema k-de-m, Sisema não reparável, Sisema reparável. iii

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7 Absrac RODRIGUES, A. S. Saisics on sysems reliabiliy - a parameric Bayesian approach. Insiuo de Maemáica e Esaísica, Universidade de São Paulo, São Paulo, The reliabiliy of a sysem of componens depends on reliabiliy of each componen. Thus, he iniial saisical work should be he esimaion of he reliabiliy of each componen of he sysem. This is no an easy ask because when he sysem fails, he failure ime of a given componen can be no observed, ha is, a problem of censored daa. We propose parameric Bayesian models for reliabiliy funcions esimaion of sysems and componens involved in four scenarios. Firs, a Weibull model is proposed o esimae componen failure ime disribuion from non-repairable coheren sysems when here are available he sysem failure ime and he componen saus a he sysem failure momen. Furhermore, idenically disribued failure imes are no a required resricion. An imporan resul is proved: wihou he assumpion ha componens' lifeimes are muually independen, a given se of sub-reliabiliy funcions does no idenify he corresponding marginal reliabiliy funcion. In masked cause of failure siuaions, i is no possible o idenify he sauses of he componens a he momen of sysem failure and, in his second scenario, we propose a Bayesian Weibull model by means of laen variables in he esimaion process. The wo models described above propose o esimae marginally he reliabiliy funcions of he componens when he informaion of he oher componens is no available or necessary and, consequenly, he assumpion of independence among he componens' failure imes is necessary. In order o no impose his assumpion, he Hougaard mulivariae Weibull model is proposed for he esimaion of he componens' reliabiliy funcions involved in non-repairable coheren sysems. Finally, a Weibull model for he esimaion of he reliabiliy funcions of componens of a repairable series sysem wih masked cause of failure is proposed. For each scenario, dieren simulaion sudies are carried ou o evaluae he proposed models, always comparing hen wih he bes soluion found in he lieraure unil hen. In general, he proposed models presen beer resuls. In order o demonsrae he applicabiliy of he models, daa analysis are performed wih real problems no only from he reliabiliy area, bu also from social area. Keywords: Bayesian paradigm, Bridge sysem, Coheren sysem, Componen reliabiliy funcions, FBST, k-ou-of-m sysem, Hougaard model, Maked cause of failure, Masked daa, Non-repairable sysem, Parallel sysem, Parameric esimaion, Predicive disribuion, Reliabiliy analysis, Repairable sysem, Series sysem, Weibull model. v

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9 Sumário Lisa de Abreviauras Lisa de Figuras Lisa de Tabelas ix xi xv 1 Inrodução Obeivos Organização do rabalho Conabilidade em sisemas coerenes Modelo Weibull Modelo com covariáveis Teses de hipóeses Disribuição Prediiva Ordenada Prediiva Condicional Medidas de imporância dos componenes Medida de Birnbaum Medida de imporância críica Risco de alcance válido Risco de redução válido Medida de Fussell-Vesely Exemplos simulados Sisema 2-de Sisema em série com censura inervalar Esudos de simulação Esudos de simulação - com covariáveis Aplicações Análise dos dados de disposiivo de rasreameno Análise dos dados do primeiro uso de maconha Conabilidade em sisemas coerenes com dados mascarados Modelo Weibull Simeria das probabilidades de causas mascaradas Incorporação de covariáveis Exemplo simulado vii

10 viii SUMÁRIO Sisema de pone Esudos de simulação Aplicação Análise dos dados de disco rígido Conabilidade em sisemas coerenes com empos de vida dos componenes dependenes Modelo Exemplos simulados Sisema 2-de Sisema de pone Sisema em série com censura inervalar Conabilidade em sisema em série reparável com causa de falha mascarada Esruura dos dados e modelo Abordagem de máxima verossimilhança Modelo Bayesiano Disribuição condicional de d Avaliação do modelo por meio de esudos de simulação Exemplos simulados Esudos de simulação com diferenes cenários Aplicação Análise dos dados dos cilindros Considerações Finais Proposas fuuras A Prova do Teorema 1 69 B Medidas de imporância dos componenes 79 B.1 Sisema 2-de B.2 Sisema de pone C Moniorameno da convergência das cadeias 85 D Consrução da disribuição Weibull Mulivariada de Hougaard 89 Referências Bibliográcas 91

11 Lisa de Abreviauras CPO DP EAM EMV FBST FV HPD LPML MPW NPBS RP SPS SRP SSP WRP Z-MV Ordenada prediiva condicional (do inglês, Condiional Predicive Ordinae) Desvio-padrão Erro absoluo médio Esimador de máxima verossimilhança Tese de signicância genuinamene Bayesiano (do inglês, Full Bayesian Signicance Tes) Medida de imporância de Fussell-Vesely Inervalo de maior densidade a poseriori (do inglês, Highes Poserior Densiy) Soma dos logarimos das CPOs das observações (do inglês, Log Pseudo Marginal Likelihood) Média a poseriori Weibull Não-paramérico Baacharya-Samaniego Processo de renovação (do inglês, Renewal Process) Sisema paralelo-série Processo de renovação superposo (do inglês, Superposed Renewal Process) Sisema série-paralelo Processo de renovação Weibull (do inglês, Weibull Renewal Process) Esimador de Zhang e al. (2017b) ix

12 x LISTA DE ABREVIATURAS

13 Lisa de Figuras 1.1 Represenação de um sisema em série com 4 componenes Represenação de um sisema com 3 componenes em paralelo Esruura de pone (a) SSP (b) Represenação SPS de (a) (a) SPS (b) Represenação SSP de (a) (a) Represenação SSP do sisema de pone (b) Represenação SPS do sisema de pone (a) Represenação SSP do sisema 2-de-3 (b) Represenação SPS do sisema 2-de Funções de conabilidade da disribuição Weibull ao considerar ρ = 2,5, η = 0,015, com θ = (ρ, η, µ) Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas), médias a poseriori e inervalos HPD com 95% de credibilidade (curvas ponilhadas) das funções de conabilidade dos componenes envolvidos no sisema 2-de-3 do exemplo simulado Medidas de imporância de Birnbaum e de Fussell-Vesely para os componenes do sisema 2-de-3 do exemplo simulado Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas), médias a poseriori e inervalos HPD com 95% de credibilidade das funções de conabilidade (curvas ponilhadas) dos componenes envolvidos no sisema em série do exemplo simulado Medidas de imporância de Birnbaum e de Fussell-Vesely para os componenes do sisema em série com censura inervalar do exemplo simulado Média (símbolo) e desvio-padrão (barra) dos valores de EAM obidos por MPW e NPBS para os cenários de simulação 1 e Média (símbolo) e desvio-padrão (barra) dos valores de EAM obidos por MPW e NPBS para os cenários de simulação 3 e Média (símbolo) e desvio-padrão (barra) dos valores de EAM obidos por MPW e NPBS para os cenários de simulação 5 e Represenação do sisema considerado no cenário Média (símbolo) e desvio-padrão (barra) dos valores de EAM obidos por MPW e NPBS para os cenários de simulação 7 e Funções de conabilidade esimadas dos componenes E e D do disposiivo de rasreameno (aplicação 2.9.1) Medidas de imporância de Birnbaum e de Fussell-Vesely para os componenes E e D do disposiivo de rasreameno (aplicação 2.9.1) xi

14 xii LISTA DE FIGURAS 2.15 Função de credibilidade esimada da idade do primeiro uso de maconha (aplicação 2.9.2) Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas), médias a poseriori e inervalos HPD com 95% de credibilidade (curvas ponilhadas) das funções de conabilidade dos componenes 1 a 5 envolvidos no sisema de pone com dados mascarados do exemplo simulado Medidas de imporância de Birnbaum e de Fussell-Vesely para os componenes do sisema de pone com dados mascarados do exemplo simulado Média (símbolo) e desvio-padrão (barra) dos valores de EAM obidos por MPW e NPBS para o cenário de simulação Média (símbolo) e desvio-padrão (barra) dos valores de EAM obidos por MPW e NPBS para o cenário de simulação Funções de conabilidade esimadas dos componenes do sisema disco rígido (aplicação 3.4.1) Medidas de imporância de Birnbaum e de Fussell-Vesely para os componenes do disco rígido (aplicação 3.4.1) Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas), médias a poseriori e inervalos HPD com 95% de credibilidade (curvas ponilhadas) das funções de conabilidade dos componenes 1, 2 e 3 do sisema 2-de-3 esimadas pelo modelo de Hougaard Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas), médias a poseriori e inervalos HPD com 95% de credibilidade (curvas ponilhadas) das funções de conabilidade dos componenes 1, 2 e 3 do sisema 2-de-3 esimadas pelos modelos marginais Weibull Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas), médias a poseriori e inervalos HPD com 95% de credibilidade (curvas ponilhadas) das funções de conabilidade dos componenes 1 a 5 do sisema de pone esimadas pelo modelo de Hougaard Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas), médias a poseriori e inervalos HPD com 95% de credibilidade (curvas ponilhadas) das funções de conabilidade dos componenes 1 a 5 do sisema de pone esimadas pelos modelos marginais Weibull Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas), médias a poseriori e inervalos HPD com 95% de credibilidade (curvas ponilhadas) das funções de conabilidade dos componenes 1, 2 e 3 do sisema em série esimadas pelo modelo de Hougaard Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas), médias a poseriori e inervalos HPD com 95% de credibilidade (curvas ponilhadas) das funções de conabilidade dos componenes 1, 2 e 3 do sisema em série esimadas pelos modelos marginais Weibull Funções de conabilidade geradoras (curvas conínuas) e esimaivas das funções de conabilidade obidas pelo modelo Bayesiano e pelo modelo de Zhang e al. (2017b) (Z-MV) para os dois exemplos simulados Média (símbolo) e desvio padrão (barra) dos valores de EAM obidos pelo modelo Bayesiano (média a poseriori) e pelo modelo de Zhang e al. (2017b) (Z-MV) nos cenários com diferenes amanhos amosrais (n) e número de componenes (m)

15 LISTA DE FIGURAS xiii 5.3 Média a poseriori e inervalos HPD 95% da função de conabilidade dos componenes obidas por meio do modelo proposo para os dados dos cilindros (aplicação 5.3.1).. 66 C.1 Grácos de auocorrelação dos parâmeros ρ, η e µ para o componene C.2 Grácos de auocorrelação dos parâmeros ρ, η e µ para o componene C.3 Grácos de auocorrelação dos parâmeros ρ, η e µ para o componene C.4 Grácos de série emporal dos parâmeros ρ, η e µ para o componene C.5 Grácos de série emporal dos parâmeros ρ, η e µ para o componene C.6 Grácos de série emporal dos parâmeros ρ, η e µ para o componene

16 xiv LISTA DE FIGURAS

17 Lisa de Tabelas 1.1 Dados observados de n = 10 sisemas com esruura apresenada na Figura Dados observados de n = 7 sisemas com esruura apresenada na Figura Dados observados de n = 10 sisemas 2-de Medidas a poseriori das funções de conabilidade dos componenes do sisema 2-de-3 do exemplo simulado Medidas do empo de falha dos componenes de um novo sisema 2-de-3 do exemplo simulado esimadas pela disribuição prediiva Medidas do empo de falha dos rês componenes de um novo sisema em série do exemplo simulado esimadas pela disribuição prediiva Porcenagem (%) de dados censurados de cada componene em odos os cenários de simulação de 1 a Tempos de falha médios dos componenes na geração dos dados do cenário Tempos de falha médios (desvio padrão) dos componenes na geração dos dados do cenário LPML dos modelos ausados para os empos aé falha dos componenes D e E do disposiivo de rasreameno (aplicação 2.9.1) Medidas a poseriori dos parâmeros do modelo Weibull 3 parâmeros dos dois componenes do disposiivo de rasreameno (aplicação 2.9.1) Medidas do empo de falha dos componenes E e D de um novo disposiivo de rasreameno (aplicação 2.9.1) esimadas pela disribuição prediiva Disribuição dos ipos de censura nos dados do uso de maconha (aplicação 2.9.2) Medidas a poseriori dos parâmeros do modelo proposo para os dados do uso de maconha (aplicação 2.9.2) Medidas do empo aé o primeiro uso de maconha de um novo menino (aplicação 2.9.2) esimadas pela disribuição prediiva Porcenagem de dados censurados, não censurados e mascarados dos componenes do sisema de pone do exemplo simulado Medidas do empo de falha dos componenes de um novo sisema de pone do exemplo simulado esimadas pela disribuição prediiva Probabilidade dos componenes do sisema de pone do exemplo simulado serem responsáveis pela falha do sisema quando são o k-ésimo componene a falhar, k = 1,..., 5, pela disribuição prediiva xv

18 xvi LISTA DE TABELAS 3.4 Disribuição das causas de falha dos n = 172 sisemas dos dados de disco rígido (aplicação 3.4.1) LPML dos modelos ausados para os empos aé falha dos componenes 1 a 3 do sisema risco rígido (aplicação 3.4.1) Medidas a poseriori dos parâmeros do modelo Weibull 3 parâmeros dos componenes do sisema disco rígido (aplicação 3.4.1) Medidas do empo de falha dos componenes de um novo sisema disco rígido (aplicação 3.4.1) esimadas pela disribuição prediiva EAM obidos dos modelos Hougaard e marginal Weibull para os componenes 1, 2 e 3 do sisema 2-de Porcenagem de dados censurados dos componenes do sisema de pone simulado EAM obidos dos modelos Hougaard e marginal Weibull para os componenes 1 a 5 do sisema de pone EAM obidos dos modelos Hougaard e marginal Weibull para os componenes do sisema em série Esimaivas dos parâmeros da disribuição Weibull obidas pelo modelo Bayesiano e pelo modelo de Zhang e al. (2017b) (Z-MV) para os dois exemplos simulados Valores de EAM obidos pelo modelo Bayesiano e pelo modelo de Zhang e al. (2017b) (Z-MV) para os dois exemplos simulados Disribuição do número de falhas dos 120 sisemas dos dados dos cilindros (aplicação 5.3.1) Esimaivas dos parâmeros do modelo Weibull obidas pelo modelo proposo para os dados dos cilindros (aplicação 5.3.1) C.1 Valores da medida de Gelman e Rubin obidos para os parâmeros associados aos 3 componenes do sisema 2-de

19 Capíulo 1 Inrodução Considere inicialmene que se desea esudar o empo aé a falha de uma máquina de café. A máquina de café, nese exemplo, pode falhar por um de dois faores de risco disinos: o componene que mói o grão (moedor) ou o componene responsável por esquenar a água (ebulidor). Assim, o primeiro componene a falhar leva à falha da máquina de café, que, por ser composa por componenes, chamamos de sisema. Meeker e Escobar (2014, Cap. 15) denem um sisema como uma coleção de componenes inerligados para execuar uma deerminada arefa. A esruura do sisema - a forma como os componenes são inerligados - e os esados dos componenes - funcionam ou não - deerminam o esado do sisema. O esudo das relações enre sisemas e seus componenes, assim como as respecivas funções de conabilidade (probabilidade do empo de falha ser maior que um empo denido), em sido obeo de pesquisa nos úlimos anos. Enre os rabalhos imporanes, Barlow e Proschan (1981) apresenam conceios e resulados quando as funções de conabilidade dos componenes são consideradas conhecidas. Em siuações em que a função de conabilidade é desconhecida, méodos esaísicos são uilizados para esimar a conabilidade de sisemas e seus componenes. No exemplo da máquina de café, a falha de um componene implica que o possível empo fuuro de falha do ouro componene sea invisível, o que caraceriza uma informação censurada. A análise esaísica para a conabilidade da máquina de café depende dos modelos marginais de cada componene. O esudo da conabilidade de cada componene permie omar ações referenes aos componenes que necessiam de melhorias para maximizar a performance do sisema, ao invés de mudar o sisema ineiro, resulando em menor cuso e empo. A análise de ambos os componenes (moedor e ebulidor) é imporane e não apenas a análise do sisema (máquina de café). Assim, emos ineresse em esimar a conabilidade de cada componene mesmo quando os empos de falha deses podem ser censurados. Uma represenação dos componenes em um sisema pode ser feia por diagrama de blocos, em que cada componene do sisema é represenado por um bloco e o sisema funciona se podemos ir de um pono para ouro por caminhos de componenes que funcionam. Na Figura 1.1 esá a represenação por diagrama de bloco de um sisema com 4 componenes em série, iso é, o sisema funciona se odos os componenes funcionam. Em sisemas em série, no momeno que o sisema falha, apenas um componene em empo de vida não censurado e os ouros componenes são censurados à direia, ou sea, eles coninuariam funcionando após a falha do sisema. A máquina de café do exemplo é um sisema em série, ambém conhecido como riscos compeiivos, ou sea, faores de riscos que compeem para ser o responsável pela falha do sisema (Kalbesch e Prenice, 2002, Cap. 8) Figura 1.1: Represenação de um sisema em série com 4 componenes. Considere um sisema com m componenes, sea X a variável que denoa o empo aé a falha 1

20 2 INTRODUÇÃO 1.0 do -ésimo componene, = 1,..., m, e o empo aé a falha do sisema é denoado por T. A função que dene T em relação a X 1,..., X m depende da esruura do sisema. Para o sisema em série represenado na Figura 1.1, com m = 4, emos que T = minx 1,..., X 4 }. Uma amosra aleaória de amanho n desse sisema é observada e = ( 1, 2,..., n ) é o veor das observações de T. Quando o sisema falha, a falha de um dado componene pode não ser observada, mas seu empo de censura é observado. Associado a cada unidade amosral, sea δ i a indicadora de qual componene produziu a falha do sisema, i = 1,..., n. Se o -ésimo componene é o responsável pela falha do i-ésimo sisema, δ i =, e os demais componenes do sisema i são censurados à direia. Na Tabela 1.1 esão os dados observados de n = 10 sisemas. O sisema ID 1, por exemplo, falhou no empo 1,92 e o componene 1 foi o responsável pela falha do sisema e os ouros componenes são censurados à direia no empo 1,92. Tabela 1.1: Dados observados de n = 10 sisemas com esruura apresenada na Figura 1.1. ID sisema δ 1 1, , , , , , , , , ,40 2 Um sisema em paralelo como na Figura 1.2 funciona se pelo menos um componene funciona. Exemplos de sisemas com componenes em paralelo incluem faróis de auomóveis, escadas com iluminação de emergência e luzes múliplas nas salas de aula (Meeker e Escobar, 2014, Cap. 15). Na falha do sisema, apenas um componene é não censurado (o componene responsável pela falha do sisema) e os demais componenes são censurados à esquerda, iso é, eles falharam anes da falha do sisema. O sisema represenado na Figura 1.2, com m = 3, em T = maxx 1, X 2, X 3 }. Uma amosra aleaória de amanho n desse sisema é observada e = ( 1, 2,..., n ) é o veor das observações de T. Sea δ i uma variável indicadora, em que δ i = se o -ésimo componene é o úlimo componene a falhar, para = 1,..., m, e os demais componenes do sisema são censurados à esquerda. Na Tabela 1.2 esão os dados observados de n = 7 sisemas. O sisema ID 3, por exemplo, falhou no empo 4,93, o componene 2 foi o responsável pela falha do sisema e os componenes resanes são censurados à esquerda no empo 4, Figura 1.2: Represenação de um sisema com 3 componenes em paralelo. No exo sobre o sisema em paralelo uilizamos a expressão responsável pela falha do sisema para idenicar o úlimo componene a falhar que levou à falha do sisema. No enano, é lógico pensar que odos os componenes são imporanes para a falha do sisema, pois odos devem falhar para a falha do sisema e, de alguma forma, são os responsáveis pela falha do sisema. Com o

21 1.0 3 Tabela 1.2: Dados observados de n = 7 sisemas com esruura apresenada na Figura 1.2. ID sisema δ 1 0, , , , , , ,74 2 inuio de faciliar o enendimeno no decorrer do exo, para as diferenes esruuras de sisemas, denimos como componene responsável pela falha do sisema o componene que, ao falhar, leva o sisema à falha. Rausand e Hoyland (2004) chamam de componene críico aquele que sua falha implica na falha do sisema. Assim, quando um componene críico falha, dizemos que ese é o componene responsável pela falha do sisema. Sisemas em série e em paralelo são casos pariculares de uma classe de sisemas chamada de sisemas coerenes. Um sisema é dio coerene se odos os seus componenes são relevanes, ou sea, odos os componenes desempenham algum papel na capacidade funcional do sisema. Iso é, odos os componenes afeam a conabilidade do sisema (não exise um componene inúil). O funcionameno e a falha de sisemas coerenes podem ser represenados aravés de conunos de caminhos mínimos e conunos de cores mínimos, respecivamene. Sea C = 1,..., m} o conuno de componenes envolvidos em um sisema de ordem m. Um caminho é um subconuno de componenes de C cuo funcionameno garane o funcionameno do sisema. Um caminho é dio ser mínimo se não pode ser reduzido sem perder seu saus de caminho. Um core é um subconuno de componenes em C que, ao falhar, causa a falha do sisema. Um core é dio mínimo se não puder ser reduzido sem perder seu saus de core. Para o sisema em série na Figura 1.1, o único caminho mínimo é 1, 2, 3, 4} e os conunos de core mínimo são 1}, 2}, 3} e 4}. Para o sisema em paralelo na Figura 1.2, os conunos de caminho mínimos são 1}, 2} e 3} e o único conuno de core mínimo é 1, 2, 3}. O sisema de pone na Figura 1.3 é um exemplo de sisema coerene. Sisemas de pone são comuns em redes de disribuição de energia e compuadores (Meeker e Escobar, 2014, Cap. 15). Oura esruura coerene imporane é a k-de-m, em que o sisema funciona se pelo menos k dos m componenes funcionam. Casos especiais incluem 1-de-m (sisema com m componenes em paralelo) e m-de-m (sisema com m componenes em série). Ouro exemplo de esruuras de sisema k-dem inclui um sisema de baeria de saélie no qual o sisema funciona enquano 6 de 10 baerias funcionam correamene. Uma imporane propriedade apresenada por Barlow e Proschan (1981) é que qualquer sisema coerene pode ser represenado por uma esruura de um sisema série-paralelo (SSP) e por uma esruura de um sisema paralelo-série (SPS). Considere a esruura SSP com 3 elemenos na Figura 1.4a, a Figura 1.4b esá sua represenação como SPS. A esruura SPS na Figura 1.5a em sua represenação como SSP na Figura 1.5b. Figura 1.3: Esruura de pone.

22 4 INTRODUÇÃO 1.2 (a) (b) Figura 1.4: (a) SSP (b) Represenação SPS de (a). (a) (b) Figura 1.5: (a) SPS (b) Represenação SSP de (a). Em geral, ao observar o empo de vida de um sisema, os esados dos componenes no momeno da falha do sisema são conhecidos. Em algumas siuações, idenicar o componene responsável pela falha do sisema pode não ser possível. Sabe-se apenas que ele perence a um subconuno de componenes candidaos. Esa siuação é conhecida como causa de falha mascarada e deve-se a recursos limiados para o diagnósico do responsável pela falha (Miyakawa, 1984). Em uma siuação de causa de falha mascarada para o sisema ID 1 da Tabela 1.1, por exemplo, a variável δ 1 não é observada e assim, não há informação sobre qual componene é responsável pela falha do sisema e, consequenemene, quais são os componenes censurados à direia. Ainda na área de análise de conabilidade, podemos disinguir enre um sisema reparável e um sisema não reparável. Ao subsiuir um componene que falhou por ouro que funciona, o sisema é reparável. A observação de sisemas reparáveis forma dados com evenos recorrenes (Nelson, 2003). Denidos os conceios imporanes da análise de conabilidade de sisemas, os obeivos desa ese são descrios a seguir. 1.1 Obeivos Ese rabalho em como obeivo esimar as funções de conabilidade de componenes em diferenes cenários. São eles: 1. Quando o ineresse consise na esimação da função de conabilidade de um componene envolvido em um sisema coerene não reparável e não são conhecidas ou disponíveis informações dos demais componenes. A independência enre os empos de vida dos componenes é assumida. 2. Mesmo cenário do iem 1, mas não é disponível o esado do componene no momeno da falha do sisema para odas as unidades amosrais (dados mascarados). 3. Quando o ineresse consise na esimação das funções de conabilidade de componenes envolvidos em um sisema coerene não reparável e a suposição de independência enre os empos de vida dos componenes não é imposa. 4. Quando o ineresse consise em esimar a função de conabilidade dos componenes de um sisema em série reparável com causa de falha mascarada. A esimação dos parâmeros é feia segundo a perspeciva Bayesiana de inferência. Algumas vanagens podem ser ciadas ao considerar a abordagem Bayesiana, como a possibilidade de fazer inferência exaa para qualquer amanho amosral, a uilização de informações a priori e a facilidade da esimação de quaisquer medidas da disribuição a poseriori (Ibrahim e al., 2001). Todo o desenvolvimeno compuacional é realizado no sofware R (R Core Team, 2017).

23 1.2 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO Organização do rabalho Ese rabalho esá organizado da seguine maneira: no Capíulo 2 apresenamos o modelo Weibull com 3 parâmeros para a esimação da função de conabilidade de componenes envolvidos em sisemas coerenes não reparáveis. O modelo é geral e pode ser uilizado para componenes envolvidos desde esruuras mais simples, como sisema em série, aé esruuras mais complexas, como o sisema de pone, e permie considerar a presença de censura inervalar. Não é imposa a suposição de que os empos de vida dos componenes são idenicamene disribuídos. O modelo proposo pode ser considerado quando não há disponíveis informações dos ouros componenes, desde que se susene a suposição de independência enre os empos de vida dos componenes, conforme demonsrado o eorema no Apêndice A. No Capíulo 3 propomos um processo de esimação para a função de conabilidade dos componenes em um conexo similar ao Capíulo 2, mas na presença de dados mascarados em sisemas não reparáveis. O Capíulo 4 é dedicado a um modelo Weibull mulivariado para a esimação das funções de conabilidade de componenes envolvidos em um sisema coerene não reparável quando a suposição de independência enre os empos de vida não é imposa. No Capíulo 5 consideramos um modelo Weibull para a esimação da função de conabilidade de componene de um sisema em série reparável com causa de falha mascarada, ao considerar a abordagem proposa no Capíulo 3 em dados recorrenes. Por m, no Capíulo 6 discuimos os resulados desse rabalho e apresenamos algumas proposas para desenvolvimeno fuuro.

24 6 INTRODUÇÃO 1.2

25 Capíulo 2 Conabilidade em sisemas coerenes Nese capíulo, raamos da esimação da função de conabilidade de um componene de ineresse quando disponível o empo de falha do sisema e o esado do componene no momeno da falha. Consideramos que os componenes do sisema não são subsiuídos quando falham e o sisema é observado aé sua primeira falha. A lieraura sobre conabilidade para sisemas em série e em paralelo é abundane, diferenes soluções foram apresenadas. Para sisemas em série, Kalbesch e Prenice (2002, Cap. 8) apresenam relações das funções de sub-disribuição dos componenes (probabilidade do sisema funcionar aé um deerminado empo e o componene ser responsável pela falha). Um esimador não-paramérico para essas funções e um modelo de risco proporcional Cox modicado para riscos compeiivos foi desenvolvido por Fine e Gray (1999). Crowder (2012) apresena uma vasa revisão volada para riscos compeiivos. Salinas-Torres e al. (1997) e Salinas Torres e al. (2002) apresenam solução Bayesiana nãoparamérica para sisemas em série e Polpo e Pereira (2009) para sisemas em paralelo. Sob a abordagem Bayesiana paramérica, Coque Junior (2004) assume disribuição Weibull para os empos de falha dos componenes e Bhering e al. (2014) apresenam um modelo hierárquico Bayesiano Weibull para avaliação de conabilidade de componenes em sisemas em série e em paralelo, propondo uma abordagem compuacional úil. Aravés de esudos de simulação de sisemas em série, Rodrigues e al. (2012) compararam rês ipos de esimaivas: Kaplan-Meier, máxima verossimilhança e a abordagem Bayesiana apresenada por Coque Junior (2004). Polpo e al. (2012) realizaram um esudo comparaivo para a esimação de uma curva de sobrevivência sob a perspeciva Bayesiana. Ao considerar a propriedade que odo sisema coerene pode ser represenado como um sisema série-paralelo (SSP) e como um sisema paralelo-série (SPS), Polpo e al. (2013) propuseram esimadores Bayesianos não-paraméricos para as funções de conabilidade dos componenes envolvidos em sisemas série-paralelo e paralelo-série. Eles se resringiram a casos em que nenhum componene aparece mais do que duas vezes em represenações SSP e SPS, sob o pressuposo de que dois ou mais componenes não podem falhar no mesmo insane de empo e de que os componenes nas represenações SSP e SPS são muuamene independenes. No enano, é comum que alguns componenes apareçam em dois lugares diferenes na represenação do sisema. A Figura 2.1 ilusra suas represenações SSP e SPS do sisema de pone (Figura 1.3). Observe que cada um dos cinco componenes aparece duas vezes em ambas as represenações. Na Figura 2.2 esá a esruura 2-de-3 em represenações SSP e SPS. Observe que cada um dos rês componenes ambém aparece duas vezes em ambas as combinações. Vale observar que o diagrama do sisema não reee layou físico, mas sim caminhos aravés do sisema que permiem o funcionameno do sisema. Siuações como esas violam a suposição de Polpo e al. (2013) e o esimador não é adequado para esimação da função de conabilidade de componenes envolvidos neses sisemas. Bhaacharya e Samaniego (2010) propuseram um esimador não-paramérico simples para a função de conabilidade de componenes em sisemas coerenes, em que as únicas informações ne- 7

26 8 CONFIABILIDADE EM SISTEMAS COERENTES 2.1 (a) Figura 2.1: (a) Represenação SSP do sisema de pone (b) Represenação SPS do sisema de pone. (b) (a) Figura 2.2: (a) Represenação SSP do sisema 2-de-3 (b) Represenação SPS do sisema 2-de-3. (b) cessárias são a esruura e o empo de vida do sisema, o que o orna conveniene para a esimação da conabilidade de componenes de qualquer sisema coerene. No enano, eles consideram uma suposição resriiva de que os empos de falha dos componenes do sisema são muuamene independenes e disribuídos de forma idênica, assim odos os componenes em a mesma função de conabilidade esimada. Jin e al. (2017) desenvolveram um esimador com a mesma consrução para siuações em que a esruura do sisema não é conhecida mas pode ser esimada se disponível o número de componenes com esado de falha no momeno da falha do sisema. A ideia do esimador é simples: ao assumir que os empos de vida dos componenes são independenes e idenicamene disribuídos, a função de conabilidade empírica do sisema, R T (), esá relacionada à função de conabilidade empírica dos componenes, R(), para odos = 1,..., m, pela equação: R T () = h[ R()], (2.1) em que a função h( ) depende da esruura do sisema que pode ser desconhecida (Jin e al., 2017) ou conhecida (Bhaacharya e Samaniego, 2010). Como solução para siuações em que a suposição de empo de vida dos componenes idenicamene disribuídos não é imposa, apresenamos nese capíulo a análise do modelo Bayesiano Weibull com 3 parâmeros para inferência marginal de componenes envolvidos em sisemas coerenes. Serão denidas as disribuições a priori adequadas para os parâmeros envolvidos, a função de verossimilhança geral que pode ser considerada para um componene de qualquer sisema coerene e disribuições a poseriori, assim como méodos para obenção das medidas a poseriori. O modelo proposo será comparado ao esimador não-paramérico de Bhaacharya e Samaniego (2010), melhor solução enconrada aé aqui para esimação da função de conabilidade de componenes de qualquer sisema coerene. 2.1 Modelo Weibull Em um sisema coerene com m componenes, sea X o empo de falha do -ésimo componene, com = 1,..., m. O empo de falha do sisema é denoado por T = h(x 1,..., X m ), em que h( ) é a

27 2.1 MODELO WEIBULL 9 função que relaciona o empo de falha do sisema aos empos de falha dos componenes e sua forma depende da esruura do sisema. Para um sisema em série, por exemplo, T = h(x 1,..., X m ) = minx 1,..., X m }. Sea δ a variável indicadora do componene cua falha causou a falha do sisema, em que δ = quando T = X, para = 1,..., m. A -ésima função de sub-conabilidade avaliada no empo é denida como a probabilidade do sisema viver por pelo menos e a falha do -ésimo componene produzir a falha do sisema, iso é, G () = Pr (T > ) (δ = ) }. Sea Q () = Pr (T ) (δ = ) } a -ésima função de sub-disribuição avaliada no empo, ou sea, a probabilidade do sisema viver aé e a falha do -ésimo componene produzir a falha do sisema. Denoamos por F () = Pr(X ) a função disribuição marginal do -ésimo componene avaliado no empo, e R () = 1 F () a função de conabilidade marginal, com = 1,..., m. O obeivo dese capíulo consise em esimar a disribuição marginal do empo de vida dos componenes quando informações dos ouros componenes não são disponíveis ou não são necessárias. Para ano, assumimos que X 1,..., X m são muuamene independenes. Essa suposição é necessária para eviar o problema de não idenicabilidade do modelo proposo. Quando o ineresse consise na esimação das disribuições marginais de cada componene de um sisema em série, Tsiais (1975) prova que sem a suposição de que os empos de vida dos componenes são muuamene independenes, o modelo é não idenicável: o conuno de funções de sub-conabilidade é consisene com uma innidade de funções de conabilidade marginais. O seguine eorema é uma exensão para sisemas coerenes. Teorema 1 Seam X 1,..., X m os empos de vida dos m componenes envolvidos em um sisema coerene. Sem a suposição de que X 1,..., X m são muuamene independenes, um conuno de funções de sub-conabilidade (funções de sub-disribuição) não idenica as correspondenes funções de conabilidade marginais (funções disribuição marginais) quando as informações dos ouros componenes não são disponíveis ou não são necessárias. Prova 1 A prova desse resulado é apresenado no Apêndice A. Uma amosra aleaória de n sisemas com a mesma esruura é considerada e são observados os empos de falha dos sisemas, denoados por 1,..., n, e o esado de cada componene no momeno da falha do sisema. Desa maneira, o empo de falha de um dado componene só é observado se sua falha causar a falha do sisema; caso conrário, seu empo de falha é censurado. Um componene de um sisema em série, ou é não censurado (responsável pela falha do sisema) ou é censurado à direia. Já um componene de um sisema em paralelo, ou é não censurado ou é censurado à esquerda. No caso mais geral, um componene pode ser suscepível aos dois ipos de censura. Considere a observação de um sisema 2-de-3 (Figura 2.2), em que o componene 1 falhou primeiro e o componene 3 falhou em seguida. No momeno da falha do componene 3, o sisema ambém falha. Iso é, o componene 3 é não censurado, o componene 1 é censurado à esquerda e o componene 2 é censurado à direia. Agora, considere a observação de ouro sisema 2-de-3, em que o componene 2 foi o primeiro a falhar (censurado à esquerda), o componene 1 falhou em segundo lugar (não censurado) e o componene 3 ainda não havia falhado (censurado à direia). Noe que um componene cua falha não causa a falha do sisema no empo, ou é censurado à direia (caso em que ainda pode coninuar a funcionar após ), ou é censurado para a esquerda (se falhou anes de ). Um ouro possível ipo de censura pode ocorrer: suponha que o empo de falha do sisema esea em um inervalo (l, u), em que l é o limie inferior observado e u é o limie superior. Por exemplo, as inspeções para observar se os sisemas esão funcionando são feias de hora em hora. Se um sisema falhou enre duas inspeções, o seu empo de falha será censurado do ipo inervalar e o componene cua falha levou o sisema a falhar é censurado por inervalos em (l, u). Para generalizar a noação para odos os casos de falha e censura do componene, considere a seguine noação: para a observação do sisema i, sea (l i, u i ) um inervalo de empo, em que l i = u i = i, se a falha do -ésimo componene causa a falha do i-ésimo sisema;

28 10 CONFIABILIDADE EM SISTEMAS COERENTES 2.1 l i = i e u i =, se o -ésimo componene é censurado à direia em i ; l i = 0 e u i = i, se o -ésimo componene é censurado à esquerda em i ; e 0 < l i < u i <, se o -ésimo componene é censurado com censura inervalar. Como exemplo, considere uma amosra aleaória de n = 10 sisemas com esruura 2-de-3. Os dados são apresenados na Tabela 2.1. Por exemplo, o sisema ID 2 falhou no empo 2,09 e o componene 2 foi o responsável pela falha do sisema (l 22 = 2,09 e u 22 = 2,09), o componene 1 falhou anes do empo 2,09 (l 12 = 0 e u 12 = 2,09) e o componene 3 é censurado à direia no empo 2,09 (l 32 = 2,09 e u 32 = ). Tabela 2.1: Dados observados de n = 10 sisemas 2-de-3. ID sisema Componene 1 Componene 2 Componene 3 l u l u l u 1 1,95 1,95 1,95 0 1, ,09 2,09 2,09 2,09 3 3,56 3,56 3,56 0 3,56 4 2,55 0 2,55 2,55 2,55 5 1,89 1,89 1,89 0 1,89 6 3,01 0 3,01 3,01 3,01 7 2,43 2,43 0 2,43 2, ,51 1,51 1,51 1,51 9 3,55 3,55 3,55 0 3, ,35 0 2,35 2,35 2,35 Desa maneira, D,obs = (l 1, u 1 ), (l 2, u 2 ),..., (l n, u n )} coném as informações dos empos de falha e censura da amosra de amanho n para o -ésimo componene. Vale ressalar que, em nossa abordagem, não é necessário conhecer a esruura do sisema. Se o ineresse for a esimação da função de conabilidade do -ésimo componene, a informação necessária de cada unidade amosral é o empo de falha do sisema e o esado do componene no momeno da falha do sisema. Para complear o ambiene eórico, seam f(x θ ) e R(x θ ) as funções densidade e de conabilidade do empo aé a falha do -ésimo componene condicional ao veor de parâmeros θ. Ao considerar a noação acima, a função de verossimilhança para θ pode ser escria como: L(θ D,obs ) = n i=1 [ ] I(li =u i )[ 1 I(li =u i ) f(l i θ ) R(l i θ ) R(u i θ )], (2.2) em que I(A) = 1, se A é verdade e I(A) = 0, caso conrário. A função de verossimilhança é geral, considerando qualquer ipo de censura (direia, esquerda ou inervalar) ou não censura. Iso é, a função de verossimilhança dada na Equação (2.2) pode ser uilizada para a derivação de esimadores paraméricos para as disribuições marginais dos componenes de sisemas coerenes. Qualquer família de disribuições pode ser considerada para a disribuição dos componenes. Assumimos que, condicional a θ = (ρ, η, µ ), X segue disribuição Weibull com 3 parâmeros, em que ρ é parâmero de forma (ρ > 0), η é parâmero de escala (η > 0) e µ é parâmero de posição (µ < ). Enão, sua função densidade é dada por: f( θ ) = ρ η ( µ ) ρ 1 exp[ η ( µ ) ρ ], > µ, (2.3) e a função de conabilidade é dada por: R( θ ) = exp[ η ( µ ) ρ ], > µ. (2.4)

29 2.1 MODELO WEIBULL 11 A disribuição Weibull em caracerísicas que fazem desa disribuição uma grande candidaa para modelar o empo de vida de sisemas e seus componenes. Uma delas é que, alerando o parâmero ρ, a disribuição oma uma variedade de formas e em imporanes disribuições como casos especiais. O valor do parâmero de forma ambém em um papel imporane na função de risco: as regiões ρ < 1, ρ = 1 e ρ > 1 correspondem à, respecivamene, monóona decrescene, consane e monóona crescene axas de falha (Rinne, 2008). A forma mais uilizada da disribuição Weibull é sua versão com 2 parâmeros, ou sea, com µ = 0. No enano, o parâmero de posição, que represena o empo de vida mínimo, em um imporane signicado em aplicações na área de conabilidade e na análise de sobrevivência. Na conabilidade, um componene em observação pode não ser novo, ou sea, pode er sido usado em um momeno anerior e o início da observação não é necessariamene o início do empo de vida do componene. Na medicina, um paciene pode er a doença anes da visia médica. Não levar em cona o empo mínimo pode subesimar a função de conabilidade (vide Figura 2.3) e em siuações que o componene é novo, µ pode ser 0. 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 R( θ) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, µ=0 µ=2 Figura 2.3: Funções de conabilidade da disribuição Weibull ao considerar ρ = 2,5, η = 0,015, com θ = (ρ, η, µ). A esimação nese rabalho é realizada sob a perspeciva Bayesiana de inferência e, assim, a disribuição a priori para θ = (ρ, η, µ ) precisa ser denida. Há siuações em que informações sobre o funcionameno do componene por meio da opinião de especialisas e/ou por meio de experiências passadas podem ser expressas nas disribuições a priori. Como eliciar informações sobre os parâmeros de forma, escala e posição não é ão rivial, uma saída é reparamerizar a densidade em função da média e variância de X, uma vez que é mais direo ober informação do especialisa sobre esas quanidades. Em siuações de ausência de informações a priori sobre os parâmeros, prioris não informaivas podem ser consideradas. Nese rabalho, assumimos independência a priori enre ρ, η e µ e consideramos ρ Gama(a 0, b 0 ), η Gama(a 1, b 1 ) e µ Gama(a 2, b 2 ), com a l = b l = 1,

30 12 CONFIABILIDADE EM SISTEMAS COERENTES 2.2 para l = 0, 1, 2, e os parâmeros ρ, η e µ em, a priori, média 1 e variância 1000, o que raz pouca informação sobre os parâmeros. A uilização de prioris não informaivas pode implicar em prioris impróprias (sua inegral não é nia) e uma possível consequência são disribuições a poseriori ambém impróprias. Uma imporane propriedade obida para o modelo Weibull é o fao de que as disribuições a poseriori são próprias mesmo quando as prioris que perencem a uma classe de disribuições impróprias, conforme apresenado em Rodrigues e al. (2018). Podemos escrever a função densidade conuna a priori do veor de parâmeros θ = (ρ, η, µ ) como π(θ ) ρ a 0 1 exp b 0 ρ }η a 1 1 exp b 1 η }µ a 2 1 exp b 2 µ }. (2.5) A disribuição a poseriori obida ao combinar (2.2) e (2.5) é dada por: π(θ D,obs ) ρ a 0 1 n i=1 exp b 0 ρ }η a 1 1 exp b 1 η }µ a 2 1 exp b 2 µ } ρ η (l i µ ) ρ 1 exp[ η (l i µ ) ρ ]} I(li =u i ) exp[ η (l i µ ) ρ ] exp[ η (u i µ ) ρ ]} 1 I(li =u i ). (2.6) A disribuição a poseriori em (2.6) não possui forma fechada e a esimação dos parâmeros é feia por meio de amosras simuladas da disribuição a poseriori obidas por algorimos MCMC (Mone Carlo Markov Chain). Consideramos o algorimo Meropolis Adapaivo com disribuição normal mulivariada como proposa (Haario e al., 2005), por meio do pacoe LaplacesDemon (Hall, 2012) no sofware R (R Core Team, 2017). Na ieração q+1 dese algorimo, o veor de média é igual aos valores gerados dos parâmeros na ieração imediaamene anerior e a mariz de covariâncias é calculada com base nos valores simulados θ (1), θ (2),..., θ (q), muliplicada por um faor de escala que é modicado a cada 100 ierações com o inuio de conrolar a axa de reeição do algorimo. Como resulado, uma amosra de amanho n p da disribuição a poseriori de θ é obida, denoada pelo veor (θ (1), θ (2),..., θ (np) ). Desa maneira, quanidades a poseriori de θ podem ser obidas. A média a poseiori de θ, E[θ D,obs ], por exemplo, pode ser aproximada por 1 n p n p q=1 θ (q). (2.7) A função de conabilidade é uma função de θ e, desa forma, qualquer medida a poseriori de R( θ ) pode ser obida. A média a poseriori da função de conabilidade do -ésimo componene, por exemplo, é aproximada por: 1 n p n p q=1 R ( θ (q) ), para odo > 0, (2.8) em que R( θ (q) ) é a função de conabilidade em (2.4) condicionada em θ (q), para q = 1,..., n p e = 1,..., m. Ouras quanidades funções de θ podem ser esimadas de maneira análoga. O empo esperado de uma variável que segue disribuição Weibull é E(X θ ) = µ +(1/η 1/ρ )Γ(1+(1/ρ )) e a média a poseriori do empo esperado aé a falha do -ésimo componene, por exemplo, é aproximada por: n p ( )} 1 µ (q) + η (q) 1/ρ (q) Γ n p q=1 ρ (q).