Física Geral I - F Aula 11 Cinemática e Dinâmica das Rotações. 2 0 semestre, 2010

Transcrição

1 Físca Geal I - F -8 Aula Cneáca e Dnâca das Roações seese,

2 Moveno de u copo ígdo Vaos abandona o odelo de paícula: passaos a leva e cona as densões do copo, noduzndo o conceo de copo ígdo (CR): é aquele e que a dsânca ene quasque dos de seus ponos é consane. Sendo e j dos ponos quasque de u CR: c j j c j : consane caaceísca do pa (, j) O po as geal de oveno de u CR é ua cobnação de ua anslação co ua oação. Nese capíulo consdeaeos apenas o caso de oação de u CR e ono de u exo fxo, coo é o caso do oveno de oldanas, ooes, CDs, ec. Exclueos, po exeplo, ovenos coo o do Sol (não ígdo) ou o de ua bola de bolche, cuja oação se dá e ono de u exo que não é fxo (olaeno).

3 Roação de u copo ígdo Queeos esuda a oação de u copo ígdo e ono de u exo fxo. O exo fxo é denonado exo de oação. z Po convenênca, vaos oa o exo de oação (fxo) coo sendo o exo z. O exo de oação não pecsa se u dos exos de sea do copo. x y É convenene escolhe ua lnha de efeênca (abáa) pesa ao copo, pependcula ao exo z, paa defn as vaáves angulaes e elação a ela.

4 a) Posção angula Vaáves oaconas A posção da lnha de efeênca (fxa ao copo) defne o ângulo de oação do copo ígdo e ono do exo. é a posção angula do copo ígdo. O sendo da oação é dado pela ega da ão dea. z posvo negavo

5 Vaáves oaconas Cada pono do copo ígdo execua u oveno ccula de ao e ono do exo. dsânca pecoda pelo pono: s ( e adanos) b) Deslocaeno angula x z s s y O deslocaeno angula é defndo coo: Esa vaável e ódulo ( ), deção e sendo ( ẑ ) a ela assocados. Veo ẑ? x z y

6 Vaáves oaconas Não podeos assoca u veo a ua oação, pos veoes deve obedece às egas da soa veoal, o que não aconece co as oações. Po exeplo, a soa veoal é couava ( A B B A ), as duas oações sucessvas feas e odens dfeenes dão esulados dfeenes! O exeplo ao lado osa duas oações sucessvas de π / e ono dos exos x e y nas duas odens possíves: o esulado fnal depende da ode! xˆ yˆ yˆ xˆ Enão: ẑ não é u veo! (a enos que os ângulos de oação seja nfnesas).

7 c) Velocdade angula Deslocaeno angula: ( ) ( ) ( ) Vaáves oaconas zˆ nˆ Velocdade angula (escala) éda Velocdade angula nsanânea (veo) l nˆ d d Deslocaeno angula e ono de nˆ : nˆ x () ( ) () A velocdade angula é ua caaceísca do copo coo u odo e não soene de u pono pacula nele suado. ( ) ( ) ( ) d y

8 Exeplo Cálculo da velocdade angula da Tea e ono do seu exo. A Tea coplea ua evolução a cada 3h56n (da sdeal). O ódulo da sua velocdade angula é π ad 6, 8 ad 5 ad 7, 3 da 866 s s e a sua deção apona paa o noe ao longo do exo de oação, cujo peíodo de pecessão é de apoxadaene 6. anos (analsaeos a quesão da pecessão as ade).

9 Vaáves oaconas c) Aceleação angula Vaação da velocdade angula ( ) ( ) Aceleação angula éda α d Aceleação angula nsanânea α l A aceleação angula nsanânea é u veo paalelo a d quando o exo de oação é fxo! Velocdade angula e função de α na deção fxa ( nˆ ): ' ( ) ( ) ( ) α d ' ( ) ( ) α ( ) d ' '

10 Cneáca angula Moveno ccula unfoeene aceleado Dadas as condções ncas: Teos, paa α consane: Copaando co as vaáves do oveno lnea: E capíulo aneo já esudaos o oveno ccula unfoe. Vaos esuda agoa o ) ( e () e ) ( ) ( ; ) ( α α α ) ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( a v x α

11 Exeplo Pão sujeo à aceleação angula Calcula () e (). α 3 ( ) a b Paâeos: a 5 ad/s e b 4 ad/s 5 3 Condções ncas: () 5 ad/s e ϕ () ad ( ) () ( a 4 a 4 3 b ) d 4 ( ) () () a b d () 4 b 5 a 3 b 6 Usando os valoes nuécos: 4 ( ) 5 5 (ad/s) ϕ ( ) 5 (ad) 4 3

12 Relação co as vaáves lneaes Posção s Velocdade z v v ds d v d d é angene à ajeóa no pono consdeado x s y v v E ódulo: (pos nese caso)

13 Relação co as vaáves lneaes Aceleação a a dv d ( ) d d d d d d a N a α v α a vˆ N ( ) (e ódulo: ) ˆ vˆ é o veo unáo angene à ajeóa; ˆ é o veo unáo na deção que va do exo de oação aé a paícula (veso da deção adal) a α xˆ α zˆ (e ódulo: a N ) s a N a v yˆ

14 Exeplo 3 Velocdade e aceleação de u pono na supefíce da Tea a ua dada laude (apoxação de esfea pefea). 6 5 R 6, 4 e 7, ad / s v R Rsen vˆ 47 sen / s vˆ Coo a aceleação angula é nula: a α v ˆ A aceleação cenípea é a N ( ) ˆ 3,4 sen / s ˆ R sen Noa: A a le de Newon, paa se coea quando esca e u efeencal aceleado (não necal) co aceleação a pecsa se cogda coo: F F a, onde F a ˆ a N R v

15 Peso apaene de u copo de assa M Na deção yˆ : ( a 3, 4 sn /s ) N N Mg Ma sn 3, 4 M sn /s N ou N Mg 3, 4 M sn /s O peso apaene dnu à edda que nos apoxaos do Equado Foça de ao e u copo de assa M a N R F a Mg N xˆ yˆ Na deção xˆ : F Ma cos 3, 4 M sn cos /s a N A foça de ao esáco que ané u objeo paado na supefíce da Tea é áxa a 45 gaus e apona paa o noe no hesféo noe e paa o sul no hesféo sul.

16 Ass, qualque copo sobe o qual não aua nenhua foça hozonal (co espeo à supefíce da Tea) se desloca na deção do Equado (sul no hesféo noe e noe no hesféo sul)! desvo dnuo de laude dos copos e queda lve na deção do Equado. achaaeno dos pólos ocoe pelo eso efeo e eduz o desvo enconado (apaece ua pequena foça hozonal) Mg N

17 Enega Cnéca de oação A enega cnéca de u copo e oação é a soa: K v v No copo e oação, odos os ponos, exceo os adas, ê esa velocdade angula. Enão: K v ( )... A gandeza ene paêneses é defnda coo o oeno de néca I do copo e elação ao exo de oação. Iso é: ou: I K I ( n v n ) (enega cnéca de oação) v

18 Cálculo do oeno de néca No caso de paículas punfoes, vos: I No caso de ua dsbução conínua de assa: I d, d onde d é ua assa nfnesal, que pode se a de u fo, a de ua supefíce ou a de u volue: d λ dl : e u fo σ ds: e ua supefíce ρ dv: e u volue λ σ ρ : densdade lnea de assa : densdade supefcal de assa : densdade voluéca de assa

19 Cálculos de oeno de néca Exeplos: a) Anel de ao R e assa M unfoeene dsbuída λ M π R d M R d π R M d R dl Rd π M I R d R d π MR b) Dsco de ao R e assa M (de) M M σ d σ da π d π R π R I R d M R d M R 4 4 R MR d da π d d R

20 De fao: h Mas: O eoea dos exos paalelos Se conheceos o oeno de néca I CM de u copo e elação a u exo que passa pelo seu ceno de assa, podeos faclene deena I O do copo e elação a u exo paalelo que passa po O. ( h) ( h) h h h ( ) h Enão: I O I CM Mh o h CM d (eoea dos exos paalelos)

21 Alguns oenos de néca

22 Toque e a Le de Newon da oação Vaos obe a elação ene as foças que aua sobe u copo e oação (co exo fxo) e sua aceleação angula. Noaos que apenas as foças que ê ua coponene oogonal ano ao exo coo à deção adal pode coloca u copo e oação. Decopoos a foça F que aua sobe ua paícula de assa do copo ígdo nas deções angencal F ( ) e adal F ( ) : F F F F ( ˆ F( ) F ) v a ( ) α α ( ) ˆ vˆ ˆ Povoca a aceleação angula Não alea a velocdade angula (é ua foça cenípea). xˆ α zˆ s a N a v yˆ

23 Toque e a Le de Newon da oação No plano pependcula ao exo de oação: F F snϕ α ( ) F snϕ Veoalene: α F F Defnção: é o oque da foça exena F sobe a -ésa paícula do copo ígdo ( veo sando do plano do desenho) No caso e que váas foças age sobe a paícula, o oque oal é: ( ) α Iα Fnalene: τ τ es τ τ es Iα α τ τ F F ( ) (.a le de Newon da oação) F ( ) ϕ

24 Exeplo 4 Máquna de Awood co ua pola co assa Massa F y g T a () Massa F y T g a () τ MR T R a R T R Iα MRa T T Pola Ma (3) Enão, esolvendo (), () e (3): a M g

25 O abalho no deslocaeno angula Seja ua foça exena F aplcada a ua paícula no pono P. O abalho nfnesal nu deslocaeno ds d é: dw F ds ( F senϕ ) d τ d ( F senϕ é a coponene angencal de F ; a coponene adal não abalha). Enão: Coo : d W Iα d I d d W τ d W τ d f I τ Iα d I f I K ds (eoea do abalho-enega cnéca na oação) F ϕ

26 Tabalho e poênca no deslocaeno angula Usando a defnção do oeno de néca: W I I ρ ρ f k k kf k k k k k v v K k k kf k k k que é o eoea do abalho-enega e sua foa usual. Poênca: é a axa co que se ealza abalho: P W dw τ d τ W Copae co P F v

27 Exeplo 5 Tabalho e ua áquna de Awood Se os copos pae do epouso ( ): Velocdade angula: g M a v v f / g M R R v f f / f f f ssea I v v K / ) ( g M Esa vaação da enega cnéca é gual ao abalho das foças peso no ssea (vefca). T T g g v

28 Equações dos ovenos lnea e oaconal Moveno lnea velocdade lnea aceleação lnea foça esulane a consane abalho enega cnéca poênca W P dx v d dv α d F a v v a x x v a v v a( x x ) x x f Fdx K F v v Moveno de oação (exo fxo) velocdade angula aceleação angula oque esulane α consane abalho α W enega cnéca poênca P α α ( ) f τ d τ α K τ d d d d I assa Moeno de néca I I α