Notas de Aula de Física

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1 Vesão pelmna 4 de setembo de Notas de Aula de Físca. OTAÇÃO... AS VAÁVES DA OTAÇÃO... Posção angula... Deslocamento angula... Velocdade angula... 3 Aceleação angula... 3 OTAÇÃO COM ACELEAÇÃO ANGULA CONSTANTE... 3 AS VAÁVES LNEAES E ANGULAES... 4 A posção... 4 A velocdade escala... 4 A aceleação... 4 ENEGA CNÉTCA DE OTAÇÃO... 5 MOMENTO DE NÉCA... 5 Teoema dos exos paalelos... 6 Alguns exemplos de cálculo de momento de néca... 7 TOQUE... A SEGUNDA LE DE NEWTON PAA A OTAÇÃO... TABALHO, POTÊNCA, E O TEOEMA DO TABALHO - ENEGA CNÉTCA... SOLUÇÃO DE ALGUNS POBLEMAS

2 Pof. omeo Tavaes da Slva. otação A cnemátca dos copos ígdos tata dos movmentos de tanslação e otação. No movmento de tanslação pua todas as pates de um copo sofem o mesmo deslocamento lnea. Po outo lado, no movmento de otação pua as pates de um copo descevem tajetóas cculaes cujos centos stuam-se sobe uma mesma eta - chamada de exo de otação. No movmento de otação pua todas as pates de um copo sofem o mesmo deslocamento angula. O movmento que se apoxma mas de uma stuação eal é aquele que ncopoa tanto a tanslação quanto a otação. As vaáves da otação À semelhança do movmento de tanslação, paa a análse da otação utlzamos de paâmetos equvalentes a aqueles defndos anteomente. Posção angula Quando um objeto de um fomato abtáo, tem uma tajetóa ccula em tono de um ceto exo, podemos defn algumas gandezas que desceveão esse movmento. Podemos maca um dado ponto do objeto e analsa o seu movmento. A dstânca deste ponto ao exo de otação é chamado de ao da tajetóa. A sua tajetóa desceve um aco de compmento s. A posção angula assocada ao aco e o ao é o ângulo. s s s Deslocamento angula Quando um copo está em otação, ele está vaando a sua posção angula de modo que num dado momento ela é defnda pelo ângulo e num nstante posteo é defnda pelo ângulo, de modo que o deslocamento angula ente os nstantes consdeados é: - Cap omeo@fsca.ufpb.b

3 Pof. omeo Tavaes da Slva Velocdade angula A velocdade angula é a taxa com que a posção angula está vaando; é a azão ente o deslocamento angula e o tempo necessáo paa faze esse deslocamento. Defnmos a velocdade angula méda como: t t t Defnmos a velocdade angula nstantânea como: Lm t t d dt Aceleação angula Quando a velocdade angula de um copo não é constante mas vaa no tempo com uma ceta taxa, esse copo teá uma aceleação angula. Defnmos a aceleação angula méda como: α t t t Defnmos a aceleação angula nstantânea como: α Lm t t d dt otação com aceleação angula constante À semelhança do movmento de tanslação com aceleação constante, as equações paa otação são obtdas ntegando-se a equação de movmento: α d dt cons tante e também: ou seja: d + α dt + αt ( ) d d + dt + ( + αt) dt dt α t + dt + α dt + t + ( ) Cap omeo@fsca.ufpb.b 3

4 Pof. omeo Tavaes da Slva A velocdade angula méda fo defnda de modo que: + t t mas quando estamos analsando o movmento com aceleação constante, também podemos defn a velocdade angula méda como: + e usando essa equação na anteo, temos que: ou seja: + + t ( ) + + α + α ( 3 ) As vaáves lneaes e angulaes A posção Ao analsamos o movmento de otação de um objeto o paâmeto que desceve o deslocamento espacal é s A velocdade escala Quando obsevamos os copos ígdos, a otação se faz com ao constante, ou seja: cada ponto obsevado mantém uma dstânca constante ao exo de otação. Desse modo: ds d v v dt dt onde v é a velocdade lnea de um ceto ponto do copo e é a velocdade angula desse ponto consdeado. Na ealdade, é a velocdade angula do copo po nteo. A aceleação De manea equvalente, a aceleação de uma dado ponto de um copo é defnda como: dv d a a α dt dt Cap omeo@fsca.ufpb.b 4

5 Pof. omeo Tavaes da Slva Essa aceleação é também conhecda como aceleação tangencal, pos dá conta da vaação do módulo da velocdade. Como a velocdade é tangencal à cuva, paa que o seu módulo vae é necessáo uma aceleação nesta deção. Com a defnção dessa aceleação, temos agoa dos tpos de aceleação no movmento ccula: a aceleação tangencal e a aceleação adal (ou centípeta), ou seja:!! a a T! + a onde a a T v α Enega cnétca de otação Vamos consdea um conjunto de N patículas, cada uma com massa m e velocdade v! gando em tono de um mesmo exo do qual dstam. A enega cnétca deste sstema é: K ( ) mv m N N N m onde é a dstânca de cada patícula ao exo, a velocdade angula das patículas em tono do exo consdeado e defnmos o momento de néca do conjunto de patículas como: N Vamos usa a defnção de momento néca pncpalmente paa calcula a enega cnétca de otação de copos ígdos. Quando uma oda está gando em tono do seu exo, as dvesas pates da oda se movem com velocdade dfeentes, mas todas as suas pates têm a mesma velocdade angula. Daí a mpotânca da defnção do momento de néca paa computa a enega cnétca assocada ao movmento de otação de um sstema de patículas ou um copo ígdo. m Momento de néca Se dvdmos um copo ígdo em pequenas pates, cada pate com uma massa m, podemos em tese calcula o momento de néca deste copo usando a equação anteomente apesentada paa um sstema de patículas: N m Se aumentamos essa subdvsão de modo que aqueles elementos de massa m se tansfomem em gandezas dfeencas dm, podeemos dentfca como: N Lm m m dm Cap omeo@fsca.ufpb.b 5

6 Pof. omeo Tavaes da Slva onde essa é uma ntegal smbólca que sgnfca a ntegação sobe todo o volume do copo ígdo consdeado, seja ele de uma, duas ou tês dmensões. Teoema dos exos paalelos Se conhecemos o momento de néca de um copo em elação a um exo qualque que passe po seu cento de massa, podemos nfe o momento de néca desse copo em elação a qualque exo paalelo ao pmeo exo consdeado. Se a dstânca ente os dos exos fo H, a massa do copo fo M e CM fo o seu momento de néca em elação a um exo que passa pelo cento de massa, teemos o momento de néca menconado: CM + M H Paa demonsta essa equação vamos consdea um copo de um fomato qualque, como no desenho a segu. O momento de néca em elação ao exo pependcula ao papel, que cuza com a ogem do efeencal (xy) e que passa pelo cento de massa é CM CM dm onde dm é um elemento de massa (epesentado pelo pequeno cículo) localzado pelo veto posção!. y y'!!! + H! x ˆ + jy ˆ! H a ˆ + jb ˆ! ˆ x a + jˆ y b ( ) ( )!! x' x H! Paa calcula o outo momento de néca vamos consdea um segundo efeencal (x'y') e um segundo exo que passe pela ogem desse efeencal e seja pependcula ao papel. O momento de néca em elação a esse segundo exo é: [( x a) + ( y b) ] dm ( x + y ) + ( a + b ) ( ax by ) dm + dm [ ] Mas ( x y ) dm dm + CM Cap omeo@fsca.ufpb.b 6

7 Pof. omeo Tavaes da Slva ( a b ) dm H dm MH + ax dm a x dm a X M CM by dm b y dm by M CM onde nas duas últmas equações utlzamos a pemssa ncal que o cento de massa sea escolhdo como ogem do efeencal, e desse modo X CM Y CM. Coletando os esultados das últmas equações, encontamos que: CM + M H Alguns exemplos de cálculo de momento de néca a. Momento de néca de um bastão fno de massa M e compmento L em elação a um exo pependcula ao bastão e que passa po seu cento de massa. dm Vamos consdea a fata dx, dstante x da ogem, que contém uma massa dm. Podemos usa a popoção: dm M dx L M dm dx L dx -L/ L/ x x + L / L / + L / + L / 3 M M x ML x dm x dx L L / L 3 L / b. Momento de néca de um anel de ao e massa M, em elação a um exo que passa pelo cento, pependcula ao plano do anel. dm Vamos consdea o pedaço de anel lmtado pelo ângulo d, que contém uma Vamos consdea o pedaço de anel lmtado pelo ângulo d, que faz um ângulo com a hozontal e que contém uma massa dm. Podemos usa a popoção: d Anel de ao dm M d π M dm d π Cap omeo@fsca.ufpb.b 7

8 Pof. omeo Tavaes da Slva M π M π π π dm d d c. Momento de néca de um anel de ao e massa M, em elação a um exo que passa po um dâmeto qualque. M dm A dstânca de um elemento de massa dm ao exo é: cos O elemento de massa dm e o ângulo d que lmta essa massa se elaconam como: d dm M d π M dm d π Anel de ao Mas ou seja cos dm π M ( cos ) d π M π π cos d π π + cos M d + cos d π π M π sen M M + {} π π π d. Momento de néca de um clndo anula em tono do exo cental. O clndo tem ao nteno, ao exteno, compmento L e massa M. dm Vamos consdea uma casca clíndca de ao, espessua d e compmento L.. O volume dv dessa casca é dv (π L) d A massa dm contda nessa casca é: logo dm ρ dv dm π L ρ d Cap omeo@fsca.ufpb.b 8

9 Pof. omeo Tavaes da Slva dm [ πlρ d ] πρl 4 3 d πρl 4 4 Mas então V π L ( ) ρ ( ) M V M π L ( ) 4 4 M M π L + π L ( ) e. Momento de néca de um clndo sóldo de massa M, ao a e compmento L em elação ao dâmeto cental z z dm Exo Exo dm z M M dm ρ dv dv dv V π a L O elemento de massa dm está lmtado pelo ângulo d e dsta do exo, que no desenho está na hozontal. z Exo L a + / L / dv ' + z π ' sen + ( d )( d )( dz) ( ' z )[ ρ( d d dz) ] ' z ' π ρ d d a + L / L / π a + L / π a + L / 3 ( sen + z ) dz ρ sen d d dz + ρ d d Cap omeo@fsca.ufpb.b 9 L / z L / dz

10 Pof. omeo Tavaes da Slva Mas logo ou seja: π sen cos sen π π d d + cos d π sen a a L ρπla ρ ( π ) () L + ρ( π ) a L Ma ML ρπa L π ρπa L 3 π Toque Defne-se o toque! τ poduzdo pela foça F! quando ela atua sobe uma patícula como sendo o poduto vetoal dessa foça pelo veto posção da patícula:!! F!! τ F M Se no exemplo da fgua ao lado defnmos o plano da folha de papel com sendo x - y o toque estaá ao longo do exo z! e seá um veto sando da folha o Convenção paa smbolza um veto sando pependcula à folha. Convenção paa smbolza um veto entando pependcula à folha. y Nesse exemplo ao lado, em patcula, o esultado do poduto vetoal é F! onde!!! τ F kˆ sen ( F )! F F τ F sen F Podemos pecebe que apenas a componente F da foça F! é quem contbu paa o toque. x Cap omeo@fsca.ufpb.b

11 Pof. omeo Tavaes da Slva Podemos vsualza o esultado do poduto vetoal de uma manea equvalente à anteo, ou seja:!!! τ F kˆ sen ( F ) y F! onde τ F sen F baço de alavanca lnha de ação! x A segunda Le de Neton paa a otação A segunda Le de Neton toma uma foma pecula quando aplcada aos movmentos que envolvem otação. Se fzemos a decomposção da foça aplcada a uma patícula segundo as suas componentes pependcula e paalela ao veto posção dessa patícula, teemos:!! F m a e F m a F m a Mas, quando consdeamos o toque assocado a essa foça, temos: e o toque toma a foma: τ F m a m ( α ) ( m ) α τ α onde é o momento de néca da patícula consdeada. Se tvemos N patículas gando em tono de um exo cada uma delas sob a ação de uma foça, teemos um toque assocado à essa foça, onde: Mas! τ N τ N!! F τ Σ F Σ m a Σ m ( α ) Σ ( m ) α τ α Cap omeo@fsca.ufpb.b

12 Pof. omeo Tavaes da Slva Tabalho, potênca, e o teoema do tabalho - enega cnétca Paa calcula o tabalho elementa dw executado po uma foça F! temos que:!! dw F d F d F d Mas e ou seja: W f dw τ d W f f τ d d τ α dt d d τ d d dt dt f f τ d d f ( d) d W f f! d K f d! K F! Paa calcula a potênca P assocada à atuação da foça F!, devemos consdea que: dw τ d e também que: dw d P τ P τ dt dt Cap omeo@fsca.ufpb.b

13 Pof. omeo Tavaes da Slva Solução de alguns poblemas Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção Duante um ntevalo de tempo t, a tubna de um geado ga um ângulo a t + b t 3 - c t 4, onde a, b e c são constantes. a) Detemne a expessão paa sua velocdade angula. d a + dt 3 3bt 4ct b) Detemne a expessão paa sua aceleação angula. α d dt 6bt ct Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção Uma oda tem oto aos de 3cm. Está montada sobe um exo fxo e ga a,5ev/s. Você petende ata uma flecha de cm de compmento atavés da oda, paalelamente ao exo, sem que a flecha colda com qualque ao. Suponha que tanto a flecha quanto os aos são muto fnos. a) Qual a velocdade mínma que a flecha deve te? 3cm,3m,5ev/s,5. πad/s L cm,m A flecha va atavessa a oda usando as "fatas" de vazo ente dos aos. A dstânca angula ente dos aos é de π/8 adanos. Quando a oda ga, os aos se movem e depos de um ceto tempo t um ao passa a ocupa a posção do ao adjacente. Nesse tempo, cada ao "vae" totalmente o espaço ente a sua posção ncal e a posção do ao adjacente e nesse movmento se desloca de π/8 adanos. É pecsamente esse tempo que dspõe a flecha paa atavessa a oda. t t A flecha tem compmento L, e dspõe de um tempo t paa atavessa a oda, logo: L L L vt v 4,m/s t Cap omeo@fsca.ufpb.b 3

14 Pof. omeo Tavaes da Slva b) A localzação do ponto em que você ma, ente o exo e a boda, tem mpotânca? Em caso afmatvo, qual a melho localzação? Não tem mpotânca a dstânca do exo onde se ma, pos sempe teemos dsponível o mesmo ângulo. Se peto da boda dspomos de um espaço lnea mao, mas a velocdade lnea da oda também é mao. Se mamos peto do exo teemos um espaço lnea meno, mas a velocdade lnea da oda também é meno. Em suma, a velocdade angula é a mesma paa todos os pontos. Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção Um pato de toca-dscos, odando a 33 /3 ev/mn, dmnu e páa 3s após o moto se deslgado. a) Detemne a sua aceleação angula (unfome) em ev/mn. 33,33ev/mn t 3s,5mn + α t α -66,66ev/mn t t b) Quantas evoluções o moto ealza neste ntevalo? αt t + 8,33ev Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção 3 Um dsco ga em tono de um exo fxo, patndo do epouso, com aceleação angula constante, até alcança a otação de ev/s. Depos de completa 6 evoluções, a sua velocdade angula é de 5ev/s. ev/s 6ev 5ev/s a) Calcule a aceleação angula. + α α,ev/s b) Calcule o tempo necessáo paa completa as 6 evoluções. + αt t 4,8s α Cap omeo@fsca.ufpb.b 4

15 Pof. omeo Tavaes da Slva c) Calcule o tempo necessáo paa alcança a otação de ev/s. + αt t 9,6s α d) Calcule o númeo de evoluções desde o epouso até a velocdade de ev/s. + α 48,7ev α Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção 34 Uma ceta moeda de massa M é colocada a uma dstânca do cento de um pato de um toca dscos. O coefcente de atto estátco é µ E. A velocdade angula do toca dscos va aumentando lentamente até, quando, neste nstante, a moeda escoega paa foa do pato. Detemne em função das gandezas M,, g e µ E.!!!! F a + P + N ma P F N a ma F a µ E N µ E m g a µ E g Mas v ( ) ma m m m ou seja: a µ E g F! a N! P! µ E g Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção 4 Um cao pate do epouso e pecoe uma tajetóa ccula de 3m de ao. Sua velocdade aumenta na azão constante de,5m/s. a) Qual o módulo da sua aceleação lnea esultante, depos de 5s?!! a a T! + a onde a a T v v! α a! a! T Cap omeo@fsca.ufpb.b 5

16 Pof. omeo Tavaes da Slva a a α α 6 T T ( + αt),66ad / s a,875m/s a T,5m/s t 5s 3m a a + a T,94m/s b) Que ângulo o veto aceleação esultante faz com o veto velocdade do cao nesse nstante? a tan 3,75 at a! 75,6 Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção 4 Quato polas estão conectadas po duas coeas confome mostado na fgua a segu. A pola A ( A 5cm ) é a pola motz e ga a ad/s. A pola B ( B cm ) está conectada à A pela coea. A pola B' ( B' 5cm ) é concêntca à B e está gdamente lgada à ela. A pola C ( C 5cm ) está conectada à pola B' pela coea. a) Calcule a velocdade lnea de um ponto na coea. A ad/s A 5cm,5m B cm,m B' 5cm,5m C 5cm,5m v A A A.,5,5 m/s B Coea Pola B B' A Pola A b) Calcule a velocdade angula da pola B. Coea Pola C v A v B B B v A A B A 5ad/s B B C c) Calcule a velocdade angula da pola B'. B' B 5ad/s Cap omeo@fsca.ufpb.b 6

17 Pof. omeo Tavaes da Slva d) Calcule a velocdade lnea de um ponto na coea. v B' B' B' B B' 5.,5,75m/s e) Calcule a velocdade angula da pola C. v v B' B B' B' C C C C 3ad/s v C C Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção 5 Duas patículas de massa m cada uma, estão lgadas ente s e a um exo de otação em O, po dos bastões delgados de compmento L e massa M cada um, confome mostado na fgua a segu. O conjunto ga em tono do exo de otação com velocdade angula. a) Detemne algebcamente a expessão paa o momento de néca do conjunto em elação a O. Já fo calculado anteomente que o momento de néca de um bastão fno de massa M e compmento L em elação a um exo pependcula ao bastão e que passa po seu cento de massa, vale ML /. L m Po outo lado, o teoema dos exos paalelos dz que: se a dstânca ente os dos exos fo H, a massa do copo Exo (pependcula à folha ) fo M e CM fo o seu momento de néca em elação a um exo que passa pelo cento de massa, teemos o momento de néca menconado: CM + M H Vamos calcula o momento de néca de cada componente desse conjunto: Momento de néca da patícula mas afastada. M ( L ) 4 m L Momento de néca do bastão mas afastado. A dstânca do cento de massa desse bastão até o exo vale 3L/, logo: L m ML 3L + M 8 ML 3 Momento de néca da patícula mas póxma. 3 M ( L ) m L Cap omeo@fsca.ufpb.b 7

18 Pof. omeo Tavaes da Slva 4 Momento de néca do bastão mas póxmo. A dstânca do cento de massa desse bastão até o exo vale L/, logo: Fnalmente: ML L 4 + M 4 ML mL ML ml ML mL ML b) Detemne algebcamente a expessão paa a enega cnétca de otação do conjunto em elação a O. K 5 4 m + M L 3 Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção 73 Numa máquna de Atood, um bloco tem massa 5g e o outo 46g. A pola, que está montada sobe um supote hozontal sem atto, tem um ao de 5cm. Quando ela é solta, o bloco mas pesado ca 75cm em 5s. A coda não deslza na pola. a) Qual a aceleação de cada bloco? m 5g,5kg m 46g,46kg 5cm,5m v h 75cm,75m t 5s at h h v t + a,6m/s t F! F! b) Qual a tensão na coda que supota o bloco mas pesado?!!! p + T ma p T ma T! m p! T! T p - m a m (g - a) 4,87N c) Qual a tensão na coda que supota o bloco mas leve? p! m!!! p + T ma T p ma T p + m a m (g + a) 4,93N Cap omeo@fsca.ufpb.b 8

19 Pof. omeo Tavaes da Slva d) Qual a aceleação angula da pola? a a α α,ad/s e) Qual o seu momento de néca? τ α F - F α ( T T ),4kg.m α Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção 74 A fgua a segu mosta dos blocos de massa m suspensos nas extemdades de uma haste ígda, de peso despezível, de compmento L L + L, com L cm e L 8cm. A haste é mantda na posção hozontal e então solta. Calcule a aceleação dos dos blocos quando eles começam a se move. L cm,m L 8cm,8m τ α L L F! C Mas m g L - m g L α F! E F! D + ml ml Logo mg L L α L L 8,64ad/s + ( L L ) m ( L + L ) g α a a α L + α L,7m / s + 6,9m / s Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção 75 Dos blocos dêntcos, de massa M cada uma, estão lgados po uma coda de massa despezível, que passa po uma pola de ao e de momento de néca. A coda não deslza sobe a pola; desconhece-se exst ou não atto ente o bloco e a mesa; não há atto no exo da pola. Quando esse sstema é lbeado, a pola ga de um ângulo num tempo t, e a aceleação dos blocos é constante Cap omeo@fsca.ufpb.b 9

20 a) Qual a aceleação angula da pola? Pof. omeo Tavaes da Slva α t t + α t b) Qual a aceleação dos dos blocos? N! M T! F!, a α t F! c) Quas as tensões na pate supeo e nfeo da coda? Todas essas espostas devem se expessas em função de M,,,, g e t.!!! P T m a P F ma + P! T! M F P m a F m ( g a) P! F m g t α τ α F F α F F mg m + t F Capítulo - Hallday, esnck e Walke - 4 a. edção 8 Um bastão fno de compmento L e massa m está suspenso lvemente po uma de suas extemdades. Ele é puxado latealmente paa oscla como um pêndulo, passando pela posção mas baxa com uma velocdade angula. a) Calcule a sua enega cnétca ao passa po esse ponto. O momento de néca de uma haste em elação a um exo pependcula que passe po sua extemdade é: ml 3 h A enega cnétca tem a foma: m K 6 L Cap omeo@fsca.ufpb.b

21 Pof. omeo Tavaes da Slva b) A pat desse ponto, qual a altua alcançada pelo seu cento de massa? Despeze o atto e a esstênca do a. Usando a consevação da enega mecânca, encontamos que: K U F mgh h mg L 6g Cap omeo@fsca.ufpb.b