TICA. Sistemas Equivalentes de Forças MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA. Nona Edição CAPÍTULO. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.

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1 CPÍTULO 3 Copos ECÂNIC VETORIL PR ENGENHEIROS: ESTÁTIC TIC Fednand P. Bee E. Russell Johnston, J. Notas de ula: J. Walt Ole Teas Tech Unvest Rígdos: Sstemas Equvalentes de Foças 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved.

2 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Conteúdo Intodução Foças Etenas e Foças Intenas Pncípo da Tansmssbldade: Foças Equvalentes Poduto Vetoal de Dos Vetoes omento de uma Foça em Relação a um Ponto Teoema de Vagnon Componentes Retangulaes do omento de uma Foça Poblema Resolvdo 3.1 Poduto Escala de Dos Vetoes Poduto Escala de Dos Vetoes: plcações Poduto Tplo sto de Tês Vetoes 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. omento de uma Foça em Relação a um Dado Eo Poblema Resolvdo 3.5 omento de um Bnáo dção de Bnáos Bnáos Podem Se Repesentados po Vetoes Substtução de uma Dada Foça po uma Foça em O e um Bnáo Poblema Resolvdo 3.6 Sstema de Foças: Redução a Uma Foça e Um Bnáo Casos Patculaes de Redução de um Sstema de Foças Poblema Resolvdo 3.8 Poblema Resolvdo

3 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Intodução Nem sempe é possível tata um copo como uma únca patícula. Em geal, o tamanho do copo e os pontos de aplcação específcos de cada uma das foças que nele atuam devem se consdeados. Supõe-se que a maoa dos copos consdeados em mecânca elementa são ígdos, sto é, as defomações eas são despeíves e não afetam as condções de equlíbo ou de movmento do copo. Nesta pate estudaemos o efeto de foças eecdas em um copo ígdo e como substtu um dado sstema de foças po um sstema equvalente mas smples. Paa tanto, são mpotantes os seguntes concetos: momento de uma foça em elação a um ponto momento de uma foça em elação a um eo momento devdo a um bnáo Qualque sstema de foças atuando em um copo ígdo pode se substtuído po um sstema equvalente composto po uma únca foça atuando em um dado ponto e um bnáo The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-3

4 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Foças Etenas e Foças Intenas Foças atuando em copos ígdos são dvddas em dos gupos: - Foças Etenas - Foças Intenas (esfoços ntenos) Foças etenas são mostadas em um dagama de copo lve. Se não fo contabalanceada, cada uma das foças etenas pode mpm ao copo ígdo um movmento de tanslação ou de otação, ou ambos The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-4

5 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Pncípo da Tansmssbldade: Foças Equvalentes Pncípo da Tansmssbldade - s condções de equlíbo ou de movmento de um copo não se modfcam ao se tansmt a ação de uma foça ao longo de sua lnha de ação. OBSERVÇÃO: na fgua ao lado F e F são foças equvalentes. Paa o camnhão ao lado, o fato de muda o ponto de aplcação da foça F paa o paa-choque taseo não altea o seu movmento e nem ntefee nas ações das demas foças que nele atuam. O pncípo da tansmssbldade nem sempe pode se aplcado na detemnação de foças ntenas e defomações The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-5

6 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poduto Vetoal de Dos Vetoes O conceto de momento de uma foça em elação a um ponto é mas faclmente entenddo po meo das aplcações do poduto vetoal. O poduto vetoal de dos vetoes P e Q é defndo como o veto V que satsfa às seguntes condções: 1. lnha de ação de V é pependcula ao plano que contém P e Q. 2. ntensdade de V é V PQ sen θ 3. deção e o sentdo de V são obtdos pela ega da mão deta. Podutos vetoas: - não são comutatvos, - são dstbutvos, - não são assocatvos, Q P ( P Q) P ( Q1 Q2 ) P Q1 P Q2 ( P Q) S P ( Q S) 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-6

7 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. ecânca Vetoal paa Engenheos: Est ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Nona Podutos Vetoas: Componentes Retangulaes 3-7 Podutos vetoas de vetoes untáos: v Poduto vetoal em temos de componentes etangulaes: ( ) ( ) Q Q Q P P P V ( ) ( ) ( ) Q P Q P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P P P V

8 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está omento de uma Foça em Relação a um Ponto Uma foça é epesentada po um veto que defne sua ntensdade, sua deção e seu sentdo. Seu efeto em um copo ígdo depende também do seu ponto de aplcação. O momento de uma foça F em elação a um ponto O é defndo como O F O veto momento O é pependcula ao plano que contém o ponto O e a foça F. ntensdade de O epessa a tendênca da foça de causa otação em tono de um eo dgdo ao longo de O. O F * * senθ F * d O sentdo do momento pode se detemnado pela ega da mão deta. Qualque foça F que tem a mesma ntensdade, deção e sentdo de F, é equvalente a ela se também tem sua mesma lnha de ação e potando, gea o mesmo momento The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-8

9 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está omento de uma Foça em Relação a um Ponto Estutuas bdmensonas têm compmento e lagua, mas espessua despeível e estão suetas a foças contdas no plano da estutua. O plano da estutua contém o ponto O e a foça F. O, o momento da foça em elação a O, é pependcula ao plano. Se a foça tende a ga a estutua no sentdo anthoáo, o veto momento aponta paa fo a (paa cma) do plano da estutua e a ntensdade do momento é postva. Se a foça tende a ga a estutua no sentdo hoáo, o veto momento aponta paa dento (paa bao) do plano da estutua e a ntensdade do momento é negatva The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-9

10 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Teoema de Vagnon O momento em elação a um dado ponto O da esultante de dvesas foças concoentes é gual à soma dos momentos das váas foças em elação ao mesmo ponto O. F F L F ( ) L F2 O teoema de Vagnon tona possível substtu a detemnação deta do momento de uma foça F pela detemnação dos momentos de duas ou mas foças que a compõe The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-10

11 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. ecânca Vetoal paa Engenheos: Est ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Nona Componentes Retangulaes do omento de uma Foça 3-11 ( ) ( ) ( ) F F F F F F F F F O O momento de F em elação a O, F F F F F O,

12 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. ecânca Vetoal paa Engenheos: Est ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Nona Componentes Retangulaes do omento de uma Foça 3-12 omento de F em elação a B: F B B / ( ) ( ) ( ) F F F F B B B B B / ( ) ( ) ( ) B B B B F F F

13 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Componentes Retangulaes do omento de uma Foça Paa estutuas bdmensonas: O O ( F F ) F Z F B B ( B ) F ( B ) F ( B ) F ( B ) F [ ] 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-13

14 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.1 Uma foça vel de 450 N é aplcada na etemdade de uma alavanca que está lgada ao eo em O. Detemne: a) o momento da foça em elação a O; b) a foça hoontal aplcada em que gea o mesmo momento; c) a foça mínma aplcada em que gea o mesmo momento; d) a posção de uma foça vel de N paa que ela gee o mesmo momento; e) se alguma das foças obtdas nas pates b, c e d é equvalente à foça ognal 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-14

15 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.1 a) O momento em elação a O é gual ao poduto da foça pela dstânca pependcula ente a lnha de ação da foça e O. Como a foça tende a ga a alavanca no sentdo hoáo, o veto momento aponta paa dento do plano que contém a alavanca e a foça. O d O Fd ( 60 cm) cos60 ( 450 N)( 0,3 m) 30 cm O 135 N m 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-15

16 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.1 b) Paa a foça hoontal aplcada em que gea o mesmo momento tem-se, d O F ( 60 cm) Fd 135 N m F ( 0,52 m) 135 N m 0,52 m sen cm F 259,6 N 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-16

17 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.1 c) foça mínma aplcada em que gea o mesmo momento deve atua a uma dstânca pependcula é máma de O, ou sea, quando F é pependcula a O. Fd O 135 N m F F ( 0,6 m. ) 135 N m 0,6 m F 225 N 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-17

18 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.1 d) Paa detemna o ponto de aplcação de uma foça vel de N que gea o mesmo momento em elação a O temos, O 135 N m d OB cos 60 Fd ( N) d 135 N m N 12,5 cm 0,125 m OB 25 cm 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-18

19 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.1 e) Emboa cada uma das foças nas letas b), c) e d) gee o mesmo momento que a foça de 450 N, nenhuma tem sua mesma ntensdade, deção e sentdo, ou sua mesma lnha de ação. Potanto, nenhuma das foças é equvalente à foça de 450 N The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-19

20 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.4 SOLUÇÃO: O momento da foça F eecda pelo fo é obtda a pat do poduto vetoal, F C Uma placa etangula é sustentada pelos supotes e B e po um fo CD. Sabendo que a tação no fo é 200 N, detemne o momento em elação a da foça eecda pelo fo no ponto C The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-20

21 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.4 SOLUÇÃO: C C C F Fλ F ( 200 N) ( 200 N) ( 0,3 m) ( 0,08 m) C C ( 0,3 m) ( 0,24 m) ( 0,32 m) ( 120 N) ( 96 N) ( 128 N) D D 0.5 m 0,3 0 0, v ( 7, 68 N m ) ( 28,8 N m ) ( 28,8 N m ) 41,45 N m 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved ;

22 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poduto Escala de Dos Vetoes O poduto escala de dos vetoes P e Q é defndo como P Q PQcosθ ( esultado escala ) Podutos escalaes: - são comutatvos, P Q Q P - são dstbutvos, P ( Q1 Q2 ) P Q1 P Q2 - não são assocatvos, P Q S ( ) ndefndo Podutos escalaes em temos de componentes catesanas: P Q P P P Q Q Q ( ) ( ) v P Q P Q P Q P P P P P P Q P The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-22

23 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poduto Escala de Dos Vetoes: plcações Ângulo ente dos vetoes: P Q PQ cosθ P Q P Q cosθ P Q P Q PQ P Q P Q Poeção de um veto sobe um dado eo: POL P cosθ poeção de P sobe o eo OL P Q PQ cosθ P Q P cosθ POL Q Paa um eo defndo po um veto untáo: P P λ OL P cos θ P cosθ P cosθ 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-23

24 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está omento de uma Foça em Relação a um Dado Eo omento O de uma foça F aplcada no ponto em elação a um ponto O: F O O momento OL em elação a um eo OL é a poeção do momento O sobe esse eo, ou sea, OL λ λ O ( F ) omentos de F em elação aos eos coodenados: F F F F F F 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-24

25 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está omento de uma Foça em Relação a um Dado Eo omento de uma foça em elação a um eo abtáo: BL λ B λ ( B F ) B B O esultado é ndependente do ponto B escolhdo sobe o eo dado The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-25

26 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.5 Um cubo sofe a ação de uma foça P confome mostado. Detemne o momento de P: a) em elação a b) em elação à aesta B c) em elação à dagonal G do cubo. d) Detemne a dstânca pependcula ente G e FC The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-26

27 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. ecânca Vetoal paa Engenheos: Est ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Nona Poblema Resolvdo omento de P em elação a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / P a / P / P P a a a P F F ( )( ) / ap 2 2 omento de P em elação a B: ( )( ) / ap B / B ap

28 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.5 omento de P em elação à dagonal G: G λ G a a a 1 λ a 3 3 G G ap ap 6 ( ) ap ( ) ( ) ( 111) 2 ( ) G ap The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-28

29 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.5 Dstânca pependcula ente G e FC: P P λ P ( ) ( ) ( 0 1 1) Potanto, P é pependcula a G. 3 6 ap G 6 Pd d a The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-29

30 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está omento de um Bnáo Duas foças F e -F de mesma ntensdade, lnhas de ação paalelas e sentdos opostos fomam um bnáo. omento do bnáo: F B ( B ) F F ( F ) F * * senθ F * d O veto que epesenta o momento do bnáo é ndependente da escolha da ogem dos eos coodenados, sto é, tata-se de um veto lve que pode se aplcado a qualque ponto podundo o mesmo efeto 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-30

31 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está omento de um Bnáo Dos bnáos teão momentos guas se F 1d1 F2d 2 os dos bnáos estveem em planos paalelos, e os dos bnáos tveem o mesmo sentdo ou a tendênca de causa otação na mesma deção The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-31

32 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está dção de Bnáos Consdee dos planos P 1 e P 2 que se nteceptam, cada um contendo um bnáo. 1 F1 no plano P1 F no plano P s esultantes dos vetoes também fomam um bnáo. R ( F 1 F 2 ) Pelo teoema de Vagnon, F1 F2 1 2 soma de dos bnáos é um bnáo de momento gual à soma vetoal dos momentos dos dos The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-32

33 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Bnáos Podem Se Repesentados po Vetoes Um bnáo pode se epesentado po um veto gual em ntensdade, deção e sentdo ao momento do bnáo. Vetoes que epesentam bnáos obedecem à le de adção de vetoes. Vetoes bnáos são vetoes lves, ou sea, o ponto de aplcação não é elevante. Vetoes bnáos podem se decompostos em componentes vetoas The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-33

34 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Substtução de uma Dada Foça po uma Foça em O e um Bnáo Não se pode smplesmente move uma foça F paa o ponto O sem modfca sua ação no copo. aplcação de duas foças de mesma ntensdade e sentdos opostos em O não altea a ação da foça ognal sobe o copo. s tês foças podem se substtuídas po uma foça equvalente e um veto bnáo, sto é, um sstema foça-bnáo The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-34

35 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Substtução de uma Dada Foça po uma Foça em O e um Bnáo Paa move a foça F de paa um ponto dfeente O deve-se aplca naquele ponto outo veto bnáo O F O ' Os momentos de F em elação a O e a O estão elaconados. O' ' F ( s ) F F s F s F O Paa move o sstema foça-bnáo de O paa O deve-se soma ao sstema o momento da foça aplcada em O em elação a O The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-35

36 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.6 SOLUÇÃO: Intodumos no ponto duas foças de 90 N com sentdos opostos, podundo 3 bnáos paa os quas os componentes dos momentos são faclmente calculados. Detemne os componentes do bnáo únco equvalente aos dos bnáos mostados. ltenatvamente, pode-se calcula os momentos das quato foças em elação a um únco ponto abtáo. O ponto D é uma boa escolha pos apenas duas das foças geam momento naquele ponto The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-36

37 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.6 Intodumos no ponto duas foças de 90 N com sentdos opostos. Os tês bnáos podem se epesentados pelos tês vetoes bnáos, ( 135 N)( 0,45 m) 60,75 N m ( 90 N)( 0,30 m) 27 N m ( 90 N)( 0,225 m) 20,25 N m ( 20,25 N m) ( 60,75 N m) ( 27 N m) 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-37

38 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.6 ltenatvamente, calculamos a soma dos momentos das quato foças em elação a D. Somente as foças em C e E geam momento em elação ao ponto D. D ( 0,45 m) ( 135 N) ( 0,225 m) ( 0,30 m) [ ] ( 90 N) ( 20,25 N m) ( 60,75 N m) ( 27 N m) 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-38

39 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Sstema de Foças: Redução a uma Foça e um Bnáo Um sstema de foças pode se substtuído po um sstema foça-bnáo equvalente atuando em um dado ponto O. s foças e os vetoes bnáos podem se substtuídos po uma foça esultante e um veto bnáo esultante, R R F O ( F ) O sstema foça-bnáo em O pode se movdo paa O com a soma do momento de R em elação à O, R R s R O' O Dos sstemas de foças são equvalentes se eles podem se edudos a um mesmo sstema foça-bnáo The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-39

40 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Casos Patculaes de Redução de um Sstema de Foças Se a foça esultante e o bnáo em O foem mutuamente pependculaes, o sstema pode se substtuído po uma únca foça que atua ao longo de uma nova lnha de ação. O sstema foça-bnáo esultante paa um sstema de foças seá mutuamente pependcula se: 1) as foças foem concoentes, 2) as foças foem coplanaes, ou 3) as foças foem paalelas The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-40

41 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Casos Patculaes de Redução de um Sstema de Foças O sstema de foças coplanaes é edudo a um sstema foça-bnáo que consste R em R e O, que são mutuamente pependculaes. O sstema pode se edudo a uma únca foça movendo-se a lnha de ação de R até que seu momento em elação a R O se tone O. Em temos de componentes etangulaes, R R R O 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-41

42 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.10 SOLUÇÃO: Detemnamos os vetoes posção elatvos taçados do ponto até os pontos de aplcação das váas foças. Decompomos as foças em componentes etangulaes. Tês cabos estão pesos ao supote, como lustado. Substtua as foças eecdas pelos cabos po um sstema foça-bnáo equvalente em. Calculamos a foça esultante, R F Calculamos o bnáo esultante, v R ( F ) 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-42

43 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.10 SOLUÇÃO: Detemnamos os vetoes posção elatvos em elação a : B 0,075 0,050 ( m) C 0,075 0,050 ( m) 0,100 0,100 D ( m) Decompomos as foças em componentes etangulaes : FB ( 700 N) λ E B λ E B 175 0,429 0,857 0,289 F F C B F D ( N) ( 1000 N)( cos 45 cos 45 ) ( 1200 N)( cos60 cos30 ) ( N) ( N) 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-43

44 ecânca Vetoal paa Engenheos: Está Poblema Resolvdo 3.10 Calculamos a foça esultante: R F ( ) ( ) ( ) R ( N) Calculamos o bnáo esultante: v R ( F ) F 0, , B C D F F B c D 300 0, , , , ,68 163,9 R ( 30 N m) (17,68 N m) (118,9 N m) 2010 The cgaw-hll Companes, Inc. ll ghts eseved. 3-44