4. TÉCNICA APLICADA A ANÁLISE BIDIMENSIONAL COM MEC

Transcrição

1 4. TÉCNICA APLICADA A ANÁLISE BIDIMENSIONAL COM MEC Este capítulo sevá como base de compaação paa entende os eas objetvos deste tabalho e, a pat dsto, pecebe que alguns concetos aplcados pela técnca desenvolvda po Dumont e Noonha, paa análse bdmensonal, não são fáces ou são, até mesmo, mpossíves de seem estenddos ou aplcados paa análse tdmensonal, mas estas dfculdades ou mpossbldades seão vstas com mas detalhes no póxmo capítulo. A técnca desenvolvda po tas pesqusadoes seá tatada de uma foma bastante sstemátca a fm de apenas mosta os concetos báscos que a envolve. Paa sso, a técnca seá focada em poblemas de elastcdade bdmensonal, mas uma análse paa poblemas de potencal é algo bastante smples e medato de seem desenvolvdos a pat dos concetos aqu mostados até mesmo poque tas poblemas possuem os mesmos tpos de snguladades. 4. FORMULAÇÃO DE UM ELEMENTO ISOPARAMÉTRICO PARA PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS COM MEC Como neste capítulo está se tabalhando com análse em um domíno bdmensonal, as ntegas a seem analsadas são undmensonas, já que apenas o contono é dscetzado. O pocedmento básco desta fomulação é expessa as coodenadas dos nós dos elementos em uma foma de ntepolação usando sstema de coodenadas natuas do 44

2 elemento. Como se tata de um domíno bdmensonal, as ntepolações seão desenvolvdas a pat das equações onde x e x = n = n Φ x, y = Φ y, (4.) = y são as coodenadas dos nós dos elementos e x e y são as coodenadas de qualque ponto do elemento que seão tatadas como coodenadas locas, ou seja, x x( ξ ) e ( ξ ) y y. Já as funções elemento consdeado. Φ são chamadas de funções de foma vaando paa cada tpo de A popedade fundamental das funções de fomas é que seu valo, em um sstema de coodenadas natual, é gual a em um nó e paa os demas nós, ou seja, as funções de foma coespondem a um nó específco do elemento a se ntepolado. Atavés desta nfomação é bastante smples monta este sstema de funções de foma paa um elemento quadátco de 3 nós Fgua 4.: Repesentação de um elemento quadátco paa poblemas bdmensonas em MEC. Neste caso, a vaável esponsável pela paametzação do elemento acma é ξ e é gual a (nó ),.5 (nó ) e a (nó 3), sendo que as funções de foma são fáces de seem detemnadas paa este ntevalo. 45

3 Pecebe-se claamente a facldade que estas funções de ntepolação ofeece, já que se tatam de polnômos e ao seem multplcadas pelas coodenadas globas dos nós esultam nas funções de posção de um ponto qualque ao longo do elemento (equação 4.). Nota-se que as funções de posção anda contnuam sendo epesentadas po polnômos e a dstânca é epesentada pela equação da dstânca ente dos pontos (Fgua 4.), confome se ve abaxo: ( ) = ( x( ξ ) x ) + ( y( ξ ) ) ξ, (4.) y sendo que a pat desta equação é possível explcta a pacela efetva de snguladade, já que, devdo o uso das soluções de Kelvn, a função de dstânca é a esponsável pela snguladade de ntegas no MEC. A busca desta pacela efetva de snguladade seá vsta com mas detalhes logo a segu. 4. DETERMINAÇÃO DA PARCELA EFETIVA DE SINGULARIDADE Paa que seja possível a detemnação da pacela efetva de snguladade se faz necessáo, pmeamente, a detemnação do pólo de snguladade ou quase-snguladade. Como se tata de uma análse bdmensonal, a foma de se enconta este pólo é algo bastante smples e pode se feto pelo método de Newton-Raphson (MNR), devdo a não-lneadade do poblema. Este poblema fo esolvdo de duas fomas dfeentes pelos pesqusadoes Dumont (DUMONT, 994) e Noonha (NORONHA, 998). Estas fomas encontam-se no apêndce B. Encontado o pólo complexo, é possível detemna a pacela efetva de snguladade de foma muto smples. Neste tabalho, esta pacela seá encontada de foma menos laboosa, mas seão mantdas as noções pncpas paa uma boa compeensão da técnca, bem como, apesenta as aízes do poblema ao estende esta técnca paa análse tdmensonal. 46

4 Sabe-se que o pólo anula a função (4.), mas quando se tabalha no copo dos númeos eas é sabdo que paa se nulo se faz necessáo que y ( ) x = ( ξ ) y =. x ξ e (4.3) Poém, no copo dos complexos a dstânca pode se nula quando y ( ) x ( ξ ) y. x ξ e (4.4) Ao faze uso de ecusos matemátcos, sabendo que as funções (4.3) são polnômos e sabendo, também, que ξ é esponsável po zea estas funções o que pode se feto é aplca um pocesso de fatoação a tas funções, chegando às expessões x y ( ξ ) x = ( ξ ξ ) x ( ξ ) y = ( ξ ξ ) y. A pat destas expessões e da Equação 4. pode-se chega a e (4.5) ( ξ ) ( ξ ξ ) =, (4.6) sendo possível agoa detemna a pacela efetva de snguladade paa o caso do pólo de snguladade eal, tatando-se da expessão ( ξ ) = ( ξ ) w. (4.7) ξ De uma foma geal, pode-se obte a pat de (4.6) a equação ( ξ ) ξ ξ =, (4.8) que na ealdade é a equação geal da dstânca fatoada pela função esponsável pela snguladade explícta (pacela sngula) e uma pacela egula ( ). Quando ξ ξ é um númeo complexo, a elação ( ) complexo. Assm, ξ ξ pode se epesentado po: ξ também seá um númeo 47

5 ξ ξ = ξ ξa + a +, (4.9) b o que mplca que a pacela esponsável pela snguladade efetva paa o pólo complexo é a equação ( ) = ξ ξa + a b w ξ +. (4.) A função pode se detemnada atavés da aplcação da dvsão sntétca ente os polnômos e ( ξa + a + b ) ξ. Com a detemnação da pacela efetva de snguladade paa o caso de pólo eal e complexo, é possível, a pat de agoa, aplca a técnca desenvolvda po Dumont (994) e Noonha (998) paa o caso das ntegas bdmensonas com o MEC. 4.3 TÉCNICA DE INTEGRAÇÃO APLICADA A ANÁLISE BIDIMENSIONAL COM MEC Nos tabalhos de pesqusa ealzados pelos pesqusadoes Dumont e Noonha, uma nova sstemátca de avalação paa ntegas sngulaes e quase-sngulaes fo desenvolvda. Além dsto, na época da dentfcação das aízes do poblema foam descobetos novos efetos que anda eam desconhecdos pelos pesqusadoes da áea, como a ocoênca de pólos complexos e pólos múltplos (NORONHA, 998), mas estes últmos não seão tatados neste tabalho. Emboa as técncas paa manpulação das ntegas sngulaes sejam bem conhecdas, a avalação das ntegas quase-sngulaes atavés de esquemas clásscos paa ntegas egulaes nomalmente apesenta esultados com baxa pecsão. Logo abaxo, é dado um exemplo geado com elação à ntegação em análse bdmensonal, onde o gáfco da Fgua 4.(c) lusta a peda de pecsão da aplcação de uma quadatua de Gauss- Legende (Item.3.). 48

6 d. (4.) Nos casos em que a ogem do ao stua-se a dstâncas de.,.5, e 5 em elação ao cento do ntevalo de ntegação de tamanho untáo (Fgua 4.a). O efeto de quase-snguladade do ntegando pode se vsualzado na Fgua 4.(b). Como pode se obsevado no gáfco da Fgua 4.(c), quando o pólo está muto póxmo do ntevalo de ntegação (. e.5), a peda de pecsão aqu mensuada como o gau de convegênca da avalação é consdeável se compaada com os esultados obtdos quando o pólo se stua dstante do ntevalo de ntegação ( e 5). Po outo lado, pode-se vefca que quando a dstânca é supeo a, a pecsão e a convegênca da quadatua de Gauss-Legende são bastante satsfatóas, ndcando que o efeto de quase-snguladade pode se despezado neste caso Eo elatvo E- E-4 E-7 E- E-3 E Númeo de abscssas (a) (b) (c) Fgua 4.: (a) Pólos a dstâncas.,.5,. e 5. do ntevalo de ntegação; (b) Efetos de snguladade de cada um dos pólos; (c) Eos de ntegação atavés de quadatuas de Gauss Legende A técnca de ntegação basea-se em uma função w w( ξ ), que epesenta a dstânca ente o pólo e o ntevalo de ntegação no sstema de coodenadas ξ. A dstânca ente o pólo e o ntevalo de ntegação no sstema ( x, y ) pode se expessa como ( ξ ) ( x( ξ ) x ) + ( y( ξ ) y ) w( ξ ) ( ξ ) =, (4.) na qual w ( ξ ) epesenta a pacela de snguladade efetva pesente em ( ξ ). Conseqüentemente, w ( ξ ) quando ( ξ). Po sua vez, ( ξ) 49 paa todos os

7 valoes eas e complexos na vznhança do ntevalo de ntegação. Paa dscetzações onde não ocoem elementos com foma muto dstocda, há apenas uma solução ξ = a ± b paa a equação ( ξ ) = na vznhança do ntevalo de ntegação, tal que paa pólos complexos, tem-se: w ( ξ ) = ξ aξ + a + b ; sendo que ( ξ) é obtdo atavés da dvsão ( ξ ) = ( ξ ) w( ξ ) e paa pólos eas (casos A e B na Fg. 3.8): ( ) ( ) w ξ = ξ ξ. Consdee uma ntegal onde g (ξ) epesenta a pate egula do ntegando e ω (ξ) a sua pate sngula. No caso em que o pólo é eal (casos A e B), a técnca de ntegação apesentada possu a segunte foma: n m ω ξ) g( ξ) dξ g( ξ ) h + = j = ( g H, (4.3) ( j) ( ξ ) j na qual ξ são abscssas de Legende; g ξ é a devada de odem j, avalada no pólo ξ, ( j) ) ( da função g (ξ) ; h e H j são pesos específcos de ntegação; n e m são valoes nteos que defnem o gau de pecsão da técnca e ω( ξ ) =. Paa uma função de w snguladade genéca ( ln (), po exemplo), a técnca poposta apoxma a pacela egula g (ξ) po um polnômo de gau n + m. Po outo lado, no caso de snguladade algébca ( ξ ) m ( ) a pacela egula g (ξ) é apoxmada po um polnômo de gau n + m. No caso em que o pólo é complexo, a técnca de ntegação possu a segunte foma: n m ( ξ ) g( ξ ) dξ g( ξ ) h + = j= ω R C, (4.4) j j na qual C j são pesos específcos de ntegação e R depende da função g (ξ) e de suas j devadas de odem m avaladas em ξ = a ± b. Agoa, quando ω (ξ) é dada po uma função de snguladade genéca, a técnca apoxma a pacela egula g (ξ) po um polnômo de gau n + m. Já no caso em que ω (ξ) é do tpo algébco a pacela egula g (ξ) é apoxmada po um polnômo de gau n + m. 5

8 O segundo somatóo no lado deto das Equações (4.3) e (4.4) pode se ntepetado como um temo complementa, com o ntuto de cog ou smplesmente melhoa o esultado fnal da ntegação. Po sua vez, o paâmeto m que suge nestas equações pode se elaconado com o gau de snguladade da pacela ω (ξ). Assm, pode se obsevado que esta técnca apesenta a excelente caacteístca de ofeece ganho de pecsão paa funções de snguladade cada vez mas fotes. A gande maoa das técncas exstentes tem compotamento nveso, ou seja, apesenta peda de pecsão nesta stuação. Maoes detalhes desta técnca, desenvolvda paa avala ntegas undmensonas em MEC, se pode enconta na extensa bblogafa desenvolvda pelos pesqusadoes Dumont e Noonha sobe o assunto, os quas são os mentoes desta técnca paa análse bdmensonal em MEC. 4.4 PARCELAS DE INTEGRAIS QUE OCORREM EM MEC PARA ANÁLISE BIDIMENSIONAL Atavés deste estudo, é mpotante detemna quas pacelas das equações 3.8 a 3.6 contbuem com efetos de snguladade ou quase-snguladade. Paa sso, fo montada uma tabela (Tabela 4.) em que constam todas as pacelas com as caacteístcas menconadas acma paa o caso de uma análse bdmensonal com o MEC. É mpotante nota que a odem de snguladade paa o caso de pólo complexo na matz H e paa as tensões nos pontos ntenos ( σ ) é mao que no caso eal, justamente pelo fato de se consdea o efeto de quase-snguladade que é ntoduzdo pelos temos de gadente, pos ( ξ ) ( ξ ) que o apenas o numeado é dfeente de zeo enquanto o denomnado se anula no pólo de quase-snguladade. No caso em que se tata de pólo de snguladade ou quase-snguladade 5 j x x = (4.5), x e como ( x( ξ ) x ) ( paa o caso de pólo complexo) e anda ( ξ ) = é possível nota

9 eal, os temos de gadente (Equação 4.5) são funções egulaes, tendo em vsta que tanto o numeado, como o denomnado, se anula e esta função pode se detemnada atavés da ega de L Hosptal. Logo, paa este últmo caso, a (Equação 4.5) sea um temo egula. Tabela 4. Pacelas de snguladade efetva em ntegas undmensonas com MEC Pacela efetva de Snguladade Integal Temo Pólo eal Pólo complexo H G σ j, ( ) η,, ξ ξ w( ξ ) w( ξ ) ln ( ) ( ξ ) ln ( w( ξ )) ln ξ ( ), w( ξ ), ( ) 3 ξ ξ w( ξ ) ξ ξ ( ), w ξ ξ ξ w( ξ ),,η ( ) 3 ( ) η ξ ξ w( ξ ),, ( ) 3, é geal podendo epesenta a dfeencal em outa deção. É mpotante apesenta também o númeo de abscssas necessáas paa se te bons esultados com a técnca poposta paa análse bdmensonal. Na tabela 4.3 foam consdeados tês tpos de elementos, são eles: Elemento Lnea, Elementos quadátcos eto e cuvo. As snguladades analsadas foam etadas dos elementos das matzes H e G e foam analsadas tanto snguladades do tpo algébcas quanto de outos tpos. Ao obseva a tabela 4.3, pecebe-se que ao utlza esta técnca paa análse bdmensonal o númeo de abscssas necessáos é pequeno, chegando no máxmo a 5 paa 5

10 elemento quadátco cuvo, enquanto paa elemento quadátco eto o númeo de abscssas máxmo chega a 3, já paa o elemento lnea chega a o númeo de abscssas. Tabela 4.3 Númeo de abscssas necessáas com a aplcação da técnca bdmensonal em MEC Elemento quadátco Elemento Integal Snguladade Reto Cuvo lnea H; σ j ξ ξ 3 ou 4 σ ( ) j ξ ξ 3 ou 4 H;G; σ j w( ξ ) 3 ou 4 H; σ j w( ξ ) 3 ou 4 σ j 3 w( ξ ) 3 ou 4 G ln( ξ ξ ) 3 4 ou 5 G ( w( ξ )) G* ( ξ ξ ) ln( ξ ) G* w ( ξ ) ( w( ξ )) ln 3 4 ou 5 ξ 3 ou 4 ln 3 ou 4 * Ganho de pecsão ao utlza a técnca de DSP compaado com as outas snguladades na matz G 4.5 RESULTADOS DE INTEGRAIS UNIDIMENSIONAIS Neste tem seão apesentadas apenas duas avalações de ntegas, sendo que a pmea quando o pólo é eal e a segunda quando o pólo é complexo. Os esultados a segu compaam dfeentes técncas clásscas com a técnca poposta paa análse bdmensonal. Tas poblemas foam popostos po Noonha (998). 53

11 A pmea ntegal a se avalada é ξ 3ξ +.5 dξ, (. ξ ) (4.6) sendo que esta possu snguladade algébca de odem e um pólo eal ξ =.. Note que este é um pólo de quase-snguladade eal, tendo em vsta que ele petence à extensão do domíno do elemento de ntegação undmensonal, cujo ntevalo vaa de a. Além dsto, este efeto de quase-snguladade é muto fote, já que a dstânca elatva é muto meno que. É mpotante sempe dscen qual o temo que faz pate da pacela egula e qual temo faz pate da pacela sngula. Poém, é bastante smples detemna sto na ntegal acma, sendo que a pacela egula é defnda pela expessão ( ξ ) = ξ 3ξ +. 5 a pacela sngula é defnda pela expessão g e (4.7) ω ξ =. (4.8) ( ) (. ξ ) Atavés da técnca poposta po Dumont (994) e Noonha (998) é possível nota que o eo elatvo da ntegal acma é bastante nfeo aos geados po outas técncas, tas como: Gauss-Legende e as tansfomações de vaáves poposta po Telles (987) de segunda (TRC) e de tecea odem (TRC3). 54

12 Fgua 4.3: Compaação da pecsão obtda ente sstemátca poposta po [NOR98] e técncas clásscas de ntegação numéca. A técnca paa esolução de ntegas com snguladade algébca pemte, paa o caso de pólo de quase-snguladade eal, a utlzação da expansão da sée de Taylo paa o caso da pacela egula do ntegando e além dsso, paa os esultados acma, foam utlzados apenas dos temos desta expansão, sendo necessáa a devada da função g ( ξ ) em ξ. É mpotante faze alguns comentáos sobe os esultados acma, onde foam consdeados um númeo máxmo de abscssas. Note que com apenas abscssa de ntegação o esultado fo melho do que os esultados geados pelas outas técncas com abscssas de ntegação. Como segundo exemplo de avalação de ntegal, seá consdeada a ξ 3ξ +.5 dξ. ξ ξ +.5 (4.9) Pecebe-se, neste caso, que o pólo é expesso po ξ =.5 pólo de quase-snguladade complexo. +., tatando-se então de um Como vsto anteomente (Item 3.6), este caso não pode se tatado atavés de uma expansão em sée de Taylo, tendo em vsta que este conceto não pode se aplcado paa 55

13 expand uma função em tono do pa conjugado. Paa sso, deve se utlzada a técnca de DSP, tal como consta no apêndce A. Como a pacela sngula da ntegal acma é defnda pela expessão ω ( ξ ) = (4.) ξ ξ +.5 é possível pecebe que o polnômo do denomnado é de odem, o que mplca que o polnômo esto teá odem máxma de. Pocesso semelhante a este está esolvdo no apêndce A. Na fgua 4.4 seá consdeada apenas a técnca poposta paa avalação de ntegas com pólos de quase-snguladade complexos e a técnca de Gauss-Legende. Fgua 4.4: Compaação da pecsão obtda ente sstemátca poposta po [NOR98] e a técnca de Gauss- Legende. Vale a pena essalta que além destes esultados teem uma ótma pecsão quando compaados com a técnca clássca de Gauss-Legende, pecebe-se que os esultados foam melhoes que os adqudos no caso anteo em que se avalou o pólo de quase-snguladade eal. O ntuto de apesenta estas avalações fo paa da uma déa do gau de pecsão que este tabalho deseja consegu quando se avala ntegas bdmensonas com a utlzação 56

14 da técnca poposta neste tabalho, mesmo que não seja váldo se tata do conceto de dvsão sntétca de polnômos com duas vaáves. 57