Fundamentos da Eletrostática Aula 15 Expansão Multipolar II

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1 Fundamentos da Eletostátca Aula 5 Expansão Multpola II Pof Alex G Das Pof Alysson F Fea A Expansão Multpola Na aula passada, consdeamos uma dstbução de cagas muto especíca paa enconta o potencal do dpolo elétco Agoa, vamos consdea uma dstbução qualque de cagas, como na gua A ogem do sstema de coodenadas é abtáa, pode esta dento da dstbução de cagas ou não O únco equemento é que a dstbução seja lmtada, ou seja, ela não se estenda até o nnto Neste caso, patmos de ϕ () = O módulo do veto esceve-se dq = [ + ( ) ] / ] / [ ( ) = + () ( ) [ ( ) ( ) ] / = +, NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t

2 e potanto [ = + ( ) ( ) ] / { = ( ) ( ) + [ ( + 3 ) ( ) ] 8 [ ( 5 ) ( ) ] Usamos agoa a suposção de que a dstbução de cagas é lmtada, ou seja, exste um R tal que < R paa todos os( pontos ) da dstbução Desta foma, se R, podemos gaant que em toda a egão de ntegação Ou seja, o fato da ntegal é da foma = [ + ε] /, ( ) ( ) ε = Como ε é muto pequeno, consdeemos a expansão { = ε ε 5 } 6 ε3 + Abndo as potêncas e guadando temos até odem ( ) 3, encontamos { = ( ) ( ( ) [ ] 3 ( ) ) 3 [ ] 5 ( ) 3 3 ( ) + Substtumos agoa essa expansão na expessão paa o potencal, obtemos, ϕ () = = dq { ( ) ( ) } dq + + [ ] + } NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 3

3 Temos potanto uma soma de temos, que esceveemos, Temo de dpolo ϕ () = ϕ monopolo () + ϕ dpolo () + ϕ quadupolo () + Cada temo da expansão é muto meno que o anteo, já que o ntegando possu uma potênca a mas de amos analsa os pmeos temos da soma acma Temo de monopolo O segundo temo da expansão obtda é ϕ dpolo () = = ( dq ) dq O pmeo temo da expansão obtda é ϕ monopolo () = dq = Q E coesponde ao potencal de uma caga pontual localzada na ogem, com caga gual à caga total da dstbução Esta é justamente a apoxmação com que começamos a aula passada, e que havíamos constatado em exemplos calculados anteomente Denndo o momento de dpolo elétco da dstbução de cagas como escevemos p = dq, ϕ dpolo () = p Paa uma dstbução qualque de caga, a caga total Q é chamado de momento de monopolo da dstbução, e o potencal coespondente é: Paa o caso de duas cagas pontuas localzadas em d ẑ coespondente densdade de caga é e d ẑ, a ϕ monopolo () = Q ρ () = qδ ( 3 d ) ( qδ 3 + d ) ẑ ẑ NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 4 NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 5

4 e potanto p = = q dq = q [ ( d ẑ d )] = qdẑ ẑ [ δ ( 3 d ) ( δ 3 + d )] d 3 ẑ ẑ O teceo temo da expansão obtda é ϕ quadupolo () = = 3 { dq dq { ( ) [ ] } 3 ( ) [ 3 ( ) ( ) ]} Esta é exatamente a expessão que encontamos na aula passada paa o momento de dpolo de duas cagas sepaadas po uma dstânca d A denção que demos paa p na aula passada, potanto, não é mas do que um caso patcula da denção geal que encontamos acma Num caso mas geal, com váas cagas pontuas q, localzadas nos pontos, temos e potanto ρ () = q δ 3 ( ) p = ρ ( ) d 3 = q δ 3 ( ) d 3 = q, Numa dstbução com Q = 0 e p = 0, como a epesentada ao lado, o potencal elétco é dado em pmea apoxmação po ϕ quadupolo Confome adantamos na aula passada, ϕ quadupolo ca com / 3 paa gande Os potencas anteoes foam faclmente esctos em temos de um momento de monopolo Q (que é um escala) e um momento de dpolo p (que é um veto) O potencal do quadupolo pode se escto em temos de uma gandeza chamada de momento de quadupolo, só que este momento esulta se um objeto mas complcado que um veto O momento de quadupolo elétco é um tenso de segunda odem, que pode se epesentado, num dado sstema de efeêncas, como uma matz 3 3 eja mas sobe sso na letua adconal, no nal desta aula que é a expessão que já utlzamos na aula passada Temo de quadupolo NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 6 NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 7

5 A Expansão Multpola e os Polnômos de Legende amos esceve a expansão que encontamos até aqu coodenadas esfécas Neste caso, = cos θ, onde θ é o ângulo epesentado na gua do começo da aula Temos assm, equação de Laplace em coodenadas esfécas! P 0 (cos θ) = P (cos θ) = cos θ P (cos θ) = ( 3 cos θ ) P 3 (cos θ) = ( 5 cos 3 θ 3 cos θ ) ϕ monopolo () = Q = dq {} como Isso sgnca que podemos esceve a expansão que encontamos ϕ dpolo () = ϕ quadupolo () = ϕ octupolo () = dq ( dq ( dq ( ) {cos θ } ) { [ ] } 3 (cos θ ) ) 3 { [5 (cos θ ) 3 3 cos θ ]} Note que os temos em chaves coespondem exatamente aos Polnômos de Legende, que encontamos anteomente ao esolve a ϕ () = l=0 l+ dq ( ) l P l (cos θ ) A expessão acma é exata, valendo paa qualque dstbução de caga lmtada Sua pncpal utldade, contudo, está em enconta uma apoxmação paa o potencal válda a uma gande dstânca da dstbução Cada temo tem uma potênca de adconal se compaado ao anteo, po sso, se é gande, cada temo é muto meno que os temos pecedentes Dada uma dstbução qualque de caga, se Q 0, a contbução domnante paa o potencal seá o temo de monopolo, que NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 8 NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 9

6 coesponde a uma caga Q na ogem O temo de dpolo e os posteoes podem se calculados, se necessáo, como uma coeção ao temo de monopolo dpolo é domnante, e assm po dante Quando Q = 0 e p 0, o potencal do Da posção da ogem e a expansão multpola Uma dstbução de caga abtáa teá, em pncípo, nntos multpolos não nulos, e se conseguíssemos calcula todos, teíamos o potencal exato em qualque ponto do espaço foa da dstbução de caga Consdee po exemplo uma caga pontual q localzada na ogem, coespondendo a dq = qδ 3 ( ) d 3 Calculando os momentos de monopolo, dpolo encontamos, p = Q = dq = q dq = q δ 3 ( ) d 3 = 0 e, da mesma foma, as contbuções de quadupolo, octupolo etc se anulam, pos envolvem ntegas da foma dq ( ) l [ ] δ 3 ( ) = 0 Ou seja, neste caso, todos os temos da expansão multpola se anulam, estando apenas o temo do monopolo, que é justamente o potencal exato paa uma caga centada na ogem, como devea se NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 0 NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t

7 Agoa se a caga pontual não está localzada na ogem? Consdee uma caga pontual localzada no ponto a, como na gua dstbução de caga coespondente é dq = qδ 3 ( a) d 3 O momento de monopolo coespondente é claamente Q = dq = q mas agoa paa o momento de dpolo encontamos p = q um esultado dfeente de zeo! δ 3 ( a) d 3 = qa O mesmo deve acontece em geal paa os momentos de odem supeo Este esultado não se tona tão supeendente se pensamos no segunte: monopolo ϕ monopolo () = Q A neste caso, o potencal do não coesponde ao potencal exato da dstbução, que na vedade é Se a apoxmação de monopolo não foneceu o esultado exato, as contbuções de dpolo, quadupolo, etc não são nulas, já que a soma de todas estas contbuções deve concd com o potencal exato O que acontece aqu é que, excetuando-se o momento de monopolo, todos os momentos supeoes dependem da ogem do efeencal escolhdo paa ealza os cálculos De fato, suponha calculamos o momento de dpolo de uma dstbução qualque de caga dq usando dos efeencas dfeentes, xyz e xyz, cujas ogens são elaconadas po um veto a como na gua Calculando o momento de dpolo p no efeencalxyz, encontamos p = dq = dq ( a) = p = p Qa dq a dq Os momentos de dpolo (e em geal todos os momentos de odem supeo) são dfeentes no efeencal xyz e xyz, exceto no caso em que Q = dq = 0 ϕ () = Q a NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 3

8 Ou seja, consdeando a gua acma, o momento de dpolo da conguação (a) seá o mesmo calculado em qualque efeencal, já na conguação (b), seá dfeente dependendo da escolha de efeencal Obvamente, se fomos capazes de calcula todos os momentos de multpolo nos dos efeencas, deveemos obte o mesmo esultado já que o potencal exato da dstbução não depende da escolha de efeencal Letua Adconal: do Caáte Tensoal do Momento de Quadupolo Consdee o potencal do dpolo elétco, ϕ dpolo () = p Se e p são esctos em temo de suas componentes catesanas, temos p = p, logo, escevemos, equvalentemente, ϕ dpolo () = p Consdeemos agoa o ntegando que apaece em ϕ quadupolo () = 3 Podemos esceve, ( ( ) = ) = dq { j j = j= [ 3 ( ) ( ) ]},j= j j NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 4 NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 5

9 Paa esceve o temo ( ) de foma mas semelhante ao pmeo temo, lembemos que = = = Além dsso, vamos ntoduz o segunte símbolo, δ j = {, se = j 0, se j chamado de delta de Koenecke A δ j satsfaz x = j δ j x j paa qualque veto x = (x, x, x 3 ) Logo Potanto, ( ) = ( ) 3 = = 3 ( ) ( ) = 3 =,j=,j=,j= j j, j ( ) δ j,j= j [ 3 j ( ) δ j ] j ( ) δ j Podemos potanto esceve o potencal do quadupolo como ϕ quadupolo () = 3 j Q j,j= Q j = [ ] dq 3 j ( ) δ j Repae na smladade com a fómula paa o potencal do dpolo, a dfeença é que o momento de quadupolo não é um veto (que tem tês componentes), mas sm um tenso de segunda odem Q j, que tem em pncípo nove componentes Na vedade, pela smeta Q j = Q j pode-se ve que na vedade são ses componentes ndependentes Assm como um veto pode se entenddo como um conjunto de tês númeos que tem um ceto compotamento bem dendo fente a mudanças de efeencas (lembe-se da aula 0), um tenso de segunda odem é um conjunto de nove númeos (que podemos oganza, po exemplo, numa matz quadada 3 3) que também se tansfoma de foma bem denda fente a mudança de coodenadas Na vedade, dento da teoa mas geas dos tensoes, escalaes e vetoes são entenddos como casos patculaes, tensoes de gau 0 e gau Tensoes apaecem em mutos poblemas da físca, como no eletomagnetsmo em meos mateas (você va ouv fala dsso quando falamos do veto deslocamento, mas a fente neste cuso), físca de uídos, mecânca de otações, etc NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 6 NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 7

10 Poblema: o campo médo em uma esfea caegada Consdee uma esfea caegada de ao R Mosta que a méda do campo elétco no nteo da esfea é dada po E m = p R 3, onde p é o momento de dpolo da esfea, com espeto à ogem que concde com seu cento A méda do campo elétco no nteo da esfea é denda po E m = E () d 3, Potanto, E m = E () d 3 = [ δq 4πε 0 = ( δq / ) 4πε 0 3 ] d 3 3d3 Note que, se escevemos ρ = δq /, ρ é o densdade de caga que a esfea tea se ela fosse unfomemente caegada, e se tvesse caga total δq densdade constante de caga é O campo elétco geado po uma esfea com tal E ( ) = ρ 3d3, e o que acabamos de mosta é que E m é smplesmente a soma destas contbuções, paa cada elemento δq, onde = 4 3 πr3 é o volume da esfea Po smplcdade, vamos dvd a esfea em pequenos elementos nntesmas de caga δq, cada um localzado em, de foma que o campo elétco geado pela esfea esceve-se E m = E ( ) E () = δq 3 O que ganhamos com sso? Acontece que o campo elétco E ( ), geado po uma dstbução esféca unfome de caga, pode se faclmente calculado usando a le de Gauss Claamente, como a NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 8 NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 9

11 ogem está no cento da esfea, E ( ) = E ( ) e, ntegando E ( ) numa supefíce esféca de ao em tono da ogem, temos E ( ) da = Q ( ) ε 0, onde Q ( ) é a caga contda pela supefíce, ou seja, Potanto, Q ( ) = ρ ( ) 4 3 π3 E ( ) da = E ( ) ( ( ) 4π ) ρ 4 = ε 0 3 π3 E ( ) = ρ = δq 3ε 0 O campo médo é = 3ε 0 R 3 δq E ( ) = E ( ) = R 3 δq E m = E ( ) = R 3 δq Note que a expessão δq não é mas que o momento de dpolo da esfea, com espeto à ogem, ou seja, e então como queíamos mosta p = δq E m = p R 3, amos agoa enconta outo esultado de que pecsaemos mas adante amos calcula a méda, dento da esfea, do campo elétco geado po cagas exteoes à esfea Ou seja, vamos consdea o campo elétco geado po uma coleção de cagas q, localzadas em tal que > R A méda de tal campo esceve-se: E m = = = E () d 3 [ q q 3 ] d 3 3 d3 NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 0 NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t

12 Note que e = 3, ou seja, E m = = q d3 Agoa usamos uma elação que fo devada na Lsta 0, paa esceve E m = f d 3 = q S fda, da A ntegal é sobe a supefíce da esfea de ao R Paa calculá-la, podemos usa coodenadas esfécas, com o exo dos z na deção de, como na gua Temos: (z R cos θ) + (R sn θ) = R + z Rz cos θ, da = (sn θ cos φx + sn θ sn φŷ + cos θẑ) R sn θdθdφ, logo π π da = dφ dθ 0 0 (sn θ cos φx + sn θ sn φŷ + cos θẑ) R sn θ R + z Rz cos θ Note que, efetuando a ntegal em φ, as contbuções na deção x e ŷ se anulam, e soba π da = cos θ sn θ πr ẑ dθ 0 R + z Rz cos θ [ R + z Rz cos θ ( R + z + Rz cos θ ) = πr ẑ 3R z 0 [ ( R + z R + z Rz ) R z ( R + z + Rz ) ] = πr ẑ Como z > R, R z = z R e 3R z da = 3 π ẑ [ ( (R + z) R z + z Rz ) ] π (z R) ( R + z + Rz )] [ ] R = πr 3 ẑ 3R z = 4 ẑ 3 πr3 z = ẑ z NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 3

13 Potanto, o campo médo é dado po E m = = = q q ẑ z q ( ẑ) z da = E (0), onde E () = q 3, é o campo geado po cada uma das cagas extenas O que descobmos fo que a méda, na esfea, do campo elétco geado po cagas extenas é exatamente gual ao campo que as cagas extenas poduzem na ogem da esfea NH80 - Fundamentos da Eletostátca - 009t 4