CAPÍTULO 10 DINÂMICA DO MOVIMENTO ESPACIAL DE CORPOS RÍGIDOS

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1 94 CAPÍTUL 10 DNÂCA D VENT ESPACAL DE CPS ÍDS As equações geas que desceve o ovento de u copo ígdo no espaço pode se dvddas e dos gupos: as equações que desceve o ovento do cento de assa, equações de Newton slaes às equações da dnâca da patícula, e as equações paa o ovento de otação, equações denonadas de Newton-Eule. Ass estes dos conjuntos de equações elacona foças e oentos aplcados no copo ígdo ao seu ovento EQUAÇÕES D VENT D CENT DE ASSA Seja u copo ígdo C, de assa e cento de assa, ealando u ovento espacal qualque e elação ao efeencal, fgua F f j C Fgua Foças nu eleento de assa de u copo ígdo C.

2 Seja váas foças etenas F atuantes neste copo e dfeentes pontos. Vaos dentfca a foça etena esultante que atua na posção, de assa eleenta, coo F e a foça ntena que outo eleento na posção j fa sobe coo f j. Escevendo a le de Newton paa a assa eleenta obteos 95 F f a 10.1 j j Se soaos a equação de ovento 10.1 aplcada a todos os eleentos deste copo ígdo, obteeos F f a 10. j j A elação que defne a posção do cento de assa deste copo ígdo é dada po 10.3 Devando, obteos a segunte elação paa a velocdade do cento de assa v v 10.4 e paa a aceleação a a 10.5 onde é a assa do copo ígdo. Aplcando 10.5 e 10. obteos F f a 10.6 j j Atavés da le da ação e eação de Newton sabeos que a segunda pacela do lado esquedo de 10.6 é nula. Logo

3 F F a Ass, esta é a foa da le dos oventos de Newton paa copos ígdos. Sua foa é seelhante à foa ognal enuncada paa patículas de densões despeíves, que fonece a elação ente a foça esultante de todas as foças etenas aplcadas e a aceleação do cento de assa do copo ígdo. 10. EQUAÇÕES D VENT ANULA D CP ÍD Paa o conhecento da posção angula do copo ígdo duante o ovento, deveos toa o oento das foças na patícula e elação a u ponto qualque. Se peda de genealdade, toaos o sstea de efeênca co oge neste ponto, ve fgua 10.. F f j C Fgua oento de todas as foças atuantes nua patícula. Ass, a pat da equação 10.1 teos que F f a 10.8 j j Vaos soa esta equação aplcada a todos os eleentos do copo ígdo, F f a 10.9 j j

4 97 A segunda pacela de 10.9 efeente ao oento de todas as foças ntenas que atua nu copo ígdo é nula. Logo F a onde é o oento esultante dos oentos de todas as foças etenas aplcadas ao copo ígdo. Das equações da cneátca de u copo ígdo podeos esceve a a0 α ω ω Aplcando e ou [ a α ω ω ] 10.1 a α [ ω ω ] Utlando e os seguntes vetoes a α ω j k - oento esultante j k - veto posção do eleento de assa a a j a k - aceleação do ponto j k - aceleação angula do copo j k - velocdade angula do copo. e as defnções de oentos de néca, ve apêndce, e os podutos de néca, ve apêndce,

5 98 obteeos a a a a a a Estas tês equações escalaes são geas e uto pouco útes se toaos os efeencas coo fos, pos neste caso os oentos e podutos de néca estaa vaando ao longo do ovento. Po outo lado, se esceveos os vetoes nu efeencal peso ao copo ígdo, chaado efeencal óvel, então estes paâetos são constantes, eboa a equação anda contnue coplea. Vaos então coloca a oge do efeencal peso ao copo concdente co u ponto fo a =0 ou co o seu cento de assa =0. E abos os casos, teos que Se o efeencal tve oge concdente co u ponto fo ou co o cento de assa do copo ígdo e os seus eos foe eos pncpas, então os podutos de néca são nulos, logo

6 As equações são chaadas equações de Newton-Eule, devdo ao tabalho ealado po Eule no desenvolvento da dnâca da otação de copos ígdos. Se o ovento fo plano co otação e tono do eo, então a equação geal é gual a E, neste caso, os eos foe pncpas, fcaos co as equações Estas equações são utladas e oventos planos. Deveos nota que nestes casos se o eo não fo u eo pncpal de néca, então, os oentos esultantes nos eos e e não são nulos, as dados po

7 100 APÊNDCE - ENTS E PDUTS DE NÉCA Vaos defn os oentos de podutos de néca de copos ígdos. São popedades elaconadas à dstbução da assa sobe o copo. Estas popedades estão pesentes nas equações da dnâca de copos ígdos elatvas aos oventos de otação. Nestes casos não só a assa do copo, as pncpalente a sua dstbução no volue te nfluênca nas aceleações povocadas pelos esfoços aplcados. ncalente vaos toas ua patícula de assa. Defnos os oentos de néca desta patícula e elação aos eos coodenados coo e os podutos de néca po 10.0 Fgua Defnções paa patícula de assa.

8 As etensões natuas destas defnções de oentos e podutos de néca paa u copo ígdo de assa, são dadas po e os podutos de néca po 10. s oentos de néca estão elaconados à néca e elação à otação de u copo ígdo enquanto que os podutos de néca estão elaconados à seta de dstbução de assa e elação ao eo de otação. s oentos de néca dados po 10.1 são chaados de oentos pncpas de néca quando os podutos de néca dados po 10. são nulos. Quando a oge dos eos pncpas de néca concde co o cento de assa do copo ígdo estes eos tabé são chaados de eos centas de néca. U teoea potante e sples osta que a elação ente oentos de néca e elação a eos paalelos p e g possu a segunte foa: p g d 10.3 onde d é a dstânca ente os eos paalelos p e g, sendo que o eo g passa necessaaente pelo cento de assa.