Uma sonda de exploração espacial prepara-se para colocar um satélite de comunicações numa órbita em redor do planeta Marte.

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1 Lcencatua em Engenhaa Geológca e de Mnas Lcencatua em Matemátca Aplcada e Computação Mestado Integado em Engenhaa Bomédca Mecânca e Ondas 1º Ano -º Semeste º Teste/1º Exame 0/06/017 11:30h Duação do teste: 1:30h (poblemas 3, 4, 5) Duação do exame: :30h (poblemas 1,, 3, 4, 5) Lea o enuncado com atenção. Justfque todas as espostas. Identfque e numee todas as folhas da pova. Poblema 1 (Exame) Um skate de massa M (nclundo também massa do skate) enconta-se ncalmente em epouso na posção ndcada na fgua. Num nstante ncal ata uma bola de massa m 0 com velocdade de módulo v 0 no plano xy numa deção que faz um ângulo θ elatvamente à nomal à paede. Consdee uma stuação deal (choque elástco) em que, após o choque com a paede, a bola se desloca com uma velocdade de módulo dêntco, segundo uma deção defnda po um ângulo gual ao ângulo de ncdênca mas na decção oposta (ve fgua) e despeze os efetos do atto. a) Esceva as expessões que defnem as velocdades do skate e da bola, no plano xy, antes e depos da colsão da bola com a paede (em função dos paâmetos dados no enuncado e utlzando o efeencal ndcado na fgua). b) Se a bola tve uma massa m 0 = 0,08 kg, o módulo da velocdade ncal fo v 0 = 8 ms 1, o ângulo θ = 60 e o choque com a paede tve uma duação de 4 ms, qual seá a foça méda execda pela bola na paede? Poblema (Exame) Uma sonda de exploação espacal pepaa-se paa coloca um satélte de comuncações numa óbta em edo do planeta Mate. a) Calcule a alttude (h = R M ) a que o satélte deve se colocado paa que a óbta espectva, de ao, seja estaconáa, sto é, paa que o satélte se enconte pemanentemente à mesma dstânca de um detemnado ponto do equado de de Mate (G = 6, Nm kg ; dados elatvos a Mate - massa: M = 6, kg, ao médo: R M = 3, m, peíodo de otação de Mate: T = 8864 s). b) Detemne o valo da enega mecânca total do satélte nesta óbta se a massa do satélte fo m = 500 kg. Se não esolveu a alínea anteo consdee paa o ao da óbta, o valo =, m.

2 Poblema 3 (Teste e Exame) Uma massa m enconta-se lgada a duas molas de constantes elástcas k 1 e k, espetvamente, como ndcado na fgua. O ponto de equlíbo (x = 0) coesponde à stuação em que as molas se encontam com o seu compmento natual. a) ) Dga, justfcando claamente, qual a expessão da enega potencal elástca do sstema quando a massa se afasta de uma dstânca x elatvamente à posção de equlíbo e esceva a espectva função de Lagange paa a vaável x; ) detemne a equação do movmento da massa m e a expessão da espetva fequênca angula de osclação. Despeze o atto. b) Consdeando agoa que exste uma foça de atto popoconal à velocdade de deslocação da massa, F a = μv, e que o sstema se enconta no egme peódco, detemne (em função dos paâmetos dados), qual sea o coefcente de atto, μ, que detemnaa que a ampltude de osclação se eduzsse a metade ao fm de 10 segundos. Poblema 4 (Teste e Exame) a) Um volnsta vaja numa cauagem de comboo abeta, executando uma sonata em sol (nota muscal). ) Qual deveá se a velocdade do comboo paa que um espetado em epouso na estação ouça a mesma peça muscal um tom acma (em lá). Nota: a nota sol coesponde à fequênca f = 196 Hz e o lá a f = 0 Hz. ) Paa que tal se vefque, o comboo estaá a apoxma-se ou a afasta-se da estação? b) Sabendo que nota sol coesponde à pmea hamónca (modo fundamental) poduzda po uma coda do volno com um compmento de 3 cm, consttuída po nylon com uma densdade ρ = 100 kg m 3 e que tem um dâmeto de 4 mm, detemne tensão a que a coda está sujeta. Poblema 5 (Teste e Exame) a) Numa expeênca de Físca de Altas Enegas, fo detetada uma patícula com os seguntes valoes de componentes do momento lnea no efeencal do laboatóo: p x = 1, kg m s 1, p y = 3, kg m s 1, p z = 0 kg m s 1, detemne a enega da patícula, sabendo que esta tem uma massa de 1, kg. b) Faça uma estmatva do tempo de vda méda da patícula efeda na alínea anteo (no seu efeencal pópo), sabendo que a mesma pecoeu uma dstânca de 80 m no efeencal do laboatóo desde que fo cada até deca.

3 v = d a = dv = d dθ ω = e z α = dω v = ω R a N = v R e R a T = R d θ e. f θ T 1 dp F ma P mv T mv F W C F d P mec = dw = F v L d L L T U 0 q q R CM = m m V CM = m v m = R CM + v = V CM + v P = m v = 0 T = 1 m v L P N F I m R F U I = ρr dv V Mm F G e T = 1 MV CM + T dl N L I 1 TROT I P mec ROT = N ω U = G Mm ω 0 = k m ω 0 = g l x = A e λt cos(ωt + φ) λ = μ m ω = ω 0 λ F 0 A(ω f ) = m (ω 0 ω f ) + 4λ ω f tan φ(ω f ) = λω f (ω 0 ω f ) f = 1 T ; ω = π T λ = vt; k = π λ φ(x, t) = A sn(ωt kx + α) v = T μ v = dp dρ k n = nπ L f 1 = f 1 v f v d sn θ = mλ { d sn θ = mλ + λ f = f (1 ± v o v ) a snθ = mλ sn θ = sn θ d sn θ = mλ n sn θ = n t sn θ t n = c v t = t 1 V c l = l 1 V c { x = x Vt 1 V c t = t V c x 1 V c E = m c 4 + p c E 0 = mc u = V + v 1 + Vv c p = mv 1 v E = mc c 1 v c

4 Soluções Poblema 1 a) Atendendo à consevação do momento lnea e consdeando as componentes em x e y ( componentes do velocdade no plano hozontal) temos: Antes do lançamento da bola: p = 0 Após o lançamento da bola temos, de acodo com a fgua: v 0 = v 0 cos θ e x + v 0 sn θ e y p 1 = m 0 v 0 + Mv 1 p 1 = p m 0 v 0 + Mv 1 = 0 m 0 v 0 cos θ e x + m 0 v 0 sn θ e y + Mv 1x e x + Mv 1y e y = 0 Igualando a zeo as componentes em x e y, temos: { m 0v 0 cos θ + Mv 1x = 0 m 0 v 0 sn θ + Mv 1y = 0 v 1x = m 0v 0 cos θ { M v 1y = m 0v 0 sn θ M Após a colsão com a paede, a velocdade do skate, v 1, não se altea e a da bola seá: v 0 = v 0 cos θ e x + v 0 sn θ e y b) A foça méda execda pela bola sobe a paede seá: c) F méda = p t = (m 0v 0 cos θ e x + m 0 v 0 sn θ e y ) ( m 0 v 0 cos θ e x + m 0 v 0 sn θ e y ) t F méda = m 0v 0 cos θ e t x 0,08 8 cos 60 F méda = e x = 160 e x (N) Poblema a) F N = ma N G Mm v = m GM = (ω) GM ω = 3 GMT 4π = 3

5 3 = GMT 4π 3 h = R M = GMT 4π R M 3 h = 6, , π 3, = 1, m b) E = E c + U E = 1 mv G Mm Na alínea a) temos F N = ma N G Mm Logo: v = m mv = G Mm E potanto: E = E c + U = 1 mv G Mm E = 1 Mm G G Mm E = 1 GMm E = 6, , , = 5, J Ou v = π T = π, = 1448 ms 1 E c = 1 mv = = 5, J U = G Mm = 6, , , = 1, J E = E c + U = 5, , = 5, J

6 Poblema 3 a) U = U e1 + U e = 1 k 1x k x x 1 = x x = x U = 1 k 1x + 1 k ( x) U = 1 (k 1 + k )x T = 1 mx L = T U = 1 mx 1 (k 1 + k )x L x d ( L ) = 0 x (k 1 + k )x d (mx ) = 0 mx + (k 1 + k )x = 0 x + ( k 1 + k m ) x = 0 Compaando com: x + ω 0 x = 0 Obtemos b) ω 0 = k 1 + k m L x d ( L ) = F ext x L x d ( L ) = ( μx ) x Utlzando o lagangeano obtdo na alínea anteo, temos (k 1 + k )x d (mx ) = μx mx + μx + (k 1 + k )x = 0 x + μ m x + (k 1 + k m ) x = 0 Compaando com:

7 x + λx + ω 0 x = 0 Temos: λ = μ m ω 0 = k 1 + k m A ampltude do movmento osclatóo é dada po: A(t) = A 0 e λt A 0 A(t) = eλt ln [ A 0 A(t) ] = λt ln [ A 0 A(t) ] = ( μ m ) t Nas condções do poblema A 0 A(t) = ln = ( μ m ) t 1 t 1 = 10 s μ = Poblema 4 m ln 10 = 0, m ln a) Se o comboo se estve a apoxma da estação o compmento de onda detetado pelo obsevado em epouso deveá se meno, sendo a dfeença, o espaço pecodo pela fonte duante um peíodo: λ = λ v f T v som f = v som f v f f f f = v som (v som v f ) De acodo com a expessão vefca-se que f > f quando o comboo se apoxma! 0(Lá) > 196(Sol)

8 (v som v f )f = v som f v f f = v som (f f) v f = v som (1 f f ) v f = 340 (1 196 ) = 37,1 ms 1 0 b) v c = T μ T = μv c = μλ 1 f 1 T = μ(l) f 1 T = m L 4L f 1 = Vρ L 4L f 1 = π ( D ) L ρ 4L f L 1 T = πd ρ L f 1 T = π ( ) 100 0,3 196 = 37,3 N Poblema 5 a) p x = 1, kg m s 1 p y = 3, kg m s 1 p z = 0 kg m s 1 m = 1, kg p = p x + p y + p z = 3, kg m s 1 E = p c + m c 4 = (3, ) (1, ) b) E = mc 1 v c E ( v c ) = E m c 4 ( v c ) = E m c 4 E = 1, J E = m c 4 v 1 v E E ( c ) = m c 4 c

9 v c = 1 ( mc E ) v c = 1 ( 1, , ) = 0,99 v = 0,99 c No efeencal do laboatóo a patícula tem um tempo de vda t LAB = l LAB v = 80 0,99 c = 9, s = 0,948 μs Dlatação do tempo (t é o tempo médo de vda da patícula no efeencal em que esta se enconta em epouso tempo pópo, t LAB é o tempo de vda médo da patícula no efeencal do laboatóo). t LAB = t 1 v c t = t LAB 1 v c t = 9, ,99 = s = 0,133 μs Ou p = p = mv 1 v c p (1 v c ) = m v p v c (1 c ) = m ( v c ) ( v c ) [m + ( p c ) ] = ( p c ) ( v c ) = p c m + ( p c ) p = p = 3, kg m s 1 (esultado da alínea anteo) p 3, = c = 1, kg v c = 1, (1, ) + (1, ) = 1,17 0,01 1,67 + 1,17 = 0,99 Etc.