MATEMÁTICA - 16/12/2010

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1 GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) MATEMÁTICA - //. Dado Z a) b) - c) d) e) Z, então n e Z e Mas, Z = e (*) =e 8 = n z é gual a ; podemos esceve Z na foma pola: Z x y + xy + x + y + x y = (x - y -) + x(y + ) = x(y ) (I) x y (II) de (I): x = ou y = -/. se x = de (II): y = - se y = - /: de (II): x z z ; z z z z x x ALTERNATIVA E Mas x 9= e potanto 8-=. E potanto Z = Z, pos = x. Logo, o somatóo que nada mas é do que uma P.G. de azão Z é: n z(z ) Z(Z ) z (Z )Z Z Z Z Z n ALTERNATIVA B. Das afmações abaxo sobe númeos complexos z e z : I. z z z - z II. z z z z III. Se z = z (cos + sen), então z z (cos sen). é (são) sempe vedadea(s). a) apenas I b) apenas II c) apenas III d) apenas II e III e) todas I. tome Z = - e Z = Logo, - = e - - = = > falsa! II. tome z = z = Logo z z e z z falsa! III. Se z = z (cos + sen) (cos sen ) z z cos sen z (cos sen) cos sen cos sen z z z z (cos sen ) cos sen. A soma de todas as soluções da equação em C : z + z + z = é gual a a) b) c) d) e) - Seja z = x + y; x, y IR, temos: z + z + z =. Numa caxa com moedas, apesentam duas caas, são nomas (caa e cooa) e as demas apesentam duas cooas. Uma moeda é etada ao acaso e a face obsevada mosta uma cooa. A pobabldade de a outa face desta moeda também apesenta uma cooa é moedas duas caas nomas (caa e cooa) duas cooas P nº casos favoáves espaço amostal Logo P 7 ALTERNATIVA B. Sejam A e B conjuntos fntos e não vazos tas que A B e n ({C : C B \ A}) = 8. Então, das afmações abaxo: I. n(b) n(a) é únco; II. n(b) + n(a) 8; III. a dupla odenada (n(a), n(b)) é únca; é(são) vedadea(s) a) apenas I b) apenas II c) apenas III d) apenas I e II e) nenhuma I. Vedadea n ({C : C B \ A}) = 8 n(b\a) = 8 N(B\A) = 7 Como A B, temos n(b\a) = n(b) n(a) Assm n(b) n(a) = 7 II. Falsa Sabemos que n(b) n(a) = 7 Adconando n(a) em ambos os membos obtemos n(b) + n(a) = 7 + n(a) Logo n(b) + n(a) depende do númeo de elementos de A, o qual não é fxo. II. Falsa Como n(a) não é fxo, a dupla odenada (n(a), n(b)) não é únca. ALTERNATIVA A

2 GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) x y z a. O sstema y z b x y cz a) é possível, a, b, c R. b) é possível quando a ou c c) é mpossível quando c =, a, b R. d) é mpossível quando a 7 b, c R e) é possível quando c = e a Do sstema, testamos o teoema de Came: C C 9 ( C) *Se C Sstema Possível e detemnado * Se C = : x + y + z = Q (I) y + z = b (II) x y z = (III) Multplcando (I) po e somando a (-7) vezes (II) x (I) : -7x (II) : x y 9z a -7y -z - x - y - z a - Se a = sstema possível e ndetemnado a se a sstema mpossível Logo: Se C possível a, b. Se a possível b, c. ALTERNATIVA B 7. Consdee as afmações abaxo: I. Se M é uma matz quadada de odem n>, não-nula e nãonvesível, então exste matz não-nula N, de mesma odem, tal que M N é matz nula. II. Se M é uma matz quadada nvesível de odem n tal que det(m - M) =, então exste matz não-nula X, de odem n x, tal que M X = X. cos sen III. A matz tg é nvesível, k,k z. sen sec Destas, é(são) vedadeas(s) a) Apenas II. b) Apenas I e II c) Apenas I e III d) Apenas II e III e) Todas RESOLUÇÃO: I. Seja V um veto coluna com n lnhas. Temos que o sstema M V tem nfntas soluções, pos detm =. Escolha n dessas soluções v,...,v n. Consdee a matz N = [v, v,..., v n] Então M N Onde M = (a j) nxn matz nvesível de odem n. Sabemos que p()=det(m-i) é polnômo caacteístco. Mas po hpótese det(m - M) = det(m(m - I)) =. detm det(m - I) = detm = ou det (M - I) =. Mas detm. Potanto det (M I) =. Como p() = det (M - I) = p() =, logo é az do polnômo caacteístco, sto é é auto valo de T, deste modo os autovetoes > v assocados ao auto valo = são dados po T(v) =. V MV = V onde V e V é odem (nx). Afmação Vedadea. cos sen III. cos sen M Lg sen sen cos sec Det(M) = cos +sen = M é nvesível k,k z 8. Se é uma az de multplcdade da equação x + x + ax + b =, com a, b R, então a b é gual a a) - b) - c) - 8 d) 8 e) 7 P(x) = x + x + ax + b; como é az de multplcdade, teemos: P(x) = x + x + ax + b = (x ) q(x) Devando o polnômo P(x), teemos: P (x) = x + x + a = (x ) q(x) + (x ) q (x) logo, x = também é az de P (x). Dessa foma, substtundo x = em P(x) e em P (x), encontaemos: a b (I) a (II) De (II), temos: a = -. Substtundo em (I), teemos: + b = b = Logo: a b = = O poduto das aízes eas da equação x x x é gual a a) - b) - c) d) e) x x + = x temos apenas duas possbldades: x - x x - (I) x - x - x (II) (I): x x + = x x x + = = = > logo, da foma genéca da equação do º gau, teemos: P (P : poduto das aízes) (II) x c x = = + (+) = > P a Logo, o poduto das aízes seá: P P = (-) = - ALTERNATIVA A II. Defna a segunte tansfomação lnea N N T : R R V T (V) MV

3 GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) k. Consdee a equação algébca x a k que x = é uma das aízes e que (a, a, a ) é uma pogessão geométca com a = e soma, pode-se afma que a) a soma de todas as aízes é. b) o poduto de todas as aízes é. c) a únca az eal é mao que zeo. d) a soma das aízes não eas é. e) todas as aízes são eas. k x ak k (x a ) + (x a ) + (x a ) = a = S = a + a = a, a q, a q q + q = q + q = q = - ou q = k k mas q = x a k logo q = - (x ) + (x + ) + ( x 8) = x x + x = Logo x + x + x = ALTERNATIVA A paa x = k. Sabendo. A expessão e x + 9e y e x e y + =, com x e y eas, epesenta a) o conjunto vazo. b) um conjunto untáo. c) um conjunto não-untáo com um númeo fnto de pontos. d) um conjunto com um númeo nfnto de pontos. e) o conjunto {(x, y) R (e x ) + (e y ) = } e x + 9 e y e x e y + = ( e x ) + ( e y ) e x e y = + 8 ( e x ) + ( e y 9) = ª condção: (e x ) < - < e x < - < e x < - < e x < como a função exponencal é esttamente postva, teemos: < e x < x ( -, n) ª condção: (e y 9) < - < e y 9 < < e y < < e y < y (, n) ALTERNATIVA D. Com espeto à equação polnomal x x x + x = é coeto afma que a) todas as aízes estão em Q. b) uma únca az está em Z e as demas estão em Q\Z. c) duas aízes estão em Q e as demas têm pate magnáa não-nula. d) não é dvsível po x. e) uma únca az está em Q \ Z e pelo menos uma das demas está em R \ Q. x x x + x = Note x = é uma das aízes da equação. Usando o dspostvo de Bot-Ruffn, temos: As demas aízes são aízes da equação x x x + = Note que x é uma de suas aízes. Usando o dspostvo, temos: As duas aízes que faltam são aízes da equação x = cujos valoes são x ALTERNATIVA E m. Sejam m e n nteos tas que e a equação x + n y + mx + ny = epesenta uma ccunfeênca de ao = cm e cento C localzado no segundo quadante. Se A e B são os pontos onde a ccunfeênca cuza o exo Oy, a áea do tângulo ABC, em cm, é gual a a) 8 b) c) d) 9 m m n n x + y + mx + ny = m n n m x y n m Logo, pos o ao é. n n n n n, mas como a ccunfeênca está no º 9 quadante n tem que se postvo Logo n = e m y x x 9 -/ x A ABO A OBC B x / / C A ABO A ABO 9 A e) 9 ALTERNATIVA E

4 GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA). Ente duas supeposções consecutvas dos ponteos das hoas e dos mnutos de um elógo, o ponteo dos mnutos vae um ângulo cuja medda, em adanos, é gual a a) d) b) 7 e) Vamos supo que os ponteos se cuzem as hmn. c) - O ponteo dos mnutos possuem a velocdade de, enquanto o ponteo das hoas possuem a velocdade de. - Após h, o ponteo dos mnutos estaão novamente macado mn, enquanto o ponteo das hoas macaão hoa. Dessa foma, temos as seguntes condções: Ponteo: P = + mn Hoa: H= mn Paa os ponteos tocaem-se novamente, teemos: P = H mn mn mn mn mn Logo, taduzmos os mnutos em ângulos teemos: Logo, o total em adamos seá: t =. Seja ABC um tângulo etângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e cm, espectvamente. Se D é um ponto sobe AB e o tângulo ADC é sósceles, a medda do segmento AD, em cm, é gual a a) b) c) d) e). Sejam ABCD um quadado e E um ponto sobe AB. Consdee as áeas do quadado ABCD, do tapézo BEDC e do tângulo ADE. Sabendo que estas áeas defnem, na odem em que estão apesentadas, uma pogessão atmétca cuja soma é cm, a medda do segmento AE, em cm, é gual a a) b) c) d) e) S S x S : Áea de ADE (tângulo) S : Áea de BCDE (tapézo) S : Áea de ABCD (quadado) S + S + S = cm Seja o ponto F como na fgua. Note que S = S + S, sendo S a áea de BCFE. Ou seja, S é a azão da PA. Assm, da fgua: S = S + S = S + S + S = S + S. (I) Como S, S, S é PA, temos: S = S + S (II) De (I) e (II): S = S + S = S + S S = S S S S S S S S S cm S S S = cm. Sendo o lado do quadado: = cm x S cm como S x, temos: x cm 7. Num tângulo ABC o lado AB mede cm, a altua elatva ao lado AB mede cm, o ângulo AB mede e M é o ponto médo de AB. Então a medda de BÂC BMˆ C, em adanos, é gual a a) b) c) d) 8 e) Aplcando o Teoema de Ptágoas no tângulo BCD, temos: x = + (8 - x) x = + -x + x x = x = Note que o tângulo BDC é sósceles. Assm BD = cm ALTERNATIVA D

5 GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Sendo B ÂC e B Mˆ C, temos: tg tg CD AD CD DM tg ( ) tg tg tg tg tg( ) tg( ) Note que e são menoes que. Assm + =. Logo, B ÂC BMˆ C ALTERNATIVA B 8. Um tângulo ABC está nscto numa ccunfeênca de ao cm. Sabe-se anda que AB é o dâmeto, BC mede cm e a bssetz do ângulo ABˆ C ntecepta a ccunfeênca no ponto D. Se é a soma das áeas dos tângulos ABC e ABD e é a áea comum aos dos, o valo de -, em cm, é gual a a) b) c) d) 7 e) 8 é gual à dfeença ente as áeas dos tângulos ABC e BCE. Logo: 8 9 Assm - = ALTERNATIVA A 9. Uma esfea está nscta em uma pâmde egula hexagonal cuja altua mede cm e a aesta da base mede cm.então o ao da esfea, em cm, é gual a A B H C G O F P I E h cm Passando um plano pelos pontos A, H e I, teemos a segunte seção plana A H O I Cálculo de OH: analsando o hexágono da base, teemos: B H C X O BC OH OI X Como o lado AB dos tângulos ABC e ABD concde com o dâmeto da ccunfeênca, os tângulos ABC e ABD são etângulos em C e D, espectvamente. Aplcando o teoema de Ptágoas no tângulo ABC, concluímos que AC = 8. Seja E a nteseção de BD com AC. Aplcando o teoema da bssetz ntena no tângulo ABC, temos: CE AE CE AE 8 CE = e AE = Da semelhança dos tângulos BCE e BDA, temos: CE BC BD AD AD BD AD BD Fazendo AD = x, temos BD = x. Da aplcação do teoema de Ptágoas no tângulo ABD, temos: (x) + x = x = x = Segue que: 8 x x x F I E Cálculo de AH: Pelo tângulo AOH, temos: (AH) = + (AH)= Dessa foma temos: (Po smeta) H A O sen = I ALTERNATIVA E

6 GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA). Consdee as afmações: I. Exste um tedo cujas faces têm a mesma medda a =. II. Exste um ângulo polédco convexo cujas faces medem, espectvamente,,,, e 7. III. Um poledo convexo que tem faces tangulaes, face quadangula, face pentagonal e faces hexagonas tem 9 vétces. IV. A soma das meddas de todas as faces de um poledo convexo com vétces é 88. Destas, é(são) coeta(s) apenas a) II b) IV c) II e IV d) I, II e IV e) II, III e IV Assm, (AB) (B\A) = Mas (A B) (B\A) = (A B) (B A C ) = B (A A C ) = B Logo, B = : ABSURDO, pos B Logo, concluímos que não exste tas conjuntos A e B.. Sejam n ímpa, z C \ {} e z, z,..., z n as aízes de z n =. Calcule o númeo de valoes z z j,, j =,,..., n, com j, dstntos ente s. Z n = polígono com n lados nscto na ccunfeênca de ao. z j I. INCORRETA Seja um tedo com faces de mesma medda. A soma das faces deve se meno que paa caacteza a exstênca do ângulo tédco. Caso a soma seja gual a o ângulo dexa de se polédco e os ângulos passam a se coplanaes. Logo: <º <º II. CORRETO Pela mesma justfcatva do tem anteo: = < (EXISTIRIA O ÂNGULO POLIÉDRICO) Mas: = 7 7 > 7 (MAIOR QUE A MEDIDA DA MAIOR FACE, LOGO, NÃO EXISTE O ÂNGULO POLIÉDRICO.) z z j z Logo queemos o númeo de segmentos que tem compmento dfeente; paa um ponto temos n possbldades pela smeta n segmentos dfeentes.. Sobe uma mesa estão dspostos lvos de hstóa, de bologa e de espanhol. Detemne a pobabldade de os lvos seem emplhados sobe a mesa de tal foma que aqueles que tatam do mesmo assunto estejam juntos. hstóa bologa espanhol nº casos favoáves P espaço amostal III. INCORRETA Cálculo do númeo de aestas pelas faces: x x x x A A = F = F = 7 Aplcando Eüle: F A + V = 7 + V = V = IV. CORRETA S = (V ) S = ( ) S = 8. S = 88. Analse a exstênca de conjuntos a e b, ambos não-vazos, tas que (A\B) (B\A) = A. Seja x = (A\B) (B\A) X = (AB c ) (BA c ) Da equação, temos: X = A x - A = Mas, X A = X A c = [(AB C ) (BA c )]A C X A = (AB C A C ) (BA C A C ) = B A C = B\A B\A = Assm: X = (A\B) (B\A) = (A\B) A\B = A A B = 9 8 7! P. Resolva a nequação em log (x x9) Note que x x + 9 > paa todo x R. Assm, temos: log (x x9) log (x x 9) x x 9 x x + 9 > x x > S {x R : x ou x } log (x x9)

7 GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA). Detemne todas as matzes M M x (IR) tas que M N = NM, N M x (IR). a b Seja M c d x y Seja N uma matz qualque. z t De MN = NM segue que: a b x y x y a c d z t z t c b d Efetuando os podutos, temos: ax + bz = ax + cy bz = cy (I) ay + bt = bx + dy (a d) y = b(x t) (II) A equação (I) é válda paa todo y e z, logo b = c =. Substtundo b = na equação (II) e lembando que (II) é válda paa todo y obtemos a = d. a Assm M paa todo a IR. a. Detemne todos os valoes de m R tas que a equação ( - m) x +mx +m + = tenha duas aízes eas dstntas e maoes que zeo. Resolução: ( -m) x + mx + m + = m m (I) - < m < (**) Da nteseção de (*) e (**), temos: - < m < (III) Po fm, de (I), (II) e (III) segue que - < m < - 7. Consdee uma esfea com cento em C e ao = cm e um plano que dsta cm de C. Detemne a áea da ntesecção do plano com uma cunha esféca de em que tenha aesta otogonal a. Paa que a equação tenha duas aízes eas dstntas, devemos te: > (m) ( - m) (m+) > m + m > m - > + x = x m < ou m > (II) Paa que as aízes sejam maoes que zeo devemos te: x' x' ' x' x" em que x' e x'' são as aízes Segue que: m m m m m m m < ou m > (*) m m R x 8. 8 x a) Calcule cos sen cos sen cos sen. b) Usando o esultado do tem anteo, calcule sen cos. a) cos sen cos sen cos sen cos cos sen sen cos cos 7

8 GGE RESPONDE - VESTIBULAR ITA (MATEMÁTICA) Assm cos sen cos sen b) Seja P Sen cos cos sen Assm sen P sen cos sen sen P sen sen Pelo tem a) temos que sen sen cos cos Assm sen P cos cos Adconando as duas gualdades, obtemos que sen P sen P cos cos sen sen sen sen P P cos cos Mas, Logo, sen cos e potanto P Deste modo sen cos sena sen  sen ( ) = sem - sen Igualando o valo das expessões: = (V) Logo  = b) Le dos cossenos no tângulo x C x x x x x (C B) ou x ( ) Logo, AC ( )cm O Bˆ C. Consdee um tângulo eqüláteo cujo lado mede cm. No nteo deste tângulo exstem cículos de mesmo ao. O cento de um dos cículos concde com o bacento do tângulo. Este cículo tangenca extenamente os demas e estes, po sua vez, tangencam lados do tângulo. a) Detemne o valo de. b) calcule a áea do tângulo não peenchda pelos cículos. c) paa cada cículo que tangenca o tângulo, detemne a dstânca do cento ao vétce mas póxmo. a) 9. Num tângulo AOB o ângulo AÔB mede e os lados AB e OB medem cm e cm, espectvamente. A ccunfeênca de cento em O e ao gual à medda de OB ntecepta AB no ponto C( B). a) Moste que OÂB mede. b) Calcule o compmento de AC. Sen x = x Logo cm b) A A O ( ) c) ( ) cm a) Le dos senos:, mas sem = sen sen sen  Sen x x x = 8