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1 MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

2 6-9 IESDE Brsil S.A. É proiid reprodução, mesmo prcil, por qulquer processo, sem utorizção por escrito dos utores e do detentor dos direitos utoris. I9 IESDE Brsil S.A. / Pré-vestiulr / IESDE Brsil S.A. Curiti : IESDE Brsil S.A., 9. [Livro do Proessor] 66 p. ISBN: Pré-vestiulr.. Educção. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD Disciplins Língu Portugues Litertur Mtemátic Físic Químic Biologi Históri Geogri Produção Autores Frncis Mdeir d S. Sles Márcio F. Sntigo Clito Rit de Fátim Bezerr Fáio D Ávil Dnton Pedro dos Sntos Feres Fres Hroldo Cost Silv Filho Jme Andrde Neto Rento Clds Mdeir Rodrigo Pircic Cost Cleer Rieiro Mrco Antonio Noronh Vitor M. Squette Edson Cost P. d Cruz Fernnd Bros Fernndo Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernndes Jeerson dos Sntos d Silv Mrcelo Piccinini Rel F. de Menezes Rogério de Sous Gonçlves Vness Silv Durte A. R. Vieir Enilson F. Venâncio Felipe Silveir de Souz Fernndo Mousquer Projeto e Desenvolvimento Pedgógico

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5 Funções: Função Aim, Função Invers e Função Compost Funções Pode-se entender um unção como um dispositivo que responde pergunts com dus crcterístics especiis: tod pergunt tem respost e respost cd pergunt é únic. Isso z com que s unções sejm mplmente utilizds tnto em Mtemátic como em outrs ciêncis, pois permitem representr por meio de números os enômenos oservdos em eperimentos. Deinição: Sej um relção de A em B, isto é, A B, dizemos que é um unção de A em B se, e somente se, pr todo elemento A eistir um só elemento B, tl que (, ), ou sej, = (). Portnto, pr que um relção de A em B sej um unção, eige-se que cd A estej ssocido um único B. Entretnto, pode eistir B que não estej ssocido nenhum elemento pertencente o conjunto A ou que estej ssocido mis de um elemento de A. Os dois digrms seguintes representm relções de A em B, ms não unções de A em B. O primeiro porque eiste um elemento de A que não está ssocido nenhum elemento de B, e o segundo porque eiste um elemento de A que está ssocido mis de um elemento de B. A A c c O digrm de lechs seguir represent um relção de A em B que tmém é um unção de A em B: A B d e c Domínio de : D () = A Contrdomínio de : B Imgem de : Im() B O domínio de é o conjunto dos elementos de A que são os primeiros termos dos pres ordendos ou o conjunto origem ds lechs. d e d e B B 1

6 O conjunto B é chmdo contrdomínio de que são os segundos termos dos pres ordendos do produto crtesino ou o conjunto dos possíveis destinos ds lechs. O conjunto imgem é um suconjunto de B ormdo pelos elementos que são segundos termos dos pres ordendos d unção ou o conjunto dos elementos que são eetivmente destino de lechs. No digrm cim deve-se oservr que de todo elemento do conjunto A deve prtir etmente um lech. Já os elementos do conjunto B podem receer um ou mis lechs ou té não receer nenhum lech. Notção: : A B ou = {(, ) AB = ()} () Chmm-se unções reis de vriável rel, quels cujo domínio e contrdomínio são suconjuntos dos reis. Nesse cso, costum-se deinir unção pens pel regr de correspondênci e dot-se como domínio o mior suconjunto possível de R. As unções reis de vriável rel podem ser representds gricmente no plno crtesino ortogonl. O gráico d unção é composto por todos os pres ordendos que compõem unção. Em virtude d deinição de unção, tod ret verticl, que pss por um ponto do domínio, intercept o gráico d unção em etmente um ponto. A nálise do gráico d unção permite identiicr o seu domínio e su imgem, como pode ser visto seguir: Zero ou riz d unção é o número, cuj imgem é nul, isto é, () =. Esses pontos são identiicdos como os pontos onde o gráico intercept o eio ds scisss (O). É possível, tmém, identiicr o sinl d unção em cd trecho do domínio. Os pontos de imgem positiv encontrm-se cim do eio ds scisss (prte positiv do eio ds ordends) e os de imgem negtiv io (prte negtiv do eio ds ordends) Funções iguis = () Dus unções e g são iguis se, e somente se, tiverem o mesmo domínio, e () = g() pr todo no domínio. Isso é equivlente dizer que todos os pres ordendos que compõem s unções são iguis. Funções monotônics Chm-se monotônic ou monóton unção que é sempre crescente ou decrescente no seu domínio. Sej unção : A B 1) é crescente (não-decrescente) se, A, tis que < () (). ) é decrescente (não-crescente) se, A, tis que < () (). 3) é estritmente crescente (crescente) se, A, tis que < () < (). 4) é estritmente decrescente (decrescente) se, A, tis que < () > (). São unções crescentes () = 3 1, () = e () = 3. São unções decrescentes ()= + 5, () = (1/) e () = 3. As unções () = e () = sen não são crescentes e nem decrescentes em R. Esses conceitos cim menciondos são cilmente notdos no gráico d unção. Ns unções crescentes o gráico soe pr direit, enqunto ns unções decrescentes o gráico desce pr direit.

7 Tipologi ds unções Já unção seguir não é monóton, pois é decrescente num prte do domínio e crescente em outr. Pridde Sej A um conjunto tl que A A e unção : A B é pr ( ) = (), A o gráico é simétrico em relção o eio O, pois (, ) (, ). é ímpr ( ) = (), A o gráico é simétrico em relção à origem, pois (,) (, ). Se um unção não é nem pr nem ímpr, dizemos que el não possui pridde. São unções pres () = e () = cos. São unções ímpres () = 3 e () = sen. A unção () = + 1 não é pr nem ímpr. Aio são mostrdos gráicos desses dois tipos de unções: Sejm unção : A B é sorejetor qundo todo elemento de B está ssocido por pelo menos um elemento de A, ou sej, qundo imgem é igul o contrdomínio. No digrm, todo elemento recee set. No gráico, rets horizontis trçds no contrdomínio interceptm o gráico em pelo menos um ponto. n(a) n(b), se A e B orem initos. é sorejetor B, A tl que (, ) ou = () é injetor qundo elementos distintos de A estão ssocidos elementos distintos de B. No digrm, não há elemento em B que rece mis de um set. No gráico, rets horizontis cruzm seu gráico em no máimo um ponto. n(a) n(b), se A e B orem initos. é injetor 1, A, 1 ( 1 ) ( ) ou 1, A, ( 1 ) = ( ) 1 = é ijetor se, e somente se, or sorejetor e injetor. Todo elemento de B está ssocido por um único elemento de A. No digrm, todo elemento de B recee um set. No gráico, rets horizontis trçds pelo contrdomínio cruzm o gráico em etmente um ponto. n(a) = n(b), se A e B orem initos. Os digrms de lechs io eempliicm esss deinições: 1) Sorejetor A c ) Injetor d e B A d B () = pr e () = sen ímpr c g 3

8 3) Bijetor A c d e B O gráico de um unção constnte com domínio nos reis é um ret prlel o eio dos (horizontl) e pssndo pelo ponto (,. Su imgem é o conjunto Im = {c}. `` Eemplo: () = 5 e () = 3 (, Função limitd 4 A unção é limitd se K >, tl que D () () < K. A unção () = sen é um unção limitd, pois R, 1 sen 1. A unção () = não é limitd, pois k >,, tl que () = > k. Função periódic A unção é periódic p > tl que () = ( + p), D (). Isso signiic que os vlores d unção se repetem em intervlos de tmnho p. O menor número positivo p é chmdo período d unção. Os eemplos mis comuns de unções periódics são s unções trigonométrics. A unção () = sen, por eemplo, é um unção periódic de período π. Função deinid por váris sentençs erts Um unção pode ser deinid por váris sentençs erts, cd um ds quis ligd um domínio D i contido no domínio de. `` Eemplo: : R R tl que() = Função constnte 1 pr < pr < 1 1 pr 1 É unção que ssume o mesmo vlor em todo o seu domínio. () = c, D() No estudo ds unções, muits vezes é necessário ser que vlor do domínio lev determindo resultdo n imgem. A unção invers ssoci os vlores d imgem os do domínio. Novmente, pensndo n unção como um dispositivo que responde pergunts, unção invers poderi ser entendid como um dispositivo que inorm qul pergunt, ddo que respost é conhecid. A unção compost tmém é de grnde importânci, pois diversos processos ocorrem por meio d plicção sucessiv de unções. A unção compost permite identiicr o resultdo desss diverss unções como se ossem um únic unção. Função compost Ddos os conjuntos A, B e C e s unções : A B deinid por = () e g: B C deinid por z = g (), chm-se unção compost de g com unção h = (g o ) : A C, deinid por: z = (g o ) () = g ( ()) Assim, unção (go) pode ser entendid como um unção únic que present o mesmo resultdo que s plicções sucessivs de e g. A unção (go) só é deinid qundo imgem de está contid no domínio de g. Os conceitos cim podem ser melhor entendidos oservndo-se o digrm de lechs seguir:

9 A 3 4 h = go B g A composição de unções não é comuttiv: g o o g. Pode contecer tmém que somente um ds unções (og) ou (go) estej deinid. A sentenç ert que deine (go) () = g ( ()) é otid de g() sustituindo-se pel epressão de (). `` Eemplo: Sejm s unções reis () = e g() = 3. As epressões de (og) e (go) podem ser clculds como segue: (og) () = (g()) = ( 3) = ( 3) +4 ( 3) 5 = (go) () = g(() = g( + 4 5) =. ( 4 5) 3 = Função invers Se é um unção ijetor de A em B, relção invers de é um unção de B em A chmd unção invers de e denotd por -1 e tmém é ijetor. (, ) (, ) 1 Um unção só possui invers se el or ijetor. A unção invers é compost pelos pres ordendos otidos pel inversão d ordem dos elementos dos pres ordendos d unção originl. Assim, se unção : A B ssoci cd elemento A um elemento correspondente B, unção -1, invers de, ssoci cd elemento B o elemento correspondente A. O domínio d unção invers é imgem d unção originl e imgem d unção invers é o domínio d unção originl. D ( 1 ) = Im () e Im ( 1 ) = D () Esses conceitos podem ser oservdos nos digrms de lech seguintes: C A B B A c d d -1 e e As relções seguir tmém são úteis: 1.ª) ( -1 ) -1 =.ª) A, -1 ( ()) = 3.ª) B, ( -1 ()) = A primeir signiic que unção invers d unção invers é igul à unção originl. A segund e terceir relções signiicm que composição entre invers e unção em qulquer ordem é unção identidde, ou sej, result no elemento sore o qul unção oi plicd. Os gráicos de e -1 são simétricos em relção à issetriz dos qudrntes ímpres (B 13 ), como pode ser visto no eemplo io: : = 3 issetriz 8 (; 8) 8 ( 8; ) 1 8 ( ; 8) c 3 3 : = (8; ) 1 8 Otenção d epressão d unção invers 1.º Método: N sentenç = (), trocmos por e por, otendo = (). Em seguid, epressmos em unção de, trnsormndo lgericmente epressão = () em = -1 (). `` Eemplo: A unção invers d unção ijetor : R R, deinid por = 4 pode ser clculd utilizndo regr prátic: 5

10 1.º) permutr s vriáveis: = 4.º) epressr em unção de : = 4 = + 4 = + 4. (1; ) A unção invers é então 1 : R R, deinid por = + 4..º Método: (; ) 1 6 Bst utilizr epressão vist nteriormente ( 1 ()) = e então oter epressão de 1 (). `` Eemplo: A unção invers d unção ijetor :, deinid por = 4 tmém pode se clculd como segue: ( - 1 ()) = ( -1 ()) 4 = ( 1 ()) = () = + 4 Função identidde É um unção de R em R que cd elemento R ssoci o próprio. () =, R O gráico d unção identidde é issetriz dos qudrntes ímpres (β 13 ) e su imgem é o conjunto dos números reis: Im = R. (; ) ( ; ) Função liner ( 1; 1) (; ) (1; 1) É um unção de R em R que cd elemento R ssoci o elemento R com () =, O gráico d unção liner é um ret que pss pel origem e su imgem é o conjunto dos números reis: Im = R. A unção () =, com > e deinid de R + em R + é um restrição d unção liner que represent um proporcionlidde. Sendo ( 1 ) = 1 e ( ) =, pode-se escrever A relção cim é chmd de proporção, s grndezs e são dits diretmente proporcionis e o coeiciente é chmdo tor de proporcionlidde. Um eemplo comum é mss de um corpo que é proporcionl o seu volume e relção entre eles é o tor de proporcionlidde chmdo mss especíic (ou densidde). Função im É um unção de R em R deinid por () = + onde e são constntes reis e. A unção identidde ( = 1 e = ) e unção liner ( = ) são csos prticulres d unção im. A unção im é um unção polinomil do 1.º gru, seu gráico é um ret não-prlel nenhum dos eios coordendos e su imgem é o conjunto dos números reis: Im = R. O coeiciente é chmdo coeiciente ngulr e represent t de vrição médi d unção que é igul à tngente do ângulo de inclinção d ret. Sendo θ o ângulo de inclinção d ret, tem-se tg θ = > θ é gudo unção crescente < θ é otuso unção decrescente O coeiciente é chmdo coeiciente liner e é o ponto onde ret intercept o eio O, ou sej, ret pss no ponto (,.

11 O gráico intercept o eio dos em um único ponto que é riz d equção () = dd por = /. Aio são mostrdos gráicos d unção im pr negtivo e positivo. = + > θ / = + < θ -/ θ θ θ D 1 D D θ D > ( < ) ( < ) ( > ) Cso < < Posições reltivs entre rets A nálise dos coeicientes ngulres ds rets permite identiicr posição reltiv entre s rets. Assim, sejm ret r dd pel equção = + e ret s dd pel equção = +, relção entre seus gráicos é mostrd io: = e rets prlels = e = rets coincidentes rets concorrentes. = 1 rets perpendiculres Isso permite tmém discutir sistems de equções do primeiro gru dus vriáveis. Sinis d unção im Conhecendo o gráico d unção im pode-se relizr o seu estudo de sinis, isto é, identiicr o sinl d unção em cd trecho do seu domínio, como representdo ns igurs seguintes: Cso > 1. (PUC-SP) Qul dos gráicos seguintes represent um unção de * em? + ( < ) > < ( < ) ( > ) 7

12 d) e) + (, ) = = =. + c + (, 1) = = 1 c =. + c 1 ( 1, 3 ) = = 3 = 1.( 1) + `` Solução: C O gráico d letr represent um unção de em + *. O gráico d letr tmém represent um unção de em + *. O gráico d letr c represent um unção de + * em. O gráico d letr d represent um unção de em +. O gráico d letr e não represent um unção.. (FUVEST-SP) A igur io represent o gráico de + um unção d orm () = pr c 3. `` (PUC-RS) O domínio d unção rel dd por () = 4 é: { R > 1 e < 4} { R < 1 ou 4} { R 1 e 4} d) { R 1 ou > 4} e) { R 1 e < 4} Solução: D O domínio d unção é o mior suconjunto dos reis pr o qul unção é deinid. Nesse cso, epressão, sore riz de índice pr, deve ser não-negtiv e o denomindor não pode ser nulo. O digrm seguir mostr vrição do espço em unção do tempo reerente um ponto mteril. Determine: S (m) 1 1/5 1/ Pode-se concluir que o vlor de é: - -1 d) 1 e) ` ` Solução: D A nálise do gráico mostr que os pontos ( 1, 3); (, 1) e (, ) pertencem à unção. Assim, 6 8 t (s) o espço inicil do movimento; o instnte em que o ponto mteril tinge o mrco zero; o intervlo de tempo durnte o qul veoci- dde do móvel é positiv; d) o intervlo de tempo durnte o qul veloci- dde do móvel é negtiv; e) o intervlo de tempo durnte o qul o móvel se encontr em repouso.

13 `` Solução: O espço inicil é posição em t = s, ou sej, s()= 4 m. O instnte no qul posição do ponto mteril é zero, o que ocorre qundo t = 8 s. Velocidde do móvel é positiv qundo o espço ument com o tempo, ou sej, qundo unção é crescente; isso ocorre entre s e s. 5. d) A velocidde do móvel é negtiv qundo o espço diminui com o tempo, ou sej, qundo unção é crescente; isso ocorre entre s e s. e) O móvel está em repouso qundo o vlor do espço não se lter, isto é, qundo unção permnece constnte; isso ocorre entre s e 6 s. 1 (PUC SP) Se ()=, então (o(o)) () é igul : 1 d) e) 3 d) e) 4 - ` ` Solução: D 1 (o (o) () = ( ( () ) ) = ( ( 1 ) )= 1 1 = ( 1 ) = = 6. (CESGRANRIO) Sej : () unção cujo gráico é: `` 7. `` Solução: E Bst oservrmos o gráico d unção originl e procurr dentre s opções um gráico que sej simétrico ele em relção à issetriz dos qudrntes ímpres. O melhor gráico é o d opção E. 3 A unção c () = 5. 9 pode ser usd pr conversão de um tempertur n escl Fhrenheit pr um tempertur n escl Celsius. A unção k () = + 73 pode ser utilizd pr conversão de um tempertur n escl Celsius pr um tempertur n escl Kelvin. Otenh um epressão pr conversão diret d escl Fhrenheit pr escl Kelvin. Qul tempertur em que esss dus escls ornecem o mesmo vlor numérico? Solução: Bst eetur composição ds unções. O gráico que mis em represent unção invers 1 : 1 () é: K(c()) = K = = Pr que s dus temperturs sejm iguis, devemos zer K(c()) = = = 547,5 F = 547,5 k 9 8. (UERJ-1998) A promoção de um mercdori em um supermercdo está representd, no gráico io, por seis pontos de um mesm ret. 9

14 15 5 vlor totl d compr (R$) 6 1 `` quntidde de uniddes comprds Quem comprr uniddes dess mercdori, n promoção, pgrá por unidde, em reis, o equivlente : 4,5 5, 5,5 d) 6, Solução: A O vlor totl d compr () está ssocido à quntidde de uniddes comprds por um ret. Assim, () = + Os pontos (5, 15) e (3, 5) pertencem à ret, então (5) = = 15 (3) = = 5 Sutrindo primeir equção d segund: 5 = 1 = 4 5 ( 4) + = 15 = 17 Logo, () = Num compr de uniddes, tem-se = e o vlor d compr () = = 9. O vlor por unidde será então 9/ = 4,5. (UNICAMP 199) Clcule e positivos n equção d ret + = 6 de modo que el psse pelo ponto (3, 1) e orme com os eios coordendos um triângulo de áre igul 6. `` Solução: = 1 e = 3. Os pontos onde ret intercept os eios coordendos são os pontos pr os quis = e =. = + = 6 = 6/ = + = 6 = 6/ Como mostrdo no gráico seguir A áre do triângulo é 6 =, logo = 3. A ret pss pelo ponto (3, 1), dí 3 + = 6 = 6 3 Sustituindo epressão de n equção nterior. (6 3 = = = 1 e = = 3 1. (UFJF ) O esoço de gráico io mostr tempertur de um região de 3h d mdrugd té às 9h d mnhã do mesmo di. `` Determine o horário em que tempertur tingiu º C. Determine o tempo em que tempertur perm- neceu negtiv. Determine o tempo em que tempertur perm- neceu positiv. Solução: A ret pss pelos pontos (3, 5) e (9, 1). Supondo que equção d ret sej () = +, tem-se: (3) = 3 + = 5 (9) = 9 + = 1 Fzendo segund equção menos primeir. 6 = 15 = 5 3 (5/) + = 5 = 5 Logo, () = 5 5

15 O horário em que tempertur tingiu º C é o vlor de tl que () =. () = 5 5 = = 5 Logo, tempertur tingiu ºC às 5h. A tempertur permneceu negtiv pr 3 < 5, ou sej, durnte h. A tempertur permneceu positiv pr 5 < 9, ou sej, durnte 4h. 11. (UNICAMP ) A troposer, que é primeir cmd d tmoser, estende-se do nível do mr té ltitude de 4 pés; nel, tempertur diminui º C cd umento de 1 pés n ltitude. Suponh que em um ponto A, situdo o nível do mr, tempertur sej de ºC. Pergunt-se: `` Em que ltitude, cim do ponto A, tempertur é de ºC? Qul é tempertur 35 pés cim do mesmo ponto A? Solução: Como t de vrição é constnte, tempertur () pode ser relciond com ltur por um unção do 1º gru. () = + tempertur o nível do mr é ºC () = = tempertur diminui º cd umento de 1 pés: = = 1 = 1 5 Logo, () 5 + Deve-se encontrr tl que () = () + = = = Respost: A tempertur é de ºC 1 pés. Deve-se oter o vlor d unção pr = 35 (35) = 35 + = 5 5 A tempertur é 5ºC.. 3. pessos umentou. Os pontos que deinem o número de pessos dentro do estádio em unção do horário de entrd estão contidos no gráico io: n. de pessos horário Qundo o número de torcedores tingiu 45, o relógio estv mrcndo 15 hors e: min. 3min. 4min. d) 5min. (UERJ) A esttur de um dulto do seo eminino pode ser estimd, trvés ds lturs de seus pis, pel epressão: ( - 13) + Considere que é ltur d mãe e do pi, em cm. Somndo-se ou sutrindo-se 8,5cm d ltur estimd, otém-se, respectivmente, s lturs máim ou mínim que ilh dult pode tingir. Segundo ess órmul, se João tem 1,7m de ltur e su espos tem 1,64m, su ilh medirá, no máimo: 1,7m 1,71m 1,7m d) 1,73m (UERJ) A velocidde ngulr W de um móvel é inversmente proporcionl o tempo T e pode ser representd pelo gráico io. w (rdinos/segundo) 1. (UERJ) Em um prtid, Vsco e Flmengo levrm o Mrcnã 9 torcedores. Três portões orm ertos às 1 hors e té s 15 hors entrou um número constnte de pessos por minuto. A prtir desse horário, rirm-se mis três portões e o luo constnte de,5 T (segundo) 11

16 4. Qundo W é igul,8π rd/s, T, em segundos, corresponde :,1,3,5 d),7 (UERJ) Um pnel, contendo um loco de gelo 4º C, é colocd sore chm de um ogão. A evolução d tempertur T, em grus Celsius, o longo do tempo, em minutos, é descrit pel seguinte unção rel: T() = 4 se < se se 1 < 1 se < 4 O tempo necessário pr que tempertur d águ tinj 5º C, em minutos, equivle : 4,5 9, 15, d) 3, 5. (UFRJ ) Considere s unções polinomiis, g e h, cujos gráicos são ddos seguir. d) pode ssumir o vlor 1/6. e) pode ssumir o vlor 1/. 8. (PUC-RJ) Dd unção () = ( + 1) ( + 1), determine: ( 1) e () Ache s soluções reis d equção () = 9 9. (UFF) Determine o domínio d unção rel d vriável rel, deinid por () = ( UFF) Clssiique cd irmtiv io, em verddeir ou ls, justiicndo. (( ) R, <, - sempre eiste em R. (( ) R, log ( ) não eiste em R. (( ) R, se ( = ( então =. (( ) R, <. (( ) R, sen (UFF) Considere o polinômio p() = e unção rel de vriável rel deinid por. 1. Se-se que um ds rízes de p() é 1. Escrev o domínio de so orm de intervlo. (UFF) O gráico d unção está representdo n igur: 6 4 g h Determine os vlores reis de no intervlo [-5, 5] pr os quis vlem s desigulddes: () g() h(). 6. (UFRJ) Dd unção : R R deinid por: () = 3 4 se 1 5 se > 1 7. determine os zeros de. (PUC-RJ) A unção : é sempre positiv. pode ssumir qulquer vlor rel. pode ssumir o vlor 1/3. Sore unção é lso irmr que: d) (1) + () = (3) () = (7) (3) = 3(1) (4) (3) = (1) e) () + (3) = (5) 13. (UERJ) Nicole pediu seu irmão João que penssse em um número e eetusse s seguintes operções, nest ordem: 1. ) multiplicr o número pensdo por 5;. ) dicionr 6 o resultdo; 3. ) multiplicr som otid por 4; 4. ) dicionr 9 o produto; 5. ) multiplicr nov som por 5.

17 João comunicou que o resultdo é igul K. As operções que Nicole deve eetur com K, pr divinhr o número pensdo, equivlem às d seguinte epressão: (K 165) : 1 (K 75) : 1 K : d) (K + 165) : (UERJ) Considere unção : Determine sus rízes. Clcule 15. (UFF) Considere s unções reis de vriável rel e g deinids por () = 3 +1 e g() =. Determine: unção h = og; s inverss de e g. 16. (UFF) Considere s unções reis ijetivs e g tis que: () g() Determine, justiicndo, os vlores de: ( o g) (1) 1 (g o ) () 1 ( o g 1 ) (-1) 1 d) ( o g) () 17. (UFF) Dd unção rel de vriável rel tl que ( + 1) =, 1 e 1, determine: - 1 epressão de (); o domínio d unção. 18. (UFF) Sejm T: M M e S: M M s unções representds seguir. Com respeito à unção compost ToS, tem-se: ToS(3) = S(3) ToS(1) = S(3) ToS(3) = T() d) ToS() = T(1) e) ToS(4) = ToS(1) 19. (UFF) Dd unção rel de vriável rel, deinid por: + 1 () = - 1, 1: determine (o) (); 1 escrev um epressão pr ().. (UFF) Considere e g unções reis de vriável rel, deinids por () = e g () = log (1 ). Determine o domínio de. Dein invers de g. 1. (UFCE). Sej um unção rel de vriável rel deinid por () = + c, c > e c R, cujo gráico é (, Então o gráico que melhor represent ( + 1) é: 13

18 d) e). (UNIRIO) Considere s unções: : R R g: R R h: R R = 3 = = d) Crlos receeu R$6, mis que Bruno. André receeu R$1, menos que Crlos. Bruno receeu R$7, menos que Crlos. Crlos receeu R$1, mis que André. e) André receeu R$4, menos que Bruno. 5. (UERJ) Em um resturnte há 1 mess, tods ocupds. Algums, por qutro pessos; outrs, por pens dus pessos, num totl de 38 regueses. O número de mess ocupds por pens dus pessos é: d) 7 6. (UERJ) O Rel Enerrujou [...] s moeds de 1 e 5 centvos oidm ntes do previsto [...] Até gor, pens 116 milhões entre os sete ilhões de moeds em circulção têm nov roupgem lnçd pelo governo no di 1.º julho [...] (ISTOÉ, 9 set. 1998) Desses 116 milhões de moeds, metde é de R$,5, metde do número restnte é de R$,1, metde do que sorou é de R$,5 e s últims moeds são de R$,1. O totl de moeds de R$,1 corresponde, em reis, : 14.5, 7. 9., 145., d) 9., (UERJ) Oserve o gráico: Product Audit/Epnd. 14 Determine o conjunto-imgem d unção ogoh. 3. (UNESP) Dds s unções () = + +1 e g() = 1, encontre unção compost (og) (); resolv equção: (og) () =, onde = cos. 4. (FATEC) Um pi dividiu qunti de R$75, entre seus três ilhos. A qunti receid por Crlos correspondeu 1/7 d receid por André e est correspondeu 7/8 d receid por Bruno. É verdde que: Se o consumo de vinho rnco lemão, entre 1994 e 1998, soreu um decréscimo liner, o volume totl desse consumo em 1995, em milhões de litros, corresponde : 6,585 6,955

19 7,575 d) 7, (UENF) Um tnque com cpcidde pr 1 litros de águ tem um uro no undo por onde águ esco um rzão constnte. Considere V o volume do tnque, em litros, e t o tempo de escomento, em hors, relciondos pel equção: V = 1 1t Estndo o tnque totlmente cheio, clcule: o volume de águ no tnque, pós 3 hors de esco- mento; o tempo necessário pr que ele se esvzie totl- mente. 9. (UENF) Nos jogos válidos por um cmpeonto de uteol, cd vitóri dá o time três pontos, enqunto cd empte vle um ponto. Se perder, o time não gnh pontos. Um jornl pulicou um tel com clssiicção dos três melhores times. Entretnto, dois números d tel não puderm ser identiicdos, sendo sustituídos pels letrs e, conorme é mostrdo io: Time Pontos gnhos n.º de vitóris n.º de emptes Corinthins 4 8 Flmengo 6 Atlético 16 1 ilhões de dólres julho 35,6 junho 1 1 ril (Vej, 1 mi.. Adptdo) Admit que, nos dois intervlos do período considerdo, qued de reservs tenh sido liner. Determine o totl de reservs desse pís, em ilhões de dólres, em mio de (UERJ) A unção que descreve dependênci temporl d posição S de um ponto mteril é representd pelo gráico io s(m) t(s) Clcule o vlor de: ;. 3. (UENF) Um tlet está treinndo em um pist retilíne e o gráico io present ddos sore seu movimento. 4 V (m/s) 5 1 t (s) A distânci percorrid pelo corredor, no intervlo entre e 5 segundos, é igul à áre do trpézio somredo. Clcule ess distânci. 31. (UENF) O gráico seguir represent, em ilhões de dólres, qued ds reservs interncionis de um determindo pís no período de julho de ril de. Sendo que equção gerl do movimento é do tipo S = A + Bt + Ct, os vlores numéricos ds constntes A, B e C são, respectivmente:, 1, 4, 1, 4 1, 4, d) 1, 4, 33. (UERJ) Jorge quer distriuir entre seus ilhos os ingressos gnhos pr um show. Se cd um de seus ilhos gnhr qutro ingressos, sorrão cinco ingressos; se cd um gnhr seis ingressos, icrão ltndo cinco ingressos. Podemos concluir que Jorge gnhou o número totl de ingressos correspondente : d) (UFRJ) João, Pedro e Mri se encontrrm pr ter ppo em um r. João e Pedro trouerm R$5, cd um, enqunto Mri chegou com menos dinheiro. Pedro, muito generoso, deu prte do que tinh pr Mri, de orm que os dois icrm com mesm qunti. A 15

20 seguir, João resolveu tmém reprtir o que tinh com Mri, de modo que mos icssem com mesm qunti. No inl, Pedro cou com R$4, menos do que os outros dois. Determine qunto Mri possuí qundo chegou o encontro. 35. (PUC-RJ) João dá Pedro tntos reis qunto Pedro possui. Em seguid, Pedro dá João tntos reis qunto João possui. Se terminrm com R$18, cd um, quntos reis cd um deles possuí inicilmente? João possuí R$1, e Pedro R$8,. João possuí R$, e Pedro R$5,. João possuí R$135, e Pedro R$8,. d) João possuí R$5, e Pedro R$135,. e) João possuí R$1, e Pedro R$135,. 36. (UFF) N igur seguir estão representds s rets r e s. 38. (UNIRIO) Siu n Vej, em 3 A cont do GNV Qunto vle converter seu crro pr o gás nturl. 1) Clcule o gsto de comustível de seu crro por quilômetro. Se ele z 1km por litro de gsolin, e o litro cust reis, o gsto é de centvos por quilômetro. ) A grosso modo, um metro cúico de gás nturl rende quilometrgem % superior à de 1 litro de gsolin e 4% cim d otid com 1 litro de álcool. Portnto, com GNV o crro do item 1 rá 1 quilômetros por metro cúico 1 rel o metro cúico, esse veículo gstrá 8 centvos por quilômetro. Se você pgr R$.1, pr zer conversão do seu utomóvel pr GNV, economi será eit prtir d seguinte quilometrgem. 18 km d) e) 17 5km 17 km 16 5km 16 km 1. (UERJ) Considere unção, deinid pr todo rel positivo, e seu respectivo gráico Sendo que equção d ret s é = 3 e que OP mede 5 cm, equção de r é: = 3/4 = 4/3 = 5/3 d) = 3 e) = 5 (UFF) As empress Al e Bet lugm televisores do mesmo tipo. A empres Al cor R$35, ios pelos primeiros 3 dis de uso e R$1, por di etr. A empres Bet cor R$15, pelos primeiros dis de uso e R$1,5 por di etr. Após n dis o vlor cordo pel empres Bet pss ser mior do que o cordo pel empres Al. O vlor de n é: d) 45 e) 5 () = Se e são dois números positivos ( <, áre do retângulo de vértices (,), (,) e (, () é igul,. Clcule áre do retângulo de vértices (3, ), (3, ) e (3, (3).. (UFF) Determine o domínio d unção de vriável rel 1 deinid por () = ( 1) (UFJF) A igur seguir represent, no plno crtesino, o gráico de um unção = () deinid no intervlo [-,5].

21 Com se neste gráico, é incorreto irmr que: (UFF) Considere unção rel de vriável rel e un- ção g tl que Dom(g) = [ 1,4] e g () = () 1. O gráico de g é representdo n igur seguir. (4) > (5). o conjunto imgem de contém o intervlo [ 1, 4]. () < se. d) ((1)) =. e) o conjunto { [, 5] () = 3} possui etmente dois elementos. 4. (UNIRIO) Considere unção rel : A R, onde R denot o conjunto dos números reis, cujo gráico é presentdo seguir, sendo o eio ds ordends e ret de equção = 3, ssíntots d curv que represent : = () Determine o domínio e o conjunto-imgem de. Esoce o gráico d unção g: B R; = ( ) 4 (UNIRIO) Sej unção rel n vriável deinid por () = 1+ 1 Determine o domínio de deinição D d unção. Mostre que, pr todo D, tem-se () = 1+ Pede-se: epressão que deine g; imgem de g; epressão que deine no intervlo [,4]. 7. (UFF) Pr unção : N* N*, que cd número nturl não-nulo ssoci o seu número de divisores positivos, considere s irmtivs: I. II. eiste um nturl não-nulo n tl que (n) = n. é crescente. III. não é injetiv. Assinle opção que contém (s) irmtiv(s) corret(s): pens II. pens I e III. I, II e III. d) pens I. e) pens I e II. 8. (UFF) Um unção rel de vriável rel é tl que 1 = π e ( +1) = () pr todo R. O vlor de (7/) é: p 7 p d) p 15 p 8 7 p e) 15 17

22 9. 8 m (UFF) N igur, o ponto R represent loclizção, à eir-mr, de um usin que cpt e trt o esgoto de cert região. Com o ojetivo de lnçr o esgoto trtdo no ponto T, um tuulção RQT deverá ser construíd. P T Q km R cis d) 1km e) 1km 11. (UFF) Sejm e g unções reis de um vriável rel dds por 3 + 4, se 1 + 1, se > 3 () e g() 5 +, se < 1 5-5, se 3 Pede-se: g[()] 1 [g()] 1. (UFJF ) Respond os itens I e II, oservndo os gráicos ds dus unções e g de R em R, respectivmente, do 1.º e.º grus, representdos io. 18 O ponto T situ-se 8m do cis, em rente o ponto P, que dist km de R, conorme ilustrção cim. O custo d tuulção usd no trjeto retilíneo RQ, suterrâneo o longo do cis, é de 1 reis por quilômetro, e o custo d tuulção usd n continução QT, tmém retilíne, porém sumrin, é de 18 reis por quilômetro. Sendo medid de PQ, unção que epress o custo, em rel, d tuulção RQT em termos de, em quilômetro, é dd por: () = (UNESP) Um pesso prte de crro de um cidde X com destino um cidde Y. Em cd instnte t (em hors), distânci que lt pr percorrer té o destino é dd, em dezens de quilômetros, pel unção D, deinid por: t+ 7 D(t) = 4 1 t + 1 Considerndo o percurso d cidde X té cidde Y, distânci, em médi, por hor, que o crro percorreu oi: () = ,64 + () =, d) () = +,64 + e) () = 1 +,8 4km 6km 8km I. Sore unção h = + g de R em R, deinid por h() = () + g(), é correto irmr que: possui ponto de máimo. possui ponto de mínimo. é um unção crescente. d) é um unção decrescente. e) é um unção constnte. II. Sore unção h = og de R em R, deinid por h() = (g()), é correto irmr que: possui ponto de máimo. possui ponto de mínimo. é um unção crescente. d) é um unção decrescente. e) é um unção constnte. 13. (UFF) Considere s unções reis, g e h deinids por () = log, g() = log e h() = log /3. Determine o vlor de h (g ((4))). c 14. (UFCE) Considere unção () = deinid pr d + 3 todo número rel tl que d + 3, onde c e d são constntes reis. Sendo que (()) = e (5) (3) = (((((3))))) = 3/5, podemos irmr que c +d é igul : g

23 d) 113 e) 181 (UFF) Considere unção deinid por, +, 1 e. d), 1, + e. () = 4, < 4 3, 4 Pede-se: (); (o) ( ); o vlor de m tl que (m) = 15; 1 d) (1/4). 16. (UFMG) Nest igur, está representdo o gráico d unção = (), cujo domínio é o conjunto { R: 6 6} e cuj imgem é o conjunto { R: - 3}: 18. (UNIRIO) So pressão constnte, conclui-se que o volume V, em litros, de um gás e tempertur T, em grus Celsius, estão relciondos por meio d equção: V o V = V o + T, 73 onde V o denot o volume do gás ºC. Assim, epressão que deine tempertur como unção do volume V é: V T = V o V 73 o T = V V o 73 V o 3 T = 73V V o V o Sendo g() = () + e h() = ( +), 1. Determine g() e h().. Esoce o gráico de: = g() = h() 3. Determine os domínios ds unções g e h. 17. (UFRN) Um clculdor presentv, em su tel, o resultdo d som dos gstos do mês relizdos por um pi coruj que permitiu seu ilho pertr lgums tecls, lterndo esse resultdo. O pi oservou que o menino hvi pertdo s tecls, +, 1 e, ness ordem e um únic vez. Pr recuperr o resultdo que estv n tel, o pi deverá pertr s tecls, 1, - e., -, 1 e. 4 6 d) e) V 73V T = o V o V V T = 73 o V o 19. (ITA) Sejm, g: R R deinids por () = 3 e g() = 1 3 cos 5. Podemos irmr que d) é injetor e pr e g é ímpr. g é sorejetor e go é pr. é ijetor e go é ímpr. g é pr e go é ímpr. e) é ímpr e go é pr.. (UFF) Considere s rets r, s e t cujs equções são, respectivmente, /p + = 1, p = p e + 3 = 6, com p. Determine: o vlor de p pr o qul r, s e t interceptm-se em um único ponto M; s coordends do ponto de interseção M. 1. (UFF) Com relção o triângulo ABC se-se que: o ponto A pertence o eio ds scisss; o ponto B pertence o eio ds ordends; 19

24 equção d ret que contém os pontos A e C é = ; equção d ret que contém os pontos B e C é =. Determine s coordends dos pontos A, B e C.. (UFF) Um motorist de tái cor, em cd corrid, o vlor io de R$3, mis R$,8 por quilômetro roddo. Indicndo por o número de quilômetros roddos e por P o preço pgr pel corrid, escrev epressão que relcion P com. Determine o número máimo de quilômetros rod- dos pr que, em um corrid, o preço ser pgo não ultrpsse R$1,. 3. (UFF) Um resturnte cor, no lmoço, té s 16h, o preço io de R$15, por pesso. Após s 16 h, esse vlor ci pr R$1,. Em determindo di, 5 pessos lmoçrm no resturnte, sendo o número de pessos que lmoçrm té s 16h. Sendo que o custo de um lmoço é R$ 8, por pessos e o lucro otido pelo resturnte nquele di oi mior que R$5, e menor que R$3,, determine o menor e mior vlor possível de. 4. (UFF) Um reservtório, contendo inicilmente 4 litros de águ, começ receer águ um rzão constnte de três litros por segundo, o mesmo tempo que um torneir dei escor águ desse reservtório um rzão, tmém constnte, de um litro por segundo. Considerndo o instnte inicil (t = ) como o instnte em que o reservtório começou receer águ, determine: o volume de águ no reservtório decorridos dez segundos (t = 1) prtir do instnte inicil; um epressão pr o volume (V), em litro, de águ no reservtório em unção do tempo decorrido (t), em segundo, prtir do instnte inicil. 5. (UFRJ) Um videoclue propõe seus clientes três opções de pgmento: Opção I: R$4, de t de desão nul, mis R$1, por DVD lugdo. Opção II: R$, de t de desão nul, mis R$, por DVD lugdo. Opção III: R$3, por DVD lugdo, sem t de desão. Um cliente escolheu opção II e gstou R$56, no no. Esse cliente escolheu melhor opção de pgmento pr o seu cso? Justiique su respost. 6. (UFRJ) Mri z hoje 44 nos e tem ddo um duro dndo pr sustentr sus três ilhs: Mrin, de 1 nos; Mris, de 8 nos; e Mr, de nos. Mri decidiu que rá um vigem o Nordeste pr visitr seus pis, no di do seu niversário, qundo su idde or igul à som ds iddes de sus três ilhs. Com que idde Mri pretende zer vigem? 7. (UFF) A ret r contém o ponto P( 5, ), tem coeiciente ngulr negtivo e orm, com os eios coordendos, um triângulo de áre igul. Determine equção de r. 8. (UFF) Um grnde poluente produzido pel queim de comustíveis ósseis é o SO (dióido de enore). Um pesquis relizd n Norueg e pulicd n revist Science em 197 concluiu que o número (N) de mortes por semn, cusds pel inlção de SO, estv relciondo com concentrção médi (C), em mg/m 3, do SO conorme o gráico io: os pontos (C, N) dess relção estão sore o segmento de ret d igur N 1 7 Com se nos ddos presentdos, relção entre N e C (1 C 7) pode ser dd por: N = 1 7C N = 94 +,3C N = 97 +,3C d) N = C N = C e) C

25 1. B. A 3. C 4. C 5. [, 1] [3, 5] 6., e 5/ 7. C 8. (-1) = e () = 1 9. D = { R 3} 1. V, F, V, F, V 11. Dom = (, 1) (1, + ) 1. E 13. A e d) 1 h() = = = () e g () () = ( 1) 3 D() = { R < 1 ou > 3} 1

26 18. C 3. D () = 1 D() = R* e Im() = R {3} Gráico. 1. D = { R 1/} 1 g () = 1 1 B 1. Im (ogoh) = [ -3; + [ (og) () = A π S = { = + k π, k Z} 5. B 6. C 7. D hors ,5m ,6 ilhões de dólres. 3. D 33. B 34. R$34,. 35. D 36. B 37. C 38. B 1.,. D = { R 1 < < 1} D() = { R 1 < ou < 1} Demonstrção. Bst rcionlizr epressão de. ( ) 1+ 1 () = = ( 1+ ) + ( 1 ), 1 <, < 1 g( ) =, 1 <, 4 [,] B D B 1. C /5 1. I) II) B 1, < () 1, 4

27 nos. 7. = (-8/5) B 5 d) 1/ (1.) g() = e h() = (.) g() h () X - (3.) D(g) = { R: 6 6} e D(h) = { R: 8 4} 17. B 18. E 19. E. p = 3 (3, ) 1.. A ( 5, ) B (, ) C ( 1, 4) P = 3, +,8 146km. 3. O menor vlor possível pr é 17 e o mior vlor possível pr é litros. V(t) = 4 +t Não, melhor opção seri opção III. 3

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