ALGORITMOS PARA RECONHECIMENTO DE PADRÕES

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1 ALGORITMOS PARA RECONHECIMENTO DE PADRÕES ARMANDO ANTONIO MONTEIRO DE CASTRO PEDRO PAULO LEITE DO PRADO Departamento de Engenhara Elétrca Unversdade de Taubaté RESUMO O obetvo prncpal desse trabalho fo o desenvolvmento de algortmos para sstemas de reconhecmento de padrões com ênfase em técncas de agrupamento. Incalmente são apresentados os concetos báscos sobre reconhecmento de padrões e, a segur, desenvolve-se uma vsão sstêmca do problema, dscutndo as fases e métodos de abordagem de proeto do reconhecmento de padrões. Fnalmente, apresenta os algortmos comumente usados para técncas de busca e agrupamento, aplcando alguns exemplos para lustrar seus passos e desenvolvmento. Os algortmos analsados e mplementados foram: Smlardade Máxma, MaxMn- Dstânca, K-Means e ISODATA. O obetvo proposto ncalmente fo alcançado, ou sea, foram desenvolvdos com êxto os algortmos Smlardade Máxma, MaxMn-Dstânca, K-Means e ISODATA. Os exemplos desenvolveram-se de manera a apresentar de forma ddátca a mplementação dos algortmos nas amostras de padrão determnadas para cada caso. A medda de smlardade adotada para comparação de padrões fo a dstânca eucldana. Os algortmos foram escrtos em lnguagem C++ e MatLab. Procurando tornar mas amgável o acompanhamento dos algortmos mplementados e a apresentação dos resultados, fo desenvolvda uma nterface gráfca, utlsando-se o software MatLab. PALAVRAS-CHAVE: reconhecmento de padrões, algortmos, agrupamento, smlardade máxma, maxmndstânca, k-means, sodata. INTRODUÇÃO O reconhecmento de padrões é uma habldade extremamente desenvolvda nos seres humanos e em alguns anmas. O ser humano é hábl em reconhecer rostos, vozes, calgrafas e, até mesmo, estados de humor de pessoas conhecdas. Alguns anmas também têm essa característca desenvolvda, tas como os cães fareadores, que vasculham bagagens em termnas de desembarque em busca de drogas. O grau de refnamento do reconhecmento de padrões, por parte do ser humano, pode chegar a ponto de dstngur uma pntura de um grande mestre daquela feta por um exímo falsáro ou, anda mas, pode estabelecer uma tomada de decsão por parte de um operador em um da de grande movmento em uma bolsa de valores. Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

2 30 Assm sendo, pode-se dzer que padrões são os meos pelos quas o mundo é nterpretado e, a partr dessa nterpretação, elaboram-se attudes e decsões. Percebe-se, também, que nos exemplos ctados, tal facldade no reconhecmento de padrões está dretamente vnculada aos estímulos aos quas o ndvíduo fo exposto anterormente. Isso leva a supor que a estrutura seleconada pela evolução bológca para desempenhar bem a tarefa de reconhecmento de padrões ncorpora alguma forma de aprendzado e evolu com a experênca. O grande desafo proposto neste nco de século é o de desenvolver máqunas que tenham tas comportamentos. Tarefas de reconhecmento de voz, de calgrafas e de textos mpressos usando caracteres de tpos dstntos estão em fase avançada de desenvolvmento, mas muto anda precsa ser feto para que seu desempenho se assemelhe ao do ser humano. Algumas áreas que poderam ser destacadas na aplcação do reconhecmento de padrões são: dentfcação através de mpressões dgtas e análse da írs, dagnóstcos médcos (Stener, 995), análse de magens aeroespacas, vsão computaconal (Perelmuter et al., 995), dagnóstcos pré e pós-natal e certos dagnóstcos de câncer ( Aguar, 000), reconhecmento de voz,(ferrera,994) nvestgação da qualdade do papel ndustral (Stener, 995), processamento de magens, análse de peças para manutenção preventva, análse de caracteres manuscrtos (Prado, 975), análse de eletrocardogramas, snas de radar, (Mascarenhas,987) reconhecmento e dentfcação de cromossomos(todesco, 995) dentre outras. CONCEITOS BÁSICOS EM RECONHECIMENTO DE PADRÕES O estudo do reconhecmento de padrões pode ser dvddo em duas categoras báscas: (Tou e Gonzales, 98).o estudo de seres humanos e organsmos vvos com o obetvo de se estabelecer os modos pelos quas os mesmos desenvolvem e aprmoram suas capacdades de reconhecmento de padrões e o desenvolvmento de teoras e técncas obetvando a construção de máqunas ou dspostvos capazes de apresentar característcas semelhantes às dos seres humanos em reconhecerem padrões. O presente trabalho desenvolve-se abordando a segunda categora. Padrão e Classe Entende-se por padrão as propredades que possbltam o agrupamento de obetos semelhantes dentro de uma determnada classe ou categora, medante a nterpretação de dados de entrada, que permtam a extração das característcas relevantes desses obetos, (Tou e Gonzáles, 98). Entende-se por classe de um padrão um conunto de atrbutos comuns aos Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

3 3 obetos de estudo. Assm, reconhecmento de padrões pode ser defndo como sendo um procedmento em que se busca a dentfcação de certas estruturas nos dados de entrada em comparação a estruturas conhecdas e sua posteror classfcação dentro de categoras, de modo que o grau de assocação sea maor entre estruturas de mesma categora e menor entre as categoras de estruturas dferentes. Os dados de entrada são meddos por sensores e seleconados segundo o conteúdo de nformações relevantes para a decsão, e passam por um processo de redução de sua dmensonaldade para que possam ser usados pelo classfcador, que o desgnará à classe que melhor o represente. Fases do Reconhecmento de Padrões Um sstema para reconhecmento de padrões engloba três grandes etapas: representação dos dados de entrada e sua mensuração, extração das característcas e fnalmente dentfcação e classfcação do obeto em estudo. A prmera etapa refere-se à representação dos dados de entrada que podem ser mensurados a partr do obeto a ser estudado. Essa mensuração deverá descrever padrões característcos do obeto, possbltando a sua posteror classfcação numa determnada classe. O vetor que caracterza perfetamente um obeto sera de dmensonaldade nfnta, descrto por um vetor X: x x x3 X =... x N onde: x, x, x 3,...,x N são suas característcas. A segunda etapa consste na extração de característcas ntrínsecas e atrbutos do obeto e conseqüente redução da dmensonaldade do vetor padrão. É a fase da extração das característcas. A escolha das característcas é de fundamental mportânca para um bom desempenho do classfcador. Esta escolha é feta obetvando os fenômenos que se pretende classfcar. Exge-se, portanto, um conhecmento específco sobre o problema em estudo. Nesta etapa, os obetvos báscos são: a redução da dmensonaldade do vetor característco, sem que sso mplque em perda de nformação que possa ser relevante para a classfcação, obetvando a redução do esforço computaconal e a seleção das característcas sgnfcatvas para a tarefa de classfcação. A tercera etapa em reconhecmento de padrões envolve a determnação de procedmentos que possbltem a dentfcação e classfcação do obeto em uma classe de obetos. De modo dferente da segunda etapa, aqu a concepção do Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

4 3 classfcador pode ser abordada de forma abstrata e ndependente da natureza do problema, pos, os métodos usados em reconhecmento de voz, análse de magens, processamento de snas de radar, nspeção de materas, vsão por computador ou detecção de avaras são mutas vezes os mesmos, possbltando a aplcação dessas técncas em contextos varados, sem perda de sua efcênca (Marques, 999). Num sstema físco qualquer exste um número nfnto de característcas que defnem os padrões nele exstentes. O Extrator de Característcas tem como função determnar e extrar as característcas mas sgnfcatvas que contrbuam para a descrção do obeto, dentre as nfntas característcas que possam descrevê-lo. Outro dado relevante é que o extrator de característcas vara com o sstema a ser analsado. A tabela exemplfca váras tarefas de classfcação, propostas por um sstema de reconhecmento de padrões, com seus dados de entrada e respectvos dados de saída: Tabela : Exemplos de tarefas de classfcação Tarefas de Classfcação Dados de Entrada Dados de Saída Reconhecmento de caracteres Snas óptcos Nome do caractere Reconhecmento de Voz Voz Identfcação da palavra Dagnóstcos Médcos Sntomas Identfcação da Patologa Prevsão do tempo Mapas atmosfércos Chuva, Sol etc. Uma vez extraídas as característcas é necessára a classfcação do obeto. Esta classfcação pressupõe a desgnação do obeto à uma determnada classe, dentre as váras que se apresentam. Nesta etapa o classfcador aprende a dstngur dentre as classes, aquela à qual o obeto pertence. Padrões de uma mesma classe aglomeram-se em agrupamentos S. Se o trenamento do classfcador exgr amplo conhecmento a pror da estrutura estatístca dos padrões a serem analsados e o padrão de entrada for dentfcado como membro de uma Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

5 33 classe pré-defnda pelos padrões de trenamento, o classfcador será chamado de Classfcador Paramétrco e a classfcação se processa de forma supervsonada. Por outro lado, se o classfcador utlzar determnado modelo estatístco, austando-se medante processos adaptatvos e a assocação entre padrões se fzer com base em smlardades entre os padrões de trenamento, o classfcador será chamado de Classfcador Não- Paramétrco e a classfcação se processará de forma não supervsonada. A grande dfculdade na mplementação de um proeto de reconhecmento de padrões está ustamente na escolha da técnca adequada para que as fases do reconhecmento de padrões ocorram de modo a representar satsfatoramente os fenômenos do mundo real. A fgura lustra, de forma mas detalhada, as dversas fases do reconhecmento de padrões. - Medda de um vetor padrão - vetor de entrada - x : ponto do espaço n-dmensonal - Característcas com poder de dscrmnação entre classes - Procedmentos de decsão - Geração de funções de decsão arbtraramente defndas ou estmadas, "otmzadas" por trenamento e aprendzagem Representação dos Dados de Entrada Extração das Característcas Prncpas Categorzação (dentfcação) e Classfcação Classe de Padrão Dados de Entrada (Obetos) Meddas x Vetor de "features" Estmação Trenamento Aprendzado Análse Contextual Fgura : Fases do Reconhecmento de Padrões Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

6 34 Formas de Abordagens de Proeto de Reconhecmento de Padrões As abordagens de proeto de reconhecmento de padrões são desenvolvdas em função da forma como as classes de padrão são categorzadas ou defndas. Bascamente são três as abordagens de proeto: rol de membros ( template matchng ), propredades comuns ( feature matchng ) e agrupamento ( clusterng matchng ). Rol de Membros ( Template Matchng ) A caracterzação de padrões medante uma lsta de padrões faz-se através de comparações com um modelo prevamente armazenado cuas característcas servem de parâmetro para a comparação. Evdentemente, é um procedmento bastante elementar, podendo, em certos casos, acarretar classfcações nadequadas em função de certos ruídos durante o processo de extração das característcas e posteror comparação com o padrão armazenado. Como exemplo de ruídos, em reconhecmento de caracteres, pode-se ctar a mpressão de um caracter mal delneado ou então uma maor ou menor porosdade do papel em que fo mpresso, ocasonando concentração ou dspersão da tnta. É útl nas aplcações em que os padrões a serem comparados são bastante próxmos do modelo padrão. A fgura lustra a abordagem de proeto medante a aplcação do conceto Rol de Membros. Padrão X Lsta de Padrões Armazenados X =,,..., n = + = X X = N S X S Fgura : Abordagem do Rol de Membros ( template matchng ) Propredades Comuns ( Feature Matchng ) A caracterzação de padrões por propredades comuns efetva-se medante algumas característcas prncpas nerentes aos elementos desta classe. Padrões pertencentes a uma mesma classe possurão propredades comuns de dscrmnação dessa classe. Desta forma, quando um padrão desconhecdo é observado pelo sstema, suas característcas são extraídas e comparadas com aquelas armazenadas como dscrmnantes das classes. O classfcador então, classfcará este novo padrão em uma das classes exstentes ou então desgnará o obeto a uma nova classe. O prncpal aspecto desta abordagem refere-se ao extrator das característcas do sstema, pos, dele dependerá o Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

7 35 bom desempenho do reconhecmento de padrões. Se todas as característcas de um padrão de classe são determnadas a partr de uma amostra, o processo de reconhecmento reduz-se smplesmente a estabelecer comparações com os novos obetos submetdos para análse. É extremamente dfícl, porém, determnar completamente todas as característcas determnantes de uma classe de padrão. A utlzação deste conceto mplca freqüente desenvolvmento de técncas que permtam aperfeçoar e otmzar a extração das característcas dos obetos em estudo. Agrupamento ( Clusterng Matchng ) Quando os padrões de uma classe são vetores cuos componentes são números reas, a classe do padrão pode ser estabelecda segundo formas do agrupamento, clusters, desses pontos no plano. Havendo uma separação entre os pontos de forma clara, técncas smples podem ser empregadas, tal como, dstânca-mínma. Caso haa superposção entre os clusters, técncas mas elaboradas são necessáras, tas como, classfcação por funções smlares (métodos estatístcos), por trenamento de padrão (métodos determnístcos) ou outros algortmos mas adequados. Métodos de Reconhecmento de Padrões As abordagens de proeto apresentadas anterormente são mplementadas através de três métodos de reconhecmento de padrões: métodos matemátcos, métodos lngüístcos ou sntátcos e métodos heurístcos. Não é raro o emprego de uma combnação dos métodos acma ctados para que se efetve o reconhecmento de padrões (Tou e Gonzales, 98). Métodos Matemátcos Os métodos matemátcos utlzam regras de classfcação que são formuladas a partr de modelagem matemátca dos concetos de propredades prncpas e agrupamento. São subdvddos em duas categoras prncpas: métodos determnístcos e métodos estatístcos. O classfcador de padrões estatístco basea-se na Regra de Classfcação de Bayes, empregada quando a função densdade de probabldade das classes de padrão e a probabldade de ocorrênca de cada classe de padrão são conhecdas. Assm, a prncpal tarefa para a utlzação da classfcação estatístca é a estmação paramétrca das funções densdade de probabldade ou, se necessáro, aproxmação funconal dessas densdades de probabldade. Se forem conhecdas apenas a méda e a varânca das dstrbuções, a função gaussana será utlzada. Os métodos Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

8 36 determnístcos têm formulação smplesmente matemátca. Métodos Lngüístcos ou Sntátcos A abordagem de proeto é a de propredades comuns, feature matchng. Basea-se na caracterzação de padrões por meo de uma estrutura herárquca de elementos prmtvos (sub-padrões) e suas relações. Desenvolve-se de forma semelhante à estrutura sntátca de lnguagens. É partcularmente útl para padrões que não podem ser descrtos convenentemente através de meddas numércas, ou então, são tão complexos que suas característcas específcas não podem ser enuncadas, transformando-se então, em característcas globas. Métodos Heurístcos Baseam-se em procedmentos ad hoc para tarefas especalzadas de reconhecmento de padrões. Levam em consderação a ntução e experênca do programador em utlzar o conceto de rol de membros e propredades comuns. Embora a abordagem heurístca sea um mportante método no reconhecmento de padrões, pouco pode ser dto sobre prncípos generalzados nesta área, vsto que cada problema requer a aplcação de regras especfcas e elaboradas para tal fm. Por consegunte, o desempenho de um sstema de reconhecmento de padrões baseado neste método dependerá de profundo conhecmento e ntução do elaborador do proeto. Reconhecmento de Padrões Quanto à Supervsão Reconhecmento de Padrões Supervsonado Padrões representatvos de cada classe estão dsponíves e o sstema é ensnado a reconhecer padrões por meo de esquemas de adaptação. Consste, pos, na dsponbldade de padrões de trenamento e de um procedmento de aprendzado. Exemplos de algortmos utlzados no reconhecmento supervsonado são: perceptron, gradente, erro quadrátco mínmo, funções potencas, etc. Reconhecmento de Padrões Não- Supervsonado São dsponíves apenas padrões de trenamento de classfcação desconhecda. O reconhecmento de padrões de forma nãosupervsonada é empregado quando não exste nformação a pror acerca das classes dos protótpos. Os métodos para assocar um dado agrupamento a cada padrão seguem algum crtéro de smlardade e são dependentes do algortmo Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

9 37 empregado, dos dados utlzados e da medda de smlardade adotada. ALGORITMOS DE BUSCA E AGRUPAMENTO As técncas de busca de agrupamento são empregadas quando os padrões das classes são números reas que se agrupam no espaço n- dmensonal. São utlzados como ponto ncal para o reconhecmento de padrões nãosupervsonado em cuo caso os padrões das classes são conhecdos a pror. Os centros dos agrupamentos obtdos por essa técnca podem ser nterpretados como os dferentes padrões de classe, através das quas o trenamento pode ser realzado. - Seam M os agrupamentos de padrões de classes, representados pelos protótpos de padrão Z, Z, Z 3...Z M. - A dstânca Eucldana entre padrões quasquer x e cada protótpo Z será dada por: D = x Z = x Z )'( x Z ) (3..) ( onde x Z )' sgnfca a transposta de x Z ). ( ( A classfcação por smlardade máxma estabelece a dstânca entre um padrão x de classfcação desconhecda em relação ao protótpo de cada classe e nomea o padrão à classe que está mas próxmo. Em outras palavras, x será desgnado para a classe w se: Classfcação de Padrões Baseado em Smlardade Máxma. A classfcação por dstânca de funções é um dos prmeros concetos em reconhecmento automátco de padrões (Tou e Gonzáles, 98). Esta técnca é uma ferramenta efetva para a solução de problemas em que cada padrão de classe apresenta de modo claro, lmtado grau de varabldade, por exemplo, a dentfcação de caracteres mpressos com tnta magnétca em códgos de barra. Sob estas condções, smlardade máxma consttu uma abordagem adequada para o problema de classfcação. como: Sendo D < D, A equação (3..) pode ser desenvolvda D = x Z = ( x Z )'( x Z ) = x '. x x' Z Z' x + Z' x' Z = Z' D x, resulta: = x' x x' Z + Z' = x' x [ x' Z Z' Z ] (3..) Z Z Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

10 38 Escolher o menor D é equvalente a escolher o menor D, pos todas as dstâncas são postvas. De (3..) tem-se que o termo ndepende de para todo D, =,,...,M. Assm escolher o menor escolher o máxmo D x ' x é, corresponde pos, [ x ' Z Z' Z ]. Defne-se assm a função de decsão ' d ( x) = x' Z Z Z, =,,...,M (3..3) d (x) : onde o padrão x é desgnado para a classe W se d ( x) > d ( x) Sendo. uma função de decsão lnear, sto é, se Z, =,,3,..., n, são os componentes de =,,3,...,n. w, n (x) d Z e W = Z, onde ' + = ZZ (3..4) x x x = M x n podendo-se representar a equação (3..3) na forma lnear d ( x) = w' x, com =,,3,..., M (3..5) onde: W w, w,..., w )'. = (, n+ Classfcação por Lmar Smples - Threshold Algorthm O algortmo Lmar Smples tem uma concetuação bastante smples. Arbtraramente é escolhda uma das amostras de padrão, dsponíves para análse, para ser o prmero centróde de classe Z. A segur, são calculadas as dstâncas entre o centróde Z e cada e uma das amostras. Se essas dstâncas forem menores que um lmar T, prevamente estabelecdo, a amostra é desgnada à classe S de centróde Z. Caso alguma dstânca sea maor que o lmar T, novo centróde de classe é determnado e novamente são calculadas e comparadas as dstâncas entre centródes e amostras com o lmar T. Algumas característcas desse algortmo merecem especal atenção. A escolha do centróde ncal, protótpo de classe, pode afetar de manera sgnfcatva a classfcação das amostras. Seu desempenho pode ser melhorado se os valores para o lmar T adotados forem próxmos aos centródes de agrupamento. O valor arbtrado para o lmar T afeta a alocação dos padrões às classes de agrupamento. Caso esse valor sea muto grande, dstntas amostras de padrão podem agrupar-se em uma mesma classe. Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

11 39 Por outro lado, se o valor adotado for muto pequeno as amostras constturão númeras classes cuos padrões podem ter mesmas característcas. Em ambos os casos, tem-se a descaracterzação da análse efetuada. A escolha do melhor valor para o lmar T dependerá de análse da dsposção das amostras, da quantdade de amostras e de expermentações com város valores (Feucht, 977). Algortmo Maxmn-Dstânca O algortmo Maxmn-Dstânca é um procedmento heurístco baseado no conceto de medda de smlardade, por exemplo, a dstânca eucldana. O algortmo é smlar, em prncípo, ao apresentado no tem 3., dferndo deste por dentfcar ncalmente as amostras mas afastadas entre s. 3.4 Algortmo K-Means O algortmo k-means basea-se na mnmzação de uma medda de custo, a dstânca nterna entre os padrões de um agrupamento. A mnmzação do custo garante encontrar um mínmo local da função obetvo, que dependerá do ponto ncal do algortmo. Esse tpo de algortmo é chamado de não-convexo, pos, a cada teração dmnu o valor da dstorção, vsto que o resultado fnal depende do ponto ncal usado pelo algortmo. Uma dervação do algortmo k-means, com heurístcas para dvsão e unão de clusters, é o algortmo ISODATA, que é o algortmo k-means modfcado. Apesar dessas característcas, o ISODATA também não é convexo e varante, ou sea, enfrenta problemas quando se depara com mínmos locas, durante a mnmzação do custo (Aguar, 000). Observese que: dado um conunto S, dstorção é qualquer aplcação d: S X S que assoca cada par de elemento de S a um número real que traduz o afastamento entre esses elementos (Marques, 999). O Algortmo + R 0 I. Incalzação: Seleconar arbtraramente os k centros ncas de agrupamentos (centródes), Z, Z,..., Z k. II. Determnar a dstânca, com =,,...,k, entre cada centróde e os demas padrões. A desgnação dos padrões às classes de padrão se fará, no caso da dstânca eucldana, quando as amostras x de padrão atenderem à relação: x Z ( k) < x Z ( k) =,,..., k e. A expressão, com x Z defne a dstânca Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

12 40 os eucldana entre os padrões, (amostras) e centródes. Formam-se k agrupamentos (cluster), compostos pelos elementos x pertencentes à classe S ( k) = { x, x,...} III Atualzar os centros de agrupamento a partr do passo, usando a relação: Z ( k + ) = x, onde N é numero de N x S elementos de S.. Esta atualzação mnmza a soma do quadrado das dstâncas de cada padrão do agrupamento ao novo centro de agrupamento. O comportamento do algortmo k-means apresenta vantagens no que concerne a smplcdade e efcênca. É rápdo para cálculos smples, possbltando o processamento seqüencal dos dados, acarretando baxa quantdade de armazenamento de nformações a serem processadas. A desvantagem é a sua dependênca dos valores ncas de k, da ordem em que as amostras são processadas, da escolha dos prmeros centros de agrupamento e da geometra das amostras dsponíves para análse. Em alguns casos sua utlzação requer expermentação com város valores de k e dferentes escolhas dos parâmetros ncas(duda, 974). Algortmo ISODATA e IV Comparar os centródes centróde Z ( k + ) com o Z (k). Se Z ( k +) Z ( k) então novos centródes fcam determnados repete-se o passo com de Z ( k + ) Z (k), defnndo assm os novos elementos de cada classe. Se no lugar Z ( k +) Z ( k) o algortmo converge e o = procedmento está termnado, com a desgnação de cada padrão á sua respectva classe de padrões. O algortmo ISODATA, Iteratve Self- Organzng Data Analyss Technques, é um algortmo semelhante, em prncípo, ao algortmo k-means. Desenvolve-se baseado em crtéros de mnmzação e aplcação de métodos heurístcos em um procedmento teratvo para determnação de centródes de classes de padrões. Seu desenvolvmento segue os seguntes passos:. Incalzação: Seleconar de forma arbtrára os centros de agrupamento Z, Z,...,. Nc. O número de Z Nc centros de agrupamentos arbtrado, Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

13 4 necessaramente, não precsa ser gual ao número fnal de centródes obtdos após o térmno do algortmo.. Estabelecer os valores dos parâmetros ncas: K = Número de agrupamentos (clusters) deseado θ N = Parâmetro mínmo de amostras permtdo por classe, usado na elmnação de agrupamentos θ S = Parâmetro a ser comparado com o desvo padrão, usado na dvsão de agrupamento θ C= Parâmetro de agrupamento, usado para agregar agrupamentos L = Número máxmo de amostras que podem untar-se a uma classe durante o desenvolvmento do algortmo. I = Número máxmo de terações permtdas. 3. Desgnação das amostras de padrões aos centros de agrupamento mas próxmo, usando a relação: x S se =,,..., Nc x - Z <, x Z com 4. Descartar os conuntos de padrões S que não apresentarem quantdade mínma de amostras ou sea, para as classes S em que N < θn, descartar S e reduzr o número de classes em uma undade, N C = N C. 5. Atualzar os centros de agrupamento Z usando a relação: Z = x, =,,,..., N c onde N N x S é o número de amostras presentes nas respectvas classes. 6. Calcular a dspersão D, dstânca D méda de cada amostra x, da classe S, ao centro de agrupamento Z correspondente, usando a relação: = N x S x Z, =,,..., N 7. Calcular a dspersão global D, espalhamento mesma dstânca méda global entre amostras e respectvo centróde, usando: D = N Nc = N D onde: N é a quantdade de amostras dsponíves para análse e N é a quantdade de amostras presentes na classe S. D fornece o entre mostras de padrão de uma classe, usado como parâmetro na c Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

14 4 dvsão de classes. Z = -ésmo componente de Z 8. Termnar, dvdr ou reagrupar: a) se for a últma teração, fazer θ C b) Se = 0 e r para o passo. k N c, r para o passo 9 (quantdade de centródes menor que o esperado, buscar dvsão de classes). c) Se for uma teração par ou N c k r para o passo (quantdade de centródes acma do esperado, buscar agrupamento de classes), caso contráro contnue 9. Calcular o vetor desvo padrão σ para cada amostra de padrão em relação aos exos coordenados, σ = ( σ, σ,..., σn )', usando a relação σ = N x S ( x Z ) =,,...n ; =,,..., Nc ; k =,,..., N onde: n = Dmensonaldade da amostra x k = -ésmo componente da k-ésma amostra em S k classe S N = número de amostras da Cada componente de σ representa o desvo padrão das amostras em longo do prncpal exo coordenado. S 0. Calcular o componente máxmo da dspersão σ e denotá-lo, =,,...,N c, σ máx. Dvsão: Se para algum, σ máx =,,...,N c, tem-se σ > θ máx S e: a) D > D e N > ( θn + ) ou b) N k c ao Dvdr a classe S, de centro em Z, em duas outras classes cuos centros serão dados por + e Z função de γ, com γ = κσ máx e ncrementando N C de undade. Z, obtdos em 0 κ, elmnando-se Z e < Assm, tem-se: Z = f( Z, γ ). + Z = f( Z, γ ) e Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

15 43 Ocorrendo a dvsão vá para o passo 3, caso contráro contnue.. Calcular os pares de dstâncas D entre os centros de agrupamentos, D = Z Z = +,..., Nc ; =,,..., Nc e, e comparar D com θ N. Reordenar as L menores dstâncas que, ( D c θ N < θ ), em ordem crescente: [ D D,..., D ], LL D < D <., D LL onde e L é o número máxmo de classes que podem se agrupar. 3. Unão dos Agrupamentos: para cada dstânca D ll é assocado um par de agrupamentos de centros Z e. Incar o agrupamento com a menor dessas dstâncas. Para l =,,...,L, unr as duas classes usando a relação: Z l Z l = [ N l (Zl ) N l (Z l )], N + N * l + l l descartando Zl e Z l e reduzndo N C de uma undade. 4. Termnar ou repetr: a) Se for a últma teração, o algortmo segue para o passo 5. b) Se não for últma teração, pode ser necessára a troca de alguns dos parâmetros ncas, o algortmo segue para o passo. c) Se não for últma teração e não houver necessdade de alteração nos parâmetros ncas. O algortmo segue para o passo 3. Observe-se que uma teração é consderada cada vez que o algortmo retorna ao passo ou O algortmo está encerrado, com a desgnação dos padrões às respectvas classes de padrão. RESULTADOS E CONCLUSÕES O obetvo prncpal proposto ncalmente fo alcançado, ou sea, foram desenvolvdos com êxto os algortmos para sstemas de reconhecmento de padrões, com ênfase em técncas de agrupamento, Smlardade Máxma, MaxMn-Dstânca, K-Means e ISODATA. Os exemplos desenvolveram-se de manera a apresentar de forma ddátca a mplementação dos algortmos nas amostras de padrão determnadas para cada caso. Foram escolhdas amostras com vetor de característcas bdmensonal dada a maor facldade de vsualzação dos resultados obtdos Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

16 44 após a mplementação dos algortmos. A medda de smlardade adotada para comparação de padrões fo a dstânca eucldana dada por D = x Z = ( x Z )'( x Z ) onde x Z )' sgnfca a transposta de x Z ). ( ( Os algortmos foram escrtos em lnguagem C++(Borland C++ for Wndows, V5.0). Obetvando uma forma mas amgável de apresentação dos resultados dos algortmos, fo desenvolvda uma nterface gráfca, (Castro, 00) usando-se o software Matlab, em sua versão 5.3, para o algortmo K-Means. Os exemplos apresentados foram lmtados ao espaço bdmensonal, obetvando lustrar de forma ddátca os fundamentos teórcos desenvolvdos e tornar possível seu desenvolvmento passo a passo, embora, usualmente, as tarefas de reconhecmento de padrões contemplem varáves n-dmensonas, n 3. ABSTRACT Ths work ams at developng algorthms for pattern recognton, manly on clusterng technques. Intally, the basc concepts of pattern recognton are presented. Then, a systemc vson of the problem s developed, wth the dscusson of the approaches for the proect of pattern recognton. Fnally, the followng algorthms for cluster-seekng are mplemented: Maxmm Smlarty, Maxmn-Dstance, K-Means and ISODATA. An user-frendly nterface helps to present the programs, wrtten n C++ and n Matlab. KEY WORDS: pattern recognton, algorthms, clusterng, maxmm smlarty, maxmndstance, k-means, sodata. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aguar, R. G. Segmentação de Imagens em Cores de Hmunohstoquímca. Dssertação de Mestrado. Unversdade Federal de São Carlos, 000. Castro,A.A.M. Algortmos Para Reconhecmento de Padrões. Dssertação de Mestrado, Unversdade de Taubaté, 00. Duda, R. O., Hart, P. E. Pattern Classfcaton and Scene Analyss. Wley -Interscence, New York Ferrera, M. F. O Reconhecmento de Padrões. Dssertação de Mestrado. Unversdade de Brasíla, 994. Feucht, D. Pattern Recognton, Basc Concepts and Implementatons. Computer Desgn, 977. Rev. Cênc. Exatas, Taubaté, v. 5-8, p. 9-45,

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