UM NOVO MÉTODO KERNEL PARA A ANÁLISE DISCRIMINANTE DE SEQUÊNCIAS BIOLÓGICAS

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1 UM NOVO MÉTODO KERNEL PARA A ANÁLISE DISCRIMINANTE DE SEQUÊNCIAS BIOLÓGICAS RAUL FONSECA NETO Departamento de Cênca da Computação UFJF raulfonsecaneto@g.com.br VICTOR S. DE A. MENESES Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Sstemas e Computação COPPE/UFRJ vctor_stroele@yahoo.com.br Resumo - Este trabalho tem como objetvo explctar a dmensão do problema de avalação da smlardade entre seqüêncas bológcas e apresentar uma proposta aproprada para a solução do mesmo desenvolvendo e mplementando um algortmo baseado em um método ernel aplcado a solução de problemas de classfcação em Bonformátca. O método proposto se basea na exploração da estrutura sntátca das seqüêncas representadas na sua forma prmára como uma cadea de caracteres. A nova metodologa fo utlzada para o desenvolvmento de um classfcador capaz de predzer a classe de pertnênca de uma seqüênca no sentdo de apresentar ou não uma localzação de splce junctons podendo ser do tpo ntron/exon ou exon/ntron. Para tanto, fo utlzado um classfcador SVM, também conhecdo como máquna de vetores suporte, que se utlza da matrz ernel gerada pelo método aplcado a um problema de mult-classfcação. Palavras-Chave Máqunas de Vetores Suportes, Métodos Kernel, Smlardade de Sequêncas Bológcas, Tabela de Sufxos, Função Kernel Fuzzy 1. Introdução O surgmento das máqunas de vetores suportes, Cortes e Vapn [1995], e, posterormente, o desenvolvmento de classfcadores ernel, Smola e Scholopf [001], acarretaram um grande avanço, e, até mesmo, uma mudança de perspectva, no campo da aprendzagem de máqunas, no contexto, sobretudo, do aprendzado supervsonado. Dentre as prncpas aplcações se destaca a área de Bonformátca, também conhecda como Bologa Molecular Computaconal. Recentemente, fo publcado uma coletânea de trabalhos específcos abordando o desenvolvmento e a aplcação de métodos ernel em problemas relaconados a Bologa Computaconal, Scholopf, Tsuda e Vert [004]. Atualmente, um grande esforço vem sendo realzado no sentdo de organzar e analsar os dados gerados pelo projeto Genoma. Um dos nteresses prncpas é a dentfcação da estrutura dos genes através das seqüêncas obtdas. Para tal, busca-se por snas partculares assocados com a expressão gênca. Para o estudo entre eucarontes e procarontes é nteressante a análse de ocorrênca ou não de splce junctons nas seqüêncas bológcas. Isto se deve ao fato dos eucarontes apresentar esta característca e os procarontes não. O problema em questão trata do desenvolvmento de um classfcador SVM que seja capaz de dstngur corretamente três tpos de seqüêncas. As seqüêncas podem ser dvddas em dos grandes grupos: as que representam splce junctons e as que não representam. Além dsso, as seqüêncas que representam esta característca podem, também, ser subdvddas: as que apresentam splce junctons do tpo ntron/exon e as que apresentam do tpo exon/ntron. Desta forma, é gerado um problema de multclassfcação relaconado a exstênca de três classes dstntas.. Métodos: SVMs e Kernels.1 Máqunas de Vetores Suportes Máqunas de Vetores Suportes (SVMs) são classfcadores bnáros de máxma margem ntroduzdos, ncalmente, por Boser, Guyon e Vapn em 199. Esta técnca busca separar o conjunto de trenamento por um hperplano que maxmze a dstânca entre elementos pertencentes a classes opostas. Além dsso, classfcadores construídos por SVMs buscam uma performance de generalzação melhor em problemas de classfcação quando comparados com classfcadores perceptrons. Para problemas lnearmente separáves, a margem, γ, é defnda pela dstânca mínma de um ponto para o hperplano. Exstem dos tpos dferentes de margens, a margem funconal dada por: γ f mn x wx, + b,e a margem geométrca, defnda como a margem funconal dvdda pela norma L do vetor w. Assm, esta margem será γ g γ f w. Entretanto, para se obter o hperplano de máxma margem, que classfque corretamente todos os dados, {(x,y ), 1,...,m}, é necessáro resolver o segunte problema de otmzação: ( y ( wx + b) w ) max mn, wb, x sujetoa y wx b para m (, + ) > 0, { 1,..., } (1)

2 Defnndo: γ g w 1 como sendo o valor da margem funconal mínma, Vapn dervou a segunte formulação alternatva: mn w sujetoa y wx, + b 1. ( ) () Para facltar a solução deste problema, é convenente relaxar as restrções de desgualdade ntroduzndo um conjunto de multplcadores Lagrangeanos não negatvos, ou varáves duas, α, onde {1,...,m}. Assumndo a forma quadrátca da função objetva e ncorporando a penalzação das restrções, será obtda uma função Lagrangeana descrta pela segunte equação: ( ) (3) Lwb (,, α) 1 ww α y wx, + b + α. t A função Lagrangeana precsa ser mnmzada em relação aos parâmetros w e b, e maxmzada em relação ao parâmetro α, sujeto a α, 0, {1,...,m}. Esta solução pode ser obtda através da maxmzação de uma função dual, onde os parâmetros w e b são substtuídos. Esta formulação do problema é chamada forma dual de Wolfe. A mesma pode ser conseguda substtundo-se os parâmetros w e b em função da solução do sstema relatvo às dervadas parcas da função Lagrangeana em relação à w e b. Desta manera, é construída a formulação fnal do problema SVM escrto somente como uma função do vetor de varáves duas α:: ( ) max L α α 1 αα yy x, x sujetoa α y 0 j j j j { m} α 0, 1,...,. (4) Soluconando este problema e encontrando os valores α *, será obtdo o segunte vetor normal: * * α yx w. (5) Para se obter a função dscrmnante fnal é necessáro computar o parâmetro bas, b. Este é faclmente calculado utlzando a condção de complementardade de Karush-Kuhn-Tucer: ( y ( wx b) ) α, (6) É nteressante observar que esta condção é somente verfcada para valores postvos de α. Estes multplcadores são assocados aos pontos que defnem a posção do hperplano, sendo assm chamados de vetores suportes. Desta forma, se o parâmetro bas é corretamente computado, tem-se que: para α > 0 mplca em y (<w,x >+b) 1, tornando a equação de complementardade satsfeta. Para a solução de um problema não lnearmente separável é necessára a ntrodução de funções ernel. Dado uma função de mapeamento, Φ, defnda na d forma: Φ: R F,sendo F o espaço de característcas, é possível crar uma representação dos pontos em um espaço de mas alta dmensão no qual o problema de classdcação se torna lnearmente separável. Na maora dos casos, não é precso conhecer o mapeamento, Φ, explctamente, desde que se utlze uma função ernel, defnda como d d : R xr R, que corresponde ao produto nterno dos vetores neste espaço de mas alta dmensão. Ou seja, (x,y) <Φ(x), Φ(y)>. Como exemplo, tem-se o desenvolvmento de um classfcador que utlza uma base de funções polnomas. Neste sentdo, consderando o grau do polnômo gual a, relatvo a uma expansão quadrátca dos vetores do espaço de entrada, tem-se, para um conjunto X defndo em R, a segunte função ernel: ( X) R ( F) 3 Φ: R, ( x1, x) Φ ( x1, x) ( x1,. x1. x, x ) ( xy, ) Φ( x), Φ ( y) ( x1,. x1. x, x).( y1,. y1. y, y) T (( x1, x)(. y1, y) ) ( xy, ) T (7) Consderando a defnção de w em função do vetor de multplcadores α, w j α j y j Φ(x j ), a função dscrmnante pode ser reescrta na forma: f ( x) α jyy j K( x, xj) + b. (8) j Entretanto, para que uma função real seja caracterzada como um ernel: :R d x R d R, tal que Φ:R d F e (x,y) (y,x) < Φ(x), Φ(y)>, x,y R d, é necessáro satsfazer algumas condções. A prmera condção a ser estabelecda é a smetra, dervada da condção de smetra do produto nterno. Também, deve-se verfcar a condção de exstênca de um ernel. Esta condção fo estabelecda por Mercer [1909], que determnou as condções de necessdade e sufcênca para que uma função smétrca (x,y) seja um ernel. Esta condção está assocada ao fato de que a função deva ser semdefnda postva, ou seja, para um conjunto de vetores x 1,x,...,x l, e para um conjunto de escalares λ 1,λ,..,λ l, a função deve satsfazer: j λ.λ j.(x,x j ) 0. (9) Para melhorar a efcênca de certas aplcações, todos os valores de uma função ernel, relatvos a cada par de pontos do conjunto de trenamento, podem ser computados uma únca vez e armazenados em uma matrz ernel.. Método Kernel

3 .3 SVM e Multclassfcação Para a utlzação de classfcadores SVM em problemas de multclassfcação, deve-se consderar o trenamento de um conjunto de hperplanos separadores formando uma função de decsão mas complexa. Este processo pode ser desenvolvdo de duas formas dferentes, que apresentam, entretanto, resultados equvalentes. A prmera consste no método de trenamento denomnado um contra todos, ou seja, para cada classe do problema, é trenado um classfcador consderando como postvos os exemplos da classe e negatvos os demas. Tem-se, portanto, a geração de n hperplanos separadores, sendo n o número de classes exstentes. Neste caso, a função de decsão rotula como classe de um novo exemplo àquela assocada ao hperplano que esteja mas afastado do vetor, no sentdo de garantr uma maor generalzação. Consderando g(x) a função que computa a dstânca de um ponto ao hperplano assocado e c(x) a função que rotula a classe, tem-se c(x) Arg Max { g (x)}. Para se testar a pertnênca de um novo exemplo são computadas n dstâncas, realzando-se n-1 comparações. A segunda alternatva consste em se trenar uma classe contra a outra, consderando somente os exemplos de trenamento assocados às respectvas classes. Neste caso, serão realzados C n, ou exatamente n.(n-1)/ trenamentos, com a geração de um número quadrátco de hperplanos separadores na forma g,j (x) para j. A função de decsão envolve a formação de uma árvore bnára de decsão contendo n vértces termnas relatvos as n classes e n-1 n.(n-1)/ vértces nternos, correspondentes a confrontação de todos os pares de hperplanos obtdos. Para testar a pertnênca de um novo exemplo é necessára a realzação de n-1 comparações, cada uma envolvendo a avalação de uma função de decsão do tpo φ(g,j (x)), que estabelece um camnho da raz da árvore até um vértce termnal assocado a classe vencedora. 3. Kernel baseado em Tabela de Sufxos A questão prncpal que se levanta na análse de seqüêncas bológcas por algortmos de aprendzado está relaconada à forma de representação e de codfcação dos dados de entrada. Por tratar-se de dados estruturados que não possuem, ncalmente, uma representação vetoral defnda, como representá-los de forma adequada para que todas as nformações assocadas aos mesmos sejam extraídas pelo processo de trenamento? Os métodos tradconas, como as redes neuras artfcas e algortmos genétcos sugerem uma representação codfcada dos dados, geralmente na forma bnára, para a construção dos vetores de representação. Na análse de seqüêncas bológcas tem-se a representação clássca ou na forma canônca dos nucleotídeos {A,C,G,T} pelos respectvos vetores bnáros (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) e (0,0,0,1). Esta representação possblta a smples comparação posconal entre duas seqüêncas de mesmo tamanho através da utlzação do produto nterno entre os vetores codfcados. O valor do produto nterno representará de forma obva o número de repetções de nucleotídeos nas duas seqüêncas analsadas. Entretanto, apesar de ser possível expandr esta forma de representação com a aplcação de funções ernel polnomas e gaussanas sobre os vetores, ela representa dos nconvenentes prncpas que nvablzam a sua utlzação em quase todos os problemas de análse de seqüêncas bológcas: as seqüêncas têm que ter o mesmo tamanho e as seqüêncas tem que estar alnhadas por um processo de alnhamento múltplo de complexdade O(n 3 ) Neste sentdo, como na maora das vezes os fragmentos de seqüêncas bológcas não estão alnhados e muto menos são de mesmo tamanho, pode-se optar por uma forma de representação que ao nvés de se preocupar com a representação vetoral ou com a codfcação dos dados de entrada, ou mesmo com a sua projeção no espaço de característcas, se preocupa com a geração de uma matrz ernel cujos valores devem traduzr de forma adequada o grau de smlardade dos dados. Esta nova forma de representação dos dados, a qual possblta o trenamento efcente de algortmos de aprendzado sem mesmo conhecer a dsposção espacal dos vetores no espaço de entrada, conforme apresentado na fgura 1, é a base do desenvolvmento de novos classfcadores que utlzam a teora dos métodos ernel, cujos resultados podem ser estenddos, também, para outros tpos de análses. Fgura 1: Representação das etapas de construção de um classfcador 3.1 Operadores e Vetores de Característcas Suponha que se deseja medr a smlardade entre duas seqüêncas de nucleotídeos, analsando as subseqüêncas repetdas de tamanhos dos. Para tanto, deve-se construr os vetores de característcas, Φ (x) para, consderando o alfabeto: AA, AC, AG, AT, CA, CC, CG, CT, (10) GA, GC, GG, GT, TA, TC, TG, TT Portanto, para s GCATATTCGACTCCAG e t TGATATCCGACTCGAG, tem-se os seguntes vetores de característcas bnáros: [ ] [ ] Φ () s 0, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1 1, 1, 0, 0 1, 1, 0, 1 Φ () t 0, 1, 1, 1 0, 1, 1, 1 1, 0, 0, 0 1, 1, 1, 0. (11)

4 Após a construção dos vetores de característcas é st através do possível avalar a função ernel ( ), operador bnáro. Este valor representa o número exato de ocorrêncas de subseqüêncas guas de tamanho dos entre as duas seqüêncas. No entanto, não é consderado a ocorrênca de repetções, fazendo com que as subseqüêncas repetdas sejam consderadas uma únca vez somente. Neste caso, uma nova alternatva consste, ao nvés de se computar vetores bnáros, construr vetores de números nteros, onde cada posção ndcará o número de ocorrêncas daquela subseqüênca na seqüênca que está sendo analsada. Consderando as mesmas seqüêncas s e t defndas anterormente, os novos vetores de característcas serão: Φ() s [ 0, 1, 1,, 1, 1, 1 1, 1, 0, 0 1,, 0, 1] (1) Φ() t [ 0, 1, 1, 0, 1,, 1 3, 0, 0, 0 1,, 1, 0 ]. A utlzação de valores absolutos pode trazer algumas ncorreções na análse de smlardade de seqüêncas de tamanhos dferentes. Neste sentdo, pode-se optar pelo uso de um vetor de probabldades onde a ocorrênca de cada subseqüênca fca representada pela respectva freqüênca relatva em relação ao número total de ocorrêncas. Assm, para o exemplo descrto será obtdo, para s, o segunte vetor de probabldades: 0, 1/15, 1/15, /15 /15, 1/15, 1/15, 1 /15 (). 1/15, 1/15, 0, 0 1/15, /15, 0, 1/15 Φ s (13) Com esses novos vetores é possível utlzar tanto o operador produto, quanto o operador mn, para o cálculo da função ernel. No prmero caso, aplcando-se o operador produto, pode-se afrmar que os valores produzdos pela função ernel estão assocados a um somatóro de produto de probabldades ndvduas. Caso os eventos sejam ndependentes este valor traduz o somatóro das probabldades conjuntas de ocorrênca de todas as subseqüêncas no par de seqüêncas que está sendo analsado. Este tpo de cálculo pode gerar valores de smlardade elevados e não normalzados, não representando, mutas vezes, de forma adequada, o grau de smlardade entre as seqüêncas. Alternatvamente, pode ser utlzado o operador mn equvalente à operação de nterseção entre os vetores para o cálculo da função ernel. Este operador parece ser mas adequado que os outros, vsto que, ao consderar, somente, a repetção conjunta de subseqüêncas, computa de forma mas realsta a medda de smlardade entre as seqüêncas. A utlzação do operador mn sobre os vetores de probabldades não possu um sgnfcado estatístco claro. Entretanto, caso este operador seja aplcado sobre vetores de possbldades, cujos valores estão relaconados a valores de funções de pertnênca, pode ser construído um sgnfcado nebuloso dentro da teora de conjuntos fuzzy. Neste caso, computa-se a nterseção de valores fuzzy, representados pelas respectvas funções de pertnênca, como o mínmo dos valores exstentes. Consderando que os valores dos vetores de probabldades e possbldades pertencem ao ntervalo fechado [0,1], foram representados na fgura o conjunto magem relatvo à aplcação dos operadores em uma função de dos parâmetros com domíno [0..1] x [0..1]. Entretanto, o uso explícto de vetores de característcas não é muto recomendável, pos o seu tamanho cresce exponencalmente em relação ao tamanho do alfabeto. Por exemplo, para 5 e consderando o alfabeto de nucleotídeos, o vetor de 5 característcas tera 4 componentes, tornando o seu cálculo extremamente complexo. Neste sentdo, buscando soluconar este problema, optou-se pelo desenvolvmento de um método ernel que não necessta representar de forma explícta os vetores característcos. a) b) Fgura : Representação gráfca dos operadores mn (a) produto (b) 3. Tabela de Sufxos Para evtar problemas com a explosão do espaço de característcas, surgu a déa de formar um vetor de tamanho fxo n, também denomnado Φ (x), composto por todas as subseqüêncas de tamanho. O processo de geração destes vetores é realzado em tempo O(n), já que cada seqüênca é avalada por um processo de janelas deslzantes, passando por toda a seqüênca uma únca vez. Utlzando a seqüênca s, descrta anterormente, o novo vetor característco de subsequêncas de tamanho fxo sera: GC, CA, AT, TA, AT, TT, TC, CG, Φ ( s). (14) GA, AC, CT, CC, CA, AG, Gε Entretanto, observa-se que, com o uso de uma tabela, é possível obter uma únca representação para tamanhos varáves de subseqüêncas. T 8(s) A T G C A T A G T G C A T A G A G C A T A G A C C A T A G A C ε A T A G A C ε T A G A C ε A G A C ε G A C ε A C ε C ε Fgura 3: Tabela de sufxos da seqüênca s para subseqüêncas de tamanho 8

5 Consdere as sequêncas s ATGCATAGAC e t TTCGATAACG, e a utlzação de subseqüêncas de tamanho 8. Os vetores correspondentes T x poderão ser armazenados na tabela de sufxos ( ) que será formada por todas as ocorrêncas das subseqüêncas de tamanho menor ou gual a na seqüênca x. Na fgura 3, mostra-se uma tabela que representa as subsequêncas de tamanho menor ou gual a 8 da sequênca s ATGCATAGAC. A exstênca do símbolo termnal ε ndca que a subseqüênca não pode ser formada com comprmento maor ou gual a. Utlzando este tpo de representação para os vetores de característcas havera um elevado custo para o armazenamento das subseqüêncas de ordem O(n ). Entretanto, cada uma destas tabelas de sufxos pode ser representada de forma lnear por um vetor de nteros de forma que as subseqüêncas passam a serem acessadas de forma ndreta pelos respectvos índces. É mportante ressaltar que esta forma de representação é mas efcente que a representação baseada em uma árvore de sufxos (Uonen [1995]). Após a construção das tabelas a próxma etapa na avalação da função ernel consste de um processo de match relaconado à aplcação do operador mn. Este processo busca comparar cada posção entre os vetores de forma a contar quantas subseqüêncas se repetem. Para que este processo tenha complexdade lnear é necessáro executar prevamente uma ordenação das tabelas. A ordenação dos vetores pode ser feta em tempo O(.n) consderando um processo de partção recursvo em função do alfabeto de símbolos fnto,. Vale ressaltar que a complexdade do processo de ordenação é ndependente do tamanho ou da cardnaldade do alfabeto, dependendo, somente, do tamanho das seqüêncas (n) e das subseqüêncas (). No exemplo ctado tem-se a segunte representação vetoral para a sequênca s relatva a tabela T 8(s) na sua forma ordenada: Φ 8 (s) [9,7,5,1,4,10,8,3,6,]. Ao fnal do processo de match é retornado o número de subseqüêncas dêntcas, sendo este número utlzado para o cálculo da função ernel. Este algortmo possu como entrada um conjunto de seqüêncas bológcas das quas deseja-se obter uma medda de smlardade. O algortmo computa a smlardade aplcando a função ernel em todos os pares de seqüêncas, formando uma matrz de smlardades, denomnada matrz ernel. Como a comparação entre as seqüêncas é ndependente da ordem entre as mesmas, esta matrz torna-se smétrca. Assm, pode-se armazenar esta matrz como uma matrz trangular de dagonal untára. Um mportante problema relaconado ao desenvolvmento de métodos ernel baseados em medda de smlardade está na garanta da propredade de semdefndade postva da função ernel. Entretanto, caso este problema ocorra, pode-se, segundo Shawe- Taylor e Crstann [004], aumentar os valores dos elementos da dagonal prncpal como forma de se elmnar os autovalores negatvos. Este procedmento corresponde à adoção de um classfcador SVM de margem flexível no sentdo de mnmzar a norma L do vetor relaconado ao grau de volação das restrções de classfcação. 3.3 Função Kernel Fuzzy A avalação de smlardade entre duas seqüêncas, tendo como base a ocorrênca de subseqüêncas comuns, pode ser feta ntroduzndo uma função ernel normalzada que represente uma função de pertnênca. Esta função determna uma forma de avalação fuzzy mapeando valores no ntervalo fechado [0..1]. Neste sentdo, se as duas seqüêncas forem exatamente guas, a função ernel assumrá o valor untáro. Do contráro, se as seqüêncas forem totalmente dstntas, a função retornará o valor nulo. A função de smlardade entre duas seqüêncas s e t pode ser obtda mesmo que estas seqüêncas não possuam o mesmo tamanho. Esta função de smlardade é defnda baseando-se na ocorrênca de subseqüêncas comuns de comprmento varando de 1 até. Consderando n o tamanho da seqüênca de menor comprmento, o cálculo da função ernel será dado por: ( st, ) (, ). 1 st λ, onde λ representa a função peso assocada ao tamanho de cada subseqüênca. Como se deseja obter valores de smlardades no ntervalo [0..1], é precso dvdr a função ernel pelo valor máxmo que ela possa atngr. O valor da smlardade máxma será atngdo quando duas seqüêncas dêntcas forem comparadas. Consderando, neste caso, 1 (s,t) n,..., (s,t) n (-1), pode-se redefnr o valor da função ernel para: 1( st, ) ( st, ) ( st, ) ( st, ) n. + n n., (15) n n 1 n ( 1) obtendo-se uma smlardade máxma entre as seqüêncas gual a n.. Esta função ernel pode ser rescrta de forma smplfcada como: ( st, ) (, ). e, 1,...,. 1 st λ λ para n ( 1) (16) Como esta nova função possu valor máxmo de smlardade gual a n,. basta dvd-la por este mesmo valor para que o enquadramento destes valores esteja no ntervalo [0..1]. Logo, a função ernel fuzzy para a avalação de subseqüêncas varando de 1 até pode ser escrta, fnalmente, como: ( st, ) µ 1, ( st, ) (, ). 1 st λ, e n. (17) λ 1, para 1,...,. ( n ( 1 )). Assm como é consderado um lmte superor no tamanho das subseqüêncas, é possível, também, estabelecer um valor mínmo ou lmte nferor no tamanho das subseqüêncas. Com este lmte nferor, a função ernel torna-se mas geral, permtndo um n

6 estudo mas precso do grau de smlardade entre as seqüêncas. Representando este lmte nferor por j, a função ernel será dada por: ( st) ( st), e µ j,,,. λ j 1 λ, para j,...,. (18) ( n ( 1 )).( ( j 1) ) Evdentemente, a defnção do ntervalo aproprado, ou seja, a defnção dos lmtes nferor e superor, dependerão da natureza do problema envolvdo. 4. Materas: Conjunto de Dados e Matrz Kernel 4.1 Conjunto de Dados O conjunto de dados consste de seqüêncas de DNA com e sem a presença de splce junctons. São seqüêncas de prmatas extraídas do UCI benchmar. A base de dados contém 3190 seqüêncas sendo dstrbuídas em três grupos. O prmero grupo possu 767 (4%) seqüêncas do tpo exon/ntron (EI) ou acceptors, o segundo 768 (4%) seqüêncas do tpo ntron/exon (IE) ou donors e o tercero possu 1655 (5%) seqüêncas que não possuem nenhuma destas característcas. Todas as seqüêncas desta base de dados possuem tamanhos guas. Cada uma das seqüêncas é formada por cerca de sessenta nucleotídeos ou pares de bases. 4. Matrz Kernel Para o trenamento do classfcador SVM foram geradas qunze matrzes relaconadas, às três classes do problema e à varação de comprmento das subseqüêncas. Foram utlzados valores de ntervalos correspondentes aos lmtes nferor e superor apresentados na tabela 1. Como exemplo, para j 1 e, representa-se a ocorrênca smultânea de subseqüêncas de tamanho um e de tamanho dos. 5. Resultados e Dscussão Para a aplcação da metodologa foram fetas algumas varações nos tamanhos dos ntervalos, para efeto de avalação da smlardade, de forma a analsar os resultados do classfcador. Tal estratéga se deve ao fato de que, a partr da realzação de um alnhamento múltplo para cada classe, fo constatado que o grupo de seqüêncas pertencente à prmera classe apresentava subseqüêncas conservadas de tamanho três, ou seja, esta classe apresentava três nucleotídeos quase dêntcos em todas as seqüêncas em uma mesma regão. Já a segunda classe, apresentava subseqüêncas conservadas de dos nucleotídeos. Fnalmente, as seqüêncas da tercera classe não apresentavam conservação de subseqüêncas, ou seja, os nucleotídeos eram dspostos de forma aleatóra. Neste sentdo, para o cômputo da smlardade, fo escolhda uma regão de 1 nucleotídeos dentro das seqüêncas contendo as sub-regões conservadas. A fase de trenamento fo feta sempre entre duas classes. Assm, prmeramente, fo feto o trenamento entre as classes um e dos de forma a determnar uma função dscrmnante capaz de classfcar corretamente os dados referentes às duas classes. Posterormente, foram fetos os trenamentos entre as classes um e três e, depos, entre as classes dos e três. Como resultados da fase de trenamento é obtdo um valor real que ndca o tamanho da margem do classfcador SVM. Quanto maor o tamanho desta margem melhor será a classfcação dos dados. A tabela abaxo lustra o tamanho das margens obtdas a partr das varações do tamanho das subseqüêncas. Lmte Inferor Lmte Superor C1xC C1xC3 CxC ,055 0,077 0, ,090 0,055 0, ,097 0,074 0, ,10 0,108 0, ,11 0,10 0,0359 Tabela 1: Trenamento entre as classes Como pode ser observado na tabela 1, o trenamento entre a prmera e a segunda classe apresentou um resultado superor quando a matrz ernel fo gerada sobre subseqüêncas de tamanhos três. Este resultado já era esperado em função da prmera classe ser representada por subseqüêncas conservadas de tamanhos três. Por outro lado, o trenamento entre a segunda e tercera classe apresentou um melhor resultado quando a matrz ernel fo gerada sobre subseqüêncas de tamanho um e dos. Este fato é explcado em função da classe dos apresentar subseqüêncas conservadas de dos nucleotídeos. Tas resultados comprovam, portanto, que a correta escolha do ntervalo de avalação é de fundamental mportânca para a geração de matrzes ernel que possbltem uma melhor separação das classes com uma maor margem de separação resultando em classfcadores com maor poder de generalzação. Referêncas Bblográfcas Boser, B.E., Guyon, L.M. e Vapn, V.N. A tranng algorthm for optmal margn classfers. In Proc. of the 5 th Annual ACM worshop on COLT. ACM Press, , 199 Cortes, C. e V. Vapn. Support Vector Networs. Machne Learnng, 0: 73-97, 1995 Mercer, J. Functons of postve and negatve type and ther connecton wth theory of ntegral equatons. Phlosophcal Transactons of the Royal Socety, London A 09, , Shawe-Taylor, John e Crstann, Nello. Kernel Methods for Pattern Analyss. Cambrdge Unversty Press, 004 Scholopf, Bernhard, Tsuda, Koj e Vert, Jean- Phlppe edts. Kernel Methods n Computatonal Bology. MIT Press, 004 Smola, A. e B. Scholopf. Learnng wth Kernels. MIT Press, 001 Uonen, E. On-lne constructon of suffx trees. Algorthmca, 14, 49-60, 1995