O USO DA NOTAÇÃO DE LEVI-CIVITA EM ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

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1 O USO A NOTAÇÃO LVI-CIVITA M LTROMAGNTISMO PARA NGNIROS amlon Vana da Slvea -slvea@df.ufsca.b, Unvesdade Fedeal de São Calos epaameno de Físca Va Washngon Lus, m São Calos SP Resumo: Nese abalho é ulzada a noação de Lev-Cva que smplfca consdeavelmene cálculos e equações na Teoa leomagnéca. Muas das smplfcações decoem de usa a convenção da soma de nsen sobe índces epedos no espaço dmensonal. Palavas-chave: Teoa eleomagnéca, Lev-Cva, Soma de nsen 1 O SÍMOLO LVI-CIVITA Na análse veoal e ensoal o símbolo de Lev-Cva (ARFKN & WR, 1995), denoado po, em uma boa aplcação paa smplfca cálculos e equações e em sdo desenvolvdo em leomagnesmo paa Físcos (RITZ & MILFOR, 196) e ngenheos (AYT, 1978). A valdade do méodo é unvesal em leomagnesmo, o que se aplca ano na Físca quano na ngenhaa não volando qualque ega de análse veoal e ensoal. se símbolo é defndo como uma função de dos valoes dene os ês índces que apaecem como subscos. ses ndces são ndependenes e cada um deles podem e os valoes 1,, ou 3, esulando um oal de 7 combnações, como segue na Tabela 1: Tabela 1 Combnações do Símbolo de Lev-Cva Po defnção o símbolo de Lev-Cva é nulo se dos ou ês ncdes são guas. ese modo as 7 possbldades que emanescenes esão mosadas na Tabela : Tabela - As combnações emanescenes do símbolo de Lev-Cva XXXV Congesso asleo de ducação em ngenhaa CONG

2 Os ses símbolos emanescenes não-nulos na Tabela são ± 1 dependendo dos índces 1, e 3 eem uma pemuação pa ou ímpa. Paa pemuações paes, , enquano que paa pemuações ímpaes, esa foma os valoes compleos do símbolo de Lev-Cva são mosados na Tabela 3: Tabela 3- Os valoes compleos do símbolo de Lev-Cva Obsevando as Tabela 1, e 3, o símbolo de Lev-Cva é an-sméco em elação à pemuação dos índces. No caso de pemuação pa (+1) é do po (131), enquano que na pemuação ímpa (-1) é do po (131). Os demas valoes são nulos. Podemos enão esum que: +1, paa pemuação pa de, 1, paa pemuação ímpa de, e que 0, nos demas casos. m muos cálculos o símbolo apaece combnado com ele mesmo. Paa lusação e po convenênca, ocaemos os índces mudos e fomamos o poduo abaxo com o obevo de calculá-lo. lm (1) Usaemos a convenção em que nsen abalhando com veoes e ensoes noou que a soma ea dada sobe um sobesco (ou subsco), que o subsco apaeca duas vezes na expessão da somada e vce-vesa. e modo que podea smplesmene om o snal edundane da soma, nepeando uma expessão do po x y como uma soma sobe o subsco epedo 1 paa, em nosso caso, 3. Se houve dos subscos epedos, as duas somas esão mplícas, e assm po dane. m uma caa, nsen efee com a língua na bochecha paa esa obsevação como uma gande descobea na maemáca, mas se não aceda na mesma segue adane sem ela! Vso que a convenção da soma de nsen (YRON & FULLR, 1970) aplca-se ao índce e lembando que, podemos esceve 3 lm lm () 1 com os quao índces,,l,m ndependenes cobndo cada um 1, e 3. e modo que a soma dada pela quação () epesenaa 81 emos sepaados. Felzmene a maoa dos símbolos de Lev-Cva é nula. Todos os símbolos são 0 ou ± 1. XXXV Congesso asleo de ducação em ngenhaa CONG

3 os quao índces no neo da soma dada pela quação () no mínmo dos são guas. Po exemplo, sea 1, e m3, enão l ambém duplca se fo gual a 1, e 3. não a soma na quação () ona-se: (3) Iso é análogo a dze que quao veoes dmensonas quasque,,l,m são lneamene dependenes, pos ês deses podem se escolhdos ndependenemene, mas não o quao. Consdeemos novamene a combnação dada pela quação (1) ambém, Se l e m, m adção a sso, se m e l, lm 0, paa, (4) lm 0, paa lm (5) lm +1 (6) lm -1. (7) Os dos úlmos casos podem se combnados paa conduz a uma condção fnal, a qual é lusada pela quação (3) e com 1, e m3: lm 0, paa l ou m, ou l ou m (8) Como podemos obseva a quação (6) é vedadea se l e m. aí podemos oca o poduo lm po um poduo de delas de Konece, na foma: lm δ l δ m 1, paa l e m (9) Já a quação (7) é vedadea se m e l. Nese caso eemos lm δ m δ l 1, paa m e l (10) Podemos oma as quações (6) e (7) como uma combnação das quações (9) e (10), lembando que a soma de duas soluções ambém é uma solução. aí podemos esceve: + 1, l, m δ δ δ δ { (11) lm l m m l 1, m, l Noemos agoa que se l m, como aconece na quação (05), eemos δ l δ m -δ m δ l 0, paa lm. (1) XXXV Congesso asleo de ducação em ngenhaa CONG

4 ese modo as quações (05), (06) e (07) esão sasfeas. Como as quações (11) e (1) são eafmações das quações (06) e (07), elas ambém são sasfeas e conduzem à segune dendade: lm δ δ δ δ. (13) l m m l O Símbolo de Lev-Cva em conuno com ouas quandades como componenes de um veo poduz uma noação compaca paa o poduo veoal. Consdeemos dos veoes A e denoados pelas suas especvas componenes caesanas: A ( Ax, Ay, Az ) ( A1, A, A3 ) ( A ). (14) e ( x, y z ) ( 1,, 3 ) ( ) Paa o poduo veoal C A, podemos esceve C ( C x, C y, C z ) ( C1, C, C3 ) ( C ). Usando o símbolo de Lev-Cva, eemos (15) (16) C A (17) e aí deemnamos esse poduo usando a convenção da soma de nsen sobe índces epedos. Nesa noação os índces, e são mudos no sendo que podem oma odos os valoes pemdos 1, e 3. Podemos nclu ou om o símbolo da somaóa Σ, escevendo, 3 3 C A A.. (18) 1 1 Como exemplo, consdee a opeações A ( C) e A ( C). Paa a pmea opeação, emos Paa a segunda opeação, A. ( C) A ( C) A C A C.. (19) A ( C) ) [ A ( C ] lm A lcm. (0) Subsundo a quação (13) na expessão acma, obemos A ( C) A C A C ( AC) ( A ) C. (1) XXXV Congesso asleo de ducação em ngenhaa CONG

5 o que mosa uma smplfcação consdeável nos cálculos, caso véssemos que efeua a opeação po componenes caesanas dos veoes. O opeado veoal dfeencal é denoado po (), ou sea po devadas pacas onde em os valoes 1, e 3. Onde 1, e 3 efeem às coodenadas x,y e z. O que pecsamos e em mene ao usa a noação de Lev-Cva é a quação (0) paa o poduo veoal, a quação (13) que envolve poduo de delas de Konece, que os índces são mudos e que 0 sempe que somamos sobe índces epedos. APLICAÇÃO AO LTROMAGNTISMO O campo eléco esá elaconado ao poencal eléco ϕ, esco na foma: ϕ () Vamos oma o oaconal do campo eléco, usando a noação de Lev-Cva ϕ ϕ. (3) Na expessão acma emos a soma de poduos de emos smécos ( ) nos índces e an-sméco, em qualque pa de índce, que se anula (YRON & FULLR, 1970). Poano: 0. (4) O campo eléco expesso na foma da quação () vem a efoça o fao que odo gadene é oaconal. A ndução magnéca é o oaconal do poencal veoal A. Tomando o dvegene do da ndução magnéca,.( A) A 0. (5) Na expessão usamos novamene que a soma de poduos de emos sméco e ansméco se anula. O fao do dvegene da ndução magnéca se anula em o sgnfcado físco de que não exsem pólos magnécos solados. Uma das mas mpoanes aplcações das quações de Maxwell (RITZ & MILFOR, 196) é a obenção das equações das ondas eleomagnécas. Consdee as equações de Maxwell na foma dfeencal: J +,. (6)., (7) XXXV Congesso asleo de ducação em ngenhaa CONG

6 ρ, (8) 0. (9) As quações (6) a (9) escas na foma dfeencal epesenam uma genealzação de obsevações expemenas: a quação (6) é uma exensão da le de Ampèe, a quação (7) é a le da ndução eleomagnéca de Faaday, a quação (8) é a Le de Gauss, a qual é obda da le de Coulomb, a quação (9) epesena o fao do monopolo magnéco nunca e sdo obsevado. A equação da onda paa o campo magnéco é obda omando o oaconal da quação (6): ( ) J + (30) Como e J σ, onde as consanes e σ são, especvamene, a consane deléca do maeal e a conduvdade, obemos ( ) σµ µ, (31) onde µ e a consane µ é a pemeabldade magnéca do maeal. O pmeo emo da quação (30) pode se faclmene desenvolvdo usando a noação de Lev-Cva com base na quação (0), ou sea: (3) ( ) ( ). lm l m Subsundo a quação (3) na quação (31) e levando em cona a quação (9), obemos fnalmene a equação da onda: µ σµ O veo campo eléco sasfaz a mesma equação da onda, basando oma o oaconal do veo dado pela quação (7) e aando σ, µ e como consanes, obemos: µ σ As equações da onda obdas acma govenam o campo eleomagnéco e são conseqüêncas das equações de Maxwell. á váas opeações veoas no leomagnesmo a seem desenvolvdas, que podem se obdas faclmene ulzando o méodo poposo nese abalho. 3 RSULTAOS (33) (34) XXXV Congesso asleo de ducação em ngenhaa CONG

7 XXXV Congesso asleo de ducação em ngenhaa CONG Os exemplos á mosados em aplcação ao leomagnesmo mosam alguns esulados mpoanes do méodo desenvolvdo e aplcado no ensno em ngenhaa Físca. Vamos mosa agoa mas um exemplo em leomagnesmo. Tomando como base duas das quações de Maxwell (RITZ & MILFOR, 196) na foma dfeencal:, J + (35). (36) Vamos oma o dvegene do poduo veoal ene os campos veoas e paa aplca o esulado da opeação nas equações dadas acma, usando a noação de Lev-Cva ( ) +. (37) Obsevando a quação (37), denfcamos nos dos emos do lado deo a pesença do oaconal, daí escevemos: ( ) ( ) ( ) (38) Tomando o poduo escala da quação (35) com o campo eléco e subando o esulado obdo com o poduo escala da quação (36) com o campo magnéco, obemos: ( ) ( ) J (39) Compaando as quações (38) e (39), obemos: ( ) J (40) Se aplcamos a quação (40) a um meo lnea, ou sea, se é popoconal a e é popoconal a, as devadas empoas do lado deo podem se escas como µ 1 1 (41) e 1 1 (4)

8 Usando as quações (41) e (4) na quação (40), obemos: 1 ( ) ( + ) J. (43) O pmeo emo do lado deo da quação (43) é a devada empoal da soma das densdades de enega eléca e magnéca e o segundo emo é o negavo da axa de calo Joule po undade de volume. O uso da noação de Lev-Cva mosa uma foma efcene, sem qualque volação às les da álgeba veoal, de abalha no campo eleomagnéco e em sdo ulzado na dscplna leomagnesmo no ensno de ngenhaa Físca. sa mesma noação ambém pode se empegada em Mecânca mas avançada que envolve um abalho de análse veoal. A valdade em usa o méodo poposo em leomagnesmo abange ano paa ngenheos como paa Físcos e smplfcam de uma foma consdeável os cálculos e apesena uma foma elegane em opea com campos veoas, dspensando usa uma expansão em coodenadas caesanas como gealmene são empegados em lvos exos. Naualmene os fundamenos de leomagnesmo são os mesmos ndependenes de esamos abalhando com poblemas físcos ou aplcações à ngenhaa. 4 CONSIRAÇÕS FINAIS Nese abalho, após uma laga expeênca na dscplna de leomagnesmo paa o ensno em ngenhaa Físca, movou a ncenva o uso do méodo de Lev-Cva, bem como usa as convenções da soma de nsen onde é oalmene dspensável usa a noação do somaóo quando a soma é omada sobe índces epedos. O uso convenconal de abalha com campos veoas com opeações em que omam oaconal do oaconal, oaconal de poduos veoas, dvegene de poduo veoal que apaecem em leomagnesmo, usando expand um veo em componenes caesanas, emboa coeo, é muo abalhoso e acaba desesmulando o aluno em efeua esas opeações. A ulzação da noação poposa em esmulado os esudanes a efeua quasque opeações veoas que se aplcam ao leomagnesmo e popcado nepeações dos obeos em esudo. 5 RFRÊNCIAS ILIOGRÁFICAS ARFKN, G.. & WR. J. Mahemacal Mehods fo Physcss. New Yo: Academc Pess, 1995, p.40, 4, 59, 199. YRON, F. W. & FULLR, R. W. Mahemacs of Classcal and Quanum Physcs. New Yo: ove Publcaons, Inc., 1970, p. 5, 8. AYT,W.., JR. leomagnesmo. Ro de Janeo: Lvos Técncos e Cenífcos doa S.A., 1978, p RITZ J. R. & MILFOR F. J. Foundaons of lecomagnec Theoy. Palo Alo, 196, p XXXV Congesso asleo de ducação em ngenhaa CONG

9 T US OF T NOTATION OF LVI-CIVITA IN LCTROMAGNTISM FOR NGINRS Absac: In hs wo s appled he Lev-Cva noaon ha smplfed calculaons and equaons consdeably n lecomagnec Theoy. Seveal of hese smplfcaons ae due o use he nsen summaon convecon, ha appeaed wce n he summed expesson n he hee dmensonal space. Key-wods: lecomagnec heoy, Lev-Cva, nsen summaon XXXV Congesso asleo de ducação em ngenhaa CONG