O INVESTIMENTO SEQÜENCIAL EM EMPREENDIMENTOS DE CAPITAL DE RISCO: UM ESTUDO COM OPÇÕES REAIS

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1 O INESTIMENTO SEQÜENCIAL EM EMPREENDIMENTOS DE CAPITAL DE RISCO: UM ESTUDO COM OPÇÕES REAIS Fabn Hoelz Bagas Alvaez Faculdades IBMEC-RJ Avenda Ro Banco 8/5 anda Ro de Janeo CEP: 4-. Resumo: Ese esudo em como obevo a obenção e conseqüene aplcação de uma ega óma de nvesmeno seqüencal po pae de fmas nvesdoas em Capal de Rsco. A caaceísca mas macane é a que concene à ulzação da Teoa de Opções Reas mesclando os efeos do empo em egme conínuo e da pesença de nceeza e o desenvolvmeno do modelo fo laseado em écncas de pogamação dnâmca. Quano à solução do modelo enconou-se uma Equação Dfeencal Pacal (EDP). Esa EDP pode se decomposa em duas equações dsnas dependendo das duas suações possíves ou sea nves (exece a opção) ou não nves (mane a opção). No caso de nvesmeno a solução se daá po meo de uma solução numéca e o feamenal maemáco escolhdo fo o Méodo de Dfeenças Fnas (MDF). Já na hpóese de dfemeno do nvesmeno onde não há execíco da opção mplca na edução da EDP a uma Equação Dfeencal Odnáa (EDO) que possu solução analíca. Palavas-chave: capal de sco nvesmeno seqüencal opções eas. Absac: The obecve of hs pape s o oban and o apply an opmal ule of sequenal nvesmen by nvesos n enue Capal. The mos pecula chaacesc s he use of he Real Opons Theoy mxng he effecs of he connuous egme and he unceany usng dynamc pogammng echnques. The soluon of he model used Paal Dffeenal Equaon (PDE). Ths PDE can be decomposed n wo dffeen equaons dependng on he wo possble suaons: o nves (execsng he opon) o no (mananng he opon). In he case of nvesng he soluon wll be obaned by a numec soluon and he mahemacal echnque used was he Fne Dffeences Mehod (FDM). In he hypohess of no nvesng whee hee s no execse of he opon mplcaes n he educon of PDE o an Odnay Dffeenal Equaon (ODE) ha has an analycal soluon. eywods: venue capal sequenal nvesmen eal opons. O obevo do esudo é omza os nvesmenos em Capal de Rsco obendo egas efcenes de nvesmeno levando em cona o elevado gau de nceeza que caacezam os empeendmenos de Capal de Rsco. Daí sugu a escolha pela ulzação da Teoa de Opções Reas pos esa possbla a avalação das possíves opoundades de negóco po meo de sua popedade de flexbldade geencal. Já sua ulzação conugada com a esaéga de nvesmeno seqüencal usfca-se pela conseqüene flexbldade advnda da opção de dfemeno nas sucessvas odadas de nvesmeno o que popocona mao valo ao empeendmeno. Enão buscou-se um modelo pando da condção de nvesmeno conínuo duane o desenvolvmeno do empeendmeno baseado numa esuua de meas pé-deemnadas ene o empeendedo e o nvesdo. Apesa de se um nvesmeno defndo como conínuo ese pode se suspenso e aé mesmo eadado vsando a ma axa de eono paa cada desembolso de capal (me-o-buld). A nução conceual pae do pncípo de que cada undade de valo nvesda no empeendmeno compa uma opção paa nves no póxmo eságo.

2 É mpoane salena que a opoundade de nvesmeno pode se vsa como uma call pepéua com deo de aqusção do empeendmeno a um cuso I. Logo pode-se consdea a decsão de nves al qual a decsão de quando e como exece esa opção e assm sendo a avalação desa opção passa a se o obevo a pa de agoa. Na solução desa avalação seá ulzada a écnca de Pogamação Dnâmca pos há nos nvesmenos em Capal de Rsco a dfculdade de eplca os seus avos po avos á exsenes (essencal paa ulzação da écnca de Deos Conngenes). Consdeando que como em sua maoa os empeendmenos de Capal de Rsco advêm de poeos de Pesqusa e Desenvolvmeno ecnológcos enão em-se como pemssa que os fluxos de caxa não apesenaão nenhuma ecea opeaconal anes da conclusão do poeo (po exemplo o lançameno de um poduo no mecado). A quesão basea-se em qual o pono ómo paa nves I no empeendmeno a fm de gea como valo opeaconal do poeo. Assume-se enão que o valo opeaconal do poeo sea esocásco e sga o Pocesso de Wene ambém denomnado de Movmeno Bownano eoméco Exógeno desco po McDonald e Segel (986): d α d dz () Onde dz é um ncemeno do Pocesso de Wene α é a axa de cescmeno espeada paa e o desvo-padão. A equação () mplca que o valo coene do empeendmeno é conhecdo mas valoes fuuos são dsbuídos po uma Dsbução Log-nomal com vaânca cescene e lnea ao longo do empo. Na écnca de Pogamação Dnâmca a axa de cescmeno espeada α ou endênca é de exema mpoânca e é povenene da equação de dvdendo () como a segu: δ ρ α () Sendo ρ a axa de descono exógena e δ como o dvdendo povenene da dfeença ene a axa específca de descono e a axa de cescmeno espeada do empeendmeno. Oua defnção mpoane paa δ é o cuso de opoundade de aasa o poeo e mane a opção em abeo. Assume-se enão que α < ρ pos se aconecesse o conáo ou sea α > ρ a opção não ea valo algum e sempe havea nvesmeno. Usualmene nas avalações consdea-se como um valo efeencal paa esa axa de descono ρ a axa lve de sco do mecado. O empeendmeno em seu peíodo de desenvolvmeno e mauação sendo a pacela ma do capal oal desnado ao empeendmeno a qual o nvesdo pode nves num únco eságo. O nvesmeno oa ealzado é evesível logo a axa de nvesmeno I() em como esção: I ( ) Caso nenhum nvesmeno sea ealzado o monane de capal á nvesdo não é depecado. Se ange um paama basane baxo o nvesmeno seá suspenso e se passado um peíodo apesena ecupeação e ulapassa um valo cíco * pode-se ona a nves. Denomnando como o oal emanescene de nvesmeno poeado necessáo paa a conclusão do empeendmeno em-se a segune elação com o nvesmeno I: d Id (3) Nese nsane noam-se duas vaáves que afeam dnamcamene a decsão óma de nvesmeno. A pmea vaável é o oal emanescene de nvesmeno equedo paa a conclusão do empeendmeno que segue a equação (3). A oua vaável é o valo coene de mecado do empeendmeno compleo segundo a equação (). O obevo enão passa a concena-se em ono da elação óma de nvesmeno I*(). Todava como não exsem cusos assocados à axa de nvesmeno a solução do poblema podeá apesena-se de foma dúba ou sea a qualque momeno o nvesmeno ómo podeá se ou. Assm sendo nomalzando ese modelo o nvesmeno se daá caso obenha-se no mínmo o valo cíco *() logo em-se a condção: *( ) Sasfea esa condção o empeendmeno ecebeá o nvesmeno à axa ma de não havendo nenhum fluxo de capal caso conáo. Semelhanemene às Opções Fnanceas as Opções Reas delegam aos seus deenoes o deo e não a obgação de execê-las. Denomnando F() o valo desa opção e assumndo o 564

3 execíco somene em suações ómas obe-se-á uma equação dfeencal pacal a pa de F() que poduzá como solução *(). Como o modelo é baseado em Pogamação Dnâmca deve-se pa das pemssas de empo conínuo e que a nceeza segue a foma de um pocesso de Wene. Ao aa-se de uma análse de nvesmenos consdea-se-á a vaável de esado x como o saus das opeações do nvesdo. A vaável x é conhecda em qualque daa ou peíodo poém valoes fuuos as como x x... são vaáves aleaóas. Paa cada peíodo algumas escolhas são dadas ao nvesdo que são denomnadas vaáves de conole u. Nese modelo seá possível a escolha ene duas hpóeses pela segunda vaável acma: nves ou não nves. Logo esa vaável de conole podeá se bnáa onde epesenaá espea (não nves) e nves. As vaáves de esado e conole num empo afeaão o fluxo opeaconal π x u. A axa de descono ene dos peíodos do empeendmeno que seá denomnado ( ) quasque seá /(ρ). Ouo fao mpoane é que a écnca básca de Pogamação Dnâmca aplca a decsão numa seqüênca de duas paes: o peíodo coene ou medao e a connuação ao longo dos demas peíodos. F como o valo pesene de odos os fluxos opeaconas do Consdeando ( ) x empeendmeno o nvesdo ulzaá a vaável u a fm de maxmza ese valo logo: F ( x ) max π ( x u ) ε [ F ( x )] (4) u ρ Esa equação é denomnada po Equação de Bellman ou equação fundamenal da omzação. Supondo que cada peíodo de empo equvale a e que ese ende a o empo seá conínuo. Feo so e mulplcando po (ρ) em-se: ρf ( x ) max π ( x u ) ε [ df ] (5) u d Como baseado na pemssa do modelo a opoundade de nvesmeno F() não gea nenhum fluxo opeaconal ou sea π ( x u ) aé o empo em que o nvesmeno é concluído e o únco eono exsene é o seu ganho de capal. Dessa foma e assumndo que a opção pode se execda em qualque eságo de nvesmeno pode-se abandona a vaável e a equação (5) esula em: ρ Fd ε [df ] (6) Daí ulza-se a expansão de Taylo paa: df d F F ' F '' d d df d F df d d F '( ) d F ''( ) d (7) d d Mas segue um Movmeno Bownano eoméco como a equação (): df F '( ){ α d dz } F ''( ){ αd dz } Feo so deve-se obe o valo espeado de df: ε [ df ] ε F ' αd dz F '' α d αd dz dz ( ){ } ( ){ } Poém lembando que: dz² d d² ε[dz] O que esula em: 565

4 geal: ε [ df ] F '( ) αd F ''( ) d Subsundo na equação (6): ρ Fd α Onde e-aanando: ' ' α ρf (8) Esa equação é uma equação dfeencal odnáa de segunda odem e possu foma d a ' b cf d e A solução desa equação: d e F ( ) A A b c c Paa a equação (8) em-se enão: '( ) ( ) α ρf Onde: a /² b α c ρ d e Logo a equação se eduz a: F ( ) A A Nesa equação A e A são consanes a seem deemnadas enquano que e são consanes conhecdas á que dependem de δ e ρ da equação dfeencal. Como o compoameno lme de F() em ono de zeo é zeo pos devdo ao fao df α do Movmeno Bownano eoméco desco na equação () paa gual a zeo são muo pequenas as chances dese cesce e alcança o valo cíco *. A fm de gaan que F() enda a zeo quando ambém ende a zeo e como usualmene é meno que zeo o coefcene A em que se gual a zeo pos caso conáo F() endeá a nfno quando ende a zeo. Assm sendo: F ( ) A (9) A pa da equação dfeencal homogênea de segunda odem (8) pode-se consegu a exação de suas duas soluções desde que lneamene ndependenes. A solução geal é: F ( ) A F '( ) A F ''( ) ( ) A Subsundo na equação (8): ( ) A E as duas aízes são: α α αa α α ρa ρ ρ 566

5 Já a equação paa o nvesmeno seqüencal é um pouco mas elaboada que a equação (8). No cálculo da opção devem-se consdea o fluxo de capal povenene dos nvesmenos ao longo do empo ou sea Id bem como o oal de capal emanescene a se nvesdo no empeendmeno em função de seu monane F ()d. Eses fluxos de capal nvesdos ao longo do empo Id ão dmnu o valo da opção pos ao nves nese momeno haveá um meno capal emanescene dmnundo enão o monane de nvesmeno em opção de espea. Já o capal emanescene ende a aumena o valo da opção poém sofeá a segune subsução a pa da equação (3) d Id daí e-esceve-se: F '( ) d I. ( )d Como fo vso na equação () há uma elação paa que deve se subsuída paa α na equação fnal bem como ulza ao nvés da axa de eono ρ a axa de sco neuo do mecado : α ρ δ α δ Feo sso a equação esulane paa avalação da opção do empeendmeno seá uma equação dfeencal pacal F(). Paa facla a compeensão seão subsuídas algumas noações das devadas como: ( ) F ( ) F Logo á é possível após esas subsuções encona a equação do modelo: '( ) F ( δ ) F F IF F I () Noa-se uma lneadade da equação () em elação a I logo confma-se que a ega de nvesmeno ómo seá eduzda a ão somene duas hpóeses: nvese-se ao nível mo ou não se nvese nada nese eságo. Quando não há nenhum nvesmeno ou sea I o emo F desapaece o que ona a equação () numa equação dfeencal odnáa que pode se soluconada de foma analíca. Poém quando I a equação eá uma solução numéca paa F() com a esção cíca *(). Têm-se enão as esções paa a solução do modelo levando-se em cona que F() e F ( ) são conínuos paa *: ( ) ( ) δ ( ) l F () F () lm F (3) A análse desas esções: Resção (): quando ende a zeo o empeendmeno esaá compleo não havendo necessdade de nvesmeno adconal assm o eono do nvesmeno seá gual ; Resção (): se chega a zeo não mas saá dese valo pos segundo o Movmeno eoméco Bownano desco na equação () caso mplca em d. Sendo assm a opção de nves quando é gual a zeo é zeo ambém; Resção (3): esa esção efee-se ao valo da opção quando o valo do poeo ende ao nfno. Quando o valo do poeo ona-se gande se compaado ao oal esane de nvesmeno é mpovável que o nvesmeno sea suspenso anes de sua conclusão. O poeo apesena poano exaos / peíodos de empo aé complea-se lembando que po mas ápda sea a ealzação do nvesmeno o empo mínmo paa seu émno / depende da axa ma de nvesmeno da fma no caso po peíodo. Duane esse peíodo o deeno da opção pede a axa de dsbução de dvdendos δ elavos ao poeo. Essa é a axa apopada paa o descono do valo do poeo. Confome a esção () ao émno do nvesmeno o valo da opção é F() e sabe-se que o peíodo esane paa o émno do poeo é /. Calculando o valo pesene da opção 567

6 quando o valo do poeo ende a nfno ulzando a axa de descono apopada δ obêmse: δ F l lm ( ) Devando em elação a obêm-se usamene a esção (3) como e-esca a segu: lm F δ ( ) l Solução do Modelo Quando o valo do poeo compleo fo meno que seu valo cíco coespondene num mesmo momeno ( < *) não haveá algum nvesmeno logo I mplcando na mudança da equação () paa: ( δ ) F F F (4) Suea à condção de conono (). A equação (4) é uma equação dfeencal odnáa de segunda odem e em como solução analíca à mesma ndcada paa a equação (8) aneomene. A fm de se possível a elmnação da ncógna A e obenção de uma esção de valo ómo do conono comum a odas as soluções dvde-se a função F(*) de sua devada de pmea odem: Função: ( )( *) F ( * ) A Devada de Pmea Odem: F ( * ) A ( ) ( *) O que esula na Resção de alo Ómo: * F( * ) F ( * ) (5) Já caso > * haveá nvesmeno à axa ma po peíodo logo I e a equação seá enão gual à (): ( δ ) F F IF F I () Suea às condções de conono () () (3) e (5). A equação () é uma equação dfeencal pacal paabólca e deve se soluconada numecamene. O méodo escolhdo paa esa solução é o Méodo das Dfeenças Fnas na foma explíca. Ese méodo consse na ansfomação das vaáves e em ncemenos dsceos e da equação () em uma equação de dfeenças fnas a qual pode se esolvda algebcamene a pa da condção de conono emnal () e pocedendo de ás paa fene po meo de pequenos ncemenos aé encona o valo ómo *() paa cada valo de. Consdea-se no modelo apesenado que o valo oal de nvesmeno paa o desenvolvmeno do empeendmeno é conhecdo ou sea aa-se de um valo deemnísco poém os valoes do empeendmeno são aleaóos. Logo a fm de ona o modelo mas pecso do pono de vsa numéco deve-se ulza um nevalo de valoes azoavelmene gande. Com o nuo de solucona a equação dfeencal pacal () deve-se pmeamene efeua a segune subsução: F ( ) l ( ) Onde: ln. Esa ansfomação em po obevo facla a convegênca do méodo pos passa-se a abalha com coefcenes consanes na equação de dfeenças fnas. A ulzação da ansfomação logaímca se deve ao fao de que enquano o desvo padão se manve consane o desvo padão nsanâneo de ln ambém se maneá consane ou sea o desvo padão coespondene às vaações 568

7 de ln num nevalo de empo seá ndependene de e de. Feo so obêm-se as segunes devadas: F l F l F l l Subsu-se enão na equação (): δ l (6) Equação esa suea às condções de conono: l (7) ( ) δ lm l l l (8) ( * ) ( * ) (9) () ( ) lm Noa-se enão que os coefcenes da equação (6) não são mas funções de sendo agoa consanes. Iso é mpoaníssmo pos houve a ansfomação de uma equação dfeencal pacal numa equação de dfeenças fnas que pode se esolvda algebcamene. Consdeando a segune dscezação paa duas vaáves: ( ) ( ) Onde a m e n. Com essa dscezação pode-se mona um domíno eangula onde a solução pode se enconada. A egão de domíno paa as vaáves é: [ mn ] [ ] Onde : m; mn -a; n. A condção de conono (8) pesume que a vaável one-se nfna pos. Iso é consegudo fazendo o valo de m o mao possível. Já a condção de conono () ona-se-á cíca pos com a ansfomação logaímca a vaável assume um valo de menos nfno ou sea mn -. Iso é consegudo de manea semelhane fazendo o valo de a o mao possível em módulo. O valo de que é o oal de nvesmeno esane é conhecdo e o valo de n coesponde a: n Poém a escolha dos lmes m e -a ou sea do nevalo mn e e das "dscezações" e nfluencam no gau de pecsão da solução bem como na convegênca da mesma. Assm sendo escolhem-se os lmes os mas abangenes possíves. Já a escolha das "dscezações" e deve se ealzada em conunção com os coefcenes da equação de 569

8 57 dfeenças fnas de modo que esses coefcenes seam sempe posvos paa qualque valo do domíno de e. Caso a equação possua coefcenes posvos em odo o domíno pode-se assegua que o Méodo de Dfeenças Fnas explíco convege paa a solução pocuada. As devadas pacas seão apoxmadas pelas fomas de dfeenças como a segu: [ ] () [ ] ( ) () [ ] (3) Ulza-se enão a apoxmação de cenal-dffeence em elação à paa () e a apoxmação fowad-dffeence em elação à paa (3). Subsundo as apoxmações de dfeenças fnas () () e (3) na equação (6): [ ] [ ] [ ] l δ Cambando a vaável paa -: [ ] [ ] [ ] ) ( l δ Re-aanando êm-se: n p p p (4) Onde: n p p p l δ δ Já fo menconado que a equação (4) é uma equação de dfeenças fnas cuos coefcenes p p e p são consanes ndependenes de ou devdo à ansfomação logaímca ulzada. Paa gaan a convegênca do méodo é necessáo que odos os coefcenes da equação (4) seam posvos em oda a egão a qual a solução é analsada. Enão escolhem-se as "dscezações" e de manea que so ocoa. Deve-se salena ambém que a soma dos coefcenes p p p o que peme a nepeação da equação (4) em emos de ump pocess com pobabldades de subda ( p ) e descda ( p ). Paa uma análse mas apofundada dessa abodagem bem como dscussões sobe a convegênca do Méodo de Dfeenças Fnas em sua foma explíca aplcada à Teoa das Opções ecomenda-se a leua de Bennan e Schwaz (978). Feo sso deve-se ansfoma as condções de conono coespondenes com o méodo. Pela condção (7): l (5) Pela condção de conono supeo (8) e fazendo m: ( ) m m ) ( δ l

9 calculada: Ulzando a apoxmação () das dfeenças fnas paa a condção acma: [ ] m m m ( δ ) l Isolando o emo da apoxmação acma: m m ( δ ) m m l (6) Agoa fazendo a equação (4) ende ao seu lme supeo ou sea m: m p m p m p m n E ealzando a subsução a equação acma ona-se: m p m p m p m n (7) Subsundo a equação (5) em (6) obêm-se: m ( δ ) m p l p m ( p p ) m n (8) A esção de valo ómo (9) ona-se: * * * Resolvendo paa êm-se: * (9) * * Na condção de conono nfeo () fazendo -a : a (3) Daí conclu-se o modelo paa esolução onde a equação de dfeenças fnas a se p p p n (4) Suea às esções: l (5) ( p p ) m n l (8) (9) m ( δ ) m p p m * * a (3) Exemplo Numéco A fm de demonsa a efcáca ano do modelo de nvesmeno seqüencal ulzando a opção po me-o-buld quano do sofwae desenvolvdo é apesenado um exemplo numéco hpoéco. Consdea-se uma fma gesoa de um fundo de nvesmeno em Capal de Rsco. Esa fma pospecou um empeendmeno no amo ecnológco cuo oçameno de capal fcou em $ mlhões (). Como ese empeendmeno desenvolve uma nova ecnologa seu valo do poeo () somene seá ecebdo quando do émno do nvesmeno oal e vaa de acodo com o Movmeno Bownano eoméco. Fca convenconado que a fma possu uma axa ma de nvesmeno de $ 5 ml po odada semesal () mplcando que o nvesmeno eá duação de 5 anos (/). O valo da axa de uos lve de sco pacada no mecado é de % ao ano (). O desvo padão é esmado em % () e a axa de dsbução de dvdendos anuas do poeo é de % (δ). Assm sendo a fma desea obe uma ega óma de nvesmenos que maxmze seu valo. 57

10 Na esolução ulzaam-se valoes de "dscezações".5 e.5. Ao ulza eses valoes fo possível obe a convegênca do Méodo das Dfeenças Fnas do po explíco pos os coefcenes de sua equação onam-se posvos ou sea p.56 p.5556 e p.389. A abela de esulados é apesenada a segu: Tabela de Resulados alo Monane a se nvesdo Poeo Tabela I alo das Opções e seus especvos valoes do poeo e monanes a seem nvesdos em desaque os valoes cícos. Análse de Resulados Na solução fnal do modelo apesenada pela abela enconam-se os valoes das opções de nvesmeno e seus coespondenes valoes do poeo monanes que esam a seem nvesdos e os valoes cícos. Paa melho enendmeno da esção de valo cíco ulza-se o segune exemplo: quando esaem $ 4 mlhões a seem nvesdos no poeo a opção de valo cíco é $ 5574 mlhões e o valo do poeo cíco coespondene é $ 488 mlhões ou sea o poeo somene é neessane aos nvesdoes se o valo do poeo naquele momeno fo gual ou mao a $ 488 mlhões. Caso conáo o nvesdo deveá aguada a póxma odada de nvesmeno semesal paa 57

11 ealza o nvesmeno não nvesndo nese nsane aguadando uma ecupeação no valo de empeendmeno. Já se passadas algumas odadas e o poeo não ecupea seu valo cíco o nvesdo pode abandoná-lo em oca de um valo de evenda ou salvage value. Conclusões É sabdo que no Mundo a nceeza é um fao aumenavo paa o gau de dfculdade nas omadas de decsão. Dessa foma muos admnsadoes cêem que a nceeza consu-se como um poblema e deve se evada ou mesmo omda a odo cuso. Ese esudo vem aze usfcando po meo de um modelo maemáco a mesma nceeza que ano assusa alguns e que pode se vsa como uma opoundade de obenção de vanagens. A nceeza é enão ansfomada numa fone de valo vndo a balza a esaéga geencal dos negócos e em especal nese esudo na consução omzada de uma esaéga de nvesmeno seqüencal. A aceação das opoundades de nvesmeno em avos eas como uma complação de opções mplca numa nova foma de vsualza as decsões de nvesmeno de capal. Onde exsa ão somene o valo pesene líqudo (NP) paam agoa ês elemenos: alo Pesene Líqudo Expanddo (Esaégco) alo Pesene Líqudo Esáco Pêmo da Opção Exse clao nvesmenos onde o pêmo da opção seá nulo acaeando na gualdade ene o alo Pesene Líqudo Expanddo e o alo Pesene Líqudo Esáco. A aplcação da Teoa de Opções Reas no caso específco da ndúsa de Capal de Rsco é mas que aceada pos as muas opoundades de cescmeno que eses empeendmenos podeão e são devadas das decsões de nvesmenos que ocoeão no fuuo nceo mpossíves de seem mensuadas pelos méodos adconas. Dessa foma a Teoa de Opções Reas compova que ao ulza dados ealíscos e não-vesados os nvesmenos em empeendmenos que possuem opções seam elas de expansão conação dfemeno nvesmeno seqüencal suspensão e eavação abandono ou convesão eão mao eono. Anda no caso específco de Capal de Rsco o gande dfeencal apesenado pelo modelo é ao mesmo empo un a Teoa de Opções Reas com o nvesmeno seqüencal fao ese que popoconou meno sco ao nvesdo pos o nvesmeno é dvddo em eapas nas quas pode have avalações de pefomance do empeendmeno. Nesas avalações caso o empeendmeno enha supeado ou ao menos gualado as expecavas (mlesones) o nvesdo efeua o nvesmeno. Já caso conáo o empeendmeno obenha pefomance nfeo à espeada não haveá fluxo de nvesmeno. Há anda a opção de abandono do empeendmeno caso ese não se encone mas nos planos do nvesdo. Esa opção de abandono pode se eveda num valo de evenda de avos (salvage value) paa ouo nvesdo que esea neessado na connudade do empeendmeno. A Teoa clássca de Oçameno de Capal peca ao não consdea eses faoes exemamene mpoanes e possíves na avalação de nvesmenos. O modelo de Mad e Pndyc (987) aende plenamene às caaceíscas nínsecas apesenadas pelo poblema de foma a seu esulado sasfaze plenamene à demanda. Apesa de sua apaene complexdade ano a eoa fnancea quano a eoa maemáca não ouxeam anagonsmos uma à oua mplcando numa aplcabldade com êxo. A anscção do modelo paa a lnguagem compuaconal MATLAB confguou-se como o uma espéce de usfcava páca paa o esudo. A únca foma de solucona o modelo nconesavelmene ea po meo de sua aplcação compuaconal devdo aos sucessvos cálculos equedos à deemnação dos valoes dos elemenos da enome maz esulane bem como com o cumpmeno de odas as esções do modelo. O sucesso desa anscção fo fundamenal paa a valdação do modelo e ambém paa a compeensão dos esulados de foma claa e concsa. São possíves ambém vaações nos npus do modelo adapando-o às caaceíscas nínsecas de cada avalação desde que se espeem é clao odas as esções neenes ao modelo. 573

12 Refeêncas Bblogáfcas Alvaez Fabn Hoelz Bagas (3) O Pocesso de Pesqusa e Desenvolvmeno de Medcamenos: um Esudo com Opções Reas n: Anas do II Encono de Engenhaa de Podução da UFRJ Ro de Janeo. Blac Fsche; Scholes Myon (973) The Pcng of Opons and Copoae Lables n: Jounal of Polcal Economy 8 Nova Yo Bandmae Paolo () Numecal Mehods n Fnance: a MATLAB-based noducon Nova Yo John Wley & Sons. Bennan Mchael; Schwaz Eduado S. (978) Fne Dffeence Mehods and Jump Pocess Asng n he Pcng of Conngen Clams: a Synhess n: Jounal of Fnancal and Quanave Analyss Seembo de 978 EUA. Couadon eoges (98) A Moe Accuae Fne Dffeence Appoxmaon fo he aluaon of Opons n Jounal of Fnancal and Quanave Analyss Dezembo de 98 EUA. Dx Avnash; Pndyc Robe S. (994) Invesmen unde Unceany Pnceon Pnceon Unvesy Pess. Hull John C. (997) Opções Fuuos e ouos Devavos ecea edção Tad. de Olando Saln São Paulo Bolsa de Mecadoas e Fuuos. Io. (95) On Sochasc Dffeenal Equaons n: Memos Amecan Mahmacal Socey 4 págnas -5. Mad Saman; Pndyc Robe S. (987) Tme-o-Buld Opon alue and Invesmen Decsons n: Jounal of Fnancal Economcs 8 págnas 7-7. Meon Robe C. (973) Theoy of Raonal Opons Pcng n: Bell Jounal of Economcs and Managemen Scence 4 Pmavea págnas Rocha aa M. C. (996) Decsões de Invesmenos Seqüencas em Regme de Inceeza Dsseação de Mesado da PUC-Ro Depaameno de Engenhaa Indusal Ro de Janeo. Noa Na abodagem das aízes da equação quadáca pode se povado que: α ρ 574