DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS E SUAS APLICAÇÕES EM MODELOS DE PROGRAMAÇÃO MISTA E EM PROBLEMAS DE ESTOQUE E ROTEIRIZAÇÃO

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1 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S DECOMPOSIÇÃO DE BENDES E SUAS APLICAÇÕES EM MODELOS DE POGAMAÇÃO MISTA E EM POBLEMAS DE ESTOQUE E OTEIIZAÇÃO Paíca Pado Belfoe Unvesdade de São Palo Av. Pof. Lcano Galbeo 98 - Sala G- - º anda - Cdade Unvesáa e-mal: paca.belfoe@pol.sp.b Oswaldo Lz do Valle Cosa Unvesdade de São Palo Av. Pof. Lcano Galbeo 98 - Sala G- - º anda - Cdade Unvesáa e-mal: oswaldo@lac.sp.b Lz Palo Lopes Fáveo Unvesdade de São Palo Av. Pof. Lcano Galbeo 98 - Sala G- - º anda - Cdade Unvesáa e-mal: lpfaveo@sp.b esmo Os modelos de pogamação nea msa de gande poe devdo ao gande númeo de vaáves neas são de dfícl esolção. Paa conona esa dfcldade ma alenava sea a mplemenação do méodo de decomposção de Bendes. Ese abalho em como objevo desceve o méodo de decomposção de Bendes paa pogamação msa e sas aplcações em Poblemas de Esoqe e oezação. O algomo de Bendes decompõe o poblema pncpal em sbpoblemas faclando a esolção do poblema. Palavas-chave: Decomposção de Bendes Poblema de Esoqe e oezação Pesqsa Opeaconal. Absac The models of gea nege med pogammng de he gea nmbe of nege vaables ae of dffcl esolon. In ode o anspose hs dffcl an alenave wold be o mplemen he mehod of bendes decomposon. The am of hs wok s o descbe hs mehod fo med pogammng and how can be appled n Inveno ong Poblems. The bendes algohm decomposes he man poblem no sb poblems makng hem ease o be solved. Kewods: Bendes Decomposon Inveno ong Poblem Opeaonal eseach.. Inodção À medda qe o númeo de vaáves neas cesce sgnfcavamene os modelos de pogamação nea msa de gande poe onam-se de dfícl solção. Qando o poblema é mo compleo pode se neessane sbdvdí-lo em sbpoblemas. J. F. Bendes (96) popôs m méodo de decomposção paa esolve poblemas de pogamação msa. Esa écnca decompõe o poblema pncpal em sbpoblemas. No caso de poblemas de esoqe e oezação o poblema pncpal é decomposo em m sbpoblema de alocação de esoqes e m sbpoblema de oezação de veíclos.

2 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S A apesenação do abalho seá dealhada a seg. No em seá desco o méodo de decomposção de Bendes paa pogamação msa. Já o em apesena o poblema de esoqes e oezação (nveno ong poblem IP) e o em as aplcações de decomposção de Bendes ao IP. O em mosa m eemplo do méodo de decomposção de Bendes e o em 6 o algomo de decomposção de Bendes. Fnalmene no em 7 enconam-se as conclsões e fas pesqsas.. Decomposção de Bendes paa pogamação msa Um dos pncpas conceos lzados na esolção do algomo de decomposção é o da Pojeção. O poblema pode se desco como em Geoffn (97): (.) ma X ; Y f ( ) g( ) qe envolve a omzação sobe o espaço conjno das vaáves espaço apenas da vaável como: e. Defne-se sa pojeção sobe o (.) ma Ma f ( ) X Y g( ) qe pode se esco como: (.) ma v( ) X onde: (.) v( ) ma f ( ) Y g( ) O Poblema de das vaáves pode se esolvdo em dos eságos. Consdee agoa o segne poblema de pogamação msa: (.) mn c' d' A B b I onde I pode se po eemplo m conjno de númeos neos o m oo conjno de esções lneaes. Ulzando o conceo de pojeção sobe o poblema (.) pode-se eescevê-lo como: (.6) mn c' Q( ) I

3 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S Fando valoes de sobe o poblema (.) o esane do modelo a se esolvdo é: (.7) Q( _ ) mn d' B b A O poblema compleo de mnmzação pode se esco da segne foma: mn c' mn d' B b A (.8) { } I Cabe aq elemba o Teoema da Daldade em pogamação lnea. Defne-se daldade aavés do pa de poblemas de PL abao: Pmal: Dal: Tem-se o segne eoema (Wnson 99): mn c' n A b ma' b ' A c' Teoema da Daldade: Se m dos poblemas (pmal o dal) em ma solção óma fna enão o oo ambém em ma solção fna e os valoes coespondenes das fnções objevos são gas. Se m poblema é lmado o oo não em solção facível. Pelo Teoema da Daldade em-se qe: (.7) Q( _ ) mn d' s. a. B b A é semelhane a:

4 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S (.9) Q( _ ) ma'( b A) ' B d' Cabe agoa elemba algns faos báscos em pogamação lnea. Seja {... k } o conjno de ponos eemos e { d...d l } o conjno de deções eemas da egão de vabldade K de (.9) defnda como sege: Se _ j m { ; ' B d' } K (b A )' d > paa algm j... enão a solção do poblema é lmada (- ). Se _ ( b A )' d j paa odo j... enão ' ( b A) ange se mínmo sobe K em m pono eemo de K. Poano pelo Teoema da Daldade o poblema (.7) somene é vável se o poblema (.9) em ma solção óma fna o seja se ese qe sasfaça a condção: (.) ( d j )'( b A) j... l Dessa foma podemos eesceve o poblema (.6) como: (.) mn I s. a. { c' ma ( j )'( b A) } ( d )'( b A) j j... k j... l Dessa foma adconando e defnndo a vaável λ como a mao coa nfeo de Q () eesceve-se (.) como: mn c' λ (.) λ I λ (.) ( d j )'( b A) j... l (.) λ ( j )'( b A) j... k I O méodo de decomposção de Bendes basea-se na aplcação dos conceos de Daldade Pojeção e do elaameno das esções (.) e (.) paa a esolção do poblema (.). Com base neses conceos o poblema (.) é eesco na foma do poblema (.) com as esções (.) e (.). 6

5 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S Passo : esolve-se o poblema (.) sem as esções (.) e (.) caso esas esções anda não enham sdo acescenadas pelo passo enconando ma solção óma ( λ). Caso a solção não seja enconada o poblema (.) não em solção. Passo : Paa esa a vabldade da solção ( λ) esolve-se o poblema lnea (.9). Se ende a nfno em (.9) adcona-se a esção M ao poblema (.9) onde M é ma consane posva de laga escala. Se o valo de Q() é meno o gal a λ enão a solção ( λ) enconada é óma paa (.) a (.) e é obdo po B b A emnando a omzação. Caso o valo Q () fo mao qe λ adcona-se ma esção do po (.) ao poblema (.) com os valoes de ' enconados em (.9). Se o poblema (.9) com não poss solção óma fna o qe sgnfca qe ( d j )'( b A) enão com os valoes enconados em (.9) adcona-se ma esção do po (.) ao poblema (.) e eona-se ao passo. Teoema: O algomo de Bendes convege paa a solção óma do poblema (.) em m númeo fno de eações (Geoffon 97).. Poblema de Esoqe e oezação Incavas mpoanes vsando eleva os ganhos oas da cadea êm sgdo nas ndúsas com o ampao do Movmeno EC Effcen Consme esponse o esposa Efcene ao Consmdo. Uma das écncas poposas pelo EC é o VMI Vendo Managed Inveno Esoqe Geencado pelo Fonecedo qe em sdo mo dssemnada na ndúsa mndal. O VMI em como objevo a edção de csos aavés da negação dos componenes da cadea de abasecmeno. O pocesso de eposção aavés do VMI pode ocoe em qalqe elo da cadea de abasecmeno. O VMI é ma écnca no qal o fonecedo conola os níves de esoqe de ses clenes e decde qando e qano enega de mecadoa paa cada clene. Sendo assm os cálclos são ealzados po m algomo cadasado no fonecedo fomado po paâmeos pé-esabelecdos pelo vendedo e compado e baseado nas nfomações obdas do clene. Nesse modelo o clene é apenas nfomado da qandade qe seá envada. Desa manea ele faz m acompanhameno monoa mas não conola o pocesso (Klngenbeg e Annes ). Em mas aplcações o vendedo além de conola os esoqes dos clenes ambém admnsa ma foa de veíclos paa anspoa os podos aos clenes. Nese caso o objevo do vendedo é não só admnsa o eabasecmeno ómo dos esoqes como ambém a dsbção dos podos. Ese poblema é chamado Poblema de Esoqe e oezação (IP Inveno ong Poblem). O IP em como caaceísca a políca VMI e desenvolve meodologas paa solção dese poblema (Campbell e al.998).. Defnção do Poblema O Poblema de Esoqe e oezação (IP) aa da dsbção de m únco podo a pa de m únco ceno de dsbção qe aende N clenes deno de m hozone de planejameno T possvelmene nfno. O clene consome o podo a ma aa e em ma capacdade de amazenagem C. O nível de esoqe do clene no nsane é I. A dsbção dos podos é 7

6 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S fea aavés de M veíclos homogêneos e cada veíclo êm ma capacdade C v. A qandade enege ao clene pela oa no nsane é Q. O númeo oal de oas de enega é. Defne-se c o cso de eeca a oa... e c es o cso de amazenagem do clene. O objevo é mnmza o cso médo dáo de dsbção dane o hozone de planejameno de modo qe não haja fala de esoqes paa os clenes. Podem-se adcona ao modelo csos de esoqe e csos de fala de podos. A cada nsane são omadas decsões de oeameno de veíclos e eabasecmeno de esoqe dos clenes. O Poblema engloba ês fases:. Seleção das oas. Deemna a cada da qas oas ão ocoe e qano enega paa cada clene da oa dane cada vsa. oezação de veíclos: qal o melho oeo. Modelagem Defnemos a seg m modelo de pogamação nea msa ml-peíodo baseado nas déas de Campbell e al.(999). Nese modelo as decsões sobe qas oas ão ocoe qano enega paa cada clene da oa e qal o melho oeo são omadas daamene. Paâmeos: oal de oas de enega c cso de eeca a oa... c es cso de amazenagem do clene ($/em da) N númeo de clenes M númeo de veíclos dsponíves T hozone de planejameno aa de consmo do clene... N C capacdade de amazenagem do clene... N C v capacdade do veíclo I esoqe ncal do clene... N I nível de esoqe do clene no nsane... N... T T dação da oa (fação do da) T d empo oal dsponível po da Vaáves de decsão: 8

7 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S Q volme oal enege ao clene da oa no da vaável bnáa ndca se a oa é eecada no da ( ) o não ( ) O nível de esoqe do clene no nsane pode se defndo como: (.) I I Q A qandade mínma a se enege ao clene no fnal do da é: (.) d ma( I ) A qandade máma a se enege ao clene no fnal do da é: (.) D C I O Poblema pode se fomlado da segne manea: (.) mn d I Q s C c v Q s bna Q D c es... N... T T mn( C I v C ). () () O objevo do modelo é mnmza os csos de anspoe e esoqe de modo qe a demanda de odos os clenes sejam aenddas. O modelo pode mnmza apenas os csos de dsbção desconsdeando os csos de esoqe sjeo às mesmas esções. A esção () gaane qe não haveá fala de esoqe paa o clene e qe a capacdade de amazenagem do clene não seá ecedda. A esção () gaane qe o volme oal enege aos clenes da oa não ecedeá a capacdade do veíclo. Caso o númeo de veíclos (M ) em cada peíodo seja lmado adcona-se a segne esção: M... T (). Aplcações de Decomposção de Bendes ao Poblema de Esoqe e oezação O objevo do modelo de pogamação nea em empo dsceo qe não consdea os csos de esoqe é: mn T c 9

8 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S Podemos defn as mazes A e B e m veo b de foma qe: A B b epesene o segne conjno de esções: d I Q s C M v Q s bna Q D T... T mn( C... N... T v C ). Logo o poblema de pogamação msa a se esolvdo é: mn c' ' A B b bnáo qe pode se esolvdo aplcando a decomposção de Bendes. O veo epesena as oas e o veo as qandades eneges. No caso do modelo qe consdea os csos de esoqe o objevo é: mn T c N T c es I onde: I I Q Defnem-se as mazes A e B e m veo b de foma qe: A B b epesene o mesmo conjno de esções do modelo aneo. O poblema de pogamação msa é: mn c' d' A B b bnáo 6

9 7 a /9/ Gamado S Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 6. Eemplo lzando algomo de decomposção de Bendes Consdeemos o segne poblema: (.) 7.. mn I a s eescevendo o poblema (.) de acodo com a eqação (.7) emos qe ) ( Q é: (.) 7. mn I O dal de (.) é: (.).. 7 ) ma ( a s Abao seá especfcada cada passagem lzando o algomo de decomposção de Bendes. Passo a) Poblema pncpal: O pmeo passo é esolve o poblema (.) sem as esções lzando o conceo de pojeção: (.) mn λ λ λ I A solção é: λ.

10 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S Passo a) Sbpoblema: Vefca se a solção λ é óma. Sbsndo os valoes na eqação (.) emos: (.) Q( ) ma 7 A solção é: e Q( ). O valo λ é meno qe Q ( ) poano a solção λ não é óma. Com os valoes adcona-se ma esção do po λ ( )'( b A) o seja λ ( ) ao poblema pncpal (.). Passo b) O poblema pncpal seá: (.6) mn λ λ λ I λ A solção é λ. Passo b) Vefca se a solção λ é óma. Paa sso esolve-se o sbpoblema (.) sbsndo os valoes de e enconados em (.6): (.7) Q( ) ma 7 A solção óma é e Q( ). A solção enconada no poblema (.6) não é óma pos λ < Q ( ). Sbsndo os valoes λ ' ( b A) adcona-se a esção λ ( ) ao poblema pncpal (.6). Passo c) O poblema pncpal seá: em (.8) mn λ λ λ I λ λ 6

11 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S A solção é: λ. Passo c) Tesa a solção λ. Sbsndo eses valoes no sbpoblema (.) emos: (.9) Q( ) ma 8 A solção é:. e Q( ). O valo λ é gal a Q (). Poano e é a solção óma. Sbsndo e em (.) emos: (.) mn 8 A solção é com. A solção óma de (.) é e F. obj 6. Algomo de decomposção de Bendes O algomo de decomposção de Bendes esá desco abao: : vaável nea : eal posva λ : Q () : enqano Q () λ > ε faze esolve o poblema pncpal mn c' λ coes I { } { } λ λ λ esolve sbpoblema { } ma { '( b A) ' B d' } se solção nfacível enão fa solção nfacível d e adcona esção d '( b A) ao poblema pncpal senão 6

12 Pesqsa Opeaconal e o Desenvolvmeno Ssenável 7 a /9/ Gamado S fa pono eemo e adcona esção λ ' ( b A) ao poblema pncpal Q( ) : '( b A) fm se fm enqano fm 7. Conclsões e fas pesqsas Ese abalho eve como objevo apesena o algomo de decomposção de Bendes e sas aplcações ao poblema de esoqe e oezação. Como os poblemas de pogamação msa são de dfícl solção ma alenava é decompo o poblema pncpal em sbpoblemas como ocoe no méodo de Bendes. Como fas pesqsas ese méodo pode se aplcado em oos pos de poblemas de pogamação msa e pode ambém se lzado smlaneamene com oos algomos. efeêncas Bblogáfcas Bendes J.F. Paonng pocedes fo solvng med-vaables pogammng poblems. Nmesche Mahemak p Campbell A.; Clake L.; Kleweg A. e Savelsbegh M.W.P. The Inveno ong Poblem. In: Flee Managemen and Logscs Ganc T.G. Lapoe G. (eds) Klwe Academc Pblshes p Campbell A.; Clake L. e Savelsbegh M. An Inveno ong Poblem Apl Geoffon A.M. Elemens of Lage-Scale Mahemacal Pogammng. Managemen Scence v. 6 n. 96. Geoffon A.M. Genealzed Bendes decomposon. Jonal of Opmzaon Theo and Applcaons v. n. p Klngenbeg C.O. e Annes J.A.V.J. Consção de m modelo oenavo paa a mplanação do VMI em empesas da ndúsa spemecadsa baslea. In: XXXVII Assembléa do Conselho Lano-Amecano de Escolas de Admnsação. Wnson W. L.; Inodcon o Mahemacal Pogammng: Applcaons and Algohms. Belmon a.edção Ca.: Db Pess 99. º Congesso EC Basl. O EC no Basl-Scoecad. São Palo. 6