MÓDULO XIII GRANDEZAS PROPORCIONAIS

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1 MÓDULO XIII 1. Rzão GRANDEZAS PROPORCIONAIS A rzão entre ois números e 0, ness orem, é o quoiente. O número é hmo e nteeente ou primeiro termo e o número é hmo e onseqüente ou seguno termo. Eemplo: O número irrionl π poe ser otio trvés rzão entre mei o omprimento e um irunferêni e mei o seu iâmetro, ou sej, C π r EP.01) Um prouto que ust R$ 18,00 pr ser frio é venio por R$ 7,00. Determine rzão entre: ) o preço e ven e o preço e usto. ) o luro e o preço e ven. EP.0) Em um retângulo mei se é m mior que ltur. Clule áre esse retângulo seno que rzão entre mei se e mei ltur é.. Proporção Os números,, e, om 0 e 0, formm, ness orem, um proporção se, e somente se, rzão entre e for igul rzão entre e, ou sej: e lê-se está pr ssim omo está pr. Os números e são hmos e etremos e os números e são hmos e meios.. Propriees s proporções Se os números,, e formm, ness orem, um proporção, então: P1.. =. O prouto os etremos é igul o prouto os meios. P. A som os ois primeiros está pr o seguno, ssim omo som os ois últimos está pr o último. P. A som os nteeentes está pr som os onseqüentes ssim omo nteeente está pr o orresponente onseqüente. Eemplo: Determinno o vlor e n proporção 1, otemos: 6 1 ( ). = (6 ).1 6 = = = 1 =. EP.0) Um minitur e um utomóvel foi onstruí n esl 1:0. As imensões minitur são: omprimento 1,5m e lrgur 5m. Quis s imensões reis o utomóvel em metros? 5 EP.0) Determine o vlor e n proporção. EP.05) A som s ies e Pulo e José é igul 50 nos. Se ie e Pulo está pr e José ssim omo está pr, enontre ie e um eles.. Grnezs Entenemos por grnezs tuo quilo que poe ser meio, onto. O volume, mss, superfíie, o omprimento, pie, veloie, o tempo, são lguns eemplos e grnezs. No nosso i--i enontrmos váris situções em que relionmos us ou mis grnezs. Em um orri qunto mior for veloie, menor será o tempo gsto ness prov. Aqui s grnezs são veloie e tempo. Num onstrução, qunto mior for o número e funionários, menor será o tempo gsto pr que est fique pront. Nesse so, s grnezs são o número e funionários e o tempo. 5. Grnezs iretmente proporionis Dus grnezs são hms iretmente proporionis, quno, orno um els outr tmém or; triplino um els outr tmém tripli. Relionmos us grnezs iretmente y proporionis pel equção k ou y = k., one k é um número rel, hmo e onstnte e proporionlie. As grnezs iretmente proporionis possuem um vrição liner e seu gráfio é um ret que pss pel origem. Mtemáti Bási XIII. 1

2 Eemplo: Em um etermino mês o no o litro e gsolin ustv R$ 1,50. Tomno omo se esse o, poemos formr seguinte tel: Quntie e gsolin (em litros) 1 Vlor pgr (em reis) 1,50,00,50 E tmém otemos o seguinte gráfio: 6,0,5 Custos (Reis) 6. Grnezs inversmente proporionis Dus grnezs são hms inversmente proporionis, quno, orno um els outr se reuz pr mete; triplino um els outr se reuz pr terç prte e ssim por inte. Relionmos us grnezs inversmente k proporionis pel equção y. = k ou y one k é um número rel, hmo e onstnte e proporionlie. As grnezs inversmente proporionis possuem um vrição ujo gráfio é um hipérole. Eemplo: Um professor e mtemáti tem livros pr istriuir igulmente entre os seus melhores lunos. Se ele esolher pens lunos, um eles reeerá 1 livros. Se ele esolher lunos, um reeerá 6 livros. Se ele esolher 6 lunos, um eles reeerá livros. Oserve tel:,0 Números e lunos Números e livros 1,5 0 1 Litros esolhios 6 pr luno 1 6 Se quntie e gsolin or, o preço ser pgo tmém or. Se quntie e gsolin tripli, o preço ser pgo tmém tripli. Neste so s us grnezs envolvis, qunti ser pg e quntie e gsolin, são hms grnezs iretmente proporionis. De mneir gerl, se A = ( 1,,,... ) e B = ( 1,,,... ) forem grnezs iretmente proporionis, então: 1... k 1 one o número k é onstnte e proporionlie. EP.06) Se (,, 1,... ) e ( 6, 8, y,... ) forem grnezs iretmente proporionis, então o vlor e + y vle: EP.07) Quno um utomóvel é freo no momento em que su veloie é 7km/h, ele in perorre 9m té prr. Se-se que ess istâni perorri té prr é proporionl o quro veloie o momento fre. Determine istâni que o utomóvel perorrerá té prr, se freo 5km/h. E tmém otemos o seguinte gráfio: Livros Alunos Se o número e lunos or, quntie e livros i pel mete. Se o número e lunos tripli, quntie e livros i pr terç prte. Neste so s us grnezs envolvis, número e lunos e número e livros, são hms grnezs inversmente proporionis. De mneir gerl, se A = ( 1,,,... ) e B = ( 1,,,... ) forem grnezs inversmente proporionis, então: k one o número k é onstnte e proporionlie. Mtemáti Bási XIII.

3 EP.08) Determinr e y seno-se que (1,,,... ) e (1, y,,... ) são grnezs inversmente proporionis. EP.09) Seguno lei e Boyle-Mriotte, se-se que: "A um tempertur onstnte, os volumes e um mesm mss e gás estão n rzão invers s pressões que prouzem". Se so pressão e 5 tmosfers, um mss e gás oup um volume e 0,6m, epressão que permite lulr pressão P, em tmosfers, em função o volume V, em m, oupo por ess mss e gás, é ) P V V ) P 5 ) P 6V 6V ) P 5 5 e) P V 7. Divisão proporionl Diviir um número N em prtes iretmente proporionis os números,, e, signifi eterminr os números, y, e z, e tl moo que: (I) s seqüênis (, y, z) e (,,,) sejm iretmente proporionis; (II) +y+z = N No so ivisão o número N em prtes inversmente proporionis, terímos: (I) s seqüênis (, y, z) e (,,,) sejm inversmente proporionis; (II) +y+z = N EP.10) Diviir o número 160 em três prtes iretmente proporionis os números, e 5. EP.11) Diviir 188 em prtes inversmente proporionis, e Regr e três simples Os prolems que envolvem grnezs iretmente ou inversmente proporionis poem ser resolvios trvés e um métoo prátio, hmo e regr e três, one se lulm proporções entre s grnezs envolvis. Eeríios Resolvios ER.01) Com um áre e sorção e rios solres e 1,m, um lnh om motor movio à energi solr onsegue prouzir 00 wtts por hor e energi. Aumentno-se ess áre pr 1,5m, qul será energi prouzi? Montno tel, olono em olun s grnezs e mesm espéie e, em linh, s grnezs e espéies iferentes que se orresponem: Áre 1,m 1,5m Energi 00wtts Oserve que: umentno o vlor áre e sorção, eve umentr energi prouzi. Portnto relção é iretmente proporionl (ns us grnezs olomos sets no mesmo sentio). Então s grnezs ns seqüênis (1,, 00) e (1,5, ) são iretmente proporionis logo: 1, 00 1,. = (1,5).00 1,5 1,. = 600 = 500 wtts. Logo, energi prouzi será igul 500 wtts. ER.0) Um trem, eslono-se um veloie méi e 00km/h, fz um etermino perurso em hors. Em qunto tempo fri esse mesmo perurso, se veloie utiliz fosse e 80km/h? Montno tel, olono em olun s grnezs e mesm espéie e, em linh, s grnezs e espéies iferentes que se orresponem: Veloie 00 km h 80 km h Tempo hors Oserve que: umentno veloie o trem, eve iminuir o tempo o perurso. Portnto relção é inversmente proporionl (ns us grnezs olomos set om sentios ontrários). Então s grnezs ns seqüênis (00, ) (80, ) são inversmente proporionis logo: 80. = = 100 =,5 hors ou = h 0min. Logo, o tempo neessário no perurso n segun situção é igul hors e 0 minutos. 9. Váris grnezs proporionis. Regr e três ompost Se um grnez X é iretmente proporionl às grnezs 1,,... n e inversmente proporionl às grnezs i 1, i,... i m, então ests grnezs junts stisfzem um relção form n X k. i.i... i 1 m One k é um vlor onstnte hmo e proporionlie Chmremos epressão im e Função e Proporionlie. A função e proporionlie é útil, espeilmente, n Físi e n Quími quno queremos esrever mtemtimente relção entre váris grnezs proporionis. e Mtemáti Bási XIII.

4 Eeríio Resolvio ER.0) Em um gás pressão é iretmente proporionl à tempertur e inversmente proporionl o volume. Seno isso ) Esrev relção que epress este fto ) Ahe o vlor onstnte e proporionlie seno que à tempertur e 0 o volume é 60 e pressão é 5 )Com o vlor onstnte otio em () lule o volume se tempertur for 1 e pressão for 5 T ) P k. V ) om os os o prolem temos: 0 5 k. k ) gor semos função e proporionlie que é: T P 15. V Sustituino os vlores e P e T os: V 9 V Eeríios Proposto EP.1) Verifiou-se, eperimentlmente que resistêni elétri R e um fio onutor homogêneo e e seção trnsversl onstnte é iretmente proporionl o seu omprimento L e inversmente proporionl à áre S e su seção trnsversl. ) esrev relção que epress este fto ) se pr um fio e omprimento e seção trnsversl 5 resistêni é 1, qul o omprimento e um fio o mesmo mteril que represent seção e resistêni? A função e proporionlie é o métoo mis efiiente pr resolver prolems e Regr e Três Compost omo mostr o seguinte Eeríio Resolvio ER.0) Cino homens (H) trlhno 8 hors (h) por i levm 0 is () pr vr um vl e 10m e omprimento () m e lrgur(l) m e profunie (). Quntos homens serão neessários pr vr, em 10 is e 6h e trlho, um vl om 1m e omprimento 5 /m e lrgur e m e profunie? A função e proporionlie é H.l.p k..h Ahno K om os os iniiis o prolem: 10.. H k. k Então versão efinitiv função é.l.p H 10..h Pr resolver o prolem st sustituir o vlores finis os: 1.5. H 10. H = EP.1) N ul e um etermino reméio peiátrio reomen-se seguinte osgem: 5 gots pr kg o peso rinç. Se um rinç tem 1kg, qul será osgem orret? EP.1) Um rro à veloie e 100km/h, fz erto perurso em hors. Se veloie o rro fosse e 80km/h, em qunts hors seri feito o mesmo perurso? EP.15) A rção pr 1 nimis, urnte 8 is ust R$.000,00. O usto rção pr 18 nimis, urnte 6 is, é e: EP.16) Um inústri metlúrgi prouziu peçs em 0 is, om 1 máquins operno 10 hors por i. Quntos is serão neessários pr prouzir peçs om 18 esss máquins trlhno 8 hors por i? Eeríios Complementres EC.01) Determine o vlor e ns proporções io: 5 ) ) 7 0 ) EC.0) Diviino o número e 0 em prtes proporionis, 7 e 5, quis números oteremos? EC.0) Os números 5, 1 e são proporionis os números y, 16 e, ness orem. Determine e y. EC.0) Um pesso pliou R$ 80,00 em um ernet e poupnç e R$ 560,00 em outr, ms urnte o mesmo períoo, no mesmo no. Se no finl esse períoo s us junts renerm R$ 90,00, qul foi o renimento e um? EC.05) Reprt qunti e R$ 95,00 em prtes inversmente proporionis os números 6 e 8. EC.06) Dois sóios, Pulo e Rfel, reprtirm o luro finl e um negóio, que foi e R$.900,00, e form proporionl à qunti que um investiu. Se-se que Rfel investiu R$.000,00 mis que Pulo e seu luro foi e R$ 700,00 mis que o e Pulo. Qul foi o investimento e um nesse negóio? Mtemáti Bási XIII.

5 EC.07) Um etermino meimento eve ser ministro um oente três vezes o i, em oses e 5ml vez, urnte 10 is. Se frso ontém 100m o meimento, qul o número e frsos neessários? (lemre-se: 1ml = 1m ). EC.08) Um pesso omprou 10m e or por R$ 5,00. Qunto outr pesso pgrá por 16m mesm or? EC.09) Com 10 pereiros poemos onstruir um muro em is. Quntos is levrão 5 pereiros pr fzer o mesmo trlho? EC.10) Um torneir foi ert pr enher um i om águ mrel. A 15 minutos é mei ltur o nível e águ e os os s o registros n tel io: Tempo (minutos) Altur (entímetros) Num etermino momento o fzer meiç o, ltur o nível águ er e,5 metros. Qunto tempo hvi eorrio ese que torneir foi ert? EC.11) A somr e um pesso que tem 1,80m e ltur mee 60m. No mesmo momento, seu lo, somr projet e um poste mee,00m. Qul ltur o poste em metros. EC.1) A órit e um stélite é um elipse que tem Terr em um e seus foos. Esse stélite tinge veloie máim e mínim nos pontos e menor e mior istâni Terr respetivmente, quno então esss veloies são inversmente proporionis às istânis o stélite à Terr (om mesm onstnte e proporionlie). Clule eentriie órit o stélite, seno tmém que veloie máim é o oro veloie mínim. (A eentriie, omo se se, é o quoiente istâni entre os foos pelo omprimento o eio mior). EC.15) A som os tempos (em hors) gstos por três rros pr perorrerem etermin istâni foi igul 7, hors. Determine: ) Qunto tempo levou rro, seno-se que sus veloies méis form, respetivmente, 0km/h, 50km/h e 60km/h? ) Qul istâni perorri? N questão io nlise pens lterntiv 0 Eeríios Aiionis EA.01) Sore relção entre ertur os poros estomátios e onentrção e um íon espeífio ns éluls-gur, mostr no gráfio seguir, ssinle o que for orreto. EC.1) As ros inteirs e um trtor têm um perímetro e 1,80m e s trseirs têm m e perímetro. Enqunto ro menor á 90 volts, qunts volts rá ro mior? EC.1) A figur seguir mostr (esquemtimente e for e esl) Terr, ujo entro é o ponto T, Lu L e um stélite e omunições S. A Lu e o stélite (que pesos omo pontos) esrevem órits irulres que estão no plno figur e têm entros no ponto T. O rio e órit Lu é km e o períoo ess órit (tempo que Lu gst pr perorrê-l e um vez) será tomo igul 7 is. Já o stélite S tem órit geoestionári, isto é, o stélite ompnh o movimento e rotção Terr e form tl que o períoo e su órit é (um) i. A tereir Lei e Kepler iz que, pr orpos que esrevem órits irulres o reor Terr, o quro o períoo e um órit é proporionl o uo o rio mesm. Clule o rio órit o stélite. 01) O potássio é o íon que está ssoio om o menismo e ertur os estômtos. 0) A mior onentrção e potássio está ssoi om mior t e trnspirção os vegetis. 0) O umento n ertur os estômtos é iretmente proporionl à sorção e potássio. 08) A função que rteriz o umento n ertur os estômtos em relção à sorção e potássio é liner. 16) A função que rteriz o umento n ertur os estômtos em relção à sorção e potássio é resente. Mtemáti Bási XIII. 5

6 N questão io esrev epressão que relion s grnezs menions. (Não é preiso lulr o vlor onstnte e proporionlie pois o prolem não fornee os os pr isto) EA0)A lei e Fourier pr onução térmi firm que, Em um regime estionário, o fluo e lor por onução ( ) num m e mteril homogêneo é iretmente proporionl à áre seção trnsversl trvess e à iferenç e tempertur entre os etremos e inversmente proporionl à espessur m onsier (e). Fino um áre e seção om um iferenç e tempertur entre os etremos onstnte, ssinle qul s figurs seguir poe representr o gráfio o fluo e lor por onução em função espessur m onsier. N questão io nlise pens lterntiv (). EA.0) Anlise o gráfio io, que mostr o efeito e iferentes níveis e irriâni no úmulo e iomss em plnts e rquej, e ssinle lterntiv orret. ) ) ) e) ) O gráfio ini que o úmulo e iomss é inversmente proporionl o umento no nível e irriâni. ) O gráfio emonstr influêni luz n síntese e ompostos orgânios no proesso e respirção. ) O gráfio emonstr o efeito o nível e irriâni no proesso e fotossíntese. ) O gráfio ini que o úmulo e iomss é iretmente proporionl o umento no nível e irriâni. e) O gráfio ini o umento n quntie e lorofil eorrente o umento o nível e irriâni. ) GABARITO EP.01) ) ) 1 N questão io lemre que forç (F) é iretmente proporionl o longmento () EA) A figur seguir present gráfios relção entre forç F pli um mol e o longmento ess mol pr ino tipos iferentes e mols (I, II, III, IV, V). EP.0) 108m EP.0) 5m e m EP.0) = 6 ou = 1 EP.05) Pulo: 0 nos e José: 0 nos EP.06) + y = EP.07) 5m EP.08) = e y = 6 EP.09) A EP.10), 8 e 80 EP.11) 80, 60 e 8 EP.1) ) 08 EP.1) 0 gots EP.1) 5h EP.15) R$ 7.000,00 EP.16) 5 is A mol que present mior onstnte elásti é ) I. ) II. ) III. ) IV. e) V. Mtemáti Bási XIII. 6

7 Eeríios Complementres 7 EC.01) ) ) 10 ) 6,5 EC.0) 60, 10 e 150 EC.0) = 1 e y = 0 EC.0) R$ 9,00 e R$ 196,00 EC.05) R$ 50,00 e R$ 05,00 EC.06) R$ 8.000,00 e R$ 6.000,00 EC.07) 1,5 frso EC.08) R$ 8,00 EC.09) is EC.10) 15min ou h 15min EC.11) 6m EC.1) 5 volts EC.1).000km 1 EC.1) EC.15) ) h,,h e h ) 10km Eeríios Aiionis EA.01) Fls. EA.0) k. e EA.0) E EA.0) Fls Mtemáti Bási XIII. 7