ANÁLISE VIBRATÓRIA pelo pelométodo de de RAYLEIGH

Transcrição

1 ANÁLISE VIBRATÓRIA pelo pelométodo e e RAYLEIGH A frequênca e um ssema e grau e lberae caracerza o seu comporameno nâmco. Um os processo mas smples para eermnar k m é o méoo e Raylegh. Poe ser aplcao a um ssema qualquer ese que se ama que a sua eformaa é e eermnao po - ψ(x). O méoo e Raylegh assena no prncípo a conservação a energa: a energa num corpo em vbração lvre maném-se consane se não houver forças e amorecmeno. Seja enão: u u sen u& u cos A Energa Poencal (Energa e eformação a mola), vem p k u k u sen e a Energa Cnéca a massa será c mu& mu cos Os respecvos valores máxmos ocorrem para T 4 T π π p p k u c c mu Porano, se a energa oal se maném consane, obém-se k m p c k m FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 48

2 7. APLICAÇÃO A SISTEMAS CONTÍNUOS A vanagem ese méoo aparece mas evene em ssemas com muos graus e lberae. Seja por exemplo o caso e uma vga em que se ame: u ( x ) ψ( x) u( ) com u( ) u sen, Iso quer zer que: a forma a eformaa a vga não vara com o empo, só se alerano a sua amplue e, no caso e ser uma vbração lvre, vara harmóncamene. Esa hpóese reuz a vga a um ssema e grau e lberae (o eslocameno a exremae) Nese caso, a máxma Energa e Deformação (poencal) é p L L u EI x x ψ EI u sen x x p u L ψ EI x x e a máxma Energa Cnéca a massa vem L u L c m x m ψ ( u cos ) x c L mu ψ x Porano: L ψ EI x x L mψ x rgez generalzaa massa generalzaa FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 49

3 7. ESCOLHA DA FUNÇÃO DE FORMA DA DEFORMADA A aproxmação o Méoo e Raylegh epene a função e forma ψ(x) aopaa. Se ψ(x) não for a forma exaca a eformaa em vbração lvre, é necessáro aconar forças para maner esa vbração, o que sgnfca maor rgez o ssema e, consequenemene, maor frequênca. A eformação que se obém na vbração lvre ecorre a aplcação e forças e nérca que são proporconas à srbução e massa e à amplue a eformaa. Assm, a Deformaa Exaca ψ e (x) é a que resula uma carga proporconal a m(x) ψ e (x) ~ m(x). ψ (x) e ψ (x) e Enão, se se amr ψ (x) e solcar o ssema por m( x) ψ ( x), a eformaa ψ(x) que se obém será uma boa aproxmação. m(x) ψ(x) ψ(x) De um moo geral basa aopar uma carga proporconal à massa p ( x) m( x) g ψ ( x) p que conuz à eformaa ψ p (x) eva às cargas permanenes. FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 5

4 7.3 MÉTODO DE RAYLEIGH APLICADO A UMA ESTRUTURA PORTICADA Alçao Plana Pso.x.5.3x.3.3x.3 3. Lajes:.5m esp. Pso.x.5.3x.3.3x E x 7 kn/m Laje o pso 6,75kN/m (nclu peso própro, revesmenos, vsóras e sobrecargas) Laje o pso 4. kn/m Peso o pso Laje kn Vgas kn Plares kn kn Peso o pso Laje kn Vgas kn Plares kn 44.5 kn Massa: Massa/ Pórco: m,to / on ; m,to 45. on m m,to / on; m.3 on FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 5

5 7.3. Méoo e Raylegh Dreco Amno uma eformaa com eslocamenos unáros nos os anares:.. u ~ cos Máxma Energa Poencal p k u em que k, a rgez os plares enre os psos, é EI k kn/m 3 3 l 3 e os eslocamenos relavos enre psos: u. ; u. Obém-se assm p 6 kj Máxma Energa Cnéca u& ~ sen c m u & ( ) 3.9 kj Fazeno p c ;. 8ra/s ; f 3. 3Hz FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 5

6 7.3. Méoo e Raylegh Melhorao Consera-se como eformaa a que se obém aplcano à esruura as forças e nérca que se esenvolvem com a eformaa assuma no pono aneror e, que para o pso, são aas por f m u& m u cos Quano a aceleração é máxma, vem f (kn) Por sua vez os corresponenes eslocamenos poem ser obos por k u T em que u é o eslocameno relavo as exremaes os plares e T é o esforço ransverso nos plares. Assm: ( ) ; u.3 u. u 3 u.3 ; u.9 u u + u. 3 Máxma Energa Poencal p 4 4 f u ( ).37 Máxma Energa Cnéca u& sen sen ~.3.3 c m u & ( ) ; 9.9 ra/s ; f 3. 4 Hz FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 53

7 7.3.3 Deformaa Deva às Cargas Gravícas Aplcaas Horzonalmene Sejam as segunes forças gravícas por pórco para caa pso: F m g / kn F m g 44.5/ 4. 4 kn Os corresponenes eslocamenos vêm m m Máxma Energa Poencal F p Máxma Energa Cnéca 3.6 c 9.8 m u& F g ( ). De novo, gualano os os valores máxmos a energa, resula: F F g g F F Expressão o RSA one 8.98 ra/s ; f 3. Hz FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 54

8 RESPOSTA à ACÇÃO SÍSMICA e e UM UM SISTEMA COM COM UM UM GRAU GRAU DE DE LIBERDADE Conheceno-se a le e movmeno o solo, preene-se a resposa a esruura. exo e referênca m k/ k/ ug u u Nese caso a equação o movmeno a esruura vem u g () u() u () u&& + cu& + k u m - eslocameno o solo - eslocameno relavo - eslocameno oal O movmeno sísmco orgna uma resposa nâmca porque as forças e nérca epenem o eslocameno oal u e as forças eláscas e e amorecmeno epenem o movmeno relavo. u u + u g m u& + cu& + k u mu& g u & ξu& + u & + u g A força sísmca é enão F m & ef u g Tuo se passa como se a massa m fosse solcaa por uma força proporconal à aceleração o solo, maneno-se os apoos fxos. FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 55

9 u&& g () - são os acelerogramas regsaos à superfíce o solo Acelerograma 5 5 a (cm/s) (s) A expressão o movmeno relavo poe ser oba, por exemplo, aravés o negral e Duhamel u m ξ ( τ) () mu&& () τ e sen ( τ) g O valor máxmo ese eslocameno poe ser omao como uma mea a nensae o ssmo que orgnou o acelerograma u& & g () τ τ Seja enão S (, ξ) u ( ) Fazeno varar e ξ, e raçano o resulao num agrama (S, ), obém-se S ξ. ξ ESPECTRO DE RESPOSTA DE DESLOCAMENTOS Resposa e oos os possíves osclaores e G.L., com um ao amorecmeno, a uma aa acção. FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 56

10 Num ssema sem amorecmeno, a aceleração absolua é sempre proporconal ao eslocameno, o que se verfca ambém no nsane os valores máxmos. mu&& + ku && & mu + ku u u (8.) Ou seja S a ( ) S ( ) O mesmo se poe ober no caso e ssemas com amorecmeno, aeneno a que, quano o eslocameno relavo é máxmo, a velocae relava é nula (ou próxma e zero), pelo que S a (,ξ ) S (, ξ) A expressão (8.), que por mera concênca é ênca à que se obém numa resposa harmónca, sugere a efnção uma velocae fcíca assocaa com um movmeno harmónco aparene. Traa-se a esgnaa pseuo-velocae, cujo valor máxmo S v é efno como velocae especral e ao por S v (, ξ) S (, ξ) S a (, ξ) (8.) one, por convenênca e por serem rrelevanes, se omram os snas. Oura forma habual esa expressão é: S (, ξ ) S (, ξ) S (, ξ) a v Conserano a envolvene e especros evos a város acelerogramas que caracerzam a acção sísmca, obêm-se os Especros e Resposa Regulamenares. FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 57

11 Exemplo: Para o pórco que em vno a ser apresenao, eermnar o máxmo eslocameno e o máxmo core basal. 6 m kg ; k 5. N / m ;.8 ra / s ; f Hz Amno ξ 5%, rera-se o especro regulamenar Sa 4. Sa 4 cm / s ; S.87m 8. 7mm.8 one a força elásca: 6 3 fe k S N Ou, sabeno que num ssema em vbração lvre se em f + f e f f mu& e fe m Sa 4. 4 N ESPECTRO TRILOGARÍTMICO É possível num mesmo gráfco regsar os valores especras a aceleração, velocae e eslocameno. De faco, a relação (8.) enre as rês granezas especras, perme escrever: log S v log ( S ) log( π f S ) log S log f + log( π S ) v log S v Sa log Sa log π f log S v log f Sa + log π Esas expressões represenam uma nfnae e recas a 45º e 45º num gráfco (log S v, log f ), conforme se vão ano sucessvos valores a S e S a. Se se consrur uma escala para caa uma essas uas classes e recas,.e., uma escala para a recas lugar geomérco os pares e valores que corresponem a um eslocameno especral consane e oura escala para as recas e aceleração especral consane, obém-se um gráfco rparo geralmene esgnao por ESPECTRO TRILOGARÍTMICO. FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 58

12 Exemplo: Especros Trlogarímcos o ssmo e El Cenro (94).3g, para város coefcenes e amorecmeno. Especro e Resposa e Projeco: (especro méo, normalzao para uma aceleração máxma o solo unára.g) FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 59

13 De gual forma ambém poe ser raçao em ermos o períoo e vbração, apenas se nvereno a orenação as recas a 45º. FEUP - Ramuno Delgao & Anóno Arêe 6